Как сделать лимиты в математике
Обновлено: 07.07.2024
Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.
Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи:
1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.
Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.
Итак, что же такое предел?
А сразу пример, чего бабушку лохматить….
Любой предел состоит из трех частей:
Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:
Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!
Пример с бесконечностью:
Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности.
А что в это время происходит с функцией ?
, , , …
Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности:
Еще один пример с бесконечностью:
Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции:
Вывод: при функция неограниченно возрастает:
И еще серия примеров:
Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:
, , , , , , , , ,
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если , попробуйте построить последовательность , , . Если , то , , .
Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.
Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?
1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и т.д.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены
Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.
Как решать пределы данного типа?
Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:
Старшая степень в числителе равна двум.
Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:
Старшая степень знаменателя равна двум.
Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.
Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.
Разделим числитель и знаменатель на
Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.
Что принципиально важно в оформлении решения?
Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.
Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.
В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:
Для пометок лучше использовать простой карандаш.
Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?
Найти предел
Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:
Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на .
Полное оформление задания может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Разделим числитель и знаменатель на
Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.
Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Решить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
В данном случае получена так называемая неопределенность .
Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.
Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.
Итак, решаем наш предел
Разложим числитель и знаменатель на множители
Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:
Сначала находим дискриминант:
И квадратный корень из него: .
В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.
! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.
Далее находим корни:
Всё. Числитель на множители разложен.
Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.
Очевидно, что можно сократить на :
Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:
Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:
Разложим числитель на множители.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Что важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.
Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.
Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.
Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены.
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
Продолжаем рассматривать неопределенность вида
Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.
Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.
Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.
Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по-возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.
Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.
Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов:
И смотрим на наш предел:
Что можно сказать? у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать (которое и называется сопряженным выражением).
Умножаем числитель на сопряженное выражение:
Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.
Хорошо, мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на :
То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
В известной степени, это искусственный прием.
Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу :
Неопределенность не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:
Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.
Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше.
Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?
Примерно так:
Изложены приемы и методы решения задач на вычисление пределов и раскрытие неопределенностей. Рассмотрены следующие вопросы: пределы с непрерывными и сложными функциями; известные пределы; сведение неопределенности одного вида к другому; раскрытие неопределенностей с дробями из многочленов и корней; сравнение функций и решение разложением в степенной ряд; правило Лопиталя.
Известные пределы
Пределы с непрерывными функциями
Пределы с показательной и степенной функциями
Следующие пределы следуют из свойств показательной и степенной функций.
При : , , , .
При : , , , .
При : , , , .
При : , , , .
Замечательные пределы
Применение замены переменной
Если функцию можно представить в виде сложной:
,
то можно попытаться упростить процесс вычисления предела , выполняя замену переменной. Для этого мы вычисляем предел
.
Здесь может быть конечным числом , либо одним из символов: .
Если является конечным числом и функция непрерывна в точке , то
.
Арифметические свойства предела функции
Если существуют конечные пределы , , то существуют пределы суммы, разности и произведения функций:
, , .
Если , то существует предел частного:
.
Эти правила применяются следующим образом. Пусть, например , , где – конечное положительное число. Тогда
;
;
;
.
В последнем случае, если это не промежуточное вычисление, можно опустить знак у нуля:
.
Неопределенности
Применение только арифметические свойств пределов не всегда приводит к результату, если в состав исследуемого выражения входят бесконечно большие и бесконечно малые функции. Следующие операции не определены:
; ; ; ;
; ; ;
; ; ; ;
.
Это, так называемые неопределенности. В этих случаях арифметических свойств не достаточно и, для вычисления величины предела, нужно выполнять преобразования, чтобы привести их к известным пределам. Такой процесс называется раскрытием неопределенности.
Выполняя преобразования, можно от неопределенности одного вида переходить к неопределенности другого вида. Последние три неопределенности сводятся к логарифмированием. Например так:
.
То есть мы от неопределенности перешли к . Далее ее можно свести к неопределенностям вида или :
; .
К неопределенности сводится и неопределенность . Покажем это. Пусть и . Тогда
.
Далее излагаются методы раскрытия неопределенностей.
Раскрытие неопределенностей с дробями
Для примера рассмотрим следующую функцию:
,
где – функция, непрерывная в . Функции f и g отличаются только в одной точке : не определена в этой точке, а – определена и непрерывна. Тогда, согласно приведенному свойству, пределы этих функций в любой точке равны. Поэтому
.
То есть, при вычислении пределов от дробей, числитель и знаменатель можно умножать и делить на конечное число равных сомножителей. В результате таких действий, мы можем получить другую функцию, область определения которой может отличаться от исходной. Но, поскольку это изменение затрагивает только конечное число точек, то это никак не повлияет на существование и величину предела.
Дроби из многочленов
Пусть нам нужно вычислить предел от дроби из многочленов:
.
При , числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Мы имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия, разделим числитель и знаменатель на :
.
Далее применяем арифметические свойства пределов функции. Поскольку , то
.
Пусть теперь x стремится к конечному числу x 0 : x → x 0 . Если возникает неопределенность вида 0/0 , то многочлены в числителе и знаменателе необходимо разделить на x – x 0 . Например,
.
Дроби с корнями
При вычислении пределов дробей с корнями, часто бывают полезными следующие формулы:
,
,
,
. . . . . . . . . . . .
.
Например, пусть требуется вычислить предел
.
При . Мы имеем неопределенность вида . Применим вторую формулу. Подставим :
.
Отсюда
;
;
.
Подобный прием также применяется и для раскрытия некоторых неопределенностей вида . Например:
.
Сравнение функций. О большое и о малое
Говорят, что функция f ограничена относительно функции g при x → x 0 , пишут
при ,
если функции f и g определены на некоторой проколотой окрестности точки и существует такое число C , что на этой окрестности выполняется неравенство:
.
Здесь . Окрестность может быть как двусторонней, так и односторонней. В последнем случае пишут или .
Функции f и g называются функциями одного порядка при , пишут
при ,
если и при .
Функция α называется бесконечно малой по сравнению с функцией f при , пишут
при ,
если на некоторой проколотой окрестности точки ,
при , причем
.
Если, в предыдущем определении, f является бесконечно малой функцией при , то говорят, что является бесконечно малой более высокого порядка, чем f при .
Эквивалентные функции
Здесь и далее – конечная или бесконечно удаленная ( ) точка: .
Функции f и g называются эквивалентными (асимптотически равными) при , пишут
при ,
если на некоторой проколотой окрестности точки ,
при , причем
.
Если, при , , то .
Если, при , и , то .
Если , то при .
Если , то при .
Если на некоторой проколотой окрестности точки ,
и , то
.
Если, при , и и существует предел
, то существует и предел
(э.1) .
В более общем случае, если при , , то
(э.1) .
Знак равенства означает, что если существует один из этих пределов, то существует и равный ему второй. Если не существует один из пределов, то не существует и второй.
Разложение в степенной ряд
Одним из самых мощных методов раскрытия неопределенности в конечной точке является разложение функций в степенной ряд. Далее приводим разложения элементарных функций при .
Пример. Пусть нам требуется найти предел
.
Разложим числитель и знаменатель в степенной ряд, в окрестности точки , и находим предел:
;
;
.
Правило Лопиталя
Теорема о раскрытии неопределенности 0/0
Пусть функции f и g непрерывны и имеют производные в проколотой (двусторонней или односторонней) окрестности конечной или бесконечно удаленной ( ) точки , причем и не равны нулю в этой окрестности. И пусть
.
Тогда, если существует конечный или бесконечный предел
,
то существует равный ему предел
.
Здесь для двусторонней окрестности. Для односторонней окрестности, , или .
Теорема о раскрытии неопределенности ∞/∞
Пусть функции f и g непрерывны и имеют производные в проколотой (двусторонней или односторонней) окрестности конечной или бесконечно удаленной ( ) точки , причем не равна нулю в этой окрестности. И пусть
.
Тогда, если существует конечный или бесконечный предел
,
то существует равный ему предел
.
Здесь для двусторонней окрестности. Для односторонней окрестности, , или .
Вычислим предыдущий предел, используя правило Лопиталя.
.
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Читайте также: