Как сделать осевую симметрию
Добавил пользователь Евгений Кузнецов Обновлено: 04.10.2024
В природе симметрия встречается очень часто. Ее можно наблюдать в расположении органов у животных, в строении листьев и цветов растений, во взмахе крыльев, одним словом везде. А человек взял на вооружение этот инструмент, и использует его и в проектировании сложных объектов, и в искусстве, а так же в других сферах деятельности. Различают осевую и центральную симметрию, а чтобы разобраться какая между ними разница, надо изучить рисунки из этой статьи.
Осевая симметрия.
Рисунок яблока в симметрии.
Центральная симметрия — симметрия относительно точки.
У равностороннего треугольника три оси симметрии.
На тетрадном листочке.
Зеркальное отражение.
Квадрат имеет четыре оси симметрии.
Центральная симметрия в квадратах.
Ось симметрии в творчестве.
Осевая симметрия.
Относительно одной точки. Все отрезки равны.
Симметрия относительно прямой.
Ось — воображаемая линия, делящая тело на две равные половины.
В художестве.
В этом видеоуроке мы введём понятие симметрии. Сформируем представления о симметричных точках и фигурах относительно точки и прямой. Научимся строить симметричные относительно точки и прямой фигуры. Рассмотрим осевую и центральную симметрии. Рассмотрим симметрию в окружающем нас мире.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Осевая и центральная симметрии"
Представим себе такую историю…
– Саша, чем ты занимаешься? – спросил у друга Паша.
– Я разгадываю ребус, – ответил Саша. – Учитель математики сказал, что, разгадав его, мы узнаем, о чём будем говорить на следующем уроке. Хочешь разгадаем его вместе?
– С удовольствием! – сказал Паша.
– Смотри, первая картинка в ребусе – лиса, но она перевёрнута, – начал Саша.
– Это цирк, – ответил Паша. – Но картинка перевёрнута.
– Но не забудь про запятые перед и после этой картинки, – заметил Паша.
– Значит, на следующем уроке математики мы будем говорить о симметрии, – сделал вывод Паша и предложил, – но давай прежде поговорим о ней с Мудряшом.
– Ребята, прежде чем мы с вами поговорим, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.
– Теперь сверимся! – сказал Мудряш. – Посмотрите, что у вас должно было получиться!
– А сейчас вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Ребята, в 5 классе вы уже познакомились с симметричными фигурами.
– Точно, – вспомнил Саша. – Это фигуры, которые имеют ось симметрии.
– Верно, – сказал Мудряш. – Также вспомним, что ось симметрии – это прямая (или воображаемая линия), которая делит геометрическую фигуру на две зеркально одинаковые фигуры.
– То есть прямая l является осью симметрии для этой фигуры, – сделал вывод Паша.
– И эта фигура является симметричной относительно прямой l, – добавил Саша.
– Правильно, – отметил Мудряш. – Теперь посмотрите на следующий рисунок. На нём изображены прямая l и треугольник . Представим, что этот треугольник нарисован чернилами. Тогда перегнув лист бумаги по прямой l, треугольник оставит отпечаток, и мы получим треугольник, который назовём .
Теперь соединим точки и , и , и . Заметим, что отрезки , и перпендикулярны прямой l. И прямая l делит каждый из этих отрезков пополам.
Запомните! Точки и называют симметричными относительно прямой l, если прямая l перпендикулярна отрезку и делит его пополам.
– Получается, что точки и , и , и симметричны относительно прямой l? – спросил Саша.
– Верно, – ответил Мудряш и продолжил, – пусть нам дана точка и прямая l. Давайте построим точку, симметричную точке относительно прямой. l Через точку проведём прямую , перпендикулярную прямой l. Для этого воспользуемся угольником. Пересечение прямых и l обозначим точкой О. Затем отложим на прямой отрезок , равный отрезку . Таким образом, мы построили точку симметричную точке относительно прямой l.
– Построить точку, симметричную данной, совсем не сложно. А вот как построить, например, треугольник, симметричный треугольнику относительно прямой l? – спросили у Мудряша мальчишки.
– Для этого нам надо в первую очередь построить точки, симметричные точкам , и относительно прямой l, – начал объяснять Мудряш. – Построим точку , симметричную точке относительно прямой l, точку , симметричную точке относительно прямой l, и точку , симметричную точке также относительно прямой l. Соединим эти точки отрезками и получим треугольник .
– Он и будет симметричным треугольнику ? – спросил Саша.
– Да, – ответил Мудряш. – Треугольники и называют симметричными относительно прямой l.
– Мне кажется, что эти треугольники равны, – заметил Паша.
– Это так, – сказал Мудряш. – Запомните! Любые две фигуры, симметричные относительно некоторой прямой, равны.
Посмотрите на фигуру. Прямая l – ось симметрии этой фигуры. Каждая её точка, не лежащая на оси симметрии, имеет симметричную себе точку.
Итак, мы с вами поговорили об осевой симметрии. Теперь давайте рассмотрим центральную симметрию.
Посмотрите на следующий рисунок. Здесь точка О является серединой отрезка . Тогда можно сказать, что точки и симметричны относительно точки О.
Запомните! Точки и называют симметричными относительно точки О, если точка О является серединой отрезка .
Давайте построим точку, симметричную точке относительно точки О. Для этого проведём луч . Затем отложим на этом луче отрезок , равный отрезку . Тогда точки и симметричны относительно точки .
– А можно ли построить треугольник, симметричный, например, треугольнику относительно точки О? – спросили у Мудряша Саша и Паша.
– Конечно, можно, – ответил Мудряш. – Для этого мы построим точку , симметричную точке относительно точки О, точку , симметричную точке относительно точки О, и точку , симметричную точке также относительно точки О.
– Теперь соединим точки , и отрезками и получим треугольник , – сказал Саша.
– И этот треугольник является симметричным треугольнику относительно точки О, – добавил Паша.
– Молодцы! – похвалил мальчишек Мудряш.
– Эти треугольники равны, – заметил Паша.
– Верно, – сказал Мудряш. – Запомните! Любые две фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.
Ребята, а теперь давайте с вами посмотрим на окружность с центром в точке О. Проведём диаметр . Диметр состоит из двух радиусов: и . Мы знаем, что все радиусы одной окружности равны между собой, а значит, отрезок равен отрезку . Следовательно, точки и симметричны относительно точки О.
Таким образом, все точки окружности можно разбить на пары точек, симметричных относительно центра этой окружности.
Говорят, что точка О – центр симметрии окружности.
– А какие ещё геометрические фигуры имеют центр симметрии? – спросили мальчишки.
– Например, отрезок имеет центр симметрии – точку О, которая является его серединой. Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения его диагоналей. У квадрата центром симметрии также является точка пересечения его диагоналей, – привёл примеры Мудряш.
С симметрией вы постоянно встречаетесь в повседневной жизни. Люди используют симметрию в орнаментах, предметах быта, архитектуре, технике.
Симметрия также встречается в природе. Например, в форме цветов и листьев растений, в форме кристаллов и снежинок, в порхающей бабочке и хвосте павлина.
Симметрия создаёт ощущение соразмерности, порядка, гармонии.
– Ребята, а сейчас давайте выполним несколько заданий, – предложил Мудряш.
Задание первое: проверьте с помощью угольника и линейки, симметричны ли относительно прямой l точки.
Решение: проверим, симметричны точки и или нет. Для этого воспользуемся определением. Соединим точки и и проверим с помощью угольника, перпендикулярна ли прямая l отрезку . Прямая l перпендикулярна отрезку . Теперь с помощью линейки проверим, делит ли прямая l отрезок пополам. Прямая l делит отрезок на два равных отрезка. Следовательно, точки и симметричны относительно прямой l.
Теперь проверим, симметричны ли точки и . Соединим их. С помощью угольника проверим, перпендикулярна ли прямая l отрезку . Прямая l перпендикулярна отрезку . Затем с помощью линейки проверим, делит ли прямая l отрезок пополам. Отрезки не равны, а значит, точки и не симметричны относительно прямой l.
И проверим, симметричны ли точки и . Соединим их. Приложим угольник к точке пересечения отрезка с прямой l и увидим, что они не перпендикулярны. А значит, точки и не симметричны относительно прямой l, хотя прямая делит отрезок пополам.
Второе задание: проверьте с помощью линейки, симметричны ли относительно точки О точки и , и .
Решение: чтобы проверить, симметричны точки и относительно точки О, воспользуемся определением. Соединим точки и и с помощью линейки проверим, является ли точка О серединой отрезка . Видим, что отрезки и не равны, а значит, точки и не симметричны относительно точки О.
Теперь соединим точки и . Приложим к отрезку линейку. Видим, что отрезки и равны, следовательно, точки и симметричны относительно точки О.
И ещё одно задание: начертите отрезок и отметьте точку вне этого отрезка. Постройте отрезок, симметричный отрезку относительно точки . Сравните полученный отрезок и отрезок .
Решение: начертим с помощью линейки отрезок , равный 5 см. Отметим точку вне этого отрезка. Чтобы построить отрезок, симметричный данному относительно точки , мы в первую очередь построим точки, симметричные точкам А и БЭ относительно точки .
Проведём луч и отложим на нём отрезок , равный отрезку . Затем проведём луч и отложим на нём отрезок , равный отрезку . Таким образом мы построили точки и , симметричные соответственно точкам и относительно точки .
Теперь соединим точки и и получим отрезок . Этот отрезок симметричен отрезку относительно точки .
Давайте с помощью линейки измерим полученный отрезок. Видим, что его длина равна пяти сантиметрам, а значит, отрезок равен отрезку и равен 5 см.
Материал предназначен для учащихся 7-9 классов. Работа представляет собой презентацию с краткой теорией и наглядным представлением способов построения фигур симметричных данным. Ознакомившись с работой учащиеся смогут применять данные виды симметрии для построений, научатся видеть симметрию в окружающем мире.
Определение
Симметрия (от греч. Symmetria – соразмерность), в широком смысле – неизменность структуры материального объекта относительно его преобразований. Симметрия играет огромную роль в искусстве и архитектуре. Но ее можно заметить и в музыке, и в поэзии. Симметрия широко встречается в природе, в особенности у кристаллов, у растений и животных. Симметрия может встретиться и в других разделах математики, например при построении графиков функций .
Две точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О , если О - середина отрезка АА 1. точка О считается симметричной самой себе.
Построение точки, центрально-симметричной данной
- Построить луч АО
- Измерить длину отрезка АО
- Отложить на луче АО по другую сторону от точки О отрезок ОА 1 , равный отрезку ОА.
- Точка А1 симметрична точке А относительно центра О.
Построение отрезка, центрально-симметричного данному
- Построить луч АО
- Измерить длину отрезка АО
- Отложить на луче АО по другую сторону от точки О отрезок ОА 1 , равный отрезку ОА.
- Построить луч ВО
- Измерить длину отрезка ВО
- Отложить на луче ВО по другую сторону от точки О отрезок ОВ 1 , равный отрезку ОВ.
- Соединить точки А 1 и В 1 отрезком
Построение фигуры, центрально-симметричной данной
Центрально-симметричные фигуры равны
Построение фигуры, центрально-симметричной данной
Поворот точки А вокруг центра поворота О на 90 °
Повороты точек на различные углы
Фигуры, имеющие центр симметрии:
Осевая симметрия
Преобразование фигуры F в фигуру F 1, при котором каждая ее точка переходит в точку, симметричную относительно данной прямой, называется преобразованием симметрии относительно прямой а . Прямая а называется осью симметрии .
Построение точки, симметричной данной
Построение отрезка, симметричного данному
3. А ’ В ’ – искомый отрезок.
Построение треугольника, симметричного данному
3. СС ’ c С O”=O” С ’
4. A’B’ С ’ – искомый треугольник.
Построение фигуры, симметричной данной относительно оси симметрии
Фигуры, обладающие одной осью симметрии
Фигуры, обладающие двумя осями симметрии
Фигуры, имеющие более двух осей симметрии
Фигуры, не обладающие осевой симметрией
Заключение Симметрия многолика. Она обладает свойствами, которые одновременно и просты, и сложны, способны проявляться и единожды, и бесконечно много раз
Отображение плоскости называется движением плоскости, если при этом отображении сохраняются расстояния.
Существуют несколько теорем, связанных с этим понятием.
Отрезок, при движении, переходит в равный ему отрезок.
Треугольник, при движении, переходит в равный ему треугольник.
Любая фигура, при движении, переходит в равную ей фигуру.
Осевая и центральная симметрия являются примерами движения. Рассмотрим их более подробно.
Осевая симметрия
Точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно прямой $a$, если эта прямая перпендикулярна к отрезку $_1$ и проходит через его центр (рис. 1).
Рассмотрим осевую симметрию на примере задачи.
Построить симметричный треугольник для данного треугольника относительно какой-либо его стороны.
Решение.
Пусть нам дан треугольник $ABC$. Будем строить его симметрию относительно стороны $BC$. Сторона $BC$ при осевой симметрии перейдет в саму себя (следует из определения). Точка $A$ перейдет в точку $A_1$ следующим образом: $_1\bot BC$, $_1$. Треугольник $ABC$ перейдет в треугольник $A_1BC$ (Рис. 2).
Фигура называется симметричной относительно прямой $a$, если каждая симметричная точка этой фигуры содержится на этой же фигуре (рис. 3).
Готовые работы на аналогичную тему
На рисунке $3$ изображен прямоугольник. Он обладает осевой симметрией относительно каждого своего диаметра, а также относительно двух прямых, которые проходят через центры противоположных сторон данного прямоугольника.
Центральная симметрия
Точки $X$ и $X_1$ называются симметричными относительно точки $O$, если точка $O$ является центром отрезка $_1$ (рис. 4).
Рассмотрим центральную симметрию на примере задачи.
Построить симметричный треугольник для данного треугольника какой-либо его вершины.
Решение.
Пусть нам дан треугольник $ABC$. Будем строить его симметрию относительно вершины $A$. Вершина $A$ при центральной симметрии перейдет в саму себя (следует из определения). Точка $B$ перейдет в точку $B_1$ следующим образом $_1$, а точка $C$ перейдет в точку $C_1$ следующим образом: $_1$. Треугольник $ABC$ перейдет в треугольник $_1C_1$ (Рис. 5).
Фигура является симметричной относительно точки $O$, если каждая симметричная точка этой фигуры содержится на этой же фигуре(рис. 6).
На рисунке $6$ изображен параллелограмм. Он обладает центральной симметрией относительно точки пересечения его диагоналей.
Пусть нам дан отрезок $AB$. Построить его симметрию относительно прямой $l$, не пересекающий данный отрезок и относительно точки $C$, лежащей на прямой $l$.
Решение.
Изобразим схематически условие задачи.
Изобразим для начала осевую симметрию относительно прямой $l$. Так как осевая симметрия является движением, то по теореме $1$, отрезок $AB$ отобразится на равный ему отрезок $A'B'$. Для его построение сделаем следующее: проведем через точки $A\ и\ B$ прямые $m\ и\ n$, перпендикулярно прямой $l$. Пусть $m\cap l=X,\ n\cap l=Y$. Далее проведем отрезки $A'X=AX$ и $B'Y=BY$.
Изобразим теперь центральную симметрию относительно точки $C$. Так как центральная симметрия является движением, то по теореме $1$, отрезок $AB$ отобразится на равный ему отрезок $A''B''$. Для его построения сделаем следующее: проведем прямые $AC\ и\ BC$. Далее проведем отрезки $A^C=AC$ и $B^C=BC$.
Читайте также: