Свойство логарифмов как из основания сделать степень
Добавил пользователь Alex Обновлено: 18.09.2024
Определение логарифма, основное логарифмическое тождество
Рассмотрим два произвольных действительных числа a и b , удовлетворяющих условиям
Определение . Логарифмом числа b по основанию a называют такую степень, в которую надо возвести число a , чтобы получить число b .
Другими словами, логарифм числа b по основанию a – это такое число x , которое является решением уравнения
Доказательство того, что решение уравнения (2) существует и единственно, выходит за рамки школьной программы.
Для логарифма числа b по основанию a используется обозначение:
Таким образом, для всех действительных чисел a и b , удовлетворяющих условиям (1), справедливо равенство
которое часто называют основным логарифмическим тождеством .
Замечание . Обратим особое внимание на то, что при решении уравнения (2) мы ищем показатель степени, а при решении уравнения
мы ищем основание степени, которое вычисляется по формуле
и в случае, когда a – натуральное число, является корнем натуральной степени из числа b .
Пример 1 . Решить уравнение
Решение . Воспользовавшись понятием кубического корня и свойствами степеней, получаем
Пример 2 . Решить уравнение
Решение . Воспользовавшись тем, что число 81 является четвертой степенью числа 3 , получаем:
Задача . Доказать, что число
Решение . Предположим противное, т.е. предположим, что указанное число рационально. Тогда существует несократимая дробь
числитель и знаменатель которой являются натуральными числами и такая, что справедливо равенство:
Из определения логарифма отсюда вытекает равенство:
следствием которого является равенство:
Но последнее равенство невозможно, поскольку его левая часть четное число, а правая – нечетное. Полученное противоречие доказывает требуемое в задаче утверждение.
Свойства логарифмов
Перечисленные ниже свойства логарифмов вытекают из основного логарифмического тождества:
Timeweb - компания, которая размещает проекты клиентов в Интернете, регистрирует адреса сайтов и предоставляет аренду виртуальных и физических серверов. Разместите свой сайт в Сети - расскажите миру о себе!
Виртуальный хостинг
Быстрая загрузка вашего сайта, бесплатное доменное имя, SSL-сертификат и почта. Первоклассная круглосуточная поддержка.
Производительность и масштабируемые ресурсы для вашего проекта. Персональный сервер по цене виртуального хостинга.
Выделенные серверы
Быстрая загрузка вашего сайта, бесплатное доменное имя, SSL-сертификат и почта. Первоклассная круглосуточная поддержка.
Логарифм — это математическая функция, основанная на свойствах возведения в степень.
Значение логарифма соответствует показателю степени данной базы, равному положительному числу “b” в базе “a”, что также должна быть положительной и отличаться от 1 .
Основываясь на математических формулах логарифмов, можно вычислить постоянную константу, которая в корреляции со всеми математическими константами окажет влияние на конечный результат логарифма числа. В месте с тем, этот результат приведет к трансформации объектов, равных пропорции необходимых логарифмов в пересчете на множители обратных функций.
С первого взгляда это сложно понять, но если увеличить коэффициент логарифма на равный ему множитель, то получится свойство логарифма применимое к школьной программе старших классов, а также для учащихся высших учебных заведений.
Категорическое решение логарифмов, основываясь на из свойствах, ставит в пропорцию их виды. Таким образом, формулы логарифмов соотносятся к самим логарифмам, как необходимая часть их самих.
Виды логарифмов
Логарифм положительного числа b по основанию a ( loga b ) — это показатель степени, в которую надо возвести a , чтобы получить b . b > 0, a > 0, а≠ 1 .
Для определения основания логарифма необходимо сначала определить его вид и, исходя из полученных результатов, по формуле и таблице сравнить корректность полученных значений. Это и будет основанием логарифма.
Чтобы решить логарифм необходимо понять, что a в степени x будет равно b, т.е. в какую степень x необходимо возвести основание логарифма a, чтобы получить значение b.
Примеры логарифмов:
В данных примерах можно увидель сложные и простые логарифмы, решение которых показывает, что всякий тождественный логарифм находится в пропорции его основания, за исключением вводных данных.
Конечно, основание логарифма пропорционально его значению, что приводит к равенству обратного значения. Это также необходимо учесть при рассмотрении равенства, кроме случаев, когда логарифм переностися с левой части равенства в правую.
log 2 8 = 3 (логарифм 8 по основанию 2 ), так как 2 3 = 8
log 7 49 = 2 (логарифм 49 по основанию 7 ), так как 7 2 = 49
log 5 1 5 = -1 (логарифм 1 5 по основанию 5 ), так как 5 -1 = 1 5
Десятичный логарифм
Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10.
Десятичный логарифм может быть не только как равенство степеней, но и показывать их различия. Наиболее хорошо это видно при разложении логарифма на члены в качестве констант a и b.
Конечным результатом решения десятичного логарифма является его сходство с натуральным логарифмом.
lg b — десятичный логарифм (логарифм по основанию 10 , a = 10 )
Примеры десятичных логарифмов:
lg 100 = 2 — десятичный логарифм обозначается именно так (lg), это десятичный логарифм ста;
log 10 100 = 2 (другое обозначение десятичного логарифма), так как 10 2 = 100 . Но, строго говоря, это логарифм по основанию 10 . Он будет иметь то же значение, что и десятичный логарифм.
Натуральный логарифм
При решении натурального логарифма его основа будет схожей с десятичным логарифмом за исключением того, что вместо числа 10 будет использоваться постоянная константа e.
Ещё одной особенностью натурального логарифма будет его неравенство по отношению к обратной функции.
Но стоит не приравнивать такое основание логарифма к прямой константе из-за большой разности при выборе метода подсчета логарифма.
ln b — натуральный логарифм (логарифм по основанию e , a = e )
Можно провести аналогию с десятичным логарифмом, только здесь не число 10 , а постоянная e ; e ≈ 2.72 .
Формулы и свойства логарифмов
Для любых a > 0 , a ≠ 1 и b > 0 , x > 0 , y > 0 выполняются следующие свойства логарифмов.
Именно это свойство логарифмов позволяет вычислять точные значения в отличае от других методов вычисления.
Неточность других методов вычисления основывается на неверной корреляции остаточного члена логарифмического равенства.
Наряду с этим каждое из свойств является индивидуальным, равно как каждый из его членов. Всё это позволяет сделать вывод, что благодаря формулам, выведенным математиком, вычисления становятся простыми в рамках неравенств.
Основное логарифмическое тождество
Основание a , возведенное в степень логарифма с основанием a , будет равно b .
Логарифм единицы
Логарифмический ноль. Какое бы ни было основание логарифма, если в аргументе стоит 1 , то логарифм всегда равен 0 .
Вычисления такого логарифма применяются в балистике при расчете траектории движения объекта, находящегося в непосредственной близости от Земли. Это обусловлено наиболее точным значением ускорением свободного падения, равным 9,81. А при удалении от поверности Земли это значение изменяется, уменьшается пропорционально расстоянию удаления от поверхности.
Логарифм числа, равного основанию
Логарифмическая единица. Если аргумент и основание логарифма одинаковы, то значение логарифма будет равно единице.
Логарифм числа, обратного основанию
Если аргумент логарифма имеет значение обратное основанию, то значение логарифма будет равно -1 .
Логарифм произведения двух положительных чисел
Сумма логарифмов. При умножении логарифмируемых чисел, можно сделать из них сумму 2-х логарифмов, у которых будут одинаковые основания.
Логарифм частного
Логарифм частного. При делении чисел мы получаем разность двух логарифмов с одинаковым основанием.
Логарифм степени положительного числа
Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа.
Логарифм корня числа
Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня.
Основание логарифма в степени
Формула перехода к новому основанию
log a x = log b x log b a
log a x = 1 log x a
Производная логарифма
Производная логарифмической функции по основанию равна единице, деленной на произведение подлогарифмической функции на натуральный логарифм основания.
При расчёте производной логарифма необходимо учитывать ложный коэффициент производной, при котором нарастает его гиперболическая составляющая. Это и есть главное условие корректного нахождения производной логарифма. В то же время, нельзя упускать второстепенные составляющие при расчёте. К ним относятся расчеты с применением общей суммы логарифмов, а также пропорциональная составляющая двух вычисляемых логарифмов. Такой подход можно применить не только для вычисления производной натурального логарифма, но и при расчете производной десятичного логарифма при возведении в степень x по основанию a.
График логарифмов
Двигая ползунок вы измените основание логарифма, что отразится на форме графика. Так log e e = ln e = 1 , и log 10 10 = 1 .
Таким образом можно увидеть изменения логарифма по основанию от 0 до 10. Промежуточным результатом является логарифм по основанию e, которое приблизительно равно 2.72.
Так трафик логарифма по основанию 0 имеет форму прямой линии, а графики десятичного логарифма и натурального логарифма имею гиперболическую форму.
Логарифм данного числа — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число.
О равенстве a x = N можно сказать, что x — это логарифм числа N по основанию a (где a > 0 и a ≠ 1).
Слово логарифм сокращённо обозначается log, основание же, при котором указывается логарифм данного числа, обозначается в виде нижнего индекса с правой стороны log.
Если мы знаем, что логарифм числа N при основании a равен числу x, то есть:
то это равенство можно написать без знака логарифма
a x = N,
где a — основание степени, x — показатель степени, N — степень.
logaN = x и a x = N
выражают одну и ту же зависимость между числами a, x и N: если дано одно из равенств, значит можно написать и второе. Эту же зависимость между числами a, x и N можно выразить ещё одним равенством:
x √ N = a или a = x √ N .
Отрицательные числа и нуль ни при каком основании a (a > 0 и a ≠ 1) логарифмов не имеют.
Основное логарифмическое тождество
Степень, показателем которой является логарифм числа N при таком же основании, как и основание степени, равна числу N.
Возьмём логарифм числа N при основании a равный числу q
logaN = q, значит a q = N.
Подставив в последнее равенство вместо числа q равное ему выражение logaN, получим
Выражение a logaN = N называется основным логарифмическим тождеством.
Свойства логарифмов
Рассмотрены свойства логарифмов для оснований, которые больше нуля и не равны единице:
a > 0 и a ≠ 1.
Логарифм единицы равен нулю.
так как нулевая степень любого числа (за исключением нуля) равна 1:
Логарифм числа равного основанию равен единице.
так как первая степень любого числа равна этому же числу без степени:
a 1 = a.
Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
где M > 0, N > 0.
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя (или логарифм дроби равен логарифму числителя минус логарифм знаменателя).
| loga | M | = logaM - logaN , |
| N |
где M > 0, N > 0.
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.
Логарифм, у которого в основании стоит степень, равен частному от деления логарифма при этом же основании без степени на показатель степени основания.
где N > 0, x ≠ 0.
Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня.
| loga x √ N = | logaN | = | 1 | logaN . |
| x | x |
Из формулы логарифма корня и формулы логарифма, у которого в основании стоит степень, можно сделать вывод, что логарифм корня равен логарифму данного числа с основанием в степени, равной показателю корня.
| loga x √ N = loga x N = | 1 | logaN . |
| x |
Свойства логарифмов степени и корня можно объединить ещё в одно:
| loga β N α = | α | logaN , |
| β |
где N > 0, β ≠ 0.
Любой логарифм можно представить в виде отношения двух логарифмов, взятых по одному и тому же произвольному основанию.
| logbN = | logaN | , |
| logab |
где N > 0. Данная формула называется формулой перехода к новому основанию.
Произведение взаимно обратных логарифмов равно единице.
Взаимно обратные логарифмы — это пара логарифмов, у которых основание и выражение под знаком логарифма поменялись местами.
Величина логарифма не изменится, если возвести число, стоящее под знаком логарифма, и одновременно основание логарифма в какую-либо степень.
Читайте также: