Как сделать характеристическое уравнение

Добавил пользователь Morpheus
Обновлено: 16.09.2024

Характеристическое уравнение составляется для цепи после коммутации. Оно может быть получено следующими способами:

непосредственно на основе дифференциального уравнения вида (2) (см. лекцию №24), т.е. путем исключения из системы уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи на основании первого и второго законов Кирхгофа, всех неизвестных величин, кроме одной, относительно которой и записывается уравнение (2);

путем использования выражения для входного сопротивления цепи на синусоидальном токе;

на основе выражения главного определителя.

Согласно первому способу в предыдущей лекции было получено дифференциальное уравнение относительно напряжения на конденсаторе для последовательной R-L-C-цепи, на базе которого записывается характеристическое уравнение.

Следует отметить, что, поскольку линейная цепь охвачена единым переходным процессом, корни характеристического уравнения являются общими для всех свободных составляющих напряжений и токов ветвей схемы, параметры которых входят в характеристическое уравнение. Поэтому по первому способу составления характеристического уравнения в качестве переменной, относительно которой оно записывается, может быть выбрана любая.

П рименение второго и третьего способов составления характеристического уравнения рассмотрим на примере цепи рис. 1.

Составление характеристического уравнения по методу входного сопротивления заключается в следующем:

записывается входное сопротивление цепи на переменном токе;

jw заменяется на оператор р;

полученное выражение приравнивается к нулю.

совпадает с характеристическим.

Следует подчеркнуть, что входное сопротивление может быть записано относительно места разрыва любой ветви схемы. При этом активный двухполюсник заменяется пассивным по аналогии с методом эквивалентного генератора. Данный способ составления характеристического уравнения предполагает отсутствие в схеме магнитосвязанных ветвей; при наличии таковых необходимо осуществить их предварительное развязывание.

Для цепи на рис. 1 относительно зажимов источника

Заменив jw на р и приравняв полученное выражение к нулю, запишем

При составлении характеристического уравнения на основе выражения главного определителя число алгебраических уравнений, на базе которых он записывается, равно числу неизвестных свободных составляющих токов. Алгебраизация исходной системы интегро-дифференциальных уравнений, составленных, например, на основании законов Кирхгофа или по методу контурных токов, осуществляется заменой символов дифференцирования и интегрирования соответственно на умножение и деление на оператор р. Характеристическое уравнение получается путем приравнивания записанного определителя к нулю. Поскольку выражение для главного определителя не зависит от правых частей системы неоднородных уравнений, его составление можно производить на основе системы уравнений, записанных для полных токов.

Для цепи на рис. 1 алгебраизованная система уравнений на основе метода контурных токов имеет вид

Отсюда выражение для главного определителя этой системы

Подставляя выражения для У и У" в уравнение (3.24), получаем откуда после сокращения на е л ' находим

Из уравнение (3.38) следует, что Л является собственным значением матрицы А, а Р - собственным вектором, соответствующим Л.

Определение 3.3. Характеристическое уравнение матрицы А

называется характеристическим уравнением однородной линейной системы (3.23) с постоянными коэффициентами.

Замечание 3.2. Напомним, что для нахождения собственного вектора Р, соответствующего собственному значению Л матрицы И, необходимо найти решение следующей алгебраической системы уравнений:

Сделаем в системе (3.24) линейную замену неизвестных функций:

или, в матричной форме,

Полученная система (3.43) также как и исходная система (3.24) является линейной однородной. Причем матрица новой системы А подобна матрице А. Из курса линейной алгебры (см. приложение 1) известно, что существует такая невырожденная матрица В, что преобразованием (3.44)

Здесь на главной диагонали стоит одно из собственных значений А., матрицы А, на соседней диагонали сверху - единицы, остальные элементы равны нулю.

Заметим, что одному и тому же собственному значению А., могут соответствовать несколько жордановых клеток./,, число которых равно числу линейно независимых векторов, соответствующих А.

Так как в общем случае собственные значения и соответствующие им собственные векторы могут быть комплексными, а нас интересуют вещественные решения системы (3.24), то, наряду с комплексной жордановой нормальной формой, мы будем использовать и вещественную жорданову нормальную форму.

Определение 3.4. Линейная однородная система (3.24) называется канонической, если матрица её матрица приведена к нормальной форме.

Каноническая система является наиболее простой из всех систем, приводимых к ней линейными преобразованиями. Зная сё решение, можно при помощи обратного линейного преобразования найти решение иеход- ной системы. Стоит заметить, что для матриц большого порядка отыскание жордановой формы представляет собой достаточно сложную процедуру и зачастую решение системы можно найти более простым способом. Однако качественные свойства решений канонической системы достаточно точно описывают свойства решений всего класса приводимых к данной канонической системе линейных систем.

Рассмотрим линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными, то сеть систему вида

и на ее примере продемонстрируем методы нахождения оощего решения однородной системы. Однако заметим, что полученные в этом случае результаты могут без труда быть перенесены на случай систем большего числа уравнений.

Характеристическое уравнение системы (3.45):

является алгебраическим уравнением второго порядка. При его решении могут возникнуть три случая.

Во многих случаях физические процессы, происходящие в системах, описываются системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая в достаточно общем случае может быть сведена к дифференциальному уравнению вида
аэродинамические коэффициенты; Z(t) — неизвестная функция времени t; F(t) — заданное, зависящее от времени внешнее возмущение. Если ввести обозначение ">
(при F(t) (≡) 0 это уравнение называется однородным). Здесь а1, b1 — постоянные коэффициенты, выражающиеся, например, через аэродинамические коэффициенты; Z(t) — неизвестная функция времени t; F(t) — заданное, зависящее от времени внешнее возмущение. Если ввести обозначение
di/dti = pi
так, что
diZ(t)/dti = piZ(t),
то это уравнение можно переписать в виде
L(p)Z(t) = S(р)F(t),
где L(р) и S(р) — некоторые многочлены степеней n и m соответственно. Полученный таким образом многочлен
L(р) = рn + a1pn—1 + . + an—1p + an
называется характеристическим многочленом (полиномом), а уравнение
L(р) = 0
— характеристическим уравнением (существуют и другие способы получения X. у. — см., например, ст. Передаточная функция). Корни X. у. определяют вид решения линейного однородного дифференциального уравнения и тем самым тип собственного движения системы (периодические, затухающее и т. п.). X. у. линейной системы не зависит от того, относительно какой из её переменных (например, скорость полёта или угол атаки при исследовании продольного движения) составляется дифференциальное уравнение и какие возмущающие и задающие воздействия в эту систему вводятся.
Необходимым и достаточным условием устойчивости решения системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений является отрицательность всех действительных частей корней X. у. При этом оказывается, что положительность всех коэффициентов характеристического полинома является необходимым и достаточным условием устойчивости для систем первого и второго порядков и лишь необходимым условием устойчивости (обеспечивается отрицательность только вещественных корней) для систем третьего и более высоких порядков. Существуют различные способы исследования на основе X. у. устойчивости систем, например метод построения областей устойчивости, алгебраические и частотные критерии. X. у. широко используется при исследовании динамики полёта, устойчивости ЛА и его управляемости.

Авиация: Энциклопедия. — М.: Большая Российская Энциклопедия . Главный редактор Г.П. Свищев . 1994 .

Полезное

Смотреть что такое "Характеристическое уравнение" в других словарях:

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ — алгебраическое уравнение видаОпределитель в этой формуле получается из определителя матрицы вычитанием величины x из диагональных элементов; он представляет собой многочлен относительно x и называется характеристическим многочленом … Большой Энциклопедический словарь

характеристическое уравнение — — [В.А.Семенов. Англо русский словарь по релейной защите] Тематики релейная защита EN characteristic equation … Справочник технического переводчика

характеристическое уравнение — алгебраическое уравнение вида . Определитель в этой формуле получается из определителя матрицы х из диагональных элементов; он представляет собой многочлен относительно х и называется характеристическим многочленом. * * * ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ… … Энциклопедический словарь

характеристическое уравнение — būdingoji lygtis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. characteristic equation; performance equation vok. charakteristische Gleichung, f; Stammgleichung, f rus. характеристическое уравнение, n pranc. équation caractéristique, f … Automatikos terminų žodynas

характеристическое уравнение — būdingoji lygtis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. characteristic equation; performance equation vok. charakteristische Gleichung, f rus. характеристическое уравнение, n pranc. équation caractéristique, f … Fizikos terminų žodynas

Характеристическое уравнение — в математике, 1) Х. у. матрицы алгебраическое уравнение вида определитель, стоящий в левой части Х. у., получается из определителя матрицы (См. Матрица) А = ||aik||n1 вычитанием величины λ из диагональных… … Большая советская энциклопедия

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ — вековое уравнение, см. в ст. Характеристический многочлен … Математическая энциклопедия

Характеристическое уравнение — Характеристический многочлен это многочлен, определяющий собственные значения матрицы. Другое значение: Характеристический многочлен линейной рекурренты это многочлен . Содержание 1 Определение … Википедия

В этом параграфе мы рассмотрим важный и весьма распространенный случай, когда в уравнении вида (19.10) функции р(х) и q(x) — постоянные величины. Уравнения такого вида называются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами. Как и в общем случае линейных дифференциальных уравнений второго порядка, основой в построении решения являются однородные уравнения.

Характеристическое уравнение

Рассмотрим линейное однородное уравнение

где pnq — вещественные числа. Будем искать решение этого уравнения в виде у = е**, где к — некоторое число. Подставляя эту функцию в уравнение (19.20), имеем:

Сокращая обе части этого равенства на е**. получаем квалпатное упавнение*

Стало быть, если число к является корнем уравнения (19.21), то функция у = e tv есть решение однородного уравнения (19.20). Уравнение (19.21) называется характеристическим уравнением для уравнения (19.20).

Вид решения уравнения (19.20) существенно зависит оттого, какие корни имеет характеристическое уравнение (19.21). Обозначим эти корни через к_] и к-,. Справедлива следующая теорема.

Теорема 19.6. 1. Если корни характеристического уравнения вещественные и к^Ф k_2i то общее решение однородного уравнения (19.20) имеет вид:

2. Если корни уравнения (19.21) вещественные и равные (А:, = к₂ = А:), то общее решение уравнения (19.20) имеет вид:

3. Если корни характеристического уравнения комплексные (А:, = а + Ы> к₂ = -а - Ы, где / = 7-1, а и b — вещественные числа), то общее решение уравнения (19.20) имеет вид:

где а=-p/2_t b=y]q-р 2 /4.

Во всех трех случаях С, и С₂ — произвольные постоянные.

Для доказательства этой теоремы достаточно убедиться в том, что каждое из слагаемых в правых частях равенств (19.22)—(19.24) является решением уравнения

(19.20), а затем по определителю Вронского удостовериться в том, что каждая пара функций в этих равенствах является линейно независимой. ?

Заметим, что в случае 3 корни характеристического многочлена с действительными коэффициентами представляют собой комплексно-сопряженные числа в алгебраической форме.

Рассмотрим примеры. Найдем общие решения однородных уравнений.

Пример 8. у" - 5у' + 4у = 0.

Решение. Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид:

Его корни вещественные и различны: к_х = I, к₂ = 4. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид:

Пример 9. у" - 6у' + 9 = 0.

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Оно имеет кратный корень к = 3; следовательно, общее решение данного однородного уравнения имеет вид:

Читайте также: