Как сделать треугольник по математике

Обновлено: 04.07.2024

Что такое треугольник знают дети уже в самом младшем возрасте, они умеют находить треугольник среди множества геометрических фигур. Но вот уже в школе по геометрии проходят треугольник и надо не просто узнавать треугольник, но и дать определение этому понятию.

Определение треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, окруженная тремя отрезками прямой (конечные точки каждых двух смежных отрезков соединены или перекрываются), называется треугольником. Точки пересечения отрезков называются вершинами треугольника, а сами отрезки между двумя соседними вершинами треугольника называются сторонами треугольника.

Посмотрите на треугольник на рисунке.

У него три вершины — , , и три стороны , и . У каждого треугольника есть имя — это имя образовано вершинами треугольника. Наш треугольник зовут ([а-бэ-цэ]). А треугольник на вот этом рисунке

будут звать ([эм-эн-ка]).

По правилам математической грамотности треугольник, как и любой другой многоугольник, следует называть, начиная с левого нижнего угла и называя все вершины по часовой стрелке.

В треугольнике можно провести особенные стороны — высоту, медиану и биссектрису. Начнем с высоты треугольника.

Высота треугольника

В каждом треугольнике можно провести три высоты. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противолежащую этой вершине сторону.

Например, в треугольнике , высотой будет отрезок .

А теперь проведем из каждой вершины по высоте — получим три высоты — больше провести высот нельзя.

В этом треугольнике три высоты , , .

Про биссектрисы и медианы поговорим в других статьях. Сейчас же давайте с вами рассмотрим каким бывает треугольник.

Виды треугольника

Виды треугольника могут быть по углам и по сторонам. То есть в первом случае вид треугольника зависит от того, какие в этом треугольнике углы, а во втором случае — какие в этом треугольнике стороны.

Виды треугольников по углам

$90^<\circ> <blockquote>В зависимости от того, все ли углы в треугольнике острые или есть тупой угол или угол, равный$
, треугольник бывает остроугольным, тупоугольным или прямоугольным.

Посмотрите на рисунки — перед вами три основных вида треугольника:

Виды треугольников по сторонам

Если у треугольника все стороны равны, то такой треугольник называют равносторонним или правильным. Если у треугольника равны только две стороны, то такой треугольник называют равнобедренным.

На рисунке показаны равносторонний и равнобедренный треугольники.

Свойства сторон треугольника

Треугольник имеет важные свойства и характеристики.

Устойчивость — это важное свойство треугольника, оно вам еще пригодится в курсе физики. Но вначале мы с ним знакомимся на уроках геометрии.

Треугольник устойчив на любой своей стороне — то есть чтобы вывести его из состояния равновесия надо приложить силу.

Свойства сторон: разница между любыми двумя сторонами треугольника меньше, чем третья сторона, а также любая сторона треугольника меньше, чем сумма двух других сторон. То есть: .

Например, пусть наш треугольник имеет длины двух сторон , а см. В каком диапазоне будет размер третьей стороны треугольника?

Решение: согласно свойству сторон треугольника, получим:

, или .

Таким образом, третья сторона треугольника может быть в диапазоне от 4 до 10 см. Или в целых числах ее длина может быть 5, 6, 7, 8 или 9 см.

Правило существования треугольника

Используя свойство сторон треугольника мы можем определить существует ли треугольник с определенными сторонами.

Для проверки сложите длины самых коротких сторон и если сумма их больше длины самой большой стороны, тогда треугольник существует.

Например, существует ли треугольник с длинами сторон 3, 7 и 15 см?

Свойство углов в треугольнике

$180^<\circ> Сумма всех углов в треугольнике равна$
.

$90^<\circ> Согласно этому свойству мы всегда можем, зная два угла в треугольнике, найти его третий угол. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов всегда равна$
.

Например, пусть известно, что в треугольнике , " width="77" height="14" />
, " width="78" height="13" />
, нужно найти .

$180^<\circ> Так как сумма углов в треугольнике равна$
, то находим:

$\angle C=180^ -\angle B - \angle A= 180^- 30^-50^= 100^$
.

$\angle C=100^<\circ> Ответ:$
.

Элементы композиции

Многие школьники спрашивают — а зачем нам знать про треугольник, как это может пригодиться в обычной жизни? Треугольник — простая фигура из которой можно составить более сложные. Это используется во многих сферах жизни, например, вы можете эргономично убирать в своей комнате, или красиво выкладывать бутерброды. Например, из двух равных треугольников можно составить параллелограмм.

А из двух равных прямоугольных треугольником — прямоугольник или квадрат. Два треугольника могут образовать трапецию, так как на рисунке. А вот какую фигурку можно смоделировать для программируемой игры — она вся сделана из треугольников:

Мы, рассмотрели самые важные свойства треугольника, и в дальнейшем изучим еще больше разных интересных свойств, закономерностей. Несмотря на свою простоту, треугольник таит в себе много загадок и открытий.

В этом видеоуроке мы выясним, какая фигура называется многоугольником. Скажем, какие многоугольники называются треугольниками. Рассмотрим виды треугольников. Поговорим об объёмном геометрическом теле – пирамиде. Рассмотрим три основные задачи на построение треугольников.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Треугольник"

Давайте изобразим некоторую простую замкнутую ломаную линию. При этом звенья ломаной не должны пересекаться друг с другом. Эта ломаная разбивает всю плоскость на две части. Меньшая из двух частей плоскости ограничена нашей замкнутой ломаной. Большая часть простирается неограниченно.

Геометрическая фигура, которая состоит из простой замкнутой ломаной и части плоскости, ограниченной этой ломаной, называется многоугольником. Звенья ломаной называются сторонами многоугольника, а вершины ломаной – вершинами многоугольника.

Тогда если у многоугольника 6 углов, то его называют шестиугольником.

Многоугольник, у которого 4 угла, называют четырёхугольником, у которого 7 углов – семиугольником, у которого 9 углов – девятиугольником и так далее.

Обратите внимание, что у любого многоугольника вершин столько же, сколько и углов.

Сторон у многоугольника столько же, сколько и углов. Действительно, у пятиугольника – 5 сторон, у четырёхугольника – 4 стороны, у семиугольника – 7 сторон, а у девятиугольника – 9 сторон.

Самый простой многоугольник – это треугольник. Он состоит из 3 углов, 3 вершин и 3 сторон.

Вершины треугольника принято называть большими латинскими буквами. Обозначим вершины данного треугольника буквами А, B и C.

Огромное семейство треугольников можно разделить на группы по числу равных сторон.

Итак, посмотрите на такой треугольник. У него нет равных сторон. В этом можно убедиться с помощью линейки. Треугольник, у которого нет равных сторон, называется разносторонним.

Посмотрите на следующий треугольник. У него 2 стороны равны. Это можно проверить с помощью линейки. Треугольник, у которого есть две равные стороны, называется равнобедренным.

На рисунке равные стороны принято обозначать равным количеством чёрточек. Отметим, что равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами, а третью его сторону – основанием.

Теперь посмотрите на следующий треугольник. У него все 3 стороны равны. В этом можно убедиться с помощью линейки. Треугольник, у которого все 3 стороны равны между собой, называется равносторонним (или правильным).

Вы уже знаете, что углы бывают прямыми, острыми и тупыми. Напомним, что прямой угол равен . Если угол меньше , то его называют острым. Если угол больше , но меньше градусов, то его называют тупым.

Тогда все треугольники можно разделить на группы в зависимости от величин углов.

Посмотрите на первый треугольник. У него все 3 угла меньше , то есть острые.

Треугольник, у которого все углы острые, называется остроугольным.

Посмотрите на следующий треугольник.

У него , то есть прямой. Треугольник, у которого есть прямой угол, называется прямоугольным.

И ещё один треугольник.

У него , то есть тупой.

Треугольник, у которого есть тупой угол, называется тупоугольным.

Напомним, что углы треугольника можно измерить с помощью транспортира.

Измерим углы произвольного треугольника . У него , , а . Найдём сумму этих углов. Она равна .

Запомните! Сумма углов треугольника равна .

Соединяя треугольники друг с другом, можно образовывать другие фигуры.

Возьмём, например, 6 правильных, то есть равносторонних, треугольников, которые имеют общую вершину. Они образуют шестиугольник, причём правильный, так как все его стороны равны между собой. Отметим, что шестиугольник является плоской фигурой, как и сам треугольник.

А вот если мы возьмём правильный треугольник и к его стороне приставим ещё 3 таких треугольника таким образом, чтобы у них одна вершина оказалась общей, то получим объёмное геометрическое тело. Это же пирамида.

При этом не забудем невидимую линию пирамиды изобразить пунктиром. Данная пирамида имеет 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Её называют треугольной, так как боковые треугольники опираются на треугольник.

В зависимости от того, на какой многоугольник опираются треугольники, пирамиды бывают треугольные, четырёхугольные, пятиугольные и так далее. При этом многоугольник, на который опираются треугольники, в геометрии называется основанием пирамиды, а треугольники, которые опираются на основание, называются боковыми гранями.

Сейчас давайте возьмём треугольную, четырёхугольную и пятиугольную пирамиды и разрежем их по рёбрам боковых граней.

Тогда мы получим фигуры, которые называются развёртками этих пирамид.

Треугольник лежит в основе разнообразных строительных и архитектурных сооружений. Роль треугольника в строительстве очень велика, так как он обладает важным свойством, которое называется жёсткостью. Оно состоит в следующем. Если взять три рейки и соединить их попарно, то получится треугольник, изменить форму которого можно, лишь сломав рейку.

Теперь мы с вами рассмотрим три основные задачи на построение треугольников, если заданы: две стороны и угол между ними; сторона и два прилежащих к ней угла; три стороны.

Построим треугольник по двум сторонам и углу между ними.

В сторона равна 4 см, сторона равна 6 см, а угол между ними равен . Постройте по этим данным треугольник .

В первую очередь построим угол, равный . Для этого отметим произвольную точку и начертим луч с началом в этой точке. Теперь наложим транспортир так, чтобы его середина совпала с началом луча, а луч прошёл через начало отсчёта на шкале. На этой шкале найдём штрих, который соответствует , и проведём луч через этот штрих. Вершину угла обозначим буквой .

Теперь на одной стороне угла отложим отрезок , равный 4 см, а на другой – отрезок , равный 6 см. Затем проведём отрезок . Таким образом, построен.

Отметим, что по двум сторонам и углу между ними можно построить единственный треугольник.

Построим треугольник по стороне и двум углам. В сторона равна 5 см, угол равен , угол равен . Постройте по этим данным т.

Проведём прямую, на которой отложим отрезок , равный 5 см. Теперь с помощью транспортира построим угол с вершиной в точке , равный , и стороной, лежащей на данной прямой. Затем построим угол с вершиной в точке , равный , и стороной, лежащей на данной прямой. Точку пересечения других сторон углов обозначим буквой . Это и есть третья вершина треугольника. Вот таким образом построен.

Отметим, что по стороне и двум прилежащим к ней углам можно построить единственный треугольник, но при этом величины заданных углов не могут быть произвольными. Позже вы узнаете, что такое построение возможно, если сумма заданных углов меньше .

И построим треугольник по трём сторонам. В сторона равна 4 см, сторона равна 3 см, сторона равна 2 см. Постройте по этим данным .

Проведём прямую, на которой отложим отрезок , равный 4 см. Теперь с помощью циркуля построим окружность с центром в точке и радиусом 2 сантиметра. Построим окружность с центром в точке и радиусом 3 см. Точку пересечения этих окружностей обозначим буквой . Обратите внимание, что мы можем выбрать любую из двух точек пересечения окружностей, так как получающиеся треугольники равны. Соединим точки и , и и получим искомый .

Отметим, что по трём сторонам можно построить единственный треугольник. При этом важно знать, что три данных отрезка могут служить сторонами треугольника, если сумма длин двух меньших отрезков больше длины наибольшего из них.

Треугольник это геометрическая фигура, состоящая из трех точек и трех отрезков, попарно их соединяющих.

В любом треугольнике три угла и три стороны.

$180^<\circ> Сумма углов любого треугольника равна$
.

Против большего угла треугольника лежит большая сторона.

Виды треугольников

остроугольными (если все его углы острые),
тупоугольными (если один из его углов тупой),
прямоугольными (если один из его углов прямой).

равнобедренным, если две его стороны равны.
равносторонним, если все три стороны равны,
разносторонним, если все его стороны разные.

Основные линии треугольника

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектрисой угла треугольника называется луч, исходящий из вершины треугольника и делящий его пополам.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или ее продолжение).

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника и параллельный третьей стороне.

Два треугольника называются равными, если у них равны соответствующие стороны и соответствующие углы.

Признаки равенства треугольников

I признак (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

II признак (по стороне и прилежащим углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

III признак (по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Подробнее про признаки равенства треугольников читайте по ссылке.

Признаки подобия треугольников

Треугольники называются подобными, если их стороны пропорциональны.

I признак. Если два угла одного треугольника раны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

II признак. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

III признак. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Подробнее про признаки подобия треугольников читайте по ссылке.

Теоремы треугольников

Для любого треугольника справедливы следующие теоремы.

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$c^ =a^ +b^ -2ab\cos (\widehat)$

Подробнее про теорему косинусов читайте по ссылке.

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной вокруг этого треугольника окружности:

$\frac <\sin \alpha > =\frac =\frac =2R$

Подробнее про теорему синусов читайте по ссылке.

Примеры решения задач

Задание	Доказать, что в равнобокой трапеции диагонали равны.
Доказательство	В равнобокой трапеции рассмотрим треугольники и (рис. 1). Так как $AB=CD, \angle BAD=\angle CDA, AD$ – общая сторона, то треугольники и равны по первому признаку, а значит, равны все их элементы, т.е. .

Что и требовалось доказать.

Задание	В треугольнике стороны см см см. На стороне отмечена точка так, чтобы см. Найти отрезок .
Решение	Рассмотрим треугольники и . Запишем отношение сторон и :

Так как выполняется равенство отношений, то соответствующие стороны треугольников пропорциональны, а также – общий угол. Следовательно, треугольники и – подобны (по второму признаку подобия). Найдем сторону :

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Построение треугольников- 5 класс.doc

Технологическая карта урока № 51 Дата_20.11.2013 г. 5 класс

Тема урока: Построение треугольников.

Тип урока: Урок открытия новых знаний.

Личностные: формировать умение представлять результат своей деятельности, соотносить полученный результат с поставленной целью, формировать навыки работы в коллективе, ответственное отношение к обучению.

Метапредметные: формировать умение понимать сущность алгоритмических предписаний и умений действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

Предметные: научить учащихся строить треугольники с помощью линейки и транспортира по двум сторонам и углу между ними и по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Планируемые результаты: учени ки научатся строить треугольники с помощью линейки и транспортира по двум сторонам и углу между ними и по стороне и двум прилежащим к ней углам

Основные понятия: построение треугольника с заданными элементами.

ОРГАНИЗАЦИОННАЯ СТРУКТУРА УРОКА.

Этапы проведения урока

Задания для учащихся, выполнение которых приведёт к достижению запланированных результатов

Рабочая тетрадь № 1

1. Организационный этап. Присутствие учащихся. Готовность к уроку.

2. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

3. Проверка домашнего задания.

4. Актуализация знаний

5. Изучение нового материала.

Теоретический материал &14 (примеры 1,2)

6.Первичное закрепление материала.

8. Рефлексия учебной деятельности на уроке. Самооценка .

Ответьте на вопросы:

1.Самым интересным на уроке было для меня…

3.Я хотел бы еще узнать…

9.Информация о домашнем задании

1, &14, вопр.1-6, № 351,353

А). Составьте рисунки из геометрических

фигур, узоры из треугольников.

Китайская мудрость.

Оборудование: проектор, интерактивная доска, карточки с дифференцированными заданиями, листы бумаги; транспортир, линейка у каждого ученика.

Организационный момент (1-2 мин).

Сегодня мы продолжим говорить о фигуре, которая вот уже два с половиной тысячелетия является символом геометрии; но не только символом, но и - АТОМОМ ГЕОМЕТРИИ. Вспомните, о чем мы говорили с вами на предыдущих уроках.

Актуализация знаний (5-6 мин). Применяемые методы и приемы: устный ответ.

Форма проведения этапа: фронтальная и индивидуальная.

( СЛАЙД 2) Устно: №4, с.92.( ПО УЧЕБНИКУ)

1. (3слайд) Определите вид треугольника , изображенного на рисунке, в зависимости от вида его углов и количества равных сторон а) тупоугольными (2 и 7); б) равнобедренными (5); в) остроугольными (4, 5 и 6); г) прямоугольными (1 и 3); д) равносторонними (6).

2. (Слайд 4) Определите вид треугольника, углы которого равны:

35°, 115  , 30  ; (тупоугольный треугольник)

72  , 53  , 55  ; (остроугольный треугольник)

90  , 66  , 24  ; (прямоугольный треугольник)

96  , 24  , 60  . (тупоугольный треугольник)

Изучение нового материала (25 мин). Применяемые методы и приемы: проблемный, объяснительно-иллюстративный метод, беседа.

Форма проведения этапа: фронтальная.

1 . Проблемное Практическое задание:

1 . Возьмем модель четырёхугольника. Не меняя длины сторон, можем ли мы изменить форму?/Да. Попробуйте/.

2. А если взять треугольник? (Работа в группах. Ребята выясняют, можно ли изменить форму треугольника. Работа с моделями - листы бумаги)

- Вывод (после обсуждения): Если заданы три стороны треугольника, то форму его форму уже изменить нельзя, не разрушив его. Это свойство широко используется на практике. Приведите примеры.

( Примеры: стропила зданий имеют вид треугольников, это придаёт крепость и устойчивость; при строительстве любых мостов в их конструкциях также присутствуют треугольники; ножки стула крепятся планками, чтобы стул был устойчивым).

Чем больше треугольников в любой конструкции, тем она прочнее.

Итак, сегодня мы познакомимся с разными способами построения треугольников.

2. Первый способ, который мы разберем – это построение треугольника по двум сторонам и углу между ними. (Слайд 5).

Построим треугольник АВС, если АВ = 4см, АС = 3см и угол между ними равен 60°.

1. Строим угол, равный 60° с помощью транспортира; вершину угла обозначим буквой А.

2. На сторонах угла откладываем отрезки АВ = 4см, АС = 3см с помощью линейки.

3. Проводим отрезок ВС с помощью линейки.

4. Получили треугольник АВС.

Обратить внимание учеников, что какими бы мы ни задали две стороны треугольника и угол между ними, существует только один треугольники с заданными параметрами.

3. Второй способ, который мы разберем – это построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам. (Слайд 6).

Построим треугольник АВС по стороне АС = 7см и двум прилежащим к ней углам САВ = 100  , ВСА = 30  .

1. Строим отрезок АС = 7см с помощью линейки.

2. Строим угол САВ = 100° с помощью транспортира.

3. Строим угол ВСА = 30° с помощью транспортира.

4. Точку пересечения вторых сторон углов обозначим буквой В.

5. Получили треугольник АВС.

- Как вы думаете, всегда ли возможно построить треугольник по стороне и двум углам?

Проблемное Практическое задание:

1. Попробуйте построить треугольник по следующим данным: сторона равна 7см, а прилежащие к ней углы равны 105  и 95  .

- Почему не получилось построение треугольника? Чему равна сумма заданных углов? А чему равна сумма углов любого треугольника?

Вывод: построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам возможно только, если сумма заданных углов не превосходит 180°.

Физкультминутка (2 мин). (Слайд 7)

Практическое задание:

- Попробуем построить треугольник со сторонами 5см, 3см и 1см; 4см, 3см и 7см. Получилось ли построение? Как вы думаете, почему не получилось построить треугольники?

Вывод: построить треугольник по трем сторонам возможно только, если сумма длин двух (меньших) отрезков будет больше длины третьего (наибольшего) отрезка.

Первичное закрепление № 350, 352, 357 Индивид работают в РТ № 152, 153.

V . Подведение итогов урока (3 мин).

Рефлексия (5 мин).

В конце урока проводится беседа, в которой обсуждаем:

Ответьте на вопросы:

1.Самым интересным на уроке было для меня…

3.Я хотел бы еще узнать…

Домашнее задание (2 мин).

&14, вопр.1-6, № 351,353

А). Составьте рисунки из геометрических

фигур, узоры из треугольников.

Вы хорошо работали сегодня на уроке.

Всем спасибо за работу.

Читайте также: