Как сделать сложные уравнение
Обновлено: 07.07.2024
Уравнение представляет собой математическое утверждение , что два выражения равны, например, . Решением уравнения является любой набор значений, который может заменить переменные для создания истинного оператора. Рассмотрим какие уравнения являются линейными, как решать линейные уравнения, какие правила для решения линейных уравнений надо знать и применять.
Линейное уравнение и его решение
Линейным называется уравнение, в котором x — переменная входит в первой степени. Почему линейное уравнение называется линейным? Потому что им описывается прямая (линия). Решать такое уравнение легко и просто — вам нужно просто разделить по разным сторонам от знака = неизвестные и известные в уравнении. А далее применить необходимые преобразования, если они нужны, или сразу же найти корень уравнения.
Простое решение
Переменная в уравнении это и решение будет . Чтобы убедиться в этом, замените значение в уравнении и получите истинное утверждение:
Особенно полезны уравнения, связывающие две переменные. Если мы знаем значение одной из переменных, мы можем найти соответствующее значение другой переменной, решая уравнение.
Пример: Уравнение определяет заработную плату Эмили , где — количество часов, которые необходимо работать в неделю. Сколько часов нужно будет работать Эмили на следующей неделе, если она хочет заработать 3600 рублей?
Решение: Понятно, что в этом случае , подставляем это значение в уравнение и находим :
Итак, получается, что Эмили нужно проработать 60 часов.
Чтобы решить уравнение, мы можем получить более простые уравнения, которые имеют одинаковые решения.
Уравнения, имеющие одинаковые решения, называются эквивалентными уравнениями. Например,
и
имеют одинаковые решения, то есть являются эквивалентными. Это, конечно, написано математически строгим языком, но сложно для понимания школьника.
. Это — эквивалентное линейное уравнение самому первому уравнению.
Теперь находим неизвестный множитель:
Итак, корень уравнения .
Желательно, если вы только начинаете решать линейные уравнения, сначала всегда проводите проверку — подставим полученный корень в исходное (самое первое) уравнение:
. Мы получили верное равенство, значит, уравнение решено верно.
Итак, ответ: .
Еще примеры решения линейных уравнений
1.Решите уравнение В данном уравнении x-неизвестный множитель. Вспомним правило:
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.
Правила записи: чтобы писать математически грамотно решение линейного уравнение — каждое вычисление или преобразование надо делать с новой строки. Недопустимым считается следующее написание: =3" width="81" height="23" />
. По правилам математической грамотности, на одной строчке мы пишем " width="46" height="23" />
, и только на следующей . Будьте грамотны.
Проверка:
.
Ответ: .
2. Решите уравнение . В данном уравнении x — неизвестное слагаемое. Правило:
Для того, чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.
Решение:
Делаем проверку:
.
Ответ:
3. Решите уравнение . В данном уравнении x- неизвестное вычитаемое. Правило:
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.
Решение: уменьшаемое у нас 3, а разность 9: .
.
Проверка:
.
Ответ:
4. Решите уравнение . В данном уравнении x- неизвестное уменьшаемое. Правило:
Для того, чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
.
Ответ:
. Здесь x — неизвестное делимое. Правило:
Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.
Решение:
Ответ: .
. Здесь x-неизвестный делитель. Правило:
Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.
.
Ответ:
Это самые простые линейные уравнения. Что же делать если у нас уравнение линейное, но сложное, уровень которого не 3-4 класс, а 7-9? Как решить его?
Универсальный метод
Универсальный метод того, как решать линейные уравнения, заключается в сведении сложного уравнения к простому, правила для которого известны. Понятнее будет на примере:
Вроде есть все — и сложение, и вычитание и деление и умножение. Какое правило применять? Непонятно. Давайте упростим это уравнение. Начнем с его левой части: , тогда в левой части будет:
Теперь приведем две дроби " width="27" height="23" />
и " width="27" height="23" />
к общему знаменателю:
. Запишем под одним знаменателем:
. Умножим левую и правую части уравнения на 2. По правилам мы можем умножать левую и правую части уравнения (как и делить) на одно и то же число, отличное от нуля, и это не повлияет на его ответ. Тогда, знаменатель в левой части сократится, и мы получим:
А теперь мы просто находим неизвестный множитель:
.
.
Метод понятен — постепенными преобразованиями мы привели исходное уравнение к простому, эквивалентному исходному. А затем, просто применили известные правила из начальной школы. Теперь вы знаете, как решать линейные уравнения простые и сложные. Это поможет вам в подготовке к ЕГЭ по математике.
Некоторые уравнения на первый взгляд кажутся очень сложными. Однако если разобраться и применить к ним небольшие математические хитрости, легко поддаются решению.
- Как решать сложные уравнения
- Как решить уравнение по математике
- Как решить математические уравнения
Чтобы сложное уравнение стало проще, примените к нему один из способов упрощения. Самый часто используемый метод - это вынесение общего множителя. Например, у вас есть выражение 4х^2+8х+16=0. Легко заметить, что все эти числа делятся на 4. Четверка и будет общим множителем, который можно вынести за скобку, помня правила почленного умножения. 4*(х^2+2х+4)=0. После вынесения общего множителя за скобку и приведения правой стороны равенства к нулю вы можете разделить обе части равенства на множитель, тем самым упростив выражение и не нарушив его числового значения.
Если вы имеете систему уравнений, то для упрощенного решения можете почленно вычесть одно выражение из другого или сложить их, оставив тем самым лишь одну переменную. Например, дана система:2у+3х-5=0;-2у-х+3=0.Легко заметить, что при у стоит одинаковый коэффициент, если взять его по модулю. Сложите уравнения почленно и получите:2х-2=0;Оставьте переменную с одной стороны, а числовое значение перенесите на другую сторону уравнения, не забывая при этом сменить знак:2х=2;х=1.Подставьте полученный результат в любое из уравнений системы и получите:2у+3*1-5=0;2у-2=0;2у=2;у=1.
Вы можете значительно упростить выражение, зная формулы сокращенного умножения. Данные правила помогают быстро раскрыть скобки, возвести в квадрат или куб сумму или разность или разложить многочлен. Чаще всего в математике, изучаемой в средней школе, встречаются формулы с возведением в квадрат. Вот те, что обязательно вам понадобятся:- квадрат суммы: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2;- квадрат разности: (a-b)^2 = a^2 — 2ab + b^2;- разность квадратов: a^2 — b^2 = (a+b)(a-b).
Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Это поможет решить задания №5, 13 и 15 из профильного уровня математики.
Одна из их разновидностей – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие переменной \(х\) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:
Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:
Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение \(х\). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.
И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:
И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением. Кроме самой показательной функции в уравнении могут быть любые другие математические конструкции – тригонометрические функции, логарифмы, корни, дроби и т.д. Если вы видите степень, значит перед вам показательное уравнение.
Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.
Простейшие показательные уравнения
Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:
Пример 1 $$ 2^x=8;$$
Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо \(х\) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:
Значит, если \(х=3\), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.
Решим что-нибудь посложнее.
Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:
Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:
Теперь наше уравнение будет выглядеть так:
Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны \(3\), только вот степени разные – слева степень \((4х-1)\), а справа \((-2)\). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:
Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.
Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.
Пример 3 $$125^x=25;$$
Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что \(125=5*5*5=5^3\), а \(25=5*5=5^2\), подставим:
Воспользуемся одним из свойств степеней \((a^n)^m=a^\):
И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:
И еще один пример:
Пример 4 $$2^x=-4;$$
Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить \(2\) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.
Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.
Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.
Общий метод решения показательных уравнений
Пусть у нас есть вот такой пример:
Где \(a,b\) какие-то положительные числа. (\(a>0, \; b>0\).
Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.
Слева у нас уже стоит \(a^x\), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число \(b\), которое нужно попытаться представить в виде \(b=a^m\). Тогда уравнение принимает вид:
Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:
Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:
Замечаем, что \(16=2*2*2*2=2^4\) это степень двойки:
Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:
$$x=4.$$
Пример 6 $$5^=125 \Rightarrow 5^=5*5*5 \Rightarrow 5^=5^3 \Rightarrow –x=3 \Rightarrow x=-3.$$
Пример 7 $$9^=81 \Rightarrow (3*3)^=3*3*3*3 \Rightarrow(3^2)^=3^4 \Rightarrow 3^=3^4 \Rightarrow 8x=4 \Rightarrow x=\frac.$$
Здесь мы заметили, что \(9=3^2\) и \(81=3^4\) являются степенями \(3\).
Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:
Пример 8 $$ 3^x=2;$$
\(3\) и \(2\) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число \(b>0\), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице \(a>0, \; a \neq 1\):
Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим \(2\) в виде \(3\) в какой-то степени, где \(a=3\), а \(b=2\):
Подставим данное преобразование в наш пример:
Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:
Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.
Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.
Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.
Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:
Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.
И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\).
Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:
Решение показательных уравнений при помощи замены
Пример 10 $$ 9^x-5*3^x+6=0;$$
Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.
Здесь это сделать легко, замечаем, что \(9=3^2\), тогда \(9^x=(3^2)^x=3^=(3^x)^2\). Здесь мы воспользовались свойством степеней: \((a^n)^m=a^\). Подставим:
Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:
Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:
И второй корень:
И еще один пример на замену:
Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание \(3\). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Но если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член \(3=2+1\) и вынести общий множитель \(2\):
Подставим в исходное уравнение:
Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:
Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:
И второе значение \(t\):
Тут у нас две показательные функции с основаниями \(7\) и \(3\), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на \(3^x\):
Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:
Разберем каждое слагаемое:
Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:
Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену \(t=(\frac)^x\):
Сделаем обратную замену:
И последний пример на замену:
Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:
Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:
Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны - отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!
И последнее слагаемое со степенью:
Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:
Теперь можно сделать замену \(t=2^x\) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель \(2^x\)):
Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.
И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут
Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании \(2\), \(5\) и \(10\). Очевидно, что \(10=2*5\). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:
Воспользуемся формулой \((a*b)^n=a^n*b^n\):
И перекинем все показательные функции с основанием \(2\) влево, а с основанием \(5\) вправо:
Сокращаем и воспользуемся формулами \(a^n*a^m=a^\) и \(\frac=a^\):
Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.
Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!
Частые ошибки, необходимая краткая теория, статистика прошлых лет во 2й части ЕГЭ по математике профильного уровня.
Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.
Урок по теме логарифмы и их свойства. Разбираемся, что такое логарифм и какие у него свойства. Научимся считать выражения, содержащие логарифмы. И рассмотри несколько возможных заданий №9 из ЕГЭ по профильной математике.
Разбираем, как вычислить степень с рациональным (дробным) показателем. Свойства степени с рациональным показателем. Примеры решения задания №9 из ЕГЭ по математике профильного уровня.
Что такое корень n-й степени. Познакомимся со свойствами коня n-й степени и методами оценки значения корня. Разберем какая у него областью определения.
Знакомимся с понятием степени с натуральным показателем и ее свойствами. Разбор преобразования сложные степенных выражений на примерах.
Цикл уроков про степени и логарифмы и их свойства. Учимся решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Задания №9 и №15 ЕГЭ по профильной математике.
Индивидуальные занятия с репетитором для учеников 6-11 классов. Для каждого ученика я составляю индивидуальную программу обучения. Стараюсь заинтересовать ребенка предметом, чтобы он с удовольствием занимался математикой и физикой.
Тех, кто умеет решать квадратные уравнения, не испугает, если одну из переменных нужно будет возвести в степень. Если же искомый x находится не в основании степени, а в ее показателе — значит, нам встретились показательные уравнения. Узнаем о них подробнее и рассмотрим примеры с решениями за 10 класс — они пригодятся на ЕГЭ.
О чем эта статья:
6 класс, 7 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение показательного уравнения
Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.
Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:
Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.
С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a
Показательная функция не может быть отрицательным числом, т. е. выражение у = a x при а ≤ 0 корней не имеет.
Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.
Свойства степеней
Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.
Читайте также: