Как сделать магический куб по математике
Обновлено: 06.07.2024
Любая задача, и даже игра имеет свое решение, есть различные способы получить это решение, и этими способами являются различные разделы математики, такие как: теория вероятности, комбинаторика, эвристика…
Все эти разделы включают нестандартное мышление и логику. Изучение выше перечисленных наук еще предстоит, а пока хотелось бы на примере игрушки познакомиться с ними, понять основные принципы этих теорий. Кубик Рубика служит не только развлечением, но и прекрасным наглядным пособием по алгебре, комбинаторике, программированию.
Цель исследования: исследование головоломки кубик Рубика .
Цель предопределила необходимость постановки следующих
1) изучить и проанализировать возможности кубика Рубика;
2) изучить историю кубика Рубика;
3) изучить разновидности кубика Рубика;
4) изучить способы решения головоломки;
5) изучить используемые методы решений;
6) подвести итоги о проделанной работе.
Объект исследования - головоломка кубик Рубика
Предмет исследования –механизм кубика Рубика
В своей исследовательской работе я руководствовалась гипотезой : кубик Рубика не просто игрушка, а серьёзное испытание для мыслительных способностей.
Методы исследования: и зучение справочных материалов, анализ, систематизация, описательный метод, анкетирование, эксперимент .
1.1.История создания кубика Рубика
Что такое кубик Рубика?
Считается, что кубик Рубика — лидер среди игрушек по общему количеству продаж: по всему миру было продано порядка 350 млн кубиков Рубика, как оригинальных, так и различных аналогов. Интересный факт: если их поставить в ряд, то они протянутся почти от полюса до полюса Земли.
История создания кубика Рубика
Эрнё Рубик родился в Будапеште, во время второй мировой войны. Несколько лет он проработал проектировщиком, а после этого перешел на учительскую работу в Будапештский университет умений и дизайна им. Моголи-Наги. Повествуя студентам о дизайне экстерьера, он нередко иллюстрировал всевозможные строительные и дизайнерские концепции на бумажных, деревянных или же пластмассовых моделях.
Распространение и развитие
В Советский Союз кубик пришёл в 1981 г. (по некоторым данным, права на выпуск игрушки обошлись СССР в немыслимую тогда сумму 3 миллиона долларов).
Кубик Рубика в наше время
Пик популярности кубика Рубика прошел, но с 1991 года в течение нескольких лет Кремер неустанно реанимировал покупательский интерес и возобновлял производство кубиков. Наконец, он добился успеха. В 1996 году 300 тыс. кубиков были проданы в США, а в 1997 еще 100 тыс. в Великобритании. С каждым годом оборот продаж возрастает: в 2006 году было продано уже 5 млн. головоломок, а в 2007 года - 9 млн. Глядя на эти цифры, можно с уверенностью сказать, что возвращение кубика Рубика состоялось.
Разновидности головоломки:
множество головоломок этих же (в особенности октаэдра) и других форм:
ромбододекаэдр; кубооктаэдр; усечённые тетраэдр и октаэдр .
Карманный куб (2x2)
Кубик Рубика (3x3)
Реванш Рубика (4x4)
Профессорский куб (5х5)
Триамид Рубика
Головоломка в виде объемного треугольника (состоит из 10 ромбовидных фигур, соединенных между собой посредством четырех кристаллов).
Венгерские кольца.
Прототип головоломки изобрел в конце XIX века Уильям Черчилль, свои варианты представили также Эрно Рубик (кольца пересекаются под углом) и Эндре Пап (плоский вариант). В нашей стране головоломка носила название "Волшебные кольца". Она состоит из двух соединяющихся в форме восьмерки колец, заполненных разноцветными (2-4 цвета) шариками. Шарики свободно перемещаются в кольцах. В задачу играющего входило составить непрерывные последовательности из шаров каждого цвета.
Аналогичная головоломка, выпускавшаяся в Германии, называлась Magic 8 (Волшебная Восьмерка).
Змейка Рубика.
Головоломке можно придать различную форму, так как она состоит из 24 призм, последовательно соединенных между собой шарнирами.
Детища Рубика (другие головоломки, созданные Рубиком).
Неправильный кубик Рубика.
Головоломку кубической формы, сегменты которой выполнены в виде разнообразных трапеций, можно собирать в объемные многоцветные фигуры самых причудливых форм.
Кукуруза или Светофор.
Запатентовал Эндре Пап в 1982 году, имеет циллиндрическую форму, состоит из рядов дисков (обычно от 4 до 7) с пропилами, образующими вертикальные пазы, в которых размещены цветные шарики. Диски свободно поворачиваются относительно друг друга, одного шарика не хватает, что дает возможность менять местами остальные. Цель игры — расставить шарики так, чтобы они образовывали вертикальные ряды единого цвета.
Существует два варианта головоломки — с шариками шести различных цветов и с шариками, которые помимо шести основных цветов, различаются еще и по оттенку. Второй вариант головоломки сложнее, так как необходимо выстроить вертикальные ряды по возрастанию интенсивности оттенка.
Кубы других размеров.
Мезон. Тройной мезон (представляет собой несколько обычных КР, соединенных вместе определенным образом).
Каре (по способу соединения и количеству соединяемых кубиков различают: двойной мезон, тройной мезон, сиамский кубик, квартет, T-мезон, Q-мезон и т. д.). Для решения необходимо привести все доступные грани к своему цвету).
Эксклюзивные кубы.
Кубик сома. Предшественник КР, изобретенный шведским ученым и писателем Питом Хейном по легенде — во время лекции по квантовой механике. Головоломка состоит из 7 отдельных частей, из которых необходимо сложить куб 3х3х3. Всего существует 240 различных способов ее решения.
Кубик Судоку. Автор — американец Джей Хоровиц. По сути, это обычный КР, в котором вместо цветов на стороны нанесены цифры от 1 до 9. Задача игрока — расположить цифры в правильном порядке на каждой из граней кубика.
Кубы, созданные на основе настольных игр.
1.3. Алгоритм Бога.
Тогда алгоритм Бога (для данной головоломки) — это алгоритм, который решает головоломку и находит для произвольной пары конфигураций хотя бы одно оптимальное решение.
Некоторые авторы считают, что алгоритм Бога должен также быть практичным, то есть использовать разумный объём памяти и завершаться в разумное время.
Поиск алгоритма Бога. Число Бога.
Числом Бога данной головоломки называется число n , такое, что существует хотя бы одна конфигурация головоломки, оптимальное решение которой состоит из n ходов, и не существует ни одной конфигурации, длина оптимального решения которой превышает n . Другими словами, число Бога — это точная верхняя грань множества длин оптимальных решений конфигураций головоломки.
Верхние и нижние оценки числа Бога.
Чтобы получить оценку сверху для числа Бога, достаточно указать любой алгоритм сборки головоломки, состоящий из конечного числа ходов.
1.4. Алгоритм Коцембы.
Алгоритм Тистлетуэйта был в 1992 году улучшен учителем математики из Дармштадта Гербертом Коцембой. Коцемба сократил количество этапов алгоритма до двух.
В алгоритме Коцембы ставится только одна промежуточная цель — кубик надо перевести в одно из состояний, которые так и названы - промежуточными . Они характеризуются тем, что любое промежуточное состояние можно получить из правильного (а значит, и наоборот - превратить его в правильное)‚ поворачивая четыре боковые грани только а 180°‚ а верхнюю и нижнюю - на произвольный угол (естественно, кратный 90°).
Первая цель (задача первого этапа) алгоритма Коцембы — восстановить такую раскраску из хаотического исходного состояния. При этом, конечно, можно пользоваться любыми поворотами. На втором этапе применяются только повороты, перечисленные выше. Благодаря сохранению вспомогательной раскраски правильная ориентация кубичков на своих местах будет обеспечена автоматически. Таким образом, число промежуточных состояний равно числу допустимых перестановок кубичков (т. е. перестановок получаемых из правильной поворотам граней), при которых реберные кубички среднего слоя остаются в этом слое.
Посмотрим на таблицу, в которой собраны данные по годам. (Приложение 1)
1.5. Комбинаторика.
Почему все-таки никому не удается решить головоломку Рубика сразу, ну хотя бы случайно, повторяя попытку очень много раз? Чтобы это понять, потребуются хотя бы начальные знания о комбинаторике.
В комбинаторике изучают вопросы о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).
Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами Б. Паскаля и П. Ферма по теории азартных игр. Большой вклад в развитие комбинаторных методов внесли Г.В. Лейбниц, Я. Бернулли и Л. Эйлер.
Основную формулу комбинаторики можно продемонстрирую на примере задачи. Вспомним, еще одни кубики – кубики LEGO, тоже игра на все времена.
Пусть у нас есть три кубика LEGO . Начнем по-разному соединять эти три кубика, создавая всяческие комбинации из них. Подсчитав уникальные конфигурации, я получил - не больше 6. Но комбинаторика знает точное число и без подсчета вариантов.
Перестановками называются такие выборки элементов, которые отличаются только порядком расположения элементов, но не самими элементами.
Если перестановки производятся на множестве из n элементов, их число определяется по формуле Pn = n ·( n −1)·( n −2). 3·2·1 = n !
n ! - обозначение, которое используют для краткой записи произведения всех натуральных чисел от 1 до n включительно и называют " n -факториал" (в переводе с английского "factor" - "множитель").
Таким образом, общее число перестановок 3-х кубиков P3 = 3! = 1·2·3 = 6, что мы и получили выше. Фактически мы выводили эту формулу для маленького примера.
Задача о семи мостах
Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам (через реку Преголя ), не проходя ни по одному из них дважды.
Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу как теоретически, так и практически, во время прогулок. Впрочем, доказать или опровергнуть возможность существования такого маршрута никто не мог.
1.6. Соревнования по скоростной сборке: спидкубинг.
Люди, увлекающиеся скоростной сборкой кубика Рубика, называются спидкуберами. А сама скоростная сборка — спидкубинг (англ. speedcubing).
Первый Международный чемпионат по сборке кубика Рубика, Будапешт, 5 июня 1982 г. Марка Венгрии, 1982.
Официальные соревнования по скоростной сборке кубика Рубика регулярно проводятся всемирной ассоциацией кубика — en:World Cube Association (WCA). Каждый год проходит чемпионат Европы или чемпионат мира.
Согласно правилам WCA, перед сборкой кубы должны быть перемешаны по алгоритму (scramble), сгенерированному компьютером с помощью программы Cube Explorer (для куба 3×3×3, для других головоломок есть отдельные программы генерации скрамблов). При этом у всех участников начальные позиции перемешанного кубика (скрамблы) должны быть одинаковыми.
Победитель определяется не по результату единичной сборки, а по среднему времени из 5 попыток, при этом лучшая и худшая попытки не учитываются, а вычисляется среднее из оставшихся 3-х. Однако в других дисциплинах могут использоваться и другие варианты: среднее из 3 (например, для куба 7×7×7), лучшее из 3 (сборка вслепую).
С 1 по 3 октября 2010 года в Будапеште прошёл чемпионат Европы, собравший участников, соревновавшихся в различных дисциплинах. Чемпионом Европы в сборке классического кубика 3×3×3 стал российский спидкубер Сергей Рябко, опередивший в финале в том числе бывшего рекордсмена Эрика Аккерсдейка, со средним временем в финале 10,31 секунд.
С 12 по 14 октября 2012 года во Вроцлаве (Польша) прошёл чемпионат Европы. Чемпионом второй раз подряд стал участник из России Сергей Рябко, опередивший чемпиона мира. Среднее время Сергея составило 8,89 сек
В классической дисциплине (кубик 3×3×3) действующий рекорд — 4,904 сек. установил Лукас Эттер (США) 21 ноября 2015 года. Из самых свежих рекордов: голландский спидкубер Матс Валк, который на чемпионате Jawa Timur Open 2016 в Индонезии смог собрать кубик за невероятные 4,74 секунды, что на 0,164 секунды быстрее результата, показанного прошлым рекордсменом, американцем Лукасом Эттером.
В марте 2014 года созданный за восемнадцать месяцев инженерами Дэвидом Гилдэем (David Gilday) и Майком Добсоном (Mike Dobson) CubeStormer III, из деталей того же конструктора Lego Mindstorms и с ARM-мозгом в виде смартфона Samsung Galaxy S4, собрал головоломку за 3,253 секунды.
Однако с тех пор кое-что изменилось: новая версия робота Sub1, получившая название Sub1 Reloaded, собрала кубик Рубика за 0,637 секунды. Как отмечают разработчики машины, добиться таких показателей удалось благодаря новому процессору производства немецкой компании Infineon.
Среди поклонников логических игр большой популярностью пользуется магический квадрат. Он представляет собой таблицу, заполненную особым образом цифрами. Причём сумма чисел одинакова по всем направлениям. Эту величину принято называть константой. Существует множество вариантов таких головоломок разной степени сложности.
История и современное применение
Первые подобные таблицы использовались ещё в Древней Греции и Китае. Это подтверждено археологическими находками. Арабы называли квадраты магическими, так как верили, что они обладают волшебными свойствами и могут защитить от многих напастей.
В середине XVI в. вопросом о том, как работает магический квадрат, заинтересовались математики в Европе. Они начали активно исследовать загадочные сочетания цифр. Учёные стремились вывести общие принципы построения квадратов и найти всё множество возможных вариантов.
В современной общеобразовательной школе разные виды магических квадратов используются на уроках математики. Они способствуют развитию логического мышления и вызывают у детей живой интерес.
С их помощью школьники учатся планировать свою работу и контролировать её. В клетки можно вписывать не только отдельные цифры, но и математические выражения. Задачи на эту тему часто предлагаются на математических олимпиадах. Решать такие числовые задачи можно и онлайн.
Квадрат нечётного порядка
Среди несложных магических квадратов по математике выделяют разновидности чётного и нечётного порядка. Первая группа подразделяется на таблицы одинарной и двойной чётности.
Начальным шагом во всех случаях будет определение магической константы. Делается это с помощью специальной формулы [n * (n2 + 1)] / 2. Разобраться с принципом решения задачи этого класса можно на самом простом примере. Для этого выстраивается таблица из 9 ячеек. В неё нужно расставить цифры от 1 до 9. Дальнейший алгоритм:
Общий алгоритм выполнения задания: каждый следующий знак пишется вверх и правее. Если там нет клетки — дорисовывается ещё один воображаемый квадрат. Если ячейка занята — число записывается ниже предыдущего. Таким способом можно составить любой квадрат нечётного порядка, включая самые сложные, с больши́м числом ячеек.
Одинарная чётность
Магические квадраты могут иметь порядок одинарной или двойной чётности. Для каждого случая предусмотрена отдельная методика вычисления. У таблиц одинарной чётности количество клеток в одной строке или столбце делится пополам, но не делится на четыре. Наименьшим квадратом, отвечающим этому требованию, будет прямоугольник 6х6. Фигуру 2х2 построить и заполнить невозможно.
Вычисление магической константы
Первый этап расчётов проводится по формуле [n * (n2 + 1)] / 2, где символом n обозначено число клеток в одном ряду. Если взять за пример квадрат 6х6, расчёт будет выглядеть следующим образом: [6 х (36 + 1)]: 2 = (6 х 37): 2 = 222:2.
Волшебная постоянная прямоугольника со стороной 6 клеток равна 111. Общая сумма чисел от 1 до 36 в каждой строке и в разных направлениях должна быть равна 111.
Рисунок делится на 4 одинаковые части. В каждой будет по 9 клеток (3х3). Каждую часть обозначают латинскими буквами: А — верхняя левая, С — верхняя правая, D — нижняя левая и В — нижняя правая часть. Если квадрат имеет другой размер, n делится на 2, чтобы узнать точную величину каждой из 4 частей.
Дальнейшие действия
Следующий шаг — вписывание в каждую часть ¼ всех чисел. В квадрант А вносятся числа от 1 до 9, в квадрант В — от 10 до 18, в части С — от 19 до 27, в D — от 28 до 36.
Последовательность вписывания такая же, как при заполнении простейшего нечётного квадрата:
Алгоритм действий:
Цифры, которые были вписаны в выделенных треугольниках А и D, нужно поменять между собой местами. После этого сумма в каждой строке должна быть одинаковой. Она равняется вычисленной магической константе.
Двойной порядок
Если головоломка имеет порядок двойной чётности, количество окон в каждой горизонтальной строчке или вертикальном столбце должно делиться на 4. Минимальной фигурой с такими свойствами будет таблица 4х4.
Решать магические квадраты двойной чётности следует по тому же алгоритму, что и остальные. Первый шаг при заполнении — вычисление магической константы. Формула применяется та же, что для расчёта других квадратов. Для фигуры со стороной 4 клетки значение константы будет равно 34.
В каждом углу основного поля выделяются промежуточные таблицы. Их размер должен быть равен n/4. Эти области обозначают буквами A, B, C, D, располагая их против хода часовой стрелки. Величина промежуточных фигур зависит от размера исходного квадрата:
Следующий этап — создание центрального промежуточного квадрата. Величина его стороны должна составлять n/2. Эта фигура не должна накладываться на периферические, но при этом соприкасаться с ними углами.
Далее в квадрат вносят цифры слева направо. Их допускается ставить только в свободные ячейки, которые входят в состав промежуточных областей. Например, при заполнении таблицы 4х4 порядок действий будет таким:
По этому же принципу цифрами заполняются оставшиеся клетки. Числа проставляются слева в порядке уменьшения. Если всё сделано верно, сумма всех чисел в любой строчке будет одинаковой.
Тема магического квадрата очень интересна школьникам, поэтому эту тему можно использовать для увлечения детей математикой.
Определение магического квадрата
целых чисел от 1 до , удовлетворяющая следующим условиям:
, (1)
где
Простыми словами магический квадрат — это квадратная матрица (таблица) чисел, сумма который по вертикали, горизонтали и диагонали равна одному и тому же числу.
Как выглядит магический квадрат
Давайте разберемся, что это означает. Возьмем магический квадрат , то есть квадрат имеет 4 столбца и 4 строчки и выглядит так:
 |  |  |  |
 |  |  |  |
 |  |  |  |
 |  |  |  |
Для этого квадрата найдем магическое число:
Таким образом сумма каждой строчки магического квадрата должна быть 34, каждого столбца, а также любой диагонали.
Древние магические квадраты
Однако, расстановка чисел в магическом квадрате не обязательно будет однозначной. Например, посмотрите два магических квадрата размером :
Первый магический квадрат:
Этот квадрат был впервые найден в Индии, и трактовался, как дьявольский квадрат, датируется 11 веком. В действительности очень интересно узнать, откуда люди решили, что искомая сумма числе по строке, по столбцу или по диагонали должна быть именно 34?
Известно более 48 видов магических квадратов размера .
Минимально возможные суммы магического квадрата
Постоянные значения M суммы магических квадратов имеют минимальное значение (для положительных ненулевых целочисленных значений):
Для размера 3×3 минимальная сумма равна 15, для 4×4 — 34, для 5×5 — 65, для 6×6 — 111, затем 175, 260, …
Все, что меньше, вынуждает использовать отрицательные числа или дроби (не целые числа) для решения магического квадрата.
Магический квадрат Франклина восьмого порядка
| 52 | 61 | 4 | 13 | 20 | 29 | 36 | 45 |
| 14 | 3 | 62 | 51 | 46 | 35 | 30 | 19 |
| 53 | 60 | 5 | 12 | 21 | 28 | 37 | 44 |
| 11 | 6 | 59 | 54 | 43 | 38 | 27 | 22 |
| 55 | 58 | 7 | 10 | 23 | 26 | 39 | 42 |
| 9 | 8 | 57 | 56 | 41 | 40 | 25 | 24 |
| 50 | 63 | 2 | 15 | 18 | 31 | 34 | 47 |
| 16 | 1 | 64 | 49 | 48 | 33 | 32 | 17 |
Магический квадрат Ло-Шу
Этот квадрат не относится к математике, а относится к китайской метафизике, используется в Фен-Шуй.
Бимагические и тримагические квадраты
Бимагическим квадратом называется квадрат, который остается магическим тогда, когда мы заменяем все его числа квадратами этих чисел.
Паскаль написал небольшой трактат и би- и три- магических квадратах.
Тримагическим квадратом называется квадрат, который остается магическим тогда, когда мы заменяем все его числа кубами этих чисел.
Бимагические квадрат размером 128 x 128 был обнаружен в 1905 году. В 2002 году, немцу Уолтеру Трампу удалось построить тримагический квадрат 12 x 12 и это минимальное измерение, которое возможно для этого вида магического квадрата.
1. Соедините все шарики в цепочку (как бусы) толщиной в один шарик.
2. Объедините шарики так, чтобы получилась лента, толщиной в два шарика.
3. Так же сделайте ленточку в четыре шарика.
4. Далее нужно сделать разрыв на трети длины этой ленты и объединить обе части длинной стороной.
5. С верхней выступающей части ленты отсоединить цепочку толщиной в два шарика и перенести в недостающий конец.
6. . так, чтобы получилась лента шириной в шесть шариков.
7. Теперь сгибайте получившуюся ленту через каждые шесть шариков.
8. Получится вот такой неокубик. :)
Также можете посмотреь, как собрать куб из неокуба на видео:
Читайте также: