Как сделать стоячую волну
Обновлено: 07.07.2024
СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ В ЛИНИЯХ
Штрихом изображено продолжение падающей волны, которое существовало бы, если бы линия не обрывалась. Если эту штриховую синусоиду перегнуть на 180° вокруг вертикальной оси, проходящей через конец линии, т. е. нарисовать в обратную сторону, то она будет изображать отраженную волну. Отраженная волна является продолжением падающей волны, но только движется от конца линии к генератору. Суммарное напряжение падающей и отраженной волн показано жирной линией. Оно имеет наибольшее значение в точках П1 и П2 (на конце линии и на расстоянии 1/2(ламбда) от конца). В точках У1 и У2 на расстояниях 1/4(ламбда) и 3/4(ламбда) от конца линии это напряжение равно нулю.
Стоячую волну можно получить на опыте с веревкой, если один ее конец непрерывно качать и посылать к закрепленному концу бегущие волны, которые будут отражаться от места крепления.
Характер распределения напряжения вдоль линии при стоячей волне не изменяется с течением времени. В разные моменты времени изменяется только величина напряжения в каждой точке линии. На рис.2 показано распределение напряжения вдоль разомкнутой линии для нескольких различных моментов времени на протяжении одного полупериода. Кривая 1 соответствует фазе, когда напряжение в линии наибольшее. Далее напряжение становится меньше (кривые 2 и 3). Через четверть периода (прямая 4) напряжение во всей линии равно нулю. Затем оно меняет знак и возрастает (кривые 5 и 6). Через полпериода после начала процесса напряжение снова достигает амплитудного значения (кривая 7), но с обратным знаком. В каждой точке линии напряжение колеблется по синусоидальному закону, причем амплитуда этого колебания для разных точек различна. Для пучностей амплитуда наибольшая, равнай двойной амплитуде бегущей волны, для других точек она меньше, и, наконец, для узлов она равна нулю.
Все сказанное относится и к току. Но отраженная волна тока движется от конца линии с противоположной фазой. Действительно, электроны, дойдя до конца линии, дальше не могут перемещаться и двигаются обратно. Это означает, что ток изменяет знак. В результате на конце линии суммарный ток равен нулю, т. е. получается узел тока.
Таким образом, в стоячей волне узлы тока получаются там, где пучности напряжения, а пучности тока находятся в узлах напряжения. Иначе говоря, стоячая волна тока сдвинута на 1/4(ламбда) относительно стоячей волны напряжения. Графически это изображено на рис.3 двумя кривыми. Кривая тока дана сплошной линией, а кривая напряжения — штрихом.
Амплитуда напряжения в пучности Uпуч, равная двойной амплитуде напряжения бегущей волны 2Um, пропорциональна амплитуде тока в пучности Iпуч, которая равна двойному значению амплитуды тока бегущей волны 2Im. Отношение этих величин есть волновое сопротивление Zo:
Мощность стоячей волны является реактивной, так как энергия не расходуется (линию мы считаем идеальной). Действительно, как уже говорилось, во времени ток и напряжение имеют сдвиг фаз на .четверть периода, т. е. на 90°. Если в какой-то момент в линии напряжение имеет амплитудное значение, то в это время ток везде равен нулю. Через четверть периода напряжение по всей линии уменьшится до нуля, а ток дойдет до амплитудного значения.
Кривые рис. 3 показывают обычно распределение тока и напряжения для амплитудных значений и, следовательно, по времени отличаются друг от друга на 1/4 Т. Нет смысла показывать кривые для других моментов времени, так как пучности и узлы не сдвигаются. Даже если изображена только одна кривая, например для тока, то по ней можно судить и о распределении напряжения вдоль линии.
Сдвиг фаз на 90° между током и напряжением при стоячей волне показывает, что в линии происходит колебание энергии, сходное с колебательным процессом в замкнутом контуре. Когда напряжение в линии наибольшее, а ток равен нулю, то вся энергия сосредоточена в электрическом поле. Через четверть периода напряжение равно нулю, а ток имеет наибольшее значение и вся энергия сосредоточена в магнитном поле. Еще через четверть периода энергия снова возвратится в электрическое поле и процесс колебания энергии повторится.
Выясним теперь процессы в разомкнутой линии при различном соотношении между ее длиной и длиной волны питающего ""генератора. Для определенности примем, что внутреннее сопротивление генератора значительно меньше волнового сопротивления линии. На рис.4 показано распределение тока и напряжения для характерных случаев работы линии и приведены для них эквивалентные схемы (с целью упрощения кривые тока и напряжения показаны только для одного провода).
Когда длина линии L меньше четверти длины волны (рис.4 а), то в начале линии ток и напряжение имеют некоторые значения и сдвинуты по фазе на 90°. Следовательно, входное сопротивление в этом случае является реактивным. Оказывается, что оно имеет емкостный характер. Действительно, два коротких провода, подключенных к генератору, представляют собой конденсатор. И чем короче линия, тем меньше емкость этого конденсатора , т. е. тем больше емкостное входное сопротивление. Генератор в этом случае нагружен на некоторую емкость, что и показано на эквивалентной схеме справа. Вследствие большой величины входного сопротивления ток в линии получается малым, а напряжение в линии превышает напряжение генератора.
Если приближать длину линии к 1/4(ламбда), то напряжение в начале линии становится меньше по сравнению с его значением в пучности, а ток увеличивается и входное сопротивление уменьшается. Когда L = 1/4(ламбда) (рис.4 б), то в начале будут узел напряжения и пучность тока. Тогда Zвх = U/I = 0, и для генератора получается режим короткого замыкания.
В этом случае напряжение в линии, пропорциональное току, достигает наибольшего значения, т. е. наблюдается явление резонанса напряжений. Таким образом, четвертьволновая разомкнутая линия эквивалентна последовательному резонансному контуру. Как известно, такой контур имеет при резонансе наименьшее и чисто активное сопротивление. Поэтому ток и напряжение в нем при резонансе достигают наибольших значений.
Идеальный контур имеет при резонансе входное сопротивление, равное нулю, подобно идеальной линии. При изменении длины линии в ту или другую сторону от 1/4(ламбда) ее входное сопротивление увеличивается и становится емкостным или индуктивным. Именно так меняется при расстройке и сопротивление последовательного контура.
В реальной линии имеются потери энергии и Zвх при резонансе неточно равно нулю. Обращается в нуль только реактивное входное сопротивление, a Zвх становится наименьшим и чисто активным, так как оно обусловлено наличием потерь.
По мере приближения L к 1/2(ламбда) входное сопротивление увеличивается. Когда L= 1/2(ламбда) (рис.4 г), то напряжение в начале линии принимает наибольшее значение, равное эдс генератора, а ток становится равным нулю. Следовательно, входное сопротивление должно быть бесконечно велико. В действительности, вследствие наличия потерь в линии, входное сопротивление не равно бесконечности, а принимает некоторое наибольшее значение и является чисто активным.
Получается резонанс, подобный резонансу токов в параллельном контуре. В данном случае полуволновая линия эквивалентна параллельному резонансному контуру потому, что ее входное сопротивление при изменении Длины в ту или другую сторону от 1/2(ламбда) уменьшается и приобретает -емкостный или индуктивный характер. Такое же изменение сопротивления при расстройке свойственно и параллельному контуру.
Изменяя дальше L в пределах от 1/2(ламбда) до (ламбда) и воооще при удлинении линии на целое число полуволн, можно получить повторение всех рассмотренных режимов и значений Zвх.
Все рассмотренные случаи можно получить и при постоянной длине линии, изменяя длину волны генератора (ламбда). Тогда последовательный резонанс получится в случаях, когда вдоль линии укладывается нечетное число четвертей волны ( 1/4(ламбда), 3/4(ламбда), 5/4(ламбда) и т д.) - Иначе говоря, кроме резонанса на основной волне, соответствующей L= 1/4(ламбда), будет наблюдаться резонанс на любой нечетной гармонике. Параллельный же резонанс в линии получится не только на основной волне, когда L = 1/2(ламбда), но и на любых как четных, так и нечетных гармониках, когда вдоль линии укладывается целое число полуволн (1/2(ламбда), (ламбда), 3/2(ламбда) и т. д.). Линия как колебательная система способна резонировать на многих волнах. Этим она отличается от простого колебательного контура, имеющего только одну резонансную частоту.
Свойство резонировать не только на основной собственной частоте, но и на гармониках характерно для всех колебательных систем с распределенными параметрами. Напримеру струны, имеющей массу и упругость, распределенные по всей ее длине, легко возбудить колебания на гармониках, но это невозможно у маятника.
Следует обратить внимание на то, что при длине линии, равной 1/2(ламбда) или целому числу полуволн, входное сопротивление получается таким же, как и сопротивление на конце лини(в данном случае бесконечно большое). А при длине линии, равной 1/4(ламбда). или нечетному числу четвертей волны, входное сопротивление равно нулю, т. е. имеет величину, обратную сопротивлению на конце линии (0= 1/(бесконечность). Такое влияние длины линии на величину входного сопротивления наблюдается и при любых других значениях нагрузочного сопротивления R-
Ливия длиной в целое число полуволн не изменяет величину сопротивления и у нее всегда Zвх=R, а линия длиной, равной нечетному числу четвертей волны, преобразовывает большое нагрузочное сопротивление в малое входное и наоборот.
В режиме стоячих волн работает также короткое а м кнут ая линия (ряс.5), у которой на конце нагрузочное сопротивление равно нулю (R = 0). Поглощение энергии в таком сопротивлении отсутствует, и падающая волна полностью отражается. Поэтому возникают стоячие волны, как и в разомкнутой линии. Разница заключается в том, что распределение тока и напряжения в короткозамкнутой линии сдвинуто на четверть волны по сравнению с разомкнутой линией.
На конце линии напряжение равно нулю, т. е. там находится узел напряжения, так как R = 0 (короткое замыкание). Но у стоячей волны узлы напряжения совпадают с пучностями тока и наоборот. Значит, на конце короткозамкнутой линии получается пучность тока.
Действительно, ведь там, где имеется короткое замыкание, ток всегда бывает наибольшим. У разомкнутой линии, наоборот, на конце были пучность напряжения и узел тока. Зная, что получается на конце линии, нетрудно начертить кривые распределения тока и напряжения для различных соотношений между длиной линии и длиной волны генератора.
Эти кривые даны на рис.5 для идеальной линии, у которой волновое сопротивление значительно больше внутреннего сопротивления генератора. Они показывают, что короткозамк-нутая линия по своим свойствам противоположна разомкнутой.
Знаете ли Вы, низкочастотные электромагнитные волны частотой менее 100 КГц коренным образом отличаются от более высоких частот падением скорости электромагнитных волн пропорционально корню квадратному их частоты от 300 тыс. км/с при 100 кГц до примерно 7 тыс км/с при 50 Гц.
Стоячей волны явление в результате одновременного распространения в противоположных направлениях нескольких волн одной и той же частоте и той же амплитуды, в одной и той же физической среде, которая формирует фигуру из которых некоторые элементы фиксируются во времени. Вместо того, чтобы видеть там распространяющуюся волну, в каждой наблюдаемой точке отмечаются стационарные колебания, но разной интенсивности. Характерные неподвижные точки называются узлами давления.
Стоячая волна представляет собой суперпозицию двух бегущих волн с противоположными направлениями распространения.
Резюме
Подробности
Стоячая волна: красные точки - узлы
Стоячая волна (черным цветом) показана как сумма двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях (красным и синим).
Векторы электрической силы (E) и магнитной силы (H) электрической стоячей волны
Стоячие волны в струне - основная частота и первые шесть парциальных.
Высшая гармоника с двумя пересекающимися узловыми линиями посередине барабана.
2 L знак равно нет λ
или, другими словами,
с длиной шнура, длиной волны, оседающей в шнуре, и количеством животов. L λ нет
Частоты, на которых они устанавливаются, называются гармоническими модами колебаний и зависят от струны и приложенного к ней напряжения, и все они кратны целому числу и наименьшей частоте, на которой колеблется струна. То есть :, с частотой гармонического режима ранга , ранга гармоники и на частоте основной моды колебаний струны. ж нет знак равно нет ж 0 = nf_ > ж нет > нет нет ( нет ∈ НЕТ ) )> ж 0 <\ displaystyle f_ >
Примеры
Стоячие волны могут влиять на все вибрационные явления: механические, звуковые, оптические , электромагнитные и т. Д. Их можно выделить разными способами: вибрирующие струны, трубка Кундта , звуковые или световые помехи и т. Д.
Среда, на которую воздействуют стоячие волны, может быть одно-, двух- или трехмерной ; Вот некоторые примеры :
Допустим, что монохроматические волны могут интерферировать, при этом распространяются они навстречу друг другу, в такой ситуации образуются стоячие волны. В электромагнитной стоячей волне существует возможность пространственного разделения электрического и магнитного полей. Что позволяет исследовать их свойства по отдельности.
Свет действует на вещество силами, которые действуют на электроны со стороны электрических и магнитных полей. Первая из этих сил, равная $<\overrightarrow
Получить стоячие световые волны долго не удавалось в связи с малой длинной волны. Первым получил стоячие световые волны О. Винер в 1890 г.
Колебания вектора напряженности электрического поля в стоячей световой волне
где знак минус около произведения $kz$ означает то, что волна $E_1$ распространяется по оси $Z$, знак плюс говорит о том, что волна $E_2\ $распространяется против оси $Z$. $\delta $ - сдвиг фаз. В результате появляется суммарная волна, которая подчиняется принципу суперпозиции, ее напряженность равна:
Волна, представленная выражением (3) бегущей не является, так как не имеет характерного для бегущей световой волны множителя вида $t\pm \frac$. При этом выражение $_0\right)\ >$ можно принять (с точностью до знака) за изменяющуюся по гармоническому закону амплитуду колебаний напряженности поля волны. Напряженность во всех точках меняется с одинаковой частотой и в одной фазе, что показывает множитель $\right)\ >.\ $Выражение (3) - уравнение стоячей волны.
Готовые работы на аналогичную тему
В точках на оси $Z$, которые удовлетворяют условию:
напряженность $E\equiv 0$. Эти точки называют узлами.
Точки, в которых выполняется равенство:
называют пучностями, в них амплитуда напряженности поля максимальна. Расстояние между узлами (минимумами) (пучностями (максимумами)) ($\triangle z$) получают из условия:
и оно равно $\frac<\lambda >бегущей$ волны:
Различие между стоячей волной и бегущей в том, что во всех точках стоячей волны колебания напряженности электрического поля в момент времени $t$ происходят в одной фазе. Для бегущей волны фазы колебаний $\overrightarrow$ не совпадают. Так, у стоячей волны существует момент времени, в который напряженность E во всех точках оси $Z$ становится равной нулю.
Колебания вектора магнитной индукции в стоячей световой волне
Вектор магнитной индукции ($\overrightarrow$) полей волн, как и вектор $\overrightarrow$ можно найти, используя принцип суперпозиции. Как известно, векторы $\overrightarrow$, $\overrightarrow$, $\overrightarrow$ волны образуют правую винтовую тройку векторов, тогда, если волны распространяется вдоль оси $Z$, векторы $\overrightarrow$ и $\overrightarrow$ можно выразить, используя формулы (1) и (2) как:
Знак минус в правой части выражения (9) учитывает то, что правовинтовая тройка векторов составляется вектором $\overrightarrow$ по направлению оси $X$, вектором $\overrightarrow$ в против направления оси $Y$, волновым вектором в отрицательном направлении оси $Z$. Индукция результирующего поля двух световых волн будет:
Выражение (10) показывает, что $\overrightarrow$ образует стоячую волну, узлы которой совпадают с пучностями стоячей волны $\overrightarrow.$ Как известно, векторы $\overrightarrow$ и $\overrightarrow$ лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях.
При сравнении выражений (3) и (10) можно сделать вывод о том, что колебания во времени электрического и магнитного полей в стоячей световой волне различаются по фазе на $\frac$ периода.
Энергия в стоячей световой волне
Плотность потока энергии определяет вектор Умова - Пойнтинга ($\overrightarrow$):
Значит, в точках, где $\overrightarrow=0\ или\ \overrightarrow=0$ (узлы и пучности) потока энергии нет, так как пучность напряженности $\overrightarrow$ совпадает узлом $\overrightarrow$ (узлом $\overrightarrow$) и наоборот. Получается, что энергия в течение некоторого времени перемещается между соседними узлами и пучностями, переходя из энергии магнитного поля в энергию электрического поля и обратно. То есть энергия стоячей волны, находящаяся между соседними узлами и пучностями не сохраняется во времени.
Задание: Определите координаты пучностей для электрического вектора $\overrightarrow$ стоячей плоской световой волны, если она образуется как суперпозиция двух плоских монохроматических световых волн, имеющих амплитуды $E_0$, распространяющихся вдоль оси $X$ в противоположных направлениях. Считайте, что начальные фазы волн равны нулю.
Решение:
Запишем уравнения колебаний вектора $\overrightarrow$ в волнах, которые описаны в задаче по оси:
волна, движущая против оси:
Сумма этих волн будет выглядеть как:
Условие возникновения пучностей в результирующей волне:
Соответственно, координатами пучностей станут:
Ответ: $x_=\pm m\frac<\lambda >\ \left(m=0,1,2\dots \right).$
Задание: Определите координаты узлов для магнитного вектора $\overrightarrow$ стоячей плоской волны, если она образуется как суперпозиция двух плоских монохроматических световых волн, имеющих амплитуды $H_0$, распространяющихся вдоль оси X в противоположных направлениях. Считайте, что начальные фазы волн равны нулю.
Решение:
Запишем уравнения колебаний вектора $\overrightarrow$ в волнах, которые описаны в задаче по оси:
волна, движущая против оси:
Сумма этих волн будет выглядеть как:
Условия минимумов (узлов) запишем следующим образом:
Соответственно координаты узлов будут:
Ответ: $x_=\pm m\frac<\lambda >\left(m=0,1,2\dots \right).$ Исходя из полученных результатов примера 1 и примера 2, можно сделать вывод том, что пучности $\overrightarrow$ совпадают с узлами $\overrightarrow$.
Цель проекта: определение длины звуковой волны по заданной частоте.
Задачи проекта: 1. провести теоретическое исследование явления стоячей волны; 2. сконструировать индикатор звукового давления, позволяющий визуально наблюдать данное явление и определять длину волны по заданной частоте.
Методы конструкторско-исследовательской работы: теоретический (изучение теории явления образования стоячей волны; установление хронологии открытий, связанных с явлением стоячих волн);
эмпирический (конструирование индикатора звукового давления и определение длины звуковой волны).
Для решения поставленных задач проекта предлагалось провести теоретическое исследование явления стоячей волны, а затем сконструировать индикатор давления, позволяющий визуально наблюдать явление стоячих волн и определять частоту по наблюдаемой длине волны.
Проведенное теоретическое исследование позволило установить хронологию открытий явлений, связанных со стоячими волнами:
1858 год – Джон Ле Конт открыл чувствительность пламени к звуку;
1862 год – Рудольф Кёниг показал зависимость высоты пламени от посылаемого звука в источник газа;
1866 год – Август Кундт продемонстрировал акустические стоячие волны, поместив мелкие пробковые опилки в стеклянную трубу (при создании звуковой волны в трубе из опилок сформировались кучки, отстоящие на равных расстояниях);
1901 год – Бен провел эксперимент, показывающий, что маленькое пламя может служить чувствительным индикатором давления;
1904 год – Генрих Рубенс, используя эти два эксперимента, просверлил в четырехметровой трубе 200 маленьких отверстий с шагом 2 см, и заполнил горючим газом (после поджигания пламени звук, подведённый к концу трубы, создаёт стоячую волну с длиной волны, эквивалентной длине волны подводимого звука, рис. 1).
Рис. 1. Трубка Рубенса по демонстрации визуальных акустических стоячих волн. 1 – баллон с газом, 2 – клапан, 3 – металлическая трубка с отверстиями, 4– мембрана, 5 – громкоговоритель, 6 – тон-генератор
Теоретическое обоснование явления стоячих волн. Две волны, приходящие в какую-либо точку пространства, обладают постоянной разностью фаз, такие волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции. Интерференция наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении от преград. Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную, происходит сложение колебаний противоположных направлений, в результате чего получается узел (рис. 2).
Рис. 2. Вид стоячей волны с образованными пучностями и узлами
Теоретическое значение проведенного исследования состоит в изучении явления стоячей волны и выявлении зависимости длины волны от заданной частоты.
Конструирование визуального индикатора давления (трубы Рубенса). Для визуального наблюдения стоячей волны был сконструирован индикатор, работа которого основана на связи между звуковыми волнами и давлением газа (рис. 3).
Рис. 3. Ян Пухаев со сконструированным индикатором визуального наблюдения стоячей волны
Конструирование осуществлялось в следующей последовательности:
1. отрезок трубы был перфорирован по всей длине и запечатан с обоих концов;
2. один конец подключается к динамику, а второй — к источнику горючего газа (баллону с пропаном);
3. включается динамик.
Труба заполняется горючим газом, который просачиваясь через отверстия, горит (рис. 4). При использовании постоянной частоты в пределах трубы формируется стоячая волна. Когда динамик включен, в трубе формируются области повышенного и пониженного давления. Там, где благодаря звуковым волнам находится область повышенного давления, через отверстия просачивается больше газа и высота пламени больше. Визуализация стоячей волны позволяет измерить при помощи линейки длину волны (расстояние между пиками).
Рис. 4. Визуализация стоячей волны при помощи сконструированного индикатора давления
С помощью созданного визуального индикатора давления реализована задача измерения длины волны (расстояние между пиками).
Теоретические значения длины волны получены по формуле:
где θ– скорость движения звуковой волны, υ – частота. В трубе у меня находился пропан. Скорость движения звука в газе рассчитана по формуле:
где γ – показатель адиабаты (для многоатомных газов показатель адиабаты равен 4/3), R – универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж?(моль•К).
Опыт проводился при температуре 200 С, поэтому T=293 К. Молярная масса пропана 44,1 10-3 кг/моль. Подставив значения в формулы, определили, что скорость движения звука в пропане равна 271 м/с.
Для подачи сигнала определённых частот на визуальный индикатор использовалась программа – генератор звуковых частот [].
Читайте также: