Как сделать союзную матрицу

Добавил пользователь Alex
Обновлено: 05.10.2024

Факт 1. [math]x \cdot z \cdot y=(x \cdot z) \cdot y=e \cdot y=y[/math] , но [math]x \cdot z \cdot y=x \cdot (z \cdot y)=x \cdot e=x \Rightarrow x=y[/math] , тогда по определению [math]z^=x=y[/math] .

Факт 2. Пусть [math]\exists z^, \ \tilde^[/math]

Квадратная матрица [math]A[/math] обратима (имеет обратную матрицу) тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть [math]\det A \neq 0[/math] .

Шаг 1. Если матрица [math]A[/math] обратима, то [math]AB = E[/math] для некоторой матрицы [math]B[/math] . Тогда, если квадратные матрицы одного и того же порядка, то [math]\det AB = \det A \cdot \det B[/math] :

[math]1 = \det E = \det AB = \det A \cdot \det B[/math] , следовательно, [math]\det A \neq 0, \det B \neq 0[/math] .

Шаг 2. Докажем обратное утверждение. Пусть [math]\det A \ne 0[/math] .

1) Докажем существование правой обратной матрицы [math]B[/math] .

Предположим [math]\exists B: AB=E[/math] , где [math]A=\Vert \alpha_^ \Vert, \ B=\Vert \beta_^ \Vert, \ E=\Vert \delta_^ \Vert[/math]

[math]AB=E: \sum\limits_^ \alpha_^ \beta_^=\delta_^, \ (i,k=1..n)[/math] , фиксируем [math]k[/math] , тогда:

[math](\beta_^. \beta_^)^T \rightarrow (\xi^1. \xi^n)^T[/math] , тогда получим, что [math]\sum\limits_^ \alpha_^ \xi^=\delta_^ \Rightarrow A=\Vert \alpha_^ \Vert [/math] — матрица системы уравнений, так как [math]\det A \ne 0[/math] , то по Крамеру [math]\exists! (\xi^1. \xi^n)^T[/math]

В итоге для всех [math]k[/math] получим матрицу [math]B[/math] , что и требовалось.

2) Докажем существование левой обратной матрицы [math]C[/math] .

Предположим [math]\exists C: CA=E \Rightarrow \sum\limits_^ \gamma_^\alpha_^=\delta_^[/math]

Фиксируем [math]i[/math] , тогда [math](\gamma_^. \gamma_^) \rightarrow (\xi_1. \xi_n)[/math] ,получаем заполнение по строчкам, аналогично первому пункту показываем [math]\exists C[/math] .

[math]\det A^ = \frac[/math]
[math]\ (AB)^ = B^A^[/math]
[math]\ (A^T)^ = (A^)^T[/math]
[math]\ (kA)^ = k^A^[/math]

Возьмём две матрицы: саму [math]A[/math] и [math]E[/math] . Приведём матрицу [math]A[/math] к единичной матрице методом Гаусса. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной [math]A^-1[/math] .

Найдем обратную матрицу для матрицы

1) Для начала убедимся, что ее определитель не равен нулю(она невырожденная).

2) Справа от исходной матрицы припишем единичную.

3) Методом Гаусса приведем левую матрицу к единичной, применяя все операции одновременно и к левой, и к правой матрицам.

4) [math]A^ = B[/math]

Алгебраическим дополнением элемента [math]\ a_[/math] матрицы [math]\ A[/math] называется число

где [math]\ M_[/math] — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы [math]\ A[/math] путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.

[math]M_ = det\begin a_ & a_ & \cdots & a_ & a_ & \cdots & a_ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ & a_ & \cdots & a_ \\ a_ & a_ & \cdots & a_ & a_ & \cdots & a_ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ & a_ & \cdots & a_ \\ \end[/math]

С помощью данного онлайн калькулятора Вы сможете найти союзную матрицу или проверить правильность своего решения.

Нахождение союзной матрицы выполнимо только в том случае, если матрица является квадратной.

Союзная матрица — это матрица, элементы которых являются алгебраическими дополнениями, соответствующих элементов исходной матрицы.

Описание работы онлайн калькулятора

Минимальный размер матрицы 2х2;
Максимальный размер матрицы 10х10;
В поля ввода значений элементов матриц, можно вводить следующие типы чисел:
- Натуральные (0; 3; 9);
- Отрицательные (-43);
- Десятичные (1,5 или 1.5);
- Дробные (2/3).
Свои вопросы по работе данного онлайн калькулятора, Вы всегда можете задать в комментариях.

Продолжаем изучать матрицы и сегодня на уроке мы научимся находить и вычислять обратную матрицу.

Обратная матрица

Матрица называется транспонированной к матрице , если выполняется условие:

, для всех , где и — элементы матриц и соответственно.

Проще говоря, транспонированная матрица — это перевернутая матрица, т.е. столбцы записаны строками, а строки столбцами.

Пример №1 Транспонировать матрицу А

Как я написал выше, транспонировать матрицу, значит, записать строки столбцами, а столбцы строками, т.е. первая строка становится первым столбцом, вторая строка — вторым столбцом и т.д.

И на этом, все — ничего ведь сложного? правда?

Свойства транспонированной матрицы А:

Квадратная матрица А называется вырожденной (особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной в противном случае.

Если А — невырожденная матрица, то существует и при том единственная матрица такая, что

, где

E — единичная матрица .

Матрица называется обратной к матрице А.

К большому сожалению найти обратную матрицу — это не значит поменять знаки на противоположные)) — это целый комплекс вычислений.

Мы с вами рассмотрим два основных метода решения обратной матрицы.

Метод присоединенной матрицы

Присоединенная (союзная) матрица определяется, как транспонированная к матрице, составленная из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А.

⇒ если А — невырожденная матрица, то

Пример №2 Найти обратную матрицу А

В первую очередь, мы должны доказать, что матрица — невырожденная, а значит, вычислим определитель:

det A = 0+6+16-0-30+4 = -4 ≠ 0 — матрица невырожденная.

Теперь находим присоединенную матрицу, а здесь. ВНИМАНИЕ.

Чтобы найти первый член присоединенной матрицы, т.е. нужно вычеркнуть первую строку и первый столбец и найти определитель оставшейся части:

Т.е. цифры над буквой А, обозначают не только место определителя в присоединенной матрице, но и какую строку и какой столбец нужно вычеркнуть из исходной, (1 цифра — строка, 2 цифра — столбец) и, конечно, определяют знак матрицы.

Для наглядности также распишу, как найти второй член :

Теперь, я думаю, принцип вам понятен.

Для большего удобства предлагаю вам записывать результаты на листе, также как они строят в матрице:

Собрав все полученные числа и расставив их по своим местам, получаем матрицу:

Но согласно определению, нам требуется транспонированная матрица, поэтому делаем это преобразование и получаем союзную матрицу:

Ну и последний штрих, чтобы найти обратную матрицу нужно каждый член союзной матрицы разделить на определитель исходной матрицы (который мы находили в самом начале, т.е. на -4):

Это и будет наш ответ, при желании сделать проверку нужно перемножить главную матрицу на обратную и если в результате получается единичная матрица — то решение верное!

Метод элементарных преобразований

Данный метод еще называют методом Гаусса и мы будем его еще применять при решении систем линейных уравнений.

К элементарным преобразования относятся:
1. перестановки строк (столбцов);
2. умножение строки (столбца) на некоторое число, отличное от нуля;
3. прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженные на некоторое число.
Пример №3 Найти обратную матрицу методом элементарных преобразований

Составляем расширенную матрицу :

Теперь наша задача состоит в том, чтобы первая часть матрицы (до черты) стала единичной, т.е. принимают значение , а остальные значение .

Займемся первым столбцом

Число в первой строке нужно превратить в для этого всю строку умножим на .

Чтобы во второй строке получить нужно из второй строки отнять первую строку, предварительно умноженную на .

Чтобы в третьей строке получить нужно из третьей строки вычесть вторую строку, предварительно умноженную на .

Все действия делаем от исходной расширенной матрицы, получаем:

Первый столбец теперь соответствует единичной матрице, поэтому

Займемся вторым столбцом

Теперь мы работаем уже с полученной матрицей, после преобразований первого столбца.

Чтобы в первой строке получить мы из первой строки отнимем вторую строку, предварительно умноженную на .

Чтобы во второй строке получить мы домножим вторую строку на .

Чтобы в третьей строке получить мы к третьей строке прибавим вторую строку, предварительно умноженную на

Выполнив данные действия, получаем:

Работаем дальше с третьим столбцом:

Чтобы в первой строке получить нужно из третьей строки вычесть первую строку, предварительно умножив на .

Чтобы получить во второй строке нужно к третьей строке прибавить вторую строку, предварительно умножив на .

Чтобы в третьей строке получить нужно домножить третью строку на .

В первой части матрицы мы получили единичную матрицу, а вторая часть матрицы (после черты) и будет нашей обратной матрицей:

Оба способа нахождения обратной матрицы, довольно простые, если в них вникнуть, самое главное — не допустить ошибок в вычислениях, а остальное придет со временем.

Обратной матрицей A -1 матрицы A называют матрицу, удовлетворяющую следующему равенству:

где – E это единичная матрица.

Для того, чтобы у квадратной матрицы A была обратная матрица необходимо и достаточно чтобы определитель |A| был не равен нулю. Введем понятие союзной матрицы . Союзная матрица A* строится на базе исходной A путем замены всех элементов матрицы A на их алгебраические дополнения.

Союзная ей матрица A*:

Транспонируя матрицу A*, мы получим так называемую присоединенную матрицу A* T :

Теперь, зная как вычислять определитель и присоединенную матрицу, мы можем определить матрицу A -1 , обратную матрице A:

Пример вычисления обратной матрицы. Пусть дана исходная матрица A, следующего вида:

Для начала найдем определитель матрицы A:

Как видно из приведенных вычислений, определитель матрицы не равен нулю, значит у матрицы A есть обратная. Построим присоединенную матрицу, для этого вычислим алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы A:

Союзная матрица будет иметь следующий вид:

Присоединенная матрица получается из союзной путем транспонирования:

Находим обратную матрицу:

➤ Пример на Python

Решим задачу определения обратной матрицы на Python. Для получения обратной матрицы будем использовать функцию inv():

Рассмотрим свойства обратной матрицы.

Свойство 1 . Обратная матрица обратной матрицы есть исходная матрица:

➤Пример на Python

Свойство 2 . Обратная матрица транспонированной матрицы равна транспонированной матрице от обратной матрицы:

➤ Пример на Python

Свойство 3 . Обратная матрица произведения матриц равна произведению обратных матриц:

➤ Пример на Python

Ранг матрицы

Ранг матрицы является еще одной важной численной характеристикой. Рангом называют максимальное число линейно независимых строк (столбцов) матрицы. Линейная независимость означает, что строки (столбцы) не могут быть линейно выражены через другие строки (столбцы). Ранг матрицы можно найти через ее миноры, он равен наибольшему порядку минора, который не равен нулю. Существование ранга у матрицы не зависит от того квадратная она или нет.

Вычислим ранг матрицы с помощью Python. Создадим единичную матрицу:

Ранг такой матрицы равен количеству ее столбцов (или строк), в нашем случае ранг будет равен четырем, для его вычисления на Python воспользуемся функцией matrix_rank():

Если мы приравняем элемент в нижнем правом углу к нулю, то ранг станет равен трем:

P.S.

Вводные уроки по “Линейной алгебре на Python” вы можете найти соответствующей странице нашего сайта . Все уроки по этой теме собраны в книге “Линейная алгебра на Python”.

Если вам интересна тема анализа данных, то мы рекомендуем ознакомиться с библиотекой Pandas. Для начала вы можете познакомиться с вводными уроками. Все уроки по библиотеке Pandas собраны в книге “Pandas. Работа с данными”.

Линейная алгебра на Python. [Урок 5]. Обратная матрица и ранг матрицы : 1 комментарий

i want that help me
1) написать программу вычисляющую обратную матрицу

Читайте также:

Как сделать союзную матрицу

Описание работы онлайн калькулятора

Обратная матрица

Метод присоединенной матрицы

Метод элементарных преобразований

Ранг матрицы

P.S.

Линейная алгебра на Python. [Урок 5]. Обратная матрица и ранг матрицы : 1 комментарий