Как сделать частотный анализ

Добавил пользователь Алексей Ф.
Обновлено: 05.10.2024

Частотный анализ, частотный криптоанализ — один из методов криптоанализа, основывающийся на предположении о существовании нетривиального статистического распределения отдельных символов и их последовательностей как в открытом тексте, так и в шифротексте, которое, с точностью до замены символов, будет сохраняться в процессе шифрования и дешифрования.

Упрощённо, частотный анализ предполагает, что частота появления заданной буквы алфавита в достаточно длинных текстах одна и та же для разных текстов одного языка. При этом, в случае моноалфавитного шифрования, если в шифротексте будет символ с аналогичной вероятностью появления, то можно предположить, что он и является указанной зашифрованной буквой. Аналогичные рассуждения применяются к биграммам (двубуквенным последовательностям), триграммам и т. д. в случае полиалфавитных шифров.

Связанные понятия

Шифр простой замены, простой подстановочный шифр, моноалфавитный шифр — класс методов шифрования, которые сводятся к созданию по определённому алгоритму таблицы шифрования, в которой для каждой буквы открытого текста существует единственная сопоставленная ей буква шифр-текста. Само шифрование заключается в замене букв согласно таблице. Для расшифровки достаточно иметь ту же таблицу, либо знать алгоритм, по которому она генерируется.

Шифр Цезаря, также известный как шифр сдвига, код Цезаря или сдвиг Цезаря — один из самых простых и наиболее широко известных методов шифрования.

Криптоаналитик — специалист по криптоанализу. Одним из первых криптоаналитиков был Аристотель, криптографически вскрывший скиталу — одно из первых известных криптографических устройств.

Шифр подстано́вки — это метод шифрования, в котором элементы исходного открытого текста заменяются зашифрованным текстом в соответствии с некоторым правилом. Элементами текста могут быть отдельные символы (самый распространённый случай), пары букв, тройки букв, комбинирование этих случаев и так далее.

Упоминания в литературе

Определенную помощь при выделении категорий может оказать частотный анализ слов, однако слишком на него уповать не стоит. Значимые слова в любом случае окажутся не самыми частотными (к последним в любом тексте относятся предлоги), да и категории, служащие для фиксации различий в речевой продукции, как правило, много крупнее отдельных слов.

Итак, мы определили длину ключа и теперь можем выписать всю шифрограмму в четыре колонки, для каждой из которых применить уже известный нам частотный анализ . Вот как это будет выглядеть:

Связанные понятия (продолжение)

Шифр Виженера (фр. Chiffre de Vigenère) — метод полиалфавитного шифрования буквенного текста с использованием ключевого слова.Этот метод является простой формой многоалфавитной замены. Шифр Виженера изобретался многократно. Впервые этот метод описал Джовани Баттиста Беллазо (итал. Giovan Battista Bellaso) в книге La cifra del. Sig. Giovan Battista Bellasо в 1553 году, однако в XIX веке получил имя Блеза Виженера, французского дипломата. Метод прост для понимания и реализации, он является недоступным.

Открытый текст (англ. plain text) — в криптографии исходный текст, подлежащий шифрованию, либо получившийся в результате расшифровки. Может быть прочитан без дополнительной обработки (без расшифровки).

Индекс совпадений — один из методов криптоанализа шифра Виженера. Описание было опубликовано Уильямом Фридманом в 1920 году.

Атака на основе подобранного открытого текста (англ. Chosen-plaintext attack, CPA) — один из основных способов криптоаналитического вскрытия. Криптоаналитик обладает определённым числом открытых текстов и соответствующих шифротекстов, кроме того, он имеет возможность зашифровать несколько предварительно выбранных открытых текстов.

При́нцип Керкго́ффса — правило разработки криптографических систем, согласно которому в засекреченном виде держится только определённый набор параметров алгоритма, называемый ключом, а сам алгоритм шифрования должен быть открытым. Другими словами, при оценке надёжности шифрования необходимо предполагать, что противник знает об используемой системе шифрования всё, кроме применяемых ключей. Широко применяется в криптографии.

Аффинный шифр — это частный случай более общего моноалфавитного шифра подстановки. К шифрам подстановки относятся также шифр Цезаря, ROT13 и Атбаш. Поскольку аффинный шифр легко дешифровать, он обладает слабыми криптографическими свойствами.

Неразличимость шифротекста — это свойство многих систем шифрования. Интуитивно понятно, что если система обладает свойством неразличимости, то злоумышленник не сможет отличить пары шифротекстов, основываясь на открытых текстах, которые они шифруют. Свойство неразличимости для атак на основе подобранного открытого текста рассматривается как основное требование для доказуемо наиболее безопасных криптосистем с открытым ключом, хотя некоторые системы шифрования также обладают свойством неразличимости.

Шифр четырёх квадратов — метод ручного симметрического шифрования, который представляет собой модифицированный вариант шифра Плейфера. Этот метод обеспечивает более высокий уровень безопасности защищённых данных. Шифр был изобретён известным французским криптографом Феликсом Деластелем в 1902 году.

Схема Эль-Гамаля (Elgamal) — криптосистема с открытым ключом, основанная на трудности вычисления дискретных логарифмов в конечном поле. Криптосистема включает в себя алгоритм шифрования и алгоритм цифровой подписи. Схема Эль-Гамаля лежит в основе бывших стандартов электронной цифровой подписи в США (DSA) и России (ГОСТ Р 34.10-94).

Дешифровка — анализ документа, написанного на неизвестном языке и/или неизвестной системой письма. Чаще всего термин используется по отношению к прочтению древних документов.

Псевдослуча́йная после́довательность (ПСП) — последовательность чисел, которая была вычислена по некоторому определённому арифметическому правилу, но имеет все свойства случайной последовательности чисел в рамках решаемой задачи.

Линейный криптоанализ был изобретён японским криптологом Мицуру Мацуи (яп. 松井充 Мацуи Мицуру). Предложенный им в 1993 году (на конференции Eurocrypt '93) алгоритм был изначально направлен на вскрытие DES и FEAL. Впоследствии линейный криптоанализ был распространён и на другие алгоритмы. На сегодняшний день наряду с дифференциальным криптоанализом является одним из наиболее распространённых методов вскрытия блочных шифров. Разработаны атаки на блочные и потоковые шифры.

Криптосистема Нидеррайтера — криптосистема с открытыми ключами, основанная на теории алгебраического кодирования, разработанная в 1986 году Харальдом Нидеррайтером. В отличие от криптосистемы McEliece, в криптосистеме Нидеррайтера используется проверочная матрица кода. Криптосистема Нидеррайтера позволяет создавать цифровые подписи и является кандидатом для постквантовой криптографии, поскольку устойчива к атаке с использованием алгоритма Шора.

Криптосистема Крамера–Шоупа (англ. Cramer–Shoup system) — алгоритм шифрования с открытым ключом. Первый алгоритм, доказавший свою устойчивость к атакам на основе адаптивно подобранного шифротекста.

Дополнение (англ. padding) в криптографии — добавление ничего не значащих данных к зашифровываемой информации, нацеленное на повышение криптостойкости. Различные техники дополнения применялись в классической криптографии , обширное применение техники дополнений нашли в компьютерных системах шифрования.

Пото́чный или Пото́ковый шифр — это симметричный шифр, в котором каждый символ открытого текста преобразуется в символ шифрованного текста в зависимости не только от используемого ключа, но и от его расположения в потоке открытого текста. Поточный шифр реализует другой подход к симметричному шифрованию, нежели блочные шифры.

Случайный оракул является весьма мощным, поскольку обладает тремя свойствами: детерминированность, эффективность и обеспечение равномерного распределения результирующих значений.

Криптосистема Накаша — Штерна (англ. Naccache — Stern cryptosystem)— криптографический алгоритм с открытым ключом, основывающийся на вычислительной сложности задачи дискретного логарифмирования. В отличии от RSA, гомоморфен по сложению и вычитанию, а не по умножению.

Бло́чный шифр — разновидность симметричного шифра, оперирующего группами бит фиксированной длины — блоками, характерный размер которых меняется в пределах 64‒256 бит. Если исходный текст (или его остаток) меньше размера блока, перед шифрованием его дополняют. Фактически, блочный шифр представляет собой подстановку на алфавите блоков, которая, как следствие, может быть моно- или полиалфавитной. Блочный шифр является важной компонентой многих криптографических протоколов и широко используется для защиты.

Книжный шифр — вид шифра, в котором каждый элемент открытого текста (каждая буква или слово) заменяется на указатель (например, номер страницы, строки и столбца) аналогичного элемента в дополнительном тексте-ключе.

Симметри́чные криптосисте́мы (также симметричное шифрование, симметричные шифры) (англ. symmetric-key algorithm) — способ шифрования, в котором для шифрования и расшифровывания применяется один и тот же криптографический ключ. До изобретения схемы асимметричного шифрования единственным существовавшим способом являлось симметричное шифрование. Ключ алгоритма должен сохраняться в тайне обеими сторонами, осуществляться меры по защите доступа к каналу, на всем пути следования криптограммы, или сторонами.

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. Благодаря непосредственной реализации в цифровых электронных схемах на логических вентилях, двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и прочих вычислительных электронных устройствах.

Радужная таблица (англ. rainbow table) — специальный вариант таблиц поиска (англ. lookup table) для обращения криптографических хеш-функций, использующий механизм разумного компромисса между временем поиска по таблице и занимаемой памятью (англ. time-memory tradeoff). Радужные таблицы используются для вскрытия паролей, преобразованных при помощи сложнообратимой хеш-функции, а также для атак на симметричные шифры на основе известного открытого текста. Использование функции формирования ключа с применением.

Обучение с ошибками (англ. Learning with errors) — это концепция машинного обучения, суть которой заключается в том, что в простые вычислительные задачи (например, системы линейных уравнений) намеренно вносится ошибка, делая их решение известными методами неосуществимым за приемлемое время.

Постквантовая криптография — часть криптографии, которая остаётся актуальной и при появлении квантовых компьютеров и квантовых атак. Так как по скорости вычисления традиционных криптографических алгоритмов квантовые компьютеры значительно превосходят классические компьютерные архитектуры, современные криптографические системы становятся потенциально уязвимыми к криптографическим атакам. Большинство традиционных криптосистем опирается на проблемы факторизации целых чисел или задачи дискретного логарифмирования.

Сдвиговая атака (англ. slide attack) – криптографическая атака, являющаяся, в общем случае, атакой на основе подобранного открытого текста, позволяющая проводить криптоанализ блоковых многораундовых шифров независимо от количества используемых раундов. Предложена Алексом Бирюковым и Дэвидом Вагнером в 1999 году.

Вычисления с оракулом — вычисление с помощью машины Тьюринга, дополненной оракулом с неизвестным внутренним устройством.

Предсказание поведения является ключевым моментом в анализе систем управления с обратной связью. Знание того, как система будет реагировать на действия контроллера, позволяет выбрать подходящий алгоритм приведения регулируемого параметра к заданному значению.

Поведение линейных систем очень легко предсказать, поскольку реакция регулируемого параметра такой системы на комбинацию одновременных воздействий равна сумме его реакций на отдельные воздействия. К тому же, линейные системы обладают статическим коэффициентом усиления K. То есть, если обозначить за B регулируемый параметр в отсутствии внешнего воздействия, общим выражением для регулируемого параметра с учетом воздействия будет Y=KX+B, где X – величина внешнего воздействия. Это соотношение представляет собой прямую линию на плоскости ХУ, отсюда и выражение „линейная система”.

Линейные системы так же предсказуемо реагируют на непостоянные воздействия. Особенно важно, что воздействие, изменяющееся по гармоническому закону, приводит к реакции такой же формы. Действительно, если воздействие контроллера меняется по гармоническому закону с частотой ?, регулируемый параметр системы также будет меняться по гармоническому закону с той же частотой. Данное явление составляет основу частотного анализа поведения систем, хотя реальные контроллеры редко генерируют чистое синусоидальное управляющее воздействие.

Пример линейной системы

Рассмотрим применение частотного анализа на примере детской игрушки, изображенной на рисунке „Простейшая линейная система”. Эта система состоит из груза, подвешенного на пружину с рукоятью. Перемещая рукоять вверх и вниз, ребенок управляет положением груза.

Частотный анализ удобно пояснять на примере игрушки, представляющей собой подвешенный на пружине с рукоятью груз. Если перемещать рукоять почти по гармоническому закону, груз будет колебаться с той же частотой

Любой человек, когда-либо игравший с подобной игрушкой, знает, что если перемещать рукоять примерно по гармоническому закону, груз начнет колебаться с той же частотой, синхронно с движением рукояти. Это происходит на относительно низких частотах, когда пружина не растягивается.

При увеличении частоты колебания груза будут усиливаться, также будет увеличиваться их задержка от колебаний рукояти. На собственной частоте процесса колебания становятся максимально сильными. Собственная частота определяется массой груза и жесткостью пружины.

На частотах, превышающих собственную, амплитуда колебаний груза уменьшается, фаза уменьшается и становится отрицательной (то есть, колебания ослабевают и все больше отстают). На очень высоких частотах груз перемещается очень мало и против движения рукояти.

Графики Боде: АЧХ и ФЧХ

Все линейные системы ведут себя схожим образом. Они преобразуют гармонические колебания на входе в гармонические колебания той же частоты, но другой амплитуды и фазы на выходе. Характер изменения амплитуды и фазы зависит от коэффициента усиления и фазового сдвига системы. Коэффициент усиления определяет, во сколько раз усиливаются гармонические колебания на входе, а фазовый сдвиг – на сколько задерживаются колебания на выходе по отношению к входным.

В отличие от статического коэффициента усиления K, коэффициент усиления и сдвиг фазы зависит от частоты гармонических колебаний на входе. Система с пружиной и грузом слабо меняет амплитуду низкочастотных колебаний. Говорят, что она имеет небольшой низкочастотный коэффициент усиления. Вблизи собственной частоты коэффициент усиления больше низкочастотного, поскольку амплитуда выходных колебаний больше амплитуды входных. Высокочастотный коэффициент усиления практически равен нулю, груз почти совсем не колеблется, когда быстро трясут рукоять.

Графики Боде (АЧХ и ФЧХ) отображают изменение амплитуды в K(?) раз и фазы на F(?) градусов гармонических колебаний с частотой ? рад в секунду, проходящих через систему. АЧХ зависимость K(?) от ? обычно строят в логарифмическом масштабе и называют ЛАЧХ. Графики АЧХ и ФЧХ разных систем отличаются по форме, но если ? стремится к нулю, K(?) стремится к статическому коэффициенту усиления. На очень высоких частотах K(?), как правило, стремится к нулю. АЧХ и ФЧХ системы могут быть построены эмпирически на основе измерений реакции процесса на входные гармонические колебания разных частот или на основе анализа физических характеристик процесса, таких как жесткость пружины и масса груза в нашем примере

Сдвиг фазы системы – аддитивная величина. В нашем примере она стремится к нулю при низких частотах колебаний на входе, так как груз колеблется синхронно с рукоятью при ее медленном перемещении. Затем сдвиг фазы достигает -180 градусов на высоких частотах, когда рукоять и пружина двигаются в противоположных направлениях (отсюда и выражения „двигаться в противофазе”).

Корабль колеблется с частотой ? и амплитудой A, качели колеблются с частотой 3? и амплитудой A/3, а игрушка колеблется с частотой 5? и амплитудой A/5. Траекториями данных колебательных движений являются синусоиды, показанные на отдельных графиках

Результирующая движений игрушки, качели и корабля дает „прямоугольные” колебания с периодом (обратная частоте величина) 1/? и амплитудой, примерно равной А

На рисунке вверху „Графики Боде” (примечание: в англоязычной литературе под графиком Боде подразумеваются амплитудно-частотные (АЧХ) и фазово-частотные характеристики (ФЧХ)) изображены полный спектр коэффициентов усиления и сдвигов фаз процесса с грузом и пружиной на всех частотах от 0.01 до 100 радиан в секунду. Это пример графика Боде, графического метода анализа, разработанного Хендриком Боде из компании Bell Labs в сороковых годах. Он может быть использован для определения амплитуды и фазы выходных колебаний, если входные колебания являются гармоническими с определенной частотой. Чтобы получить значение амплитуды выходных колебаний, нужно просто умножить амплитуду колебаний на входе системы на коэффициент усиления, соответствующий нужной частоте. Чтобы получить фазу выходных колебаний, нужно добавить соответствующий сдвиг фаз к фазе входных колебаний.

Теорема Фурье

Коэффициенты и сдвиги фаз, представленные на графике АЧХ и ФЧХ, полностью характеризуют процесс. В них содержится вся информация, необходимая опытному инженеру систем управления для предсказания поведения процесса и его реакции не только на гармоническое, но и на произвольное внешнее воздействие.

Такой анализ возможен благодаря теореме Фурье, которая утверждает, что любой сигнал, может быть представлен в виде бесконечной суммы синусов. Математик Жозеф Фурье доказал свою знаменитую теорему в 1822 году и представил алгоритм вычисления частоты, амплитуды и фазы каждой синусоиды в этой сумме, известный под названием „преобразование Фурье”.

Для теоретического предсказания реакции системы на некоторую совокупность воздействий, можно воспользоваться преобразованием Фурье совместно с АЧХ и ФЧХ:

1) Использовать преобразование Фурье для математического разложения данного внешнего воздействия на теоретические гармонические компоненты, или частотный спектр.

2) Использовать АЧХ и ФЧХ, чтобы определить изменение каждой гармонической компоненты, если бы она проходила через систему отдельно. То есть, учесть изменения амплитуды и фазы, зависящие от частоты каждой компоненты.

3) Использовать обратное преобразование Фурье, чтобы объединить результирующие компоненты в единый сигнал.

Поскольку обратное преобразование Фурье изначально является аддитивной операцией, линейность системы гарантирует, что сумма воздействий теоретических гармонических компонент, вычисленных в первом пункте, равна воздействию исходного сигнала. Таким образом, объединенный сигнал, найденный в третьем пункте, отражает реакцию регулируемого параметра системы на данное внешнее воздействие.

Необходимо отметить, что на всех этапах приведенной процедуры отдельные гармонические компоненты не генерируются физически контроллером и не строятся на графиках. В этом смысле анализ в частотной области абстрактен. С точки зрения математики, удобно преобразовать сигнал из временной области в частотную с помощью преобразования Фурье (или подобным ему преобразованием Лапласа), эффективно решить задачу с помощью АЧХ и ФЧХ или других методов частотного анализа, затем преобразовать результат обратно во временную область.

Большинство задач управления процессами, к которым применим данный метод, можно решить и непосредственно во временной области, но в частотной области вычисления сильно упрощаются. Расчет спектра регулируемого параметра на основе АЧХ, ФЧХ и спектра внешнего воздействия, полученного с помощью преобразования Фурье, в приведенном примере требует выполнения лишь операций умножения и вычитания.

Может оказаться не вполне очевидным, что правильная комбинация синусоид дает в сумме сигнал нужной формы, как следует из теоремы Фурье. Приведем пример.

Снова рассмотрим игрушку с пружиной и грузом, качели и корабль в открытом океане. Будем считать, что корабль качается на волнах по гармоническому закону с частотой ? и амплитудой A. Также предположим, что качели колеблются с частотой в три раза больше и с втрое меньшей амплитудой, а ребенок качает игрушку с частотой в пять раз больше и с амплитудой в пять раз меньшей. На рисунке „Независимые гармонические колебания” показано, как выглядели бы эти движения в отдельности.

Теперь предположим, что ребенок сидит на краю качели, установленной на палубе корабля. Если бы отдельные гармонические колебания совместились нужным образом, абсолютное движение игрушки описывалось бы функцией, напоминающей прямоугольную, как показано на рисунке „Совместные гармонические колебания”.

Это не совсем реалистичный пример, но он показывает, что сумма гармонической функции, одной трети ее третьей гармоники и одной пятой части пятой гармоники аппроксимирует периодическую прямоугольную зависимость с частотой ? и амплитудой порядка А. Аппроксимация улучшается, если добавить еще одну седьмую часть седьмой гармоники и одну девятую часть девятой гармоники и т.д. На самом деле, теорема Фурье показывает, что если суммирование производить до бесконечности, результат будет в точности равен прямоугольной функции амплитуды A. Теорема Фурье также может быть использована для разложения непериодических сигналов в бесконечную сумму синусов.

Немного более серьезной теории *

Рассмотрим непрерывный во времени сигнал x(t), тогда при условии его интегрируемости во времени можно рассчитать спектр сигнала X(f) с помощью комплексного преобразования Фурье по формуле:

где i – мнимая единица, f – частота сигнала в Герцах.

Модуль этой величины

называется спектральной амплитудой, а величина

Существует возможность из спектра восстановить временную функцию с помощью обратного преобразования Фурье, которое записывается следующим образом:

Квадрат спектральной амплитуды

называется спектральной плотностью мощности сигнала. Согласно теореме Парсеваля выполняется закон сохранение энергии сигнала по времени и спектру:

Рассмотрим пример, приведенный в статье: общее колебание груза является суммой трех гармонических колебаний, которое при определенных условиях может быть прямоугольным. Для сравнения на рисунке приведен спектр прямоугольного периодического сигнала с частотой 10 Гц, рассчитанный с помощью преобразования Фурье. Действительно, присутствуют гармоники на частотах 10, 30, 50, 70 Гц и т.д. до бесконечности с постоянно уменьшающейся амплитудой.

Спектральный анализ чрезвычайно широко используется в промышленности. Рассмотрим классическую задачу выделения периодического сигнала из шума. На верхнем рисунке приведен график сильно зашумленного гармонического сигнала (амплитуда шума в три раза превышает амплитуду гармонического сигнала). На первый взгляд периодический сигнал обнаружить невозможно. Но если посмотреть спектр сигнала, то прекрасно видна гармоническая компонента на частоте 100 Гц.

Обсуждая возможности частотного анализа, невозможно обойти стороной временные и частотные окна, спектральные фильтры, дискретное преобразование Фурье, но об этом в следующий раз.

* автор раздела „Немного более серьезной теории” – Павел Михеев, ответственный редактор Control Engineering Россия

Дан текст: в первой строке записано количество строк в тексте, а сами строки. Выведите все слова, встречающиеся в тексте, по одному на одну строку. Слова должны быть отсортированы по убыванию их количества появления в тексте, а при одинаковой появлении появления — в лексикографическом порядке.

Указание. После, как вы создадите словарь всех слов, вам захочется отсортировать его по частоте встречаемости слова. Желаемого можно добиться, если создать список элементов которого будут кортежи из двух элементов: частота встречаемости слова и само слово. Например, [(2, 'hi'), (1, 'what'), (3, 'is')] . Тогда стандартная сортировка будет сортировать список кортежей, при этом кортежи сравниваются по первому элементу, а если они равны — то по второму. Это почти то, что требуется в задаче.

Решение задачи от разработчиков на Python:

Еще одно решение задачи на Python:

Делитесь с друзьями ссылкой на ответ и задавайте вопросы в комментариях! 👇

Аннотация научной статьи по компьютерным и информационным наукам, автор научной работы — Грошков Павел Викторович

В данной статье я на примере разберу один из наиболее эффективных методов вскрытия криптографических шифров метод частотного анализа .