Как сделать матрицу симметричной матлаб
Обновлено: 04.07.2024
Матрицы без нулевых значений называются полными матрицами. Матрицы, содержащие некоторое число элементов с нулевыми значениями, в MATLAB называются разреженными матрицами. Вообще говоря, разреженными называют те матрицы, для которых разумно использовать численные методы, учитывающие упрощение арифметических операций с нулевыми элементами (например, получение нуля при умножении на нуль или пропуск операций сложения и вычитания при использовании этих операций с нулевыми элементами матриц). Они широко используются при решении прикладных задач. Например, моделирование электронных и электротехнических линейных цепей часто приводит к появлению в матричном описании топологии схем сильно разреженных матриц. Для таких матриц создан ряд функций, обеспечивающих эффективную работу с ними и устраняющих тривиальные операции с нулевыми элементами матриц.
Вначале рассмотрим элементарные разреженные матрицы и относящиеся к ним функции системы MATLAB.
Функция spdiags расширяет возможности встроенной функции diag. Возможны четыре операции, различающиеся числом входных аргументов:
В MATLAB вы создаете матрицу, вводя элементы в каждой строке в виде чисел, разделенных запятыми или пробелами, и используя точки с запятой, чтобы отметить конец каждой строки.
Например, давайте создадим матрицу 4 на 5 a —
MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —
Ссылка на элементы матрицы
Для ссылки на элемент в m- й строке и n- м столбце матрицы mx мы пишем:
Например, чтобы обратиться к элементу во 2- й строке и 5- м столбце матрицы a , как создано в последнем разделе, мы набираем —
MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —
Для ссылки на все элементы в m- м столбце мы набираем A (:, m).
Создадим вектор-столбец v из элементов 4- й строки матрицы a —
MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —
Вы также можете выбрать элементы в столбцах с m по n, для этого мы напишем:
Давайте создадим меньшую матрицу, взяв элементы из второго и третьего столбцов —
Такое, что M-симметричная матрица (то есть A21=A12) и все диагональные члены равны (то есть A11=A22=A33=A44).
1 ответ
У меня есть данные матричного вида, хранящиеся в файле CSV, и они выглядят так, Я хочу, чтобы эта матрица 6 * 6 была симметричной матрицей, как это, Как использовать python (или matlab) для изменения матрицы n на n (квадратная матрица) на симметричную матрицу？ или есть другие инструменты , которые.
У меня есть верхняя треугольная часть Матрицы в R (без диагонали), и я хочу сгенерировать симметричную матрицу из верхней треугольной части (с 1 на диагонали, но это можно настроить позже). Обычно я делаю это вот так: res.upper
Используйте hankel , чтобы помочь вам создать симметричную матрицу, а затем, когда вы закончите, установите диагональные записи этого промежуточного результата в качестве первого элемента вектора в A :
Как вы можете видеть, M(i,j) = M(j,i) , за исключением диагонали, где каждый элемент равен A(1) .
Похожие вопросы:
Я хочу создать симметричную матрицу со сложными элементами в Matlab с помощью команды toeplitz. Однако если я предоставляю команде теплица сложные записи, она возвращает Эрмитову матрицу, то есть.
Я хочу использовать hclust для кластеризации данных. Но я не хочу использовать dist() для создания объекта dist. Затем я обнаружил, что не могу передать симметричную матрицу в качестве матрицы.
Я работаю в matlab . У меня есть вектор строки in и число scalar fuzzy_no . Я хочу создать матрицу output размера fuzzy_no x (numel(in)-fuzzy_no) . такой, чтобы ith col матрицы output имел элементы.
У меня есть данные матричного вида, хранящиеся в файле CSV, и они выглядят так, Я хочу, чтобы эта матрица 6 * 6 была симметричной матрицей, как это, Как использовать python (или matlab) для.
У меня есть верхняя треугольная часть Матрицы в R (без диагонали), и я хочу сгенерировать симметричную матрицу из верхней треугольной части (с 1 на диагонали, но это можно настроить позже). Обычно я.
есть ли простой способ создать разреженную симметричную случайную матрицу в Julia? Julia имеет команду sprand(m,n,d) который создает [разреженную] m-by-n случайную матрицу (плотности d) с IID.
В соответствии с операциями над векторами, умножение вектор-строки на вектор-столбец дает число, а умножение вектор-столбца на вектор-строку дает двумерную матрицу, что и является результатом вычислений в приведенном примере, т.е.
Сложение и вычитание двух векторов записывается так
a1 = [1 2 3 4 5];
a2 = [5 4 3 2 1];
c = a1+a2; % c = [1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1];
с = a2-a1; % c = [5-1, 4-2, 3-3, 2-4, 1-5];
Аналогичным образом выполняются операции умножения и сложения между матрицами:
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
B = ones(3);
C = A+B; % сложение двух матриц одинакового размера
D = A+5; % сложение матрицы и числа
E = A*B; % умножение матрицы А на В
F = B*A; % умножение матрицы В на А
G = 5*A; % умножение матрицы на число
Операции вычисления обратной матрицы, а также транспонирования матриц и векторов, записываются следующим образом:
a = [1 1 1]; % вектор-строка
b = a’; % вектор-столбец, образованный
% транспонированием вектора-строки а.
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; % матрица 3х3 элемента
B = a*A; % B = [12 15 18] – вектор-строка
C = A*b; % C = [6; 15; 24] – вектор-столбец
D = a*A*a’; % D = 45 – число, сумма эл-ов матрицы А
E = A’; % E – транспонированная матрица А
F = inv(A); % F – обратная матрица А
G = A^-1; % G – обратная матрица А
Из приведенного примера видно, что операция транспонирования матриц и векторов обозначается символом ‘ (апостроф), который ставится после имени вектора или матрицы. Вычисление обратной матрицы можно делать путем вызова функции inv() или возводя матрицу в степень -1. Результат в обоих случаях будет одинаковым, а два способа вычисления сделано для удобства использования при реализации различных алгоритмов.
Если в процессе вычислений требуется поэлементно умножить, разделить или возвести в степень элементы вектора или матрицы, то для этого используются операторы:
.* – поэлементное умножение;
./ и . – поэлементные деления;
.^ – поэлементное возведение в степень.
Рассмотрим работу данных операторов на следующем примере.
a = [1 2 3]; % вектор-строка
b = [3 2 1]; % вектор-строка
c = a.*b; % c = [3 4 3]
A = ones(3); % матрица 3х3, состоящая из единиц
B = [1 2 3;4 5 6; 7 8 9]; % матрица 3х3
C = A.*B; % матрица 3х3, состоящая из
D = A./B; % матрица 3х3, состоящая из
E = A.B; % матрица 3х3, состоящая из
F = A.^2; % возведение элементов матрицы А в квадрат
В заключении данного параграфа рассмотрим несколько функций полезных при работе с векторами и матрицами.
Для поиска максимального значения элемента вектора используется стандартная функция max(), которая возвращает найденное максимальное значение элемента и его позицию (индекс):
a = [1 6 3 4];
[v, i] = max(a); % v = 6, i = 2;
Приведенный пример показывает два разных способа вызова функции max(). В первом случае определяется и максимальное значение элемента и его индекс в векторе, а во втором – только максимальное значение элемента.
В случае с матрицами, данная функция определяет максимальные значения, стоящие в столбцах, как показано ниже в примере:
A = [4 3 5; 6 7 2; 3 1 8];
[V, I] = max(A); % V=[6 7 8], I = [2 2 3]
V = max(A); % V=[6 7 8]
Полный синтаксис функции max() можно узнать, набрав в командном окне MatLab команду
Аналогичным образом работает функция min(), которая определяет минимальное значение элемента вектора или матрицы и его индекс.
Другой полезной функцией работы с матрицами и векторами является функция sum(), которая вычисляет сумму значений элементов вектора или столбцов матрицы:
a = [3 5 4 2 1];
s = sum(a); % s = 3+5+4+2+1=15
A = [4 3 5; 6 7 2; 3 1 8];
S1 = sum(A); % S1=[13 11 15]
S2 = sum(sum(A)); % S2=39
При вычислении суммы S2 сначала вычисляется сумма значений элементов матрицы А по столбцам, а затем, по строкам. В результате, переменная S2 содержит сумму значений всех элементов матрицы А.
Для сортировки значений элементов вектора или матрицы по возрастанию или убыванию используется функция sort() следующим образом:
b1 = sort(a); % b1=[1 2 3 4 5]
b2 = sort(a, ‘descend’); % b2=[5 4 3 2 1]
b3 = sort(a, ‘ascend’); % b3=[1 2 3 4 5]
A = [4 3 5; 6 7 2; 3 1 8];
B1 = sort(A); % B1=[3 1 2
% 4 3 5
% 6 7 8]
B2 = sort(A, ‘descend’); % B2=[6 7 8
% 4 3 5
% 3 1 2]
Во многих практических задачах часто требуется найти определенный элемент в векторе или матрице. Это можно выполнить с помощью стандартной функции find(), которая в качестве аргумента принимает условие, в соответствии с которым и находятся требуемые элементы, например:
a = [3 5 4 2 1];
b1 = find(a == 2); % b1 = 4 – индекс элемента 2
b2 = find(a
= 2); % b2 = [1 2 3 5] – индексы без 2
b3 = find(a > 3); % b3 = [2 3]
В приведенном примере символ ‘==’ означает проверку на равенство, а символ ‘
=’ выполняет проверку на неравенство значений элементов вектора а. Более подробно об этих операторах будет описано в разделе условные операторы.
Еще одной полезной функцией работы с векторами и матрицами является функция mean() для вычисления среднего арифметического значения, которая работает следующим образом:
a = [3 5 4 2 1];
m = mean(a); % m = 3
A = [4 3 5; 6 7 2; 3 1 8];
M1 = mean(A); % M1 = [4.333 3.667 5.000]
M2 = mean(mean(A)); % M2 = 4.333
© 2020 Научная библиотека
Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт
1. Матрица строка. Указывается переменная, ставится знак присвоения и в квадратных скобках через запятую или пробел перечисляются элементы:
3. Квадратная или прямоугольная матрица:
>> C = [5 6 9; 56 45 73; 15,21,36];
4. Генерация вектора. Синтаксис: = : : . Если не указать шаг, то по умолчанию он принимается за 1.
5. Единичная матрица. Синтаксис: =ones( , ).
6. Нулевая матрица. Синтаксис: =zeros( , );
Доступ к ячейкам матрицы. Синтаксис: ( , ). Необходимо помнить, что нумерация строк и столбцов начинается с 1.
Операции с матрицами:
2. Сложение и вычитание матриц. Данная операция выполнима только с матрицами одинакового размера. При выполнении операции действие выполняется с соответствующими друг другу ячейками.
3. Произведение матриц. Производится последовательное умножение строки первой матрицы на столбец второй. Для реализации данной операции необходимо выполнение условия (количество строк первой матрицы ровно количеству столбцов во второй матрице). Матрица результата будет иметь столько же строк сколько и в первой матрице, и количество столбцов равное количеству столбцов во второй матрице.
4. Удаление отдельных столбцов или строк. Для удаления отдельных столбцов или строк матрицы используются: пустые квадратные скобки [] и оператор двоеточие (:).
>> C = [24 33 42; 34 47 60; 44 61 78]
1. Различные способы ввода матриц в пакете MatLab
Вводить небольшие по размеру матрицы удобно прямо из командной строки. Введите матрицу размерностью два на три
Для хранения матрицы используйте двумерный массив с именем A. При вводе учтите, что матрицу А можно рассматривать как вектор-столбец из двух элементов, каждый из которых является вектор-строкой длиной три, следовательно, строки при наборе отделяются точкой с запятой:
Для изучения простейших операций над матрицами приведем еще несколько примеров. Рассмотрим другие способы ввода. Введите квадратную матрицу размера три так, как описано ниже:
Начните набирать в командной строке
2 7 0
-5 1 2]
B =
4 3 -1
2 7 0
-5 1 2
Еще один способ ввода матриц состоит в том, что матрицу можно трактовать как вектор-строку, каждый элемент которой является вектор-столбцом. Например, матрицу два на три
можно ввести при помощи команды:
Посмотрите переменные рабочей среды, набрав в командной строке whos:
А 2×3 48 double array
В 3×3 72 double array
С 2×3 48 double array
Итак, в рабочей среде содержится три матрицы, две прямоугольные и одна квадратная.
2. Обращение к элементам матриц в пакете MatLab
Доступ к элементам матриц осуществляется при помощи двух индексов – номеров строки и столбца, заключенных в круглые скобки, например
Элементы матриц могут входить в состав выражений:
Расположение элементов матрицы в памяти компьютера определяет еще один способ обращения к ним. Матрица А размера m на n хранится в виде вектора длины mn, в котором элементы матрицы расположены один за другим по столбцам
[А(1,1) А(2,1) . А(m,1) . А(1,n) А(2,n) . А(m,n)].
Для доступа к элементам матрицы можно использовать один индекс, задающий порядковый номер элемента матрицы в векторе.
Матрица С, определенная в предыдущем подразделе, содержится в векторе
[C(1,1) C(2,1) C(1,2) С(2,2) С(1,3) С(2,3)],
который имеет шесть компонент. Доступ к элементам матрицы осуществляется следующим образом:
3. Операции над матрицами в пакете MatLab: сложение, вычитание, умножение, транспонирование и возведение в степень
При использовании матричных операций следует помнить, что для сложения или вычитания матрицы должны быть одного размера, а при перемножении число столбцов первой матрицы обязано равняться числу строк второй матрицы. Сложение и вычитание матриц, так же как чисел и векторов, осуществляется при помощи знаков плюс и минус. Найдите сумму и разность матриц С и А, определенных выше:
Для умножения матриц предназначена звездочка:
Умножение матрицы на число тоже осуществляется при помощи звездочки, причем умножать на число можно как справа, так и слева:
Транспонирование матрицы, так же как и вектора, производится при помощи .’, а символ ‘ означает комплексное сопряжение. Для вещественных матриц эти операции приводят к одинаковым результатам:
Замечание 1
Если матрица есть произвольная матрица размера n m, то матрица, транспонированная по отношению к А,есть матрица размера m n: Таким образом, строки матрицы становятся столбцами матрицы , а столбцы матрицы становятся строками матрицы .
Комплексно-сопряженная матрица получается из исходной в два этапа: выполняется транспонирование исходной матрицы, а затем все комплексные числа заменяются на комплексно-сопряженные.
Сопряжение и транспонирование матриц, содержащих комплексные числа, приведут к созданию разных матриц:
Замечание 2
При вводе вектор-строк их элементы можно разделять или пробелами, или запятыми. При вводе матрицы К применены запятые для более наглядного разделения комплексных чисел в строке.
Возведение квадратной матрицы в целую степень производится с использованием оператора ^:
Проверьте полученный результат, умножив матрицу саму на себя.
Убедитесь, что вы освоили простейшие операции с матрицами в MatLab. Найдите значение следующего выражения
Учтите приоритет операций, сначала выполняется транспонирование, потом возведение в степень, затем умножение, а сложение и вычитание производятся в последнюю очередь.
4. Умножение матриц и векторов
Вектор-столбец или вектор-строка в MatLab являются матрицами, у которых один из размеров равен единице, поэтому все вышеописанные операции применимы и для умножения матрицы на вектор-столбец или вектор-строки на матрицу. Например, вычисление выражения
можно осуществить следующим образом:
5. Блочные матрицы
Очень часто в приложениях возникают так называемые блочные матрицы, т.е. матрицы, составленные из непересекающихся подматриц (блоков). Рассмотрим вначале конструирование блочных матриц. Введите матрицы: , , , и создайте из них блочную матрицу .
Учитывая, что матрица К состоит из двух строк, в первой строке матрицы А и B, а во второй – С и D, блочную матрицу можно сформировать следующим образом:
Блочную матрицу можно получить и другим способом, если считать, что матрица К состоит из двух столбцов, в первом – матрицы А и С, а во втором – В и D:
Обратной задачей к конструированию блочных матриц является задача выделения блоков. Выделение блоков матриц осуществляется индексацией при помощи двоеточия. Введите матрицу
и затем выделите подматрицу с элементами , задав номера строк и столбцов при помощи двоеточия:
Для выделения из матрицы столбца или строки (то есть массива, у которого один из размеров равен единице) следует в качестве одного из индексов использовать номер столбца или строки матрицы, а другой индекс заменить двоеточием без указания пределов. Например, запишите вторую строку матрицы Р в вектор р
При выделении блока до конца матрицы можно не указывать ее размеры, а использовать элемент end:
6. Удаление строк и столбцов
В MatLab парные квадратные скобки [ ] обозначают пустой массив, который, в частности, позволяет удалять строки и столбцы матрицы. Для удаления строки следует присвоить ей пустой массив. Удалите, например, первую строку квадратной матрицы:
Обратите внимание на соответствующее изменение размеров массива, которое можно проверить при помощи size:
Аналогичным образом удаляются и столбцы. Для удаления нескольких идущих подряд столбцов (или строк) им нужно присвоить пустой массив. Удалите второй и третий столбец в массиве M
Индексация существенно экономит время при вводе матриц, имеющих определенную структуру.
7. Заполнение матриц при помощи индексации
Выше было описано несколько способов ввода матриц в MatLab. Однако часто бывает проще сгенерировать матрицу, чем вводить ее, особенно если она обладает простой структурой. Рассмотрим пример такой матрицы:
Генерация матрицы Т осуществляется в три этапа:
1. Создание массива T размера пять на пять, состоящего из нулей.
2. Заполнение первой строки единицами.
3. Заполнение части последней строки минус единицами до последнего элемента.
Соответствующие команды MatLab приведены ниже.
Создание некоторых специальных матриц в MatLab осуществляется при помощи встроенных функций.
8. Создание матриц специального вида
Заполнение прямоугольной матрицы нулями производится встроенной функцией zeros, аргументами которой являются число строк и столбцов матрицы:
Один аргумент функции zeros приводит к образованию квадратной матрицы заданного размера:
Единичная матрица инициализируется при помощи функции eye:
Функция eye с двумя аргументами создает прямоугольную матрицу, у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю:
Матрица, состоящая из единиц, образуется в результате вызова функции
ones:
Использование одного аргумента в ones приводит к созданию квадратной матрицы, состоящей из единиц.
MatLab предоставляет возможность заполнения матриц случайными элементами. Результатом функции rand является матрица чисел, распределенных случайным образом между нулем и единицей, а функции randn — матрица чисел, распределенных по нормальному закону:
Один аргумент функций rand и randn приводит к формированию квадратных матриц:
Часто возникает необходимость создания диагональных матриц, т.е. матриц, у которых все недиагональные элементы равны нулю. Функция diag формирует диагональную матрицу из вектор-столбца или вектор-строки, располагая их элементы по диагонали матрицы:
Функция diag служит и для выделения диагонали матрицы в вектор, например
9. Поэлементные операции с матрицами
Поскольку векторы и матрицы хранятся в двумерных массивах, то применение математических функций к матрицам и поэлементные операции производятся так же, как для векторов.
Введите две матрицы
Умножение каждого элемента одной матрицы на соответствующий элемент другой производится при помощи оператора .*:
Для деления элементов первой матрицы на соответствующие элементы второй используется оператор ./, а для деления элементов второй матрицы на соответствующие элементы первой служит .:
Поэлементное возведение в степень осуществляется при помощи оператора .^. Показатель степени может быть числом или матрицей того же размера, что и матрица, возводимая в степень. Во втором случае элементы первой матрицы возводятся в степени, равные элементам второй матрицы.
10. Визуализация матриц
Матрицы с достаточно большим количеством нулей называются разреженными. Часто необходимо знать, где расположены ненулевые элементы, т.е. получить так называемый шаблон матрицы. Для этого в MatLab служит функция spy. Посмотрим шаблон матрицы G
.
После выполнения команды spy на экране появляется графическое окно Figure No. 1. На вертикальной и горизонтальной осях отложены номера строк и столбцов. Ненулевые элементы обозначены маркерами, внизу графического окна указано число ненулевых элементов (nz = 19).
Наглядную информацию о соотношении величин элементов матрицы дает функция imagesc, которая интерпретирует матрицу как прямоугольное изображение. Каждый элемент матрицы представляется в виде квадратика, цвет которого соответствует величине элемента. Для того чтобы узнать соответствие цвета и величины элемента следует использовать команду colorbar, выводящую рядом с изображением матрицы шкалу цвета (Insert (в графическом окне Figure No. 1), colorbar). Наконец, для печати на монохромном принтере удобно получить изображение в оттенках серого цвета, используя команду colormap(gray) (Edit (в графическом окне Figure No. 1), Colormap, Colormap Editor, Tools, gray). Мы будем работать с матрицей G. Набирайте команды, указанные ниже, и следите за состоянием графического окна:
Читайте также: