Как сделать шаблон параболы

Добавил пользователь Alex
Обновлено: 05.10.2024

Большинство явлений в нашей жизни можно описать математическим языком. И функция — отличный в этом помощник. Давайте рассмотрим ее квадратичную форму.

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Графический способ: наглядно.

Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.

Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:

a — старший коэффициент, который отвечает за ширину параболы. Большое значение a — парабола узкая, небольшое — парабола широкая.
b — второй коэффициент, который отвечает за смещение параболы от центра координат.
с — свободный член, который соответствует координате пересечения параболы с осью ординат.

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 :

Точки, обозначенные зелеными кружками называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x 2 , нужно составить таблицу:

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

Если старший коэффициент больше нуля a > 0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
Если старший коэффициент меньше нуля a 2 + bx + c, для построения которой нужно решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b 2 - 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

Если D 0,то график выглядит так:

Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:
Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:

Если a > 0, то график выглядит как-то так:

На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2x 2 + 3x - 5.

Как строим:

Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x 2 + 3x - 5.

D = b 2 - 4ac = 9 - 4 * 2 * (-5) = 49 > 0

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x - x₀) 2 + y₀

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x 2 + 3x - 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.

Демонстрируем пособия по алгебре: шаблоны парабол 𝑦 = 𝑥²; 𝑦 = 2𝑥²; 𝑦 = ½ 𝑥².

Данные пособия изготовлены из оргстекла толщиной 6 мм с удобными ручками. Параболы выполнены с единичным отрезком 5 см, то есть доска должна быть чётко расчерчена на квадраты 5 см × 5 см. При работе лучше использовать круглый мел диаметром 1 см.

Учитель и ученики быстро и точно смогут выполнить чертёж графиков данных функций на доске с помощью шаблонов, а также других графиков, полученных из данных путём элементарных преобразований.

Цель: продолжить формирование умения строить график функции у = а (х – т) 2 + п, используя при этом шаблоны парабол.

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Для каждого из графиков, изображенных на рисунке, найдите соответствующую функцию:

а) у = ; г) у = х 2 + 1;

б) у = –2х 2 + 1; д) у = ;

в) у = (х – 1) 2 – 2; е) у = (х + 1) 2 – 2.

III. Формирование умений и навыков.

Учащиеся выполняют з а д а н и я двух групп:

– построение графика функции у = а (х – т) 2 + п с использованием шаблонов;

– построение графика функции у = а (х – т) 2 + п с помощью преобразований.

2. Используя шаблон параболы у = 2х 2 , постройте график функций:

а) у = 2 (х + 1) 2 – 4; б) у = –2 (х – 3) 2 + 2.

3. Используя шаблон параболы у = х 2 , постройте график функции:

а) у = ;

б) у = .

1. Постройте графики функции:

а) у = ;

б) у = –3(х – 1) 2 + 4;

в) у =

2. Задайте формулой функцию, график которой изображен на рисунке:

IV. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Изобразите схематически графики функций:

а) у = –(х – 3) 2 ;

б) у = х 2 + 1;

в) у = 2 (х + 1) 2 – 3.

2. Используя шаблон параболы у = х 2 , постройте график функций:

а) у = (х + 2) 2 – 3;

б) у = –(х – 1) 2 + 4.

3*. Задайте формулой функцию, график которой изображен на рисунке:

В а р и а н т 2

1. Изобразите схематически графики функций:

а) у = –2х 2 + 3;

б) у = (х + 2) 2 ;

в) у = –(х – 1) 2 – 2.

2. Используя шаблон параболы у = х 2 , постройте графики функций:

а) у = (х – 3) 2 – 2;

б) у = –(х + 1) 2 + 5.

3*. Задайте формулой функцию, график которой изображен на рисунке:

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что является графиком функции у = а (х – т) 2 + п?

– Как может быть получен график функции у = а (х – т) 2 + п из графика функции у = ах 2 ?

– Какие координаты имеют вершины парабол:

у = 2 (х – 3) 2 + 4, у = (х + 1) 2 – 5?

Домашнее задание:

2. Постройте графики функций:

а) у = –2 (х – 1) 2 + 3; б) у = (х + 2) 2 – 4.

В а р и а н т 1

1. Изобразите схематически графики функций:

а) у = –(х – 3) 2 ;

б) у = х 2 + 1;

в) у = 2 (х + 1) 2 – 3.

2. Используя шаблон параболы у = х 2 , постройте график функций:

а) у = (х + 2) 2 – 3;

б) у = –(х – 1) 2 + 4.

3*. Задайте формулой функцию, график которой изображен на рисунке:

В а р и а н т 2

1. Изобразите схематически графики функций:

а) у = –2х 2 + 3;

б) у = (х + 2) 2 ;

в) у = –(х – 1) 2 – 2.

2. Используя шаблон параболы у = х 2 , постройте графики функций:

Оптимальное время для публикаций в Facebook

Пик посещаемости постов в Facebook приходится на 15:00 в среду
Трафик увеличивается к 9:00 утра и постепенно спадает к 16:00

Караоке для вашего торжества

DJKARAOKE предлагает выездное караоке на базе профессиональной караоке-системы AST для специализированных караоке-заведений, караоке-клубов, баров, ресторанов и частных караоке-инсталляций премиум класса! Всегда обновленная база песен и отличный звук! Заказывая караоке у нас, вы почувствуете себя звездой! В ресторане, банкетном зале или на даче, теплоходе или загородном доме, на природе или в офисе - мы организуем для вас караоке-вечеринку на самом высоком профессиональном уровне!

Десятки тысяч фонограмм студийного качества и улучшенные алгоритмы изменения тональности и темпа с актуальными обновлениями на сегодняшний день! Для более интересной программы вы можете заказать услуги диджея и ведущего на праздник!

Чтобы ваш праздник был счастливым и запоминающимся, должен быть кто-то, кто заботится о том, чтобы вызывать у людей эмоции и улыбки. Это обеспечит ди-джей и хорошее выездное караоке с качественным оборудованием и большим репертуаром.

Если вы хотите, чтобы веселый и сумасшедший ди-джей взорвал публику эмоциями, а отличное караоке позволило участникам вашего мероприятия раскрыть свои таланты, то обращайтесь именно в DJKARAOKE. Тут готовы помочь вам выбрать лучшие варианты, полностью соответствующий вашим желаниям и вкусам. Для вас работает команда профессионалов, преданных своему делу и вкладывающих всю свою энергию в создание настоящих эмоций и улыбок на лицах людей.

Выездное караоке прекрасно сочетаются с отдыхом, например, у бассейна, а также имеет другие удобства и достопримечательности в своем комплексе, такие как детская площадка, барбекю, футбольные и волейбольные площадки, настольный теннис. Самым популярным аттракционом у наших гостей, однако, является искусственный бассейн с подогревом. Неплохо использовать выездное караоке и с отдыхом в сауне. Это уникальный отдых для всех, кто ищет идеальное место для семейного отдыха, романтических выходных или поездки на природу с компанией друзей или коллег.

Так что смело обращайтесь. Здесь помогут вам сделать праздник ярким и красочным.

Читайте также: