Как сделать спираль архимеда
Обновлено: 04.07.2024
Построение спирали Архимеда.
Спираль Архимеда - это траектория точки, движущейся с постоянной скоростью от центра окружности по
радиусу, вращающемуся также с постоянной угловой скоростью.
1. Делим радиус окружности на одинаковое число равных частей (в примере на 8).
2. Делим окружность на такое же число равных частей.
3. Проводим лучи из центра через точки деления окружности.
4. На первом луче откладываем одно деление радиуса.
5. На втором луче откладываем два деления радиуса и т. д.
6. Если строить спираль дальше, то на луче 1 откладываем 8+1 деление радиуса (получаем точку IX ).
7. На втором луче откладываем 8+2 деления радиуса (получаем точку X) .
8. На третьем луче откладываем 8+3 деления радиуса (получаем точку XI) и т. д.
Архимед (287 г. до н. э. -- 212г. до н. э.) -- древнегреческий математик, физик и инженер из Сиракуз (остров Сицилия). Он сделал множество открытий в геометрии. Заложил основы механики, гидростатики, автор ряда важных изобретений.
Архимедова спираль была открыта Архимедом. Это произошло в III веке до н.э., когда он экспериментировал с компасом. Он тянул стрелку компаса с постоянной скоростью, вращая сам компас по часовой стрелке. Получившаяся кривая была спиралью, которая сдвигались на ту же величину, на которую поворачивался компас, и между витками спирали сохранялось одно и то же расстояние.
Архимедову спираль использовали в древности, как наилучший способ определения площади круга. С ее помощью был улучшен древний греческий метод нахождения площади круга через измерение длины окружности. Спираль дала возможность более точного измерения длины окружности, а следовательно, и площади круга.
Определение спирали Архимеда
Кривую можно рассматривать как траекторию точки, равномерно движущейся по лучу, исходящему из полюса, в то время как этот луч равномерно вращается вокруг полюса.
Представим себе циферблат часов с длинной стрелкой. Стрелка движется по окружности циферблата. А по стрелке в это время перемещается с постоянной скоростью маленький жучок. Траектория движения жучка представляет собой спираль Архимеда.
Построение спирали Архимеда
Чтобы понять, как получается спираль Архимеда, отметим на чертеже точку, которая является центром спирали Архимеда.
Построим из центра спирали окружность, радиус которой равен шагу спирали. Шаг спирали Архимеда равен расстоянию, которое проходит точка по поверхности круга за один его полный оборот.
Разделим окружность на несколько равных частей с помощью прямых линий. На первой линии откладываем одно деление, на второй-два деления, на третьей-три деления и т. д. Затем чертим соответствующее число дуг из центра окружности, проходящих через первое деление,2-ое и т. д.
Расстояния витков правой спирали, считая по лучу, равны ,а расстояния соседних витков, равны.
Уравнение Архимедовой спирали имеет вид:
где - радиус-вектор,- угол вращения,- шаг спирали.
Полярный угол мы отсчитываем от полярной оси, считая его положительным против часовой стрелки.
При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия) при вращении -- по часовой стрелке -- левая спираль (красная линия).
Полярный радиус-вектор мы будем брать как положительным, так и отрицательным; в первом случае его откладывают в направлении, определяемом углом , а во втором в противоположном направлении.
I.Вычислим площадь, описываемую полярным радиусом спирали при одном его обороте, если началу движения соответствует ,
Если мы найдем площадь круга радиуса ,то получим
То есть, мы получили, что площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали, равна площади круга с радиусом, равным наибольшему из полярных радиусов витка.
Спираль Архимеда — плоская кривая, которую описывает точка, движущаяся равномерно от центра О по равномерно вращающемуся радиусу (рисунок 5.6).
Для построения спирали Архимеда задают ее шаг Р, из центра О проводят окружность радиусом, равным шагу Р спирали, и делят шаг и окружность на несколько равных частей. Точки деления нумеруют.
Из центра О проводят радиальные прямые, проходящие через точки деления окружности.
Из центра О радиусами 0-1, 0-2 и т. д. проводят дуги до пересечения с соответствующими радиальными прямыми. Например, дуга радиуса 0-3 пересекается с прямой 0-31 в точке III. Полученные точки I, II. VIII, принадлежащие спирали Архимеда, соединяют плавной кривой по лекалу.
Рисунок 5.6- Построение спирали Архимеда
Эвольвента - плоская кривая, являющаяся траекторией любой точки прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения. Для построения эвольвенты окружность диаметра D делят на равные части, обычно на 8 или 12 (рисунок 5.7). Через каждую точку деления проводят касательные к окружности, направленные в одну сторону. На касательной, проведенной через последнюю точку деления окружности, откладывают отрезок, равный длине окружности tiD, который делят настолько же равных частей, что и окружность. Далее, на первой касательной откладывают одно деление, т.е. отрезок, равный 12-Г, на второй - два и т.д. Соединив полученные точки I-XII по лекалу, получают эвольвенту окружности.
Рисунок 5.7 - Построение эвольвенты
В машиностроении профили зубьев колес и зуборезный инструмент (пальцевую фрезу) выполняют по эвольвенте.
К циклоидальным кривым относятся: циклоида, эпициклоида, гипоциклоида.
Циклоида - траектория точки А окружности, перекатываемой без скольжения по прямой (рисунок 5.8).
Для построения циклоиды от исходного положения точки А откладывают отрезок АВ, равный длине окружности. Окружность и этот отрезок делят на одинаковое число равных частей, обычно 8 или 12. Отмечают положения центра окружности при ее перекатывании О, (X, . 012 и из этих центров описывают промежуточные положения окружности. Из них линиями, параллельными линии АВ, отмечают промежуточные положения точки А. Так, в пересечении прямой, проходящей через точку 1, с окружностью, описанной из центра 0, получают первую точку циклоиды. Далее находят все точки циклоиды и соединяют их с помощью лекал.
Рисунок 5.8 - Построение циклоиды
Эпициклоида - плоская кривая, которую описывает точка А, лежащая на окружности, перекатываемой без скольжения снаружи по направляющей окружности (рисунок 5.9).
Рисунок 5.9- Построение эпициклоиды
Производящую окружность диаметра D и направляющую окружность радиуса R проводят так, чтобы они касались. Производящую окружность диаметра D делят на равное количество частей. Из центра б?о радиусом, равным (7?+O,5Z>), проводят вспомогательную дугу.
Центральный угол а определяют в градусах по формуле
где D - диаметр производящей окружности, мм;
R - радиус направляющей окружности, мм.
Разделив дугу направляющей окружности, ограниченную углом а, на такое же число частей, что и производящую, получают точки 1, 2, 3. 8. Из центра Оо через точки 7, 2, 3, . 8 направляющей окружности проводят прямые, которые продолжают до пересечения со вспомогательной дугой в точках Oi, О2, Оз. О3. Из центра Оо проводят вспомогательные дуги через точки делений 1-8 производящей окружности. Из точек 01, 02, Оз, . б?8, как из центров, проводят окружности диаметра D до пересечения со вспомогательными дугами в точках Ai, А2. As, которые принадлежат эпициклоиде.
Гипоциклоида — плоская кривая, которую описывает точка А, лежащая на окружности, перекатываемой без скольжения внутри по направляющей окружности.
Построение гипоциклоиды аналогично построению эпициклоиды. Направляющую окружность радиуса R и производящую окружность диаметра D проводят так, чтобы они касались в точке А (рисунок 5.10). Дугу направляющей окружности, ограниченную углом а, делят на равное количество частей, настолько же частей делят и производящую окружность. Точки деления дуги направляющей окружности соединяют с точкой Оо. В пересечении этих прямых со вспомогательной окружностью радиуса (7?-О,5?)) получают точки О, О2, Оз. Оз-
Из центра Оо через точки деления производящей окружности проводят вспомогательные дуги.
Заданный шаг t спирали Архимеда делят на несколько, например на восемь, равных частей. Из конца О отрезка проводят окружность R = t и делят ее на столько же равных частей, на сколько был разделен шаг t.
На первом луче путем проведения дуги радиусом O1 из центра О получают точку I, на втором луче путем проведения дуги радиусом O2 получают точку II и т. д.
После того как на всех лучах будут получены точки I, II, III, IV, V, VI, VII и VIII, проводят через них кривую – спираль Архимеда.
Распределительный кулачок. Очертания боковых сторон его выполняют по спирали Архимеда
Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так:
где k – смещение точки M по лучу r, при повороте на угол, равный одному радиану. Повороту прямой на 2 соответствует смещение a = |BM| = |MA| = 2 k. Число a – называется шагом спирали. Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так:
При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль, при вращении – по часовой стрелке – левая спираль.
Обе ветви спирали (правая и левая) описываются одним уравнением:
Положительным значениям соответствует правая спираль, отрицательным – левая спираль. Если точка M будет двигаться по прямой UV из отрицательных значений через центр вращения O и далее в положительные значения, вдоль прямой UV, то точка M опишет обе ветви спирали.
Луч OV, проведенный из начальной точки O, пересекает спираль бесконечное число раз – точки B, M, A и т.д. Расстояния между точками B и M, M и A равны шагу спирали ? = 2k?. При раскручивании спирали, расстояние от точки O до точки M стремится к бесконечности, при этом шаг спирали остается постоянным (конечным), то есть чем дальше от центра, тем ближе витки спирали, по форме, приближаются к окружности.
Данный текст является ознакомительным фрагментом.
Продолжение на ЛитРес
Последовательность Фибоначчи и спираль Архимеда
Последовательность Фибоначчи и спираль Архимеда Плотная пища жен Фибоначчи Только на пользу им шла, не иначе. Весили жены, согласно молве, Каждая – как предыдущие две. Джеймс Линдон Числовой ряд Фибоначчи – загадочная последовательность, воспетая в романах Дэна
Спираль Архимеда и закон октав
Спираль Архимеда и закон октав Искусство – и я имею в виду подлинное, доброе искусство – зиждется, помимо всего прочего, на принципах баланса, динамики, местоположения и композиции. Эти элементы должны находиться в гармонии, взаимодействовать друг с другом, чтобы
Глава тринадцатая: Математическая физика спирали в единицах сознания
Глава тринадцатая: Математическая физика спирали в единицах сознания В этой главе мы обнаруживаем наиболее типичную связь между трехмерными геометриями ЕС и гармоническими математическими “числами частоты” в Октаве.Такая связь выявляется с помощью работы Карла
Движение по спирали
Движение по спирали Люди часто спрашивают меня, особенно хорошие люди в высокоразвитых капиталистических странах, почему я говорю только о плохом? Я говорю о плохом, чтобы превратить это в нормальное, а не говорю о плохом, чтобы называть это плохим. Человек, который
ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА ЛЮБВИ
5.2. Построение физической модели
5.2. Построение физической модели В квантовой механике доказывается, что систему взаимодействующих частиц можно описать, используя понятие квантового поля. При этом принято каждому виду взаимодействия ставить в соответствие свое квантовое поле. По современным
Движение по спирали
Движение по спирали Жизнь представляет собой волнообразное движение по спирали. Виток спирали – это отведенный человеку срок, который начинается и завершается в одном месте, с той разницей, что конец всегда расположен выше, чем начало. Это означает, что, независимо от
Построение гороскопа
Построение гороскопа В этом разделе рассмотрим основные термины и понятия, связанные с построением натального гороскопа, или, как его еще называют, гороскопа рождения. В его основе лежит, разумеется, космограмма, изображающая положение планет в момент рождения
000. ПОСТРОЕНИЕ ПИРАМИДЫ
000. ПОСТРОЕНИЕ ПИРАМИДЫ Маг держит Жезл. На Алтаре расположены Ладан, Огонь, Хлеб, Вино, Цепь, Плеть, Кинжал и Масло. В левую руку он берет Колокольчик, звонит 2 раза: Радуйся, Аси! Радуйся, Гор-Апеп! Пусть Молчание породит Речь! Изгоняющий спиральный танец:[1] Изрёк Слова
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СПИРАЛИ ДНК
ЖИЗНЕННЫЕ СПИРАЛИ
ЖИЗНЕННЫЕ СПИРАЛИ У каждого человека в жизни есть точка, с которой начинается его духовный путь. Когда человек только начинает двигаться по первому кругу, в течение короткого периода все идет легко— вдруг все вопросы разрешаются, вдруг все видно, все понятно от начала до
Глава 11. Конец спирали, ведущей вниз
Глава 11. Конец спирали, ведущей вниз Следующие семь лет моя карьера и семейная жизнь продолжали испытывать кризис. Долгое время окружающие меня люди — даже самые близкие — не могли понять, каковы мои проблемы. Но постепенно, наблюдая за мной, Холли и сестры догадались, в
10.1. Построение парцуфа
Потоки и спирали повсюду
Потоки и спирали повсюду Надеюсь, мне нет нужды говорить, что линии развития не являются линиями в прямом смысле этого слова. Они представляют собой не что иное, как вероятности поведения, и поэтому являются скорее вероятностными полями, нежели прямыми, как линейка,
Читайте также: