Как сделать проекцию точки на прямую

Добавил пользователь Евгений Кузнецов
Обновлено: 05.10.2024

Он лайн решение нахождения проекциии точки на прямую.

Проеция заданной точки А на прямую, это такая точка Б на прямой, что новая прямая, проходящая через точки А и Б, пересекает заданную под прямым углом.

Такое определение, непохоже, на стандартное, но тем не менее дает понимание как эту точку находить.

Для этого Вам надо знать всего одно правило.

Таким образом зная уравнение одной прямой, находим k₁ после чего находим k₂ и уравнение второй прямой.

Точка пересечения этих двух прямых и будет является точкой проеции.

Как находить точку пересечения двух прямых? ну хотя бы как решение системы линейных уравнений.

Кто то скажет, есть другой путь, и проще и лучше.

Возможно. Я лишь пытаюсь рассказать что обладая отнюдь не энциклопедическими знаниями, и не запоминая "еще одну" формулу, вполне решать самые разнообразные задачи.

--> Онлайн решение нахождения проекции точки на прямую на декартовой плоскости. | проекция, прямая, точка, линия

построена с использованием: - способа плоскопараллельного перемещения: Способ плоскопараллельного перемещения; Плоскопараллельное перемещение треугольника - теоремы о проецировании плоского угла: Прямые; Проекции плоских углов.

На прямой m найти точку K равноудаленную от концов отрезка AB

В приведенной задаче также звучит тема проекция точки на прямую. Первоначально вырабатываем план решения задачи, основанный на ряде соображений по условию задачи: - на самом отрезке находим точку D, равноудаленную о его концов; - точки равноудаленные от концов отрезка будут располагаться в плоскости α перпендикулярной ему и проходящей через точку D: - проводим через точку D горизонталь h ⊥ m и фронталь f ⊥ m, затем находим αH и αV следы плоскости α; - искомая точка K будет найдена в пересечении прямой m с плоскостью α: - через прямую m проводим вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость γ(γH, γV); - строим линию пересечения 1-2 плоскостей α и γ; - находим проекции искомой точки K сначала K" в пересечении прямой m" и 1"-2", затем K` в пересечении линии проекционной связи и m`.

Прямая на чертеже может быть задана изображением прямой, точкой и направлением, отрезком прямой и двумя пересекающимися плоскостями.

а б
Рисунок 2.1 – Проекции прямой

Прямоугольной проекцией отрезка в общем случае является отрезок (второе свойство центрального и параллельного проецирования). На чертеже прямая m (Рисунок 2.1, а) и отрезок АВ (Рисунок 2.1, б) произвольно наклонены к плоскостям проекций. Такие прямые называются прямыми общего положения.

Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения .

Длина прямоугольной параллельной проекции отрезка общего положения всегда меньше длины самого отрезка.

2.2. Прямые частного положения

Прямая, параллельная или перпендикулярная какой-либо плоскости проекций, называется прямой частного положения .

Прямые, параллельные плоскостям проекций, называются прямыми уровня .

Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной прямой или горизонталью (Рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 – Эпюр горизонтали

Если отрезок параллелен плоскости проекций π₁, то его фронтальная проекция А₂В₂ параллельна оси проекций π₁/π₂, а горизонтальная проекция отрезка А₁В₁ определяет истинную величину АВ:

Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной прямой или фронталью (Рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 – Эпюр фронтали

Если отрезок параллелен плоскости проекций π₂, то его горизонтальная проекция параллельна оси проекций π₂/π₁, а фронтальная проекция отрезка C₂D₂ определяет истинную величину CD.

Прямая GH, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой (Рисунок 2.4).

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими .

Прямая EF, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально-проецирующей (Рисунок 2.4).

Прямая KL, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций, называется фронтально-проецирующей (Рисунок 2.4).

Прямая MN, перпендикулярная профильной плоскости проекций, называется профильно-проецирующей (Рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 – Эпюры проецирующих прямых (EF, KL, MN) и профильной прямой GH

2.3. Метод прямоугольного треугольника

Метод прямоугольного треугольника позволяет по эпюру отрезка прямой общего положения определить его истинную величину.

Рассмотрим положение отрезка АВ относительно горизонтальной плоскости проекций π₁ (Рисунок 2.5).

Рисунок 2.5 – Определение истинной величины отрезка общего положения

На рисунке 2.5, а:

АА₁ – расстояние от точки А до плоскости проекций π₁;

ВВ₁ – расстояние от точки В до плоскости проекций π₁;

ΔАКВ – прямоугольный треугольник, в котором:

ВК=ВВ₁–АА₁=Δ₁ – второй катет, равный разности расстояний от концов отрезка АВ до плоскости π₁ (то есть, разности координат Z точек А и В);

АВ – гипотенуза ΔАКВ – истинная величина.

При известных координатах концов отрезка общего положения можно на эпюре определить его истинную величину (Рисунок 2.5, б) на любой из плоскостей проекций.

Рисунок 2.6 – Определение истинной длины и угла наклона отрезка AB к плоскости проекций π₂

2.4. Точка и прямая

Если точка принадлежит прямой, то её проекции:

Принадлежат одноимённым проекциям данной прямой;
Лежат на одной линии связи.

Рисунок 2.7 – Принадлежность точки прямой
Точка С принадлежит отрезку АВ (Рисунок 2.7), так как:

Если точка делит отрезок в каком-либо отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции данного отрезка в том же отношении:

Упражнение

Разделить точкой К отрезок EF в соотношении EK:KF=1:3 (Рисунок 2.8)

Рисунок 2.8 – Деление отрезка в заданном отношении
Решение:

Проведём произвольную прямую из любого конца любой проекции отрезка, например, Е₂.
Отложим на этой прямой от точки Е₂ равные отрезки, количество которых равно сумме чисел, составляющих дробь (в нашем примере 1+3=4).
Соединим последнюю точку 4 с другим концом фронтальной проекции отрезка – точкой F₂.
Из точки 1 проведём прямую, параллельную прямой (4—F₂) до пересечения с проекцией E₂F₂, таким образом будет найдена фронтальная проекция искомой точки К₂.
Горизонтальную проекцию точки К₁ получим путём построения линии проекционной связи до пересечения её с горизонтальной проекцией отрезка.

Упражнение

Определить принадлежность точки С отрезку прямой АВ (Рисунок 2.9).

Рисунок 2.9а – Решение упражнения 2. Способ 1.

Рисунок 2.9б – Решение упражнения 2. Способ 2.

Ответ: точка С не принадлежит отрезку АВ, так как не выполняется условие принадлежности точки прямой.

2.5. Следы прямой

След прямой – точка пересечения прямой с плоскостью проекций.

Прямая общего положения в общем случае может быть три следа:

горизонтальный след M₁– точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций π₁;
фронтальный след N₂– точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций π₂;
профильный след L₃ – точка пересечения прямой с профильной плоскостью проекций π₃.

След прямой является точкой частного положения, поскольку он принадлежит плоскости проекций, следовательно, след прямой всегда совпадает с одной из своих проекций:

горизонтальный след совпадает со своей горизонтальной проекцией M≡M₁,
фронтальный – с фронтальной проекцией N≡N₂,
профильный – с профильной проекцией L≡L₃ (Рисунок 2.10).

Рисунок 2.10 – Построение следов отрезка прямой АВ

Построим следы отрезка АВ с плоскостями проекций (Рисунки 2.10, 2.11).

Для построения горизонтального следа прямой АB необходимо:

Продолжить фронтальную проекцию прямой АB до пересечения с осью X, точка пересечения М₂ является фронтальной проекцией горизонтального следа;
Из точки М₂ провести линию проекционной связи до его пересечения с горизонтальной проекцией прямой АB или её продолжением. Точка пересечения М₁ и будет являться горизонтальной проекцией горизонтального следа, которая совпадает с самим следом М.

Чтобы построить фронтальный след отрезка АB прямой, необходимо:

Продолжить горизонтальную проекцию прямой АB до пересечения с осью X, точка пересечения N₁ является горизонтальной проекцией фронтального следа;
Из точки N₁ провести линию проекционной связи до его пересечения с фронтальной проекцией прямой АB или ее продолжением. Точка пересечения N₂ и будет являться фронтальной проекцией фронтального следа, которая совпадает с самим следом N.

Ниже приводим алгоритм построения следов отрезка прямой АВ:

Рисунок 2.11 – Эпюр построения следов отрезка прямой АВ

Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, не имеет следа на плоскости, которой она параллельна, и пересекает только две плоскости. Прямая, параллельная двум плоскостям проекций (проецирующая прямая), имеет только один след, совпадающий с проекцией прямой на плоскость, к которой она перпендикулярна.

2.6. Взаимное расположение прямых

Две прямые в пространстве могут быть:

параллельными;
пересекающимися;
скрещивающимися.

Параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке.

Если прямые в пространстве параллельны, то их ортогональные проекции взаимно параллельны, или сливаются, или представляют собой точки, на одной из плоскостей проекций (Рисунок 2.12).

Рисунок 2.12 – Параллельные прямые
Пересекающиеся прямые – прямые, имеющие одну общую точку.

Если прямые в пространстве пересекаются, то на чертеже одноименные проекции прямых пересекаются, при этом проекции точки пересечения прямых лежат на одной линии проекционной связи и делят соответствующие проекции отрезков прямых в равных отношениях (Рисунок 2.13).

Рисунок 2.13 – Пересекающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые – прямые, не имеющие общих точек и не удовлетворяющие признакам параллельных и пересекающихся прямых (Рисунок 2.14).

Рисунок 2.14 — Скрещивающиеся прямые

2.7. Проекции плоских углов

Угол между двумя пересекающимися прямыми проецируется в истинную величину, если плоскость этого угла параллельна плоскости проекций.

Рисунок 2.15

По проекциям (Рисунок 2.15) нельзя судить о величине угла между двумя прямыми. На чертежах видно, что острый угол может проецироваться в виде тупого, а тупой – в виде острого.

Теорема о проецировании прямого угла в частном случае

Теорема . Если одна из сторон прямого угла параллельна какой-либо плоскости, а другая – этой плоскости не перпендикулярна, то на эту плоскость прямой угол проецируется в виде прямого угла (Рисунок 2.16, а и б).

Обратная теорема . Если одна из двух пересекающихся прямых параллельна некоторой плоскости проекций и проекции этих прямых на эту же плоскость пересекаются под прямым углом, то в пространстве эти прямые взаимно перпендикулярны.

Рисунок 2.16 – Проецирование прямого угла

Дано: две пересекающиеся под прямым углом прямые АВ ⊥ ВС,

2.8. Задачи для самостоятельного решения

1. Построить отрезок прямой АВ // π₁, равный 35 мм и наклонённый к π₂ под углом 25° (Рисунок 2.17).

Рисунок 2.17

2. Построить отрезок прямой CD по координатам его концов С (20; 15; 30), D (70; 40; 15) и определить истинную величину отрезка и углы наклона его к плоскостям проекций π₂ и π₁.

3. Постройте проекции отрезков частного положения, расположенных под углом 30° к плоскости проекций π₁ и 45° — к плоскости проекций π₂.

4. Определите взаимное положение прямых и постройте пересечение прямых АВ и CD прямой EF//π₂/π₁ (Рисунок 2.18).

пожалуйста, помогите!
ну это кошмар просто.
Дана задача
НАЙТИ ПРОЕКЦИЮ ТОЧКИ М (-2;3) НА ПРЯМУЮ 2х+у-1=0
Я ее "решаю" уже шесть часов.
Если можете, пожалуйста, решите ее и покажите мне поэтапно весь процесс как можно наглядней!
Я не понимаю, почему у меня не получается.
Уже голова болит и психозы разбирают.
Под конец уравнения выходят какие-то неправильные у меня. Где я ошибаюсь, мне необходимо это выяснить, тк надо решить еще очень много.

я не поняла.
найденная вами точка лежит в 4 квадранте.
заданная точка М во втором квадранте. то есть найденная прямая не может быть перпендикулярна заданной уравнением, тк
из заданного уловием уравнения прямой я получила, что прямая лежит по точкам (0,5;0) и (0;1)
тут то я как сумела ошибиться?
при постановке вместо 0 и 1 2 и 3 выходят тоже точки на этой же прямой.. .

Точка М лежит на прямой. подставьте в уравнение вместо х (-2) и получите значение у=3.
Посмотрите еще здесь.

(-1.2; 3.4) только я не стал ничего вычислять - графически проще. буквально минуту занял поиск решения.

да я б с удовольствием именно так и сделала. . но суть задания в вычислении. преподаватель даже сказал, что ни один из графиков можно не рисовать. ему главное увидеть в результате вычислений ответ.

Читайте также: