Как сделать изолинии по точкам

Добавил пользователь Евгений Кузнецов
Обновлено: 05.10.2024

При картографировании природных явлений по количественным показателям широко используют способ изолиний, хорошо знакомый картографам в применении к изображению рельефа.

Сущность способа состоит в построении на карте по отдельным пунктам с известными величинами системы линий, проходящих по точкам с одинаковыми числовыми значениями. Совокупность линий, проведенных посредством интерполяции через заранее выбранные интервалы, позволяет дать сплошную характеристику явлений для изображаемой территории. Поэтому способ изолиний широко применяется для картографирования явлений, имеющих сплошное непрерывное распространение на земле и вблизи ее поверхности, в недрах или атмосфере. Он применим также для явлений, распространенных в пределах ареала (бассейна моря или озера, бассейна подземных, вод, пласта горных пород, несущих полезные ископаемые, ареала вечной мерзлоты и т. п.).

Каждая система изолиний строится отдельно, но на карте иногда совмещают две или большее число систем изолиний для разных ареалов, перекрывающих одна другую, построенных по разным показателям.

При помощи изолиний характеризуют не только величины явлений, получаемые измерениями по пунктам наблюдений, но и изменяемость этих величин во времени, их продолжительность, повторяемость, одновременность наступления и т. п. Карты величин явлений на определенную дату дают распространение фактического материала наблюдений на всю картографируемую территорию. Показатели средних величин, а также перемещений, изменений во времени и др. получают по тем же материалам измерений путем вычислений новых показателей по формулам, выведенным на основе анализа явлений. Построением таких карт облегчаются научные выводы и прогнозы (например вероятность повторяемости явлений).

Многие карты, использующие способ изолиний, несмотря на разнообразие тематики, имеют много общего в методах составления. Основным источником составления являются полевые стационарные наблюдения и измерения, производящиеся в течение более или менее Длительного периода. Эти материалы могут быть использованы лишь после их обработки статистическими и другими методами, с целью исключить или ослабить влияние случайных и систематических ошибок, получить ряды однородных показателей или новые показатели.

Точность способа изолиний зависит от следующих условий:

количества точек, для которых известны цифровые показатели;
равномерности их распределения по территории;
приуроченности размещения к различным характерным для территории физико-географическим условиям;
правильности обработки полевых измерений и вычисления требуемых показателей;
выбора шкалы изолиний;
правильности интерполяции и построения изолиний;
степени и правильности генерализации.

Некоторые из перечисленных условий зависят от работы организаций, ведущих стационарные долевые наблюдения и осуществляющих обработку наблюдений и вычисление нужных показателей, другие — от постановки картографических работ. Здесь рассматривается лишь картографическая сторона применения метода изолиний.

Обработка наблюдений всегда ведется специальными организациями и не относится к картографическим работам, однако для использования данных необходима и картографическая их оценка, которая может быть произведена по следующим критериям:

обеспеченность территории пунктами наблюдений,
правильность локализации пунктов (особенно для передвижных пунктов наблюдений),
размещение пунктов относительно физико-географических условий,
длительность периодов наблюдения.

В результате произведенного анализа могут быть исключены некоторые пункты или ограничено их использование для последующей интерполяции, выявлены участки, не обеспеченные наблюдениями, на которые нельзя распространить данные путем интерполяции, и поэтому построение на них изолиний может быть лишь гипотетическим.

Основное значение для картографических работ имеет учет физико-географических условий размещения пунктов наблюдения, так как положение пункта определяет типичность его данных для большей или меньшей площади. Например, метеостанции, расположенные близ больших городов (тем более в городах), дают обычно показатели, измененные влиянием жизни населения: более высокие температуры воздуха и почвы, повышенную облачность и т. п. Данные метеостанций, расположенных в глубоких долинах, не характерны для водоразделов. Возможно, например, местное повышение температуры на южном склоне, защищенном от холодных масс воздуха, понижение температуры от стока в замкнутую долину холодного воздуха, искажение направления ветров и т. д.

Данные не типичных пунктов, которые нельзя распространять на участки с другими физико-географическими условиями, иногда приходится исключать при генерализации, если отклонения в показателях нарушают общую закономерность хода изолиний и не могут быть отображены в принятом масштабе.

Построение изолиний по точкам, для которых известны требуемые показатели, производится путем интерполяции.

Интерполяцией в математике называется получение значения функции в промежуточной точке по заданным ее значениям в отдельных точках.

На основе анализа известных точек намечают места максимальных и минимальных значений показателя и выявляют основные закономерности его изменения в виде схемы разделительных линий (аналогично схеме водоразделов и ложбин). Эти линии ограничивают возможность интерполяции с общим направлением изменений (например исключается проведение интерполяции между точками, лежащими на противоположных склонах хребта). На схеме рекомендуется также показывать линии природных рубежей, по которым можно ожидать резкой смены количественных показателей отдельных явлений. Например, перед проведением интерполяции промеров глубин для изображения рельефа морского дна на гипсометрической карте масштаба 1 : 2 500 000 издания 1950 г. для отдельных морей и частей океанов составлялись предварительные схемы основных структурных линий: направления глубоководных желобов, хребтов, предполагаемого протяжения уступов континентального склона, границ различных тектонических структур, направления гряд и подводных русел на мелководье и т. п. Эти схемы, составленные на основе изучения геоморфологии морского дна, помогали при последующем построении изолиний выявить наглядную картину подводного рельефа.

Следующий этап интерполяции состоит в нахождении положения точек, определяющих место изолиний между известными точками. Эта задача имеет математический характер и может решаться разными способами.

Наиболее простым и распространенным способом является линейная интерполяция. Она применяется в случае, когда изменение величин между двумя точками происходит равномерно и ход этого изменения графически может быть представлен прямой линией.

В практической работе по составлению карты вместо вычислений интерполируемых точек по формуле пользуются графическим приемом пропорционального разделения отрезка прямой между двумя известными точками.

В природе случаи равномерного изменения величин на значительном протяжении являются исключением. При неравномерном изменении применение линейной интерполяции вносит ошибки. Чем больше несовпадение кривой, изображающей действительное изменение явления, с прямой интерполирования, тем больше ошибка в положении определяемой точки. Ошибки в положении точек выбывают смещение изолинии.

Ошибки, полученные при линейном интерполировании точек, обычно являются систематическими, так как изменение явлений закономерно в пределах отдельных участков. Смещение точек на этом участке произойдет в одном направлении и даст общий сдвиг изолинии, не меняя ее характера. Это облегчает введение поправок путем учета физико-географических условий, влияющих на изображаемое явление.

Чтобы уменьшить смещение, предлагается применять вместо линейной интерполяции интерполяцию параболическую, при которой используется три или больше известных точек (Вахрамеева Л. А., 1950; Гинзбург Г. А., 1957).

Однако в местах значительных неравномерных колебаний изображаемого явления интерполяция практически неприменима.

Завершающим этапом интерполяции является графическое построение изолиний по определяющим их положение точкам. Механическое соединение точек плавной кривой приводит к схематизму карты, искажению характера изменения явлений и, следовательно, к понижению точности. В проведении изолиний необходим всесторонний учет влияния различных физико-географических факторов, который можно назвать географическим способом уточнения изолиний или географической интерполяцией.

Особое значение для уточнения рисунка изолиний большинства климатологических и гидрологических карт имеет рельеф. Для учета изменения климатических показателей с высотой разработана система вычисления вертикальных градиентов для разных районов. Для этих видов карт изолинии можно проводить только на гипсометрической основе с подробным изображением рельефа.

Показательный пример дает сравнение схемы изолиний величины стока рек, построенной без учета рельефа, и карты стока того же района, составленной по тем же исходным данным на гипсометрической основе с вычислением градиентов стока для разных горных систем. Достоверную карту можно составить только на основе полного географического анализа.

Вместе с тем математическая схема изолиний тоже оказывается необходимой. Она дает первое представление о ранее неизвестных закономерностях. Например, о неисследованных участках дна океана, об общем характере движений земной коры, геофизических свойствах земли и т. п. Первоначальная схема затем может быть уточнена по выявленным закономерностям и установленным связям между явлениями.

Интерполяция применяется не только для построения изолиний, но и при других картографических способах изображения количественных различий: для проведения ареалов, линий движения, построения графиков и др.

Построение ареала количественных показателей явления (например наибольшего сгущения обитания какого-либо вида животных или ценных растений) основывается на локализации точек наблюдения (участков, площадок), на которых произведены подсчеты встреченных экземпляров (особей, гнезд, нор и т. п.). Выбираются количественные градации, определяющие выделение ареалов. Затем путем интерполяции, уточняемой анализом физико — географических условий размещения участков наблюдений, на карте получаются точки, определяющие линию ареала. При оконтуривании ареала линия, соединяющая намеченные точки, может проводиться по плавной кривой (при рассеянном распространении оконтуриваемых явлений) или может быть географически уточнена.

Широко применяется интерполяция при картографическом изображении перемещения явлений линиями или знаками движения. Рассмотрим два основных случая: движение по линии и движение, распространенное по площади.

В первом случае предварительно выявляется протяжение линии, определяющей направление движения. Линия может быть нанесена на карту по видимым контурам (река, русло) путем локализации и соединения точек наблюдавшегося временного местоположения движущихся объектов (пути перелета птиц, миграции животных), путем проведения линии по цифровым показателям, намечающим протяжение потока движения (подводные долины, потоки наносов) и др. На линиях по точкам наблюдения наносятся цифровые показатели количественных характеристик, необходимые для последующей интерполяции, и условные знаки движения по заранее установленной шкале. Значки могут отражать направление движения и два-три количественных показателя (например скорость или повторяемость течения, высоту разлива реки и т. п.). Так как локализованные значки при редкой сети точек наблюдения не дают наглядной характеристики движения, то путем интерполяции могут быть получены дополнительные значения в промежуточных точках с целью выявления потока или соединения его в одну линию или полосу, расширяющуюся с увеличением показателя. Сплошная полоса может быть заменена продолжающими друг друга стрелками.

Во втором случае, при изображении движения по всей площади, интерполяция применяется для сгущения значков движения. Сначала в каждой известной точке ставятся знаки движения и цифровые значения одного или нескольких показателей (скорость, повторяемость, температура и т. п.). Размещение значков по локализованным точкам может выявить лишь основные направления потоков движения, а иногда создает хаотичную картину противоположных направлений и резко меняющихся показателей, не позволяющую выявить закономерности движения. Интерполирование показателей с целью сгущения значков производится двумя способами: сгущением значков по средним линиям между известными точками и предварительным проведением изолиний по известным точкам, с последующим размещением значков, количественные показатели которых определяются по изолиниям.

Источник: И.П. Заруцкая. Составление специальных карт природы. Изд-во Московского университета. Москва. 1966

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Изображение на плане топографической поверхности производят по результатам инструментальных наблюдений. Применяются следующие виды построения изолиний: метод инвариантных линий, метод многогранника, метод профилей, метод статистического окна, косвенный метод. Построение изолиний этим методом начинают с более детально изученных участков изображаемой поверхности, постепенно переходя к малоизученным.

Метод инвариантных линий: на план в соответствующем масштабе выносят по координатам точки, около каждой точки выписывают значение показателя в виде отметки. В результате геометрического анализа выписанных точек намечают ориентировочное положение изображаемой поверхности. Строится отрицательная (место минимумов высот данной поверхности) и положительная инварная линия. Место пересечения инвариантных линий называется инвариантной площадкой. Относительно инвариантных линий между точками намечают линии скатов, по которым линейным интерполированием, задавшись величиной сечения, находят ступенчатые отметки. Соединяют точки с одинаковыми отметками плавными кривыми, получают на плане изображение искомой поверхности в изолиниях. Метод многогранника: применяют тогда, когда затруднительно наметить инв. линии или когда в отдельных точках поверхности замерены ее элементы залегания: азимут линии падения, угол падения

1.Точки, в которых определены элементы залегания поверхности, по координатам наносят на план. По дирекционному углу через каждую точку проводят проекции линии падения. Задавшись сечением, на линиях наносят ступенчатые отметки, через которые проводят изолинии по нормали к линии падения.

2.Поверхность представляется многоугольником, каждая грань которого - треугольник с вершинами в близлежащих точках с числовыми отметками. Задавшись сечением, между ближайшими точками производят интерполирование. Точки с одинаковыми отметками соединяют плавной кривой.

Метод профилей: применяется при наличии нескольких профилей или сечений изучаемой поверхности, расположенных параллельно или нет. На план наносят проекции профилей по координатам исходных точек На профилях наносят высотную сетку. Точки пересечения линий высотной сетки с профилем поверхности изображаемого показателя проектируются сначала на основание профиля, а затем переносят на план, подписывая около них отметки, Точки с одинаковыми отметками соединяют плавной кривой. Метод применяется при разведке или опробывании МПИ по разведочным линиям.

Метод статистического окна применяется при большом числе точек с числовыми отметками показателя на плане. Заключается в построении изолиний поверхности по средним групповым отметкам. На план участка с точками наносят квадратную сетку со сторонами а и b . В каждой ячейке сетки определяют среднее арифметическое значение отметок всех попавших в нее точек и подписывают это среднее в центре статистического окна. Окно перемещают на половину своего размера сначала по одной оси, а затем по другой, или на полный его размер.

Если точки группируются в одной какой-либо части ячейки, то среднее подписывают в их геометрическом центре. Пограничные точки учитывают в обоих соседних окнах. Затем, задавшись сечением, по отметкам средних строят изолинии. В результате получают сглаженную поверхность, характеризующую основные изменения изображаемого показателя.

Этот метод широко используется при построении изолиний по данным массовых замеров, определений, проб изучаемых свойств залежей, характеризующихся своей изменчивостью.

Косвенный метод: применяют тогда, когда искомая поверхность является функцией некоторой дайной в изолиниях поверхности или когда даны две поверхности со своими изолиниями, а искомая поверхность является их производной и определяется соответствующими математическими действиями между данными поверхностями.

Я уже рассказывал о том, как отобразить двумерные данные с помощью поверхностей уровня в gnuplot . Сегодня я покажу другой способ отобразить двумерные данные на графике: с помощью изолиний, подобно тому, как обозначаются высоты на картах.

Я покажу, как это делается, на примере сразу трёх свободных инструментов: gnuplot , gri и matplotlib (он же pylab ). Именно этими тремя программами я пользуюсь чаще всего. В тексте буду давать ссылки на полный скрипт, используемый для построения графика, пояснять же буду самое основное. Все графики я буду строить в чёрнобелом варианте, сохраняя в формате EPS. Иллюстрации к этой статье получены последующей конвертацией EPS в PNG.

Итак, способ первый:

Строим график с изолиниями в gnuplot

Можно задать уровни изолиний и вручную:

будет строить график с изолиниями. И вот какой результат получается по-умолчанию в gnuplot :

(Запускал gnuplot так: $ gnuplot plotiso_gnulot.txt .)

Строим график с изолиниями в gri

Честно говоря, я считаю, что gri справляется с изолиниями лучше, чем gnuplot . Во всяком случае, здесь, в отличие от gnuplot , значения можно надписать прямо на изолиниях, и есть реальная возможность управлять цветами изолиний при сохранении EPS (пользователей gnuplot в этом месте ждёт сюрприз). При этом gri остаётся инструментом, достаточно простым для понимания.

Построение же собственно изолиний уже совсем просто:

Вот что получает в gri :

( gri я запускал так: $ gri -b -output iso_gri.eps .)

Строим изолинии в matplotlib/pylab

matplotlib — это библиотека для python . Её можно использовать как интерактивно, запуская ipython -pylab , так и внутри обычного скрипта; синтаксис команд построения графиков приближен к синтаксису matlab , но при этом можно использовать на полную возможности Python . А возможности у matplotlib весьма приличные.

Изолинии строятся одной командой:

Здесь X , Y , Z — должны быть двумерными массивами одной и той же размерности. Кроме того, в скрипте я отключил раскраску изолиний по умолчанию, чтобы нарисовать все изолинии чёрным цветом (параметр colors='black' ). Другие варианты использования contour можно прочитать в help contour , если запустить ipython -pylab . Ещё одна команда добавляет к изолиниям подписи:

Сохранить результат в файл нужного формата тоже просто:

Остальные строчки в скрипте — это преобразование формата данных средствами Python . Вот что получается в итоге:

Конечно, выбор конкретного инструмента — вопрос удобства (имеющегося формата данных, требований к тонкостям настройки графики, имеющегося времени, опыта использования). Я хотел показать, что выбирать есть из чего, и построить на графике изолинии с любой из трёх рассмотренных программ — дело двух-трёх строчек. Совершенствовать же результат и настраивать тонкости отображения можно долго. На мой взгляд, в случае построения изолиний gri и matplotlib предоставляют больше возможностей.

Хочу также заметить, что этими тремя программами список инструментов, пригодных для построения графиков с изолиниями, не исчерпывается. Надо отметить ещё Tioga , plotmtv , GMT , Asymptote . Есть и пакеты, ориентированные на 3D-данные, но которые можно использовать и для 2D: OpenDX , VTK , MayaVi . Вроде бы можно построить изолинии и в R (приличных примеров я не видел). Судя по документации, есть такая возможность и в scilab (но примеров того, что получается — я тоже не видел). Octave , как я понимаю, предоставляет лишь альтернативный интерфейс для gnuplot .

Одним из способов визуального анализа поверхности являются изолинии — линии одинаковой высоты, проводимые через разные высотные отметки с некоторым шагом. Изолинии в системе IndorCAD строятся по триангуляции слоя и автоматически перестраиваются при внесении каких-либо изменений в исходную поверхность. Для построения изолиний достаточно включить отображение объекта Изолинии в дереве проекта.

Параметры построения и отображения изолиний

Поскольку набор параметров как для положительных, так и для отрицательных изолиний одинаков, рассмотрим эти параметры на примере положительных изолиний.

Шаг . Выберите из раскрывающегося списка шаг построения изолиний (разность между высотами соседних изолиний).

Стили линий . В каждом проекте IndorCAD имеются встроенные стили для отображения обычных и утолщённых изолиний, которые по умолчанию выбираются для отображения горизонталей. Если вас не устраивает текущий способ отображения горизонталей, то можно внести необходимые изменения в стиль. Кроме этого, всегда можно задать индивидуальные параметры отображения изолиний, не привязанные к какому-либо стилю, выбрав вариант Индивидуальный .

Дополнительные уровни . Помимо тех изолиний, которые строятся с заданным шагом, можно создавать дополнительные уровни. Для создания нового уровня нажмите кнопку в разделе параметров Дополнительные . Далее в поле Уровень введите Z-отметку нового уровня, укажите цвет и толщину линии, которыми должен отображаться новый уровень. Кнопка в разделе Дополнительные удаляет все дополнительные уровни, а аналогичные кнопки напротив каждого уровня позволяют удалить только этот уровень.

Чтобы изолинии не строились на тех участках поверхности, где уклон превышает некоторое значение, установите опцию Не строить на участках с уклоном более и укажите предельное значение уклона.

Слишком короткие замкнутые изолинии можно удалить автоматически. Для этого поставьте флажок напротив пункта Удалять замкнутые, короче чем и установите необходимое значение длины.
Сглаживание изолиний . Для отображения изолиний гладкими линиями (а не ломаными) выберите в поле Способ построения вариант Сглаживать сплайном .

Чтобы подписать изолинии, включите опцию Подписывать автоматически в разделе Параметры подписи .

Если созданные автоматически подписи изолиний вас не устраивают, то можно выполнить подписывание изолиний в ручном режиме, которое предполагает, что пользователь сам укажет места, где у изолиний должны быть подписи. Ручное подписывание изолиний выполняется путём обозначения на плане специальных подписывающих линий. Чтобы включить режим создания подписей, нажмите кнопку Поверхность > Изолинии > Подписи и бергштрихи .

Щелчками мыши проведите подписывающую линию таким образом, чтобы она пересекала нужные изолинии. Повторным щелчком мыши на последней точке завершите создание линии. В местах пересечения подписывающей линии с изолиниями появятся подписи.

Подписывающие линии являются вспомогательными и не должны отображаться на плане, если с ними не ведётся работа. Поэтому они исчезают сразу, как только включается другой режим работы. Чтобы увидеть подписывающие линии, раскройте выпадающее меню кнопки Подписи и бергштрихи и включите опцию Временно отобразить линии сечения горизонталей . Линии будут видны и доступны для редактирования в течение 30 секунд.

По умолчанию подписываются только утолщённые и дополнительные изолинии. Если требуется подписать все изолинии, выделите подписывающую линию и в инспекторе объектов в разделе Подписывать изолинии выберите переключатель Для всех изолиний (по умолчанию выбран другой пункт — Для утолщённых ). Третий вариант подписи изолиний — Для всех, кроме утолщённых .

Параметры отображения подписей изолиний настраиваются в свойствах изолиний в разделе Параметры подписи .

Количество знаков после запятой при отображении подписей можно выбрать в поле Точность . При выборе варианта Авто подписываются только значащие цифры после запятой.

Чтобы целая часть Z-отметки подписывалась только у утолщённых изолиний, а все остальные изолинии подписывались дробной частью, установите флажок опции Подписывать целую часть только у утолщённых .

Настроить положение подписей относительно изолиний можно в поле Местоположение подписей .

Параметры стиля шрифта, которым подписываются изолинии, можно уточнить в разделе Стиль текста .

С помощью подписывающих линий можно также создавать бергштрихи. Для этого в свойствах выделенной линии установите флаг Строить бергштрихи .

Бергштрихи также можно создавать как Для всех изолиний , так и Для утолщённых или Для всех, кроме утолщенных . Флаг Подписывать изолинии при этом можно отключить, если в местах расположения бергштрихов подписывать изолинии не требуется.

Читайте также: