Как сделать угол с помощью линейки и циркуля и линейки
Обновлено: 07.07.2024
Задачи на построение циркулем и линейкой и сегодня считаются математически весьма интересными. Уже более ста лет это традиционный материал школьного курса геометрии. Одной из самых ценных сторон таких задач является то, что они развивают поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений. Задачи на построение вызывают интерес, способствуют активизации мыслительной и познавательной деятельности. При их решении активно используются знания о свойствах фигур, совершенствуются навыки геометрических построений. В результате развиваются конструктивные способности, что является одной из целей изучения геометрии.
Круг задач, рассматриваемых в геометрии, очень широк. Среди них особое место занимают задачи на построение, которые способствуют развитию определенности, последовательности и обоснованности мышления. На этих задачах можно научиться таким методам познания, как анализ и синтез.
Тема урока: Деление угла циркулем и линейкой.
Класс: 7 (углубленное изучение)
Тип урока: урок изучения нового материала. Методы и приёмы ведения урока:
- фронтальная работа с классом;
- закрепление: работа учащихся в парах по карточкам.
Развивающая: Развивать мышление учащихся при решении задач, выходящих за рамки школьного курса; развивать умение анализировать, сравнивать, делать выводы; развивать память учащихся.
Воспитательная: воспитание у учащихся интереса к предмету, доброжелательности, умения работать в коллективе и в парах.
Оборудование:
- интерактивная доска или проектор;
- рабочая карточка для каждого ученика (Приложение);
- презентация Деление угла циркулем и линейкой.
Задачи урока:
- повторить основные построения циркулем и линейкой;
- рассмотреть возможность деления угла на равных углов;
- отработать навык построения биссектрисы угла, равностороннего треугольника.
I. Организационный момент
II. Постановка цели и задач урока.
знать: стандартные построения циркулем и линейкой,
уметь: 1) строить биссектрису угла, равносторонний треугольник; 2) применять стандартные построения при решении задач на деление угла циркулем и линейкой.
III. Актуализация опорных знаний
На экране появляются слайды, на которых последовательность шагов. Ученикам необходимо определить какую задачу на построение описывает данная последовательность шагов.
- АВ – прямая.
- Проведем окр.(А;АВ) С – точка пересечения окружности и прямой АВ.
- Проведем окр.(С;R) и окр.(В;R) Р – точка пересечения окружностей.
- Проведем СР.
Ответ: построение прямого угла
- АВ – отрезок.
- Проведем окр.(А;R) и окр.(В;R) Р, Н – точки пересечения окружностей.
- Проведем РН, получим точку О на АВ.
Ответ: построение серединного перпендикуляра РН к АВ
- САВ
- Проведем окр.(А;R) Р, Н – точки пересечения окружности и сторон угла.
- Проведем окр.(Р;РН) и окр.(Н;РН) К – точка пересечения окружностей.
- Проведем АК.
Ответ: построение биссектрисы угла
- АВ – отрезок.
- Проведем окр.(А;АВ) и окр.(В;АВ) С – точка пересечения окружностей.
- Проведем АС и ВС
Ответ: построение равностороннего треугольника
IV. Изучение нового материала
Учитель: Как вы считаете, какое стандартное построение позволит нам выполнить деление угла на 2, 4, 8, 16, … равных угла?
Ответ: Построение биссектрисы угла позволяет разделить любой угол на 2, 4, 8, … 2n равных углов. В каждом случае задача сводится к построению биссектрис полученных углов, что выполнимо всегда циркулем и линейкой. Например, разделить угол АВС на 4 равных угла. Строим биссектрису ВК угла АВС, получаем угол АВК= углу СВК= угол АВС:2. Строим биссектрисы ВР и ВМ углов АВК и CDR соответственно. Получаем: углы АВР= РВК= МВК= СВМ= АВК:2= АВС:4.
Учитель: Можно ли разделить произвольный угол на 3 равных угла?
Историческая справка. Можно дать задание ученикам подготовить небольшой доклад на тему трисекции угла. Трисекция угла. Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Знаменитой была в древности задача о трисекции угла (о разделении угла на три равные части с помощью циркуля и линейки). Любой угол невозможно разделить на три равных части с помощью только циркуля и линейки. Попытки решения задачи с помощью инструментов и средств были предприняты еще в V в. до н.э. Французский математик П. Ванцель в 1837г. первым строго доказал, что невозможно осуществить трисекцию циркулем и линейкой.
Задача о трисекции угла оказывается разрешимой и при некоторых других частных значениях угла: 90, 45, 135 (в градусах). Деление прямого угла на три равные части умели производить ещё пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60 градусов.
Учитель: На интерактивной доске приведено решение задачи.
- Рассмотрите решение данной задачи.
- Определите основные построения.
- Докажите, что данные шаги приведут к необходимому результату.
Задача 1: Трисекция прямого угла.
Пусть требуется разделить на три равные части прямой угол MAN. Откладываем на луче АN произвольный отрезок АК, на котором строим равносторонний треугольник AКB. Так как угол КAB равен 60 градусов, то угол МАВ = 30 градусов. Построим биссектрису угла КАВ, получаем искомое деление прямого угла MAN на три равных угла.
Ответы:
2. Построение равностороннего треугольника, построение биссектрисы угла.
3. Доказательство: угол MAN=90 градусов. Треугольник AКB – равносторонний, угол КAB = 60 градусов. Значит, угол МАВ= угол MAN – угол КAB = 30 градусов. АР – биссектриса угла КАВ, значит угол КАР= углу РАВ=30 градусов. Получаем, что угол КАР=уголу РАВ=углу МАВ =30 градусов, т.е. искомое деление прямого угла MAN на три равных угла.
Учитель: Какие углы всегда можно построить с помощью циркуля и линейки?
Ответ: углы: 60 градусов – угол в равностороннем треугольнике, 30 градусов – биссектриса угла в равностороннем треугольнике, 45 градусов – биссектриса прямого угла, 15 градусов – биссектриса угла 30 градусов, 90 градусов – перпендикуляр к прямой, 180 градусов – точка на прямой.
Учитель: Можно ли разделить произвольный угол на 5, 7, 11, … равных углов?
Учитель:Данная задача оказывается разрешимой при некоторых частных значениях угла. Например: циркулем и линейкой можно выполнить следующее построение (при условии, что заданные углы уже построены и их величина известна):
Задача 2: Разделить угол 66 градусов на 11 равных частей (при условии, что этот угол построен и его величина известна).
Решение: Т.к. 66 градусов: 11=6 градусов, то для решения этой задачи опять воспользуемся углом 60 градусов – равносторонним треугольником. При построении равностороннего треугольника получаем 66 градусов–60 градусов = 6 градусов, строим дважды по углу 6 градусов (60–6–6 = 48 градусов), затем делим угол 48 градусов на 8 равных углов (т.е. проводим биссектрисы). При этом получаем 11 углов по 6 градусов.
При рассмотрении данной задачи учитель задает наводящие вопросы и подводит ребят к решению задачи. Решение задачи записывается в рабочую тетрадь.
V. Физкультминутка Учитель проводит с учащимися упражнения для расслабления глаз.
V. Закрепление изученного материала – самостоятельная работа в парах
Учитель: Каждый ученик получает карточку с задачами (Приложение). У учеников, сидящих за одной партой, одинаковый вариант заданий. Работу ученики выполняют в паре, но каждый оформляет решение на своей карточке.
Оценка за работу на карточке (учитель озвучивает перед началом работы):
Решение задач самостоятельной работы:
Задача 1: Трисекция угла в 45 градусов.
Решение данной задачи сводится к построению равностороннего треугольника. Пусть требуется разделить на три равные части угол MAN=45 градусов. Откладываем на луче АN произвольный отрезок АК, на котором строим равносторонний треугольник AКB в одной полуплоскости с точкой М относительно прямой АК. Строим биссектрису АР угла КАВ, затем биссектрису АС угла РАК и получаем искомое деление угла MAN на три равных угла углы МАР=РАС=САК=15 градусов.
Доказательство: Т.к. треугольник АКВ – равносторонний, то угол КАВ=60 градусов. АР – биссектриса угла КАВ, значит углы ВАР= РАК=30 градусов и угол МАР=угол МАК– угол РАК = 45 градусов – 30 градусов = 15 градусов. АС – биссектриса угла РАК, значит углы РАС= САК=15 градусов. Значит, углы МАР=РАС=САК=15 градусов.
Задача 2 (1 вариант): Разделить угол 50 градусов на 10 равных углов.
Решение: Т.к. 50: 5=10, то для решения этой задачи воспользуемся углом 60 градусов – равносторонним треугольником. Получаем 1) 60–50 = 10 , 2) 50–10= 40, 3) 40: 4=10(в градусах).
Задача 2 (2 вариант): Разделить угол 720 на 6 равных углов.
Решение: Т.к. 72: 6=12, то для решения этой задачи воспользуемся углом 60 – равносторонним треугольником. Получаем 1) 72–60 = 12, 2) 60–12= 48, 3) 48: 4=12 (в градусах).
Задача 3: Разделить угол на 4 равных угла.
Решение: Разделить угол АВС на 4 равных угла. Строим биссектрису ВК угла АВС, получаем углы АВК= СВК=угол АВС:2. Строим биссектрисы ВР и ВМ углов АВК и CDR соответственно. Получаем: углы АВР=РВК=МВК=СВМ= угол АВК:2= угол АВС:4.
VI. Домашняя работа
Дома. Решить задачи:
1.Трисекция угла в 135 градусов.
2.Построить угол 53 градуса, если построен угол 104 градуса.
VII. Итог урока
Ответить на вопросы:
1.Всегда ли выполнима трисекция угла?
Только в некоторых частных случаях: 450, 900.
2.Что нового узнали на уроке?
Всегда можно построить циркулем и линейкой:
1) угла в n раз больше данного угла.
2) разделить любой угол на 2, 4, 8, … 2n равных углов.
3) углы: 60, 30, 45, 15, 90, 180 (в градусах).
4) можно разделить некоторые заданные углы на данное количество равных углов или построить угол необходимой величины.
3.Можно ли разделить произвольный угол на 5, 7, 11, … равных углов?
Нет. Только в некоторых частных случаях.
Домашняя работа:
Задача 1: Трисекция угла в 135 градусов.
Пусть требуется разделить на три равные части угол MAN=135 градусов. Т.к. 135:3 = 45, то из точки А строим перпендикуляр АК к прямой АМ. Затем строим биссектрису АР угла КАМ. При этом получаем искомое деление угла MAN на три равных угла углы КАN=КАР=РАМ=45 градусов.
Доказательство: Т.к. АК – перпендикуляр к прямой АМ, то угол КАМ=90 градусов, угол NАК= 135 градусов – 90 градусов = 45 градусов. АР – биссектриса угла КАМ, значит угол ВАР= углу РАК = 45 градусов. Значит, углы МАР=РАС=САК=45 градусов.
Задача 2: Построить угол 53 градуса, если построен угол 104 градуса.
При решении используем построения прямого угла, биссектрисы угла и угла 60 градусов.
Построение: 1) 104 градуса–90 градусов =14 градусов, 2) 14 градусов : 2 = 7 градусов, 3) строим 60 градусов и 60 градусов –7 градусов = 53 градуса.
Дано: луч ОМ, А.
Отложить: от луча ОМ угол, равный А.
Решение:
Произвольно строим с помощью линейки А и луч ОА.
Строим с помощью циркуля окружность произвольного радиуса с центром в вершине А.
Точки пересечения окружности со сторонами А обозначаем В и С, соединяем их с помощью линейки.
Построим с помощью циркуля окружность того же радиуса, как и окружность с центром в вершине А, от начала луча ОМ точке О.
Точку пересечения данной окружности с лучом ОМ обозначим D.
Теперь строим с помощью циркуля окружность радиуса ВС с центром в точке D.
Получаем окружности с центрами в точках О и D пересекаются в двух точках, обозначим одну из этих точек Е.
С помощью линейки проведем луч ОЕ.
Докажем, что МОЕ - искомый угол, т.е. МОЕ = А.
Рассмотрим треугольники АВС и ОDE.
Отрезки АВ и АС - радиусы окружности с центром в точке А, ОD и ОЕ - радиусы окружности с центром в точке О, а по построению эти окружности имеют одинаковые радиусы, следовательно, АВ = ОD, АС = ОЕ. Также по построению радиус DE окружности с центром в точке D равен отрезку ВС, т.е. DE = ВС. Получаем АВС =ODE по 3 признаку равенства треугольников, следовательно, DОЕ =ВАС, т.е. построенный МОЕ равен данному А (т.к. по рисунку видно, что DОЕ совпадает с МОЕ, а ВАС совпадает с А). Что и требовалось доказать.
Математикой должны заниматься блондинки - они врать не умеют.
воскресенье, 20 октября 2013 г.
Простое построение углов
Тут мне в комментариях задали интересный вопрос. Простое построение углов - как это сделать? Вот сам вопрос.
 |
| Вопрос о построении углов |
И так, вопрос сводится к следующему - в декартовой системе координат, если брать одинаковый икс и игрек, получим прямую под углом в 45 градусов к осям координат. А как построить углы другой величины? Можно, конечно, заняться гаданием на кофейной гуще и попробовать высчитать, сколько нужно откладывать по иксам, сколько по игрекам, чтобы получился другой удобочитаемый угол. Не 156пи/911, а что-то типа 1, 5, 10, 15 градусов.
Угол в тридцать градусов получается, когда по оси игрек мы возьмем половинку, а расстояние от центра системы координат до точки будет равно единице. При помощи циркуля и линейки такое построить можно, но.
 |
| Построение угла в 30 градусов |
И так, четвертое-пятое тысячелетие до нашей эры, древняя Месопотамия. Тогда зародилось то, чем мы пользуемся и сегодня. Астрономия, письменность, математика, углы. Какими инструментами тогда пользовались для построения углов? Линейка, циркуль. Возможно, были тогда и угольники, хотя это не принципиально - для построения прямого угла достаточно циркуля и линейки.
Теперь попробуем строить углы при помощи циркуля и линейки без всяких координатных систем. Проводим прямую линию, строим окружность с центром на построенной линии. Ставим циркуль в точки пересечения линии и окружности и строим две окружности того же радиуса. Соединяем линиями центр первой окружности точки пересечения окружностей. У нас получились углы в 60 градусов.
 |
| Построение угла в 60 градусов |
Почему возле углов я поставил циферки 1, 2, 3, 4, 5, 6? Я считаю, что именно такую единицу измерения углов использовали наши предки. Назовем эту единицу измерения углов "вавилонский угол". Дальше один угол делится на 60 градусов. Почему именно на 60? В те времена, в тех местах, использовалась шестидесятеричная система счисления. Вы такой системой счисления никогда не пользовались и понятия о ней не имеете? Ошибаетесь. Когда вы выражаете время в минутах и секундах, вы используете именно шестидесятеричное счисление. "Подожди пять минут" в переводе на десятичные дроби, если за единицу брать один час, будет звучать как "Подожди 0,083333333. часа". Дико звучит, не правда ли?
Давайте посмотрим на структуру вавилонских шестидесятеричных чисел. Единицу целого числа вавилоняне делили на шестьдесят частей. Потом каждую эту часть делили ещё на шестьдесят частей и так дальше. У шестидесятых долей были свои названия: минута, секунда, терция.
 |
| Минута, секунда, терция, кварта, квинта |
Я просто хотел обратить ваше внимание на то, что 360 градусов окружности приблизительно равны 365 дням в году (если отбросить градусы и дни, а тупо сравнивать только числа, как это любят делать наши математики). Почему я сравниваю окружность с днями в году? За сутки Солнце смещается по эклиптике приблизительно на один градус. С другой стороны, вавилонский угол в 60 градусов приблизительно равен одному радиану. Ведь 1 радиан ≈ 57,295779513° ≈ 57° 17′ 44,806″ При этом, у вавилонского угла есть точное числовое значение, а вот радиан точного числового значения не имеет - он построен на бесконечности числа "пи". Один - ноль в пользу древних математиков. Что бы там не утверждали наши математики, но принимать в качестве единицы измерения бесконечное число - это не совсем разумно. Думаю, физики меня поймут - создать точный измерительный прибор для измерения неточной величины даже теоретически невозможно.
Но продолжим наши построения углов. Через центр первой окружности проводим перпендикуляр, затем строим ещё две окружности с центрами в точках пересечения перпендикуляра и первой окружности.
 |
| Построение угла в 30 градусов |
 |
| Вавилонские углы и циферблат часов |
Особо стоит отметить, что в древности использовались солнечные часы. Было два варианта солнечных часов - напольные и настенные. Так вот, стрелки этих двух типов часов (тень на циферблате) двигались в противоположных направлениях - по часовой стрелке у напольных и против часовой стрелки у настенных. Можно предположить, что такого понятия, как "вращение по часовой стрелке" у древних математиков не существовало. А в том, что древние люди были очень умными, мы можем убедиться, рассмотрев загадку вавилонской таблички.
Проводим прямую. На прямой линии чертим окружность произвольного диаметра. Окружность и линия пересекаются в 2-х точках. Ставим поочередно в точки циркуль и проводим дуги или окружности диаметром равным расстоянию между этими точками. Таким образом мы найдет середину отрезка и центр окружности.
Окружности пересекаются в 2 точках. Соедините их, как показано на рисунке.
Мы нашли центр окружности, обозначаем ее буквой О. Точки пересечения прямых с основной окружностью обозначим А и В.
Треугольник ОАВ - равнобедренный прямоугольный.
Соединяем точки А и В. Далее находим середину отрезка АВ.
Пересечения первоначальной окружности с прямой, проведенной из середины отрезка АВ.
Далее раствором циркуля проводим окружность с центром в точке С длиной СО.
Ставим точку D в месте пересечения с первоначальной окружностью. Далее проводим прямую DO. Угол DOA - искомый угол и равен 15 градусам.
Как и в первом случае, чертим линию, окружность и ее центр.
Далее раствором циркуля из точек А, В, С, D пересечения линии с окружностью О проводим 4 окружности радиусом АО и ВО, CO и DO соответственно. Получается такой цветок.
Далее строим треугольник NOM по точкам пересечения окружностей, как показано на рисунке.
Угол NOM равен 30 грудусам.
Находим середину отрезка NM. Е - середина отрезка.
Полученный отрезок EOM равен 15 градусов.
В данном случае все очень даже просто. Ну например нам вначале надо построить угол равный 30 градусам. И это можно сделать даже без циркуля, просто зная, свойства прямоугольных треугольников в углом в 30 градусов. А можно как показано на приведенном а ответе рисунке.
Ну а дальше построить биссектрису к углу в 30 градусов и получить два угла по 13 градусов. Ну а вот как строится биссектриса.
К счастью, угол 15 ° - это четвёртая часть угла в 60 °, который строится элементарно.Чертите прямую, на ней отмечаете две точки (А и В). Циркулем отмеряете расстояние АВ, не меняя раствора циркуля, последовательно ставите ножку циркуля в точки А и В, и проводите дуги до их пересечения. Точку пересечения обозначаете С. Точку С соединяете отрезками прямых с точками А и В. Получился равносторонний треугольник, каждый угол которого равен 60 °.
Другой способ. Чертите циркулем окружность. Ставите ножку циркуля в любую точку этой окружности (пусть это точка А), и делаете засечку на окружности. Получаете точку В. Далее, ставите ножку циркуля в точку В и делаете следующую засечку (С) и так далее, пока очередная (шестая) засечка не "придёт" в точку А. Соединяете через одну любые три точки и получаете равносторонний треугольник с углами по 60 °.
Деление угла пополам. Пусть дан угол в вершиной А. Ставите ножку циркуля в вершину угла и проводите дугу, так, чтобы она пересекла обе стороны угла. Обозначаете точки пересечения В и С. Теперь, ставите ножку циркуля последовательно в точки В и С и проводите дуги одинакового радиуса (не обязательно равного АВ и АС), до их пересечения. Точку пересечения этих дуг обозначаете D. Через точки А и D проводите прямую линию. Она является биссектрисой заданного угла), т.е. делит его пополам.
Таким образом, разделив угол 60 ° пополам, получите угол в 30 °, а разделив пополам его, получите угол в 15 °.
15 градусов это 1/6 прямого угла 90 градусов. разделите при помощи линейки прямой угол на 6 частей и получите 6 углов по 15 градусов. или прямой угол пополам, а потом 45 градусов разделите на 3 при помощи той же линейки . проверьте точность измерений циркулем, чтобы все отрезки на гипотенузе получились одинаковыми.
Ирен. Есть категория задач, так называемые задачи на построение, с помощью циркуля и линейки. Так вот в этих задачах линейка - это просто устройство, которое позволяет провести прямую линию между двумя точками. И ВСЁ. Никаких измерение, делений такой линейкой провести нельзя. На ней даже нельзя ставить какие-то засечки, ТОЛЬКО ПРОВЕДЕНИЕ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ.
Это один момент, принципиальный. Ну и второй. Угол при помощи даже измерительной линейки (которой нельзя пользоваться в задачах на построение) на произвольное число равных частей разделить невозможно, можно только разделить пополам (если каждую половинку ещё пополам и так далее, то можно разделить только на целые степени 2, т.е. на 2, 4, 8, 16 и т.д.)
с таким же успехом, как предлагает Ирен можно и квадратуру круга решить, при чем только с помощью молотка, стукнув круг с 4 сторон
понятно что углы линейками не измеряются, но в повседневной жизни пользуются тем, что есть под рукой.
Читайте также: