Как сделать четырехугольник

Обновлено: 06.07.2024

Решить задачу и используя функции класса TСanvas нарисовать соответствующую геометрическую фигуру. Даны четыре числа а, b, с, d. Необходимо определить, существует ли четырехугольник с такими длинами сторон.
В общем условие существования я то проверил, но сложности возникли с нахождением координат и построением. Препод сказал,что вроде можно одну координату задать или за (0;0) обозначить.
Помогите хотя-бы объяснением на словах.

Построить четырехугольник
На координатной плоскости генерируется задаваемое пользователем количество К =4..26 случайных.

Выяснить, можно ли построить прямоугольный треугольник со сторонами K, L, M
Дано натуральное трехзначное число. Найти цифры этого числа K, L, M и выяснить, можно ли построить.

Задан треугольник тремя сторонами A, B и C. Построить программу вычисления его углов в градусах.
Помогите пожалуйста. Знаю, что задание простое, но путаюсь в математических условиях. Задание.

Пройдет ли кирпич со сторонами x,y,z сквозь прямоугольное отверстие со сторонами r и s. Стороны отверстия долж
Пройдет ли кирпич со сторонами x,y,z сквозь прямоугольное отверстие со сторонами r и s. Стороны.

Решение

не хватает половины данных для построения, да и для првоерки тоже. надо либо 4 коордианты вершин(8 значений), либо длины сторон + углы, по данным 4 числам (этим длинам) можно только построить точки на числовой оси и ничего адекватного больше

Я это и так знаю. Если бы всё это было дано, то я бы сделал без проблем. Подходил с этим вопросом к преподу,он сам толком не знает, только плечами пожимает и говорит, что такой идиотский вариант попался. Но мне то нужно сдать. Мы с ним пытались что-то думать, но в итоге всё скатывается в задачу, которую я даже на листе толком то решить не могу.

это шутка такая. препод курит чота с вами на уроках?)) дайте тоже попробовать)))

а как сдать если препод не знает, как он проверять будет?))))) я ф шоке .. ппц.. а мы то чем поможем решить?))) физику и математику перевернем и научимся строить по длинам сторон фигуры не имея дополнительных данных. только меня смущает вот чо

и что это даст?
ну пусть у нас будет 2 3 4 5 длины сторон, что из этого можно сделать? Я ничего не могу сделать)) потому что тут бесконечное количество прямых/ треугольников/ четырехугольников, если длины могли бы быть нулями то еще и точку можно описать этими длинами, надо либо углы еще, либо пару точек, сейчас у нас 4 уравнения можно составить с 8 неизвестными, система решения не имеет на данный момент как-бэ

Разве? По-моему, система имеет бесконечное количество решений. Рисуем любое возможное решение - это не противоречит условию задачи.

я хочу наглядное решение сего видеть, взаимосвязь как минимум

ну пусть у нас будет 2 3 4 5 длины сторон, что из этого можно сделать? Я ничего не могу сделать)) потому что тут бесконечное количество прямых/ треугольников/ четырехугольников, если длины могли бы быть нулями то еще и точку можно описать этими длинами

либо пару точек, сейчас у нас 4 уравнения можно составить с 8 неизвестными, система решения не имеет на данный момент как-бэ

однозначного решения. ну написано же

при этом отсеивайте точки/ прямые /треугольники из возможного решения. НО при этом учитывая, что длины сторон изменяться не могут ни коим образом, т.е. берем одну линию, к ней присандаливаем вторую, под произвольным углом, далее ко второй третью, снова под произвольным углом, далее надо запаковать четвертую так, чтобы начало первой линии и конец третьей линии оказались на расстоянии друг от друга в длину четвертой линии, решить можно только методом подгона, числовым методом решения, схождение в некой дельте. Приветствую Вас, мы пришли в тему "Инверсная кинематика"

Arcor, я решил без всякой "Инверсной кинематики". Найден один недочёт - нельзя построить квадрат, т.к. одна сторона обязательно должна быть длиннее других.
Я не программист, поэтому сделал в моём любимом мадкаде. Формулы простые, перевести в ЯП тривиально.
Идея в следующем:
Мы будем всегда строить четырёхугольник, у которого две стороны параллельны. Для нахождения углов я воспользовался теоремой косинусов. Треугольник строю из трапеции уменьшением нижней длиннейшей стороны на величину верхней стороны, которая должна быть не больше минимальной из a,b,c,d. Нижнюю сторону после уменьшения я назвал dd. И строю треугольник "b,c,dd". Для нахождения левого угла bdd между b и dd применяю теорему косинусов.
Дальше для нахождения координат из длин и углов я использую тривиальные формулы. Получаю bx, by.
Координаты линии c так же тривиально находятся из b.
Обратно "горизонтально растягиваю" треугольник в трапецию и нахожу координаты линии a.
Т.о. нижняя линия d самая длинная из всех, верхняя линия - a не меньше самой короткой, слева линия b, справа - c.
Не сортирую заданные длины, это тоже тривиально.

я и говорил, что нету одного очевидного ответа, есть бесконечное множество решений, вы взяли что-то одно и начали плястаь оттуда, таким же успехом можно было бы придумать и точки, расположенные попарно на растоянии соответствующим длинам. затем например параллельным переносом переность, "зацепляя" их друг за дружку.

в вашем алгоритме, каким способом мы будем брать две линии которые обязаны быть параллельны, вы привели 4 картинки с индивидуальными длинами, покажите как построить из 4 длин разные варианты, комбинируя линии по разному

алгоритм интреесный все же

Эти линии выбираются по длине. Самая длинная и самая короткая всегда будут параллельны. Самая короткая не обязательно должна быть короче всех остальных, может быть равной.

С версии 13 для меня он Mad :)

Я вот что начал сейчас на работе перед уходом уже. уже бежать надо домой.. ээхх не доделал чуть

я со своей кинематикой))))

идея:
берем теорему косинусов
берем 3 первых длины, сравниваем длины, если сумма двух больше или равно третьей - то возможно строить треульник
вырешиваем альфу
выбираем произвольную бетту, чтобы построить первую линию, синус/косинус для высчитывания конечных точек первой линии
имя бетту + полученныую альфу, строим вторую линию, конечная точка снова синус/косинус от альфы + бетта
построили 2 линии уже.
берем в расчет С, Д и С'
снова по теореме косинусов решаем гамму, так как длина С у нас осталась, крутим ее вокруг на угол гамма + тот угол, что был у С до этого и вуаля мы построили четырехугольник, кинематическая модель которого останется неизменной для любых изменений углов

в чем моя загвоздка вышла сейчас и я не успел решить это на работе - надо правильно распознать ситуацию, когда к полученному углу надо + 180, а когда не надо вообще

я пошел домой, может быть вечером открою снова и попробую решить

Спасибо, потырил сортировку и может что-то ещё.
Сделал свой алгоритм, вроде работает. Разве что хотел сделать выполнение процедуры при показе формы, чтобы при старте программы уже было нарисовано. Добавляю процедуру в onShow формы, но не работает. Добавлял в другие события, но ничего не заработало.
Чтобы отрисовало надо или сменить значение, масштаб или кликнуть на форму(или на PaintBox).

Забыл добавить проверку на квадрат и отлов исключительных ситуаций!

Arcor, а вам нужно математически красивое решение или построить четырёхугольник? Если только последнее, то вы не думали про итерационный метод? Строите квадрат на основе первой стороны. Затем сравниваете вторую заданную сторону со второй стороной квадрата. Если не равны, то равняете. Сложность тут в том, что придётся равнять одну сторону и два угла. Придётся хитро разбивать на треугольники и по той же теореме косинусов считать новые углы. Это наркомания, конечно, но при современных вычислительных мощностях почему бы и нет?

потому мне и нравится метод "инверсной кинематики"(тут только малая часть этого значения), это элегантное геометрическое решение

я перестал понимать. В алгоритме не может быть произвольного угла, я не понял и дочитал по диагонали.

1 - берем 4 произвольные длины(A, B, C, D), заведомо из которых можно соорудить треугольник
2 - берем вспомогательную длину Q, любой длины, но тже при условии, что с ней можно построить треугольник
3 - по теореме косинусов вырешиваем углы 1 - 6, использовать будем 1, 2 и 6; 3, 4 и 5 для проверки или построения с другого "края"
4 - по углу 1 строим первую линию, длиной А
5 - по углу 2 строим вторую линию, длиной B
6 - по углу 6 строим третью линию, длиной С
7 - линия D строится автоматически, так как она тоже учавствовала при решении теоремы косинусов, так что все взаимосвязано.

по сути тут только одна проищвольная величина выбирается, это длина Q, можно сделать и стартовый угол еще, чтобы задавать, но я просто взял из получившегося треугольника автоматом сгенерированную из трех длин, A, B и Q. той же теоремой косинусов

далее просто от балды куча разных длин и в итоге идет замер реальной длины, решилось ли все верно или нет, слева в логе можно видеть углы и длины после проверки, на картинке начатая прога-фреймворк для 2D CAD, просто там уже есть много инструментов для удобной работы с геометрией)) не стал канвасом баловаться..

осталась самая малость сделать распознавание правильного угла, чем я в своем фреймворке и займусь, эта тема толкнула нановые мысли и я делал в первую очередь это задание для себя самого)

Определить, можно ли построить треугольник с заданными сторонами
Древняя легенда гласит, что когда-то тысячу лет назад между тремя самыми крупными планетами.

Определить, можно ли построить треугольник с заданными сторонами
Заданы три целых числа a, b, c. Определить, можно ли построить треугольник с такими сторонами.

Выяснить, можно ли построить треугольники с заданными сторонами
Даны длины отрезков a,b,c,d,e. Выяснить, можно ли построить треугольники со сторонами .

Выяснить, можно ли построить треугольник с заданными сторонами
Даны действительные, положительные числа A,B,C. Выяснить, можно ли построить треугольник с такими.

Четырехугольником ABCD называется фигура, которая состоит из четырех точек А, В, С, D по три, не лежащих на одной прямой, и четырех отрезков AB, BC, CD и AD, соединяющих эти точки.

На рисунках изображены четырехугольники.

Точки А, В, С и D называются вершинами четырехугольника, а отрезки AB, BC, CD и AD - сторонами. Вершины А и С, В и D называются противолежащими вершинами. Стороны AB и CD, BC и AD называются противолежащими сторонами.

Четырехугольники бывают выпуклые (на рисунке - левый) и невыпуклые (на рисунке - правый).

Каждая диагональ выпуклого четырехугольника разделяет его на два треугольника (диагональ АС разделяет ABCD на два треугольника ABC и ACD; диагональ BD - на BCD и BAD). У невыпуклого четырехугольника только одна из диагоналей разделяет его на два треугольника (диагональ AC разделяет ABCD на два треугольника ABC и ACD; диагональ BD - не разделяет).

Рассмотрим основные виды четырехугольников, их свойства, формулы площади:

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

ABCD-параллелограмм: AB||DC, AD||BC

Свойства:

Признаки параллелограмма:

1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Площадь параллелограмма:

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Основаниями называются параллельные стороны, а две другие стороны - боковыми сторонами.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

ТЕОРЕМА.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Площадь трапеции:

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства:

Площадь ромба:

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы равны.

Свойства:

Признак прямоугольника:

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Площадь прямоугольника:

Квадрат

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства:

Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба (прямоугольник является параллелограммом, поэтому и квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, т.е. ромбом).

Площадь квадрата:

Автор: Аникина Марина

Комментарии к этой заметке:

Очень понравилась эта статья ) Все интересно и понятно) Очень помогло! Спасибо)

Определение 1. Четырехугольник − это замкнутая ломаная линия, состоящая из четырех звеньев.

Определение 2. Четырехугольник − геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и последовательно соединенные четырьмя отрезками, называемыми сторонами четырехугольника.

Объединение четырехугольника и ограниченной им части плоскости также называют четырехугольником.

Любой четырехугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью четырехугольника, а другая внешней областью четырехугольника.

Виды четырехугольников

Четырехугольники бывают следующих видов:

Ромб − четырехугольник, у которого все стороны равны (Рис.4). − четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые (Рис.5).
Дельтоид − четырехугольник, у которого есть две пары равных смежных сторон (Рис.6, Рис.6.1).
Антипараллелограмм (или контрпараллелограмм)− четырехугольник, у которого противоположные стороны равны но не параллельны (с самопересечением) (Рис.7).

Обозначение четырехугольника

Обозначают четырехугольник буквами, стоящих при его вершинах. Называют четырехугольник чередовав буквы при его вершинах по часовой стрелке или против часовой стрелки. Например, четырехугольник на рисунке 8 называют \( \small A_1A_2A_3A_4 \) или \( \small A_4A_3A_2A_1 \) (Рис.8).

Соседние вершины четырехугольника

Вершины четырехугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.

На рисунке 8 вершины \( \small A_2 \) и \( \small A_3 \) являются соседними, так как они являются концами стороны \( \small A_2A_3. \)

Смежные стороны четырехугольника

Стороны четырехугольника называются смежными, если они имеют общую вершину.

На рисунке 8 стороны \( \small A_2A_3 \) и \( \small A_3A_4 \) являются смежными, так как они имеют общую вершину \( \small A_3. \)

Простой четырехугольник. Самопересекающийся четырехугольник

Четырехугольник называется простым, если его несмежные стороны не имеют общих точек (внутренних или концевых).

На рисунках 9 и 9.1 изображены простые четырехугольники так как стороны четырехугольников не имеют самопересечений. А на рисунке 10 четырехугольник не является простым, так как стороны \( \small A_1A_4 \) и \( \small A_2A_3 \) пересекаются. Такой четырехугольник называется самопересекающийся.

Выпуклый четырехугольник

Четырехугольник называется выпуклым, если она лежит по одну сторону от прямой, проходящей через любую его сторону.

На рисунке 11 четырехугольник лежит по одну сторону от прямых \( \small m, \ n, \ p, \ q, \) проходящих через стороны четырехугольника. Поэтому такой четырехугольник выпуклый.

На рисунке 12 прямая \( \small m\) делит четырехугольник на две части, т.е. четырехугольник не лежит по одну сторону от прямой \( \small m\). Следовательно, этот четырехугольник не является выпуклым.

Правильный четырехугольник

Простой четырехугольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны. Квадрат является правильным четырехугольником, так как все его стороны равны и все его углы равны 90°. Среди четырехугольников других правильных четырехугольников не существует.

На рисунке 5 изображен правильный четырехугольник (квадрат), так как у данного четырехугольника все стороны равны и все углы равны. Четырехугольник (ромб) на на рисунке 4 не является правильным, так как все стороны четырехугольника равны, но все его углы не равны друг другу. Прямоугольник также не является правильным четырехугольником, так как несмотря на то, что все углы прямоугольника равны, но все четыре стороны прямоугольника не равны друг другу.

Периметр четырехугольника

Сумма всех сторон четырехугольника называется периметром четырехугольника. Для четырехугольника \( \small A_1A_2A_3A_4 \) периметр вычисляется из формулы:

Угол четырехугольника

Углом (внутренним углом) четырехугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами четырехугольника, сходящимися к этой вершине. Если четырехугольник выпуклый, то все углы четырехугольника меньше 180°. Если же четырехугольник невыпуклый, то он имеет внутренний угол больше 180° (угол \( \small \alpha \) на рисунке 13).

Внешний угол четырехугольника

Внешним углом четырехугольника при данной вершине называется угол смежный внутреннему углу четырехугольника при данной вершине.

На рисунке 14 угол α является внутренним углом четырехугольника при вершине \( \small A_4, \) а углы β и γ являются внешними углами четырехугольника при этой же вершине. Очевидно, что при каждой вершине есть два внешних угла.

Диагональ четырехугольника

Диагоналями называют отрезки, соединяющие две несоседние вершины четырехугольника.

Очевидно, что у четырехугольника две диагонали.

Сумма углов четырехугольника

Для любого простого четырехугольника по крайней мере один диагональ делит его на два треугольника. Сумма углов треугольника равна 180°. Поэтому сумма углов простого четырехугольника равна 360°.

Сумма внешних углов четырехугольника

Пусть задан четырехугольник \( \small A_1A_2A_3A_4 .\) Внешний угол при вершине \( \small A_1\) равен \( \small 180°-\angle A_1.\) Аналогично, внешние углы при вершинах \( \small A_2, \ A_3, \ A_4 \) равны \( \small 180°-\angle A_2, \) \( \small 180°-\angle A_3, \) \( \small 180°-\angle A_4, \) соответственно. Тогда сумма внешних углов четырехугольника равна:

\( \small 180°-\angle A_1 \) \( \small +180°-\angle A_2 \) \( \small +180°-\angle A_3 \) \( \small +180°-\angle A_4 \)\( \small =720°-(\angle A_1+\angle A_2+\angle A_3+\angle A_4 )\) \( \small =720°-360°=360°. \)

Задача 1. Доказать, что длина любой стороны четырехугольника меньше суммы длин трех его сторон.

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырехугольники бывают выпуклые ( A B C D ) и невыпуклые ( A 1 B 1 C 1 D 1 ) .

В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.

Смежные стороны – соседние стороны, которые выходят из одной вершины. Пары смежных сторон: A B и A D , A B и B C , B C и C D , C D и A D .

Противолежащие стороны – несмежные стороны (соединяют разные вершины). Пары противолежащих сторон: A B и C D , B C и A D .

Противолежащие вершины – вершины, не являющиеся соседними (лежат друг напротив друга). Пары противолежащих вершин: A и C , B и D .

Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины. A C и B D – диагонали четырехугольника A B C D .

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:

S = 1 2 d 1 d 2 ⋅ sin φ

где d 1 и d 2 – диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).

Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.

Класс параллелограммов : параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.

Класс трапеций : произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

Противолежащие стороны равны.
Противоположные углы равны.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 ° .
Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. d 1 2 + d 2 2 = 2 ( a 2 + b 2 )

Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.

Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.

Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

Диагонали пересекаются под прямым углом.
Диагонали являются биссектрисами углов, из которых выходят.
Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь ромба можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны ромба на высоту ромба.

Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.

Как полупроизведение диагоналей ромба.

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны 90 ° .

Свойства прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны.
Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:

Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.

Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

Сохраняет свойства ромба.
Сохраняет свойства прямоугольника.

Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:

Как квадрат стороны.

Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Стороны, которые параллельны друг другу называются основаниями , другие две стороны называются боковыми сторонами .

B C и A D – основания, A B и C D – боковые стороны трапеции A B C D .

Свойства трапеции:

сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 ° .

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m = a + b 2

Площадь трапеции можно найти по двум формулам:

Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.

Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Читайте также: