Как сделать ромбоусеченный икосододекаэдр
Добавил пользователь Alex Обновлено: 04.10.2024
Программа Poly
Здесь найдете развертку и еще три вида для многогранника. Подвигайте движок, увидите как многогранник на ваших глазах переходит в развертку. Подцепите аккуратно курсором многогранник, чтобы он вращался. Можно одновременно увидеть вращение и переход в развертку и обратно. Можно распечатать.
Я установила Poly. Чего только нет. А я и не знала, что это так интересно. Помещаю видео ролик для того, кто по разным причинам не сможет установить эту программу. Посмотрите её возможности. Она стоит того, чтобы установить её. Я своим школьникам обязательно покажу это чудо. Мне так понравилось. Анатолий Георгиевич, спасибо огромное.
Программа Poly
Здесь найдете развертку и еще три вида для многогранника. Подвигайте движок, увидите как многогранник на ваших глазах переходит в развертку. Подцепите аккуратно курсором многогранник, чтобы он вращался. Можно одновременно увидеть вращение и переход в развертку и обратно. Можно распечатать.
Удивительно, 12 человек всего скачали программу. Не догадываются люди под спойлер заглянуть? Я уверена, что учителям эта программа очень нужна, поэтому и сделала два видео ролика. 24 просмотра видео тоже не густо. Жаль. Канет в небытие.
Тема многогранники так неинтересно изложена в учебнике, а есть такая возможность её оживить.
Скачайте программу Poly.
На два поста выше.
На кнопочку нажмите " Показать"
1. Изготовьте чертежи граней. Если вы хотите построить модель среднего размера, можно просто напечатать чертежи, приведенные на странице, посвященной соответствующему многограннику. Если же вы хотите построить модель другого размера, вы должны выполнить чертеж самостоятельно. Будьте очень аккуратны, от точности чертежа зависит, насколько хорошо подойдут детали.
2. Изготовьте по чертежу трафарет. Для этого наложите чертеж на лист плотного картона и проколите оба листа в вершинах многоугольника иглой или тонким шилом. Острым карандашом соедините по линейке полученные проколы. Аккуратно вырежьте ножом или ножницами трафарет, отступив от карандашной линии примерно на 0.5 см.
3. Выберите материал, из которого вы будете изготавливать модель. Для моделей среднего размера неплохо подходит плотная чертежная бумага. Хорошо также использовать тонкий глянцевый картон. Если же вы делаете большую модель, нужно выбирать более плотный материал, чтобы модель не разрушилась от собственного веса. Если вы делаете цветную модель, надо использовать цветной материал или самостоятельно окрасить его до того, как вы сделаете заготовки.
4. По трафарету изготовьте требуемое число заготовок. Для изготовления заготовки положите трафарет на лист материала, выбранного вами для модели, и сделайте проколы в вершинах многоугольника. Теперь острым предметом — иглой или шилом — нанесите между проколами границы и линии сгибов. Если вы используете достаточно толстый картон, вместо иглы можно воспользоваться очень острым ножом, аккуратно надрезав картон на треть толщины.
5. Вырежьте детали, оставляя поля-наклейки, которыми части будут соединены, размером от 0.3 до 0.5 см. Есть несколько технологий соединения деталей (о них сказано ниже); оставляйте те наклейки, которые требуются при выбранной вами технологии. Срежьте уголки заготовок так, чтобы разрез прошел точно через прокол.
6. Аккуратно согните заготовки по проведенным вами линиям. Если сгиб очень длинный (более 8 см) то, чтобы не помять заготовку, воспользуйтесь линейкой, прижав ей заготовку по линии сгиба.
8. Если модель имеет очень острые многогранные углы, дополнительно подрежьте уголки наклеек. Это не стоит делать преждевременно, иначе будет тяжело акуратно отогнуть наклейки. Постарайтесь оставлять для склейки как можно больше места. Срезайте ровно столько, чтобы наклейки не мешали граням и друг другу вблизи вершин многогранника.
9. Когда все детали готовы, можно приступать к склейке модели. Существуют четыре способа склейки деталей:
Из доступных клеев лучше всего использовать ПВА. Этот клей удовлетворяет всем требованиям. Он бесцветен и не коробит бумагу, схватывается за 10-20 секунд и совершенно нетоксичен (при высыхании выделяет пары воды). Кроме того, ПВА можно разбавлять водой до нужной густоты. Дело в том, что иногда (например, при склеивании крупных деталей) удобнее иметь дело с жидким клеем, который схватывается чуть медленнее, а в других случаях (для мелких или труднодоступных деталей) хочется, чтобы клей схватился быстрее. Можно, конечно, пользоваться несколькими разными клеями, но использование смеси ПВА с водой в нужной пропорции значительно удобнее. Максимальное рекомендуемое разведение — 1:1, чаще же всего используется смесь одной части воды на две части клея.
Процедура склейки достаточно проста. Вы наносите равномерно тонкий слой клея на обе наклейки и соединяете их. Следует чуть-чуть подвигать детали, чтобы клей равномерно распредилился по наклейкам. После того, как части приведены в правильное положение, их следует плотно сжать и дождаться, пока клей не подсохнет. Время от времени надо пользоваться пинцетами или, еще лучше, хирургическими зажимами. Эти инструменты особенно полезны на завершающих стадиях, когда приходится работать внутри модели через небольшое отверстие. Кроме того, при постройке сложных моделей иногда приходится применять широкие плоские зажимы для придерживания наклеек до полного высыхания клея.
Тетраэдр
Тетраэдр принадлежит к семейству платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников.Тетраэдр — простейший многогранник, его граняи являются четыре равносторонних треугольника.Несмотря на свою простоту, тетрэдр — полноправный представитель семейства платоновых тел.Все его грани — одинаковые правильные многоугольники, все его многогранные углы равны.
Тетраэдр — пространственный аналог плоского равностороннего треугольника, поскольку он имеет наименьшее число граней, отделяющих часть трехмерного пространства. Модель тетраэдра допускает четырехцветную раскраску, удовлетворяющую принципу раскраски карт. Изготовление модели начните с четырех заготовок. Не забудьте оставить наклейки с каждой стороны. Приклейте три заготовки к сторонам четвертой. Вы получите большой треугольник, состоящий из четырех заготовок. Соедините несклеенные боковые грани и склейте две из них между собой. Затем покройте клеем оставшиеся наклейки и приклейте последнюю грань, как бы закрывая коробку. Некоторое время придерживайте модель за ребра, чтобы внутренние напряжения и клей закончили свое дело.
название тетраэдр
обозначение 3|2 3
граней 4
ребер 6
вершин 4
невыпуклых граней 0
грань
количество 4
Додекаэдр
Додекаэдр — представитель семейства платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников. Додекаэдр имеет двенадцать пятиугольных граней, сходящихся в вершинах по три. Этот многогранник замечателен своими тремя звездчатыми формами.
Додекаэдр допускает две интересных раскраски. Первая — раскраска в четыре цвета. Однако при такой раскраске противоположные грани, лежащие в параллельных плоскостях, получают различный цвет. Второй вариант — раскраска в шесть цветов, при которой противоположные грани окрашены одинаково.
Первый вариант раскраски — 4 цвета
Второй вариант раскраски — 6 цветов
Построение модели начинается с приклеивания пяти пятиугольников к одному центральному пятиугольнику. После этого боковые пятиугольники склеиваются междк собой — и половина модели готова. Остается подклеить к ней оставшиеся грани.
название додекаэдр
обозначение 3|2 5
граней 12
ребер 30
вершин 20
невыпуклых граней 0
грань
количество 12
Икосаэдр
Икосаэдр — представитель семейства платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников. Икосаэдр имеет двадцать треугольных граней, сходящихся в вершинах по пять.
Первый вариант раскраски
Второй вариант раскраски
Модель можно начать строить, склеив из пяти треугольников невысокую пятиугольную пирамиду без основания. К сторонам ее основания приклеиваются следующие пять треугольников. Между ними вы приклеиваете по одному треугольнику — в каждой вершине должно сходиться по пять граней. Наконец, завершая модель, приклейте последние пять треугольников.
название икосаэдр
обозначение 5|2 3
граней 20
ребер 30
вершин 12
невыпуклых граней 0
грань
количество 20
Ромбокубоктаэдр
Ромбокубоктаэдр принадлежит к семейству архимедовых тел, то есть полуправильных выпуклых многогранников. Название многогранника объясняет его происхождение — он получается ромбическим усечением кубоктаэдра. Наиболее естественна окраска этого тела, когда множество квадратных граней разбивается на два разноцветных подмножества — кубического и ромбического происхождения, а треугольники, оставшиеся в наследство от октаэдра, получают третий цвет.
Ромбокубоктаэдр особенно интересен связью с псевдоромбокубоктаэдром — многогранником, также принадлежащим к семейству архимедовых тел, но открытым только в XX веке.
При построении этой модели можно начать со склейки пяти квадратов в своеобразный крест. Затем между четырьмя квадратами креста вклеиваются треугольники, и вы получаете чашу с восьмиугольным верхним краем. К свободным наклейкам приклеиваются восемь квадратов. После этого модель несложно закончить, приклеивая детали по одной. Последним приклеивается любой из треугольников.
название ромбокубоктаэдр
обозначение 3 4|2
граней 26
ребер 48
вершин 24
невыпуклых граней 0
грань
количество 8 18
Ромбоусеченный икосододекаэдр
Ромбоусеченный икосододекаэдр принадлежит к семейству архимедовых тел, то есть полуправильных выпуклых многогранников. Он получается из икосододекаэдра при ином варианте ромбического усечения, нежели ромбоикосододекаэдр. Этот многогранник допускает простую окраску — все десятиугольники, оставшихся от додекаэдра, окрашиваются в один цвет, унаследованные от октаэдра шестиугольники — во второй, квадраты ромбического происхождения — в третий.
Для построения модели окружите десятиугольник попеременно квадратами и шестиугольниками. Присоединяйте последующие десятиугольники, окружая их кольцами граней двух других типов. В результате каждые два десятиугольника будут отделены таким кольцом.
название ромбоусеченный икосододекаэдр
обозначение 2 3 5|
граней 62
ребер 180
вершин 120
невыпуклых граней 0
грань
количество 30 20 12
Большой додекаэдр
Большой додекаэдр принадлежит к семейству тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых многогранников. Грани большого додекаэдра — пересекающиеся пятиугольники. Вершины большого додекаэдра совпадают с вершинами описанного икосаэдра.
Большой додекаэдр был впервые описан Луи Пуансо в 1809 г.
Модель большого додекаэдра допускает шестицветную раскраску, при которой параллельные грани получают одинаковый цвет. Эта раскраска удовлетворяет принципу раскраски карт.
Для изготовления модели соедините заготовки между собой, чтобы получить 20 треугольных пирамид наклейками наружу. Затем склейте пирамиды способом, напоминающим способ склейки икосаэдра.
название большой додекаэдр
обозначение 5/2 2|5
граней 12
ребер 30
вершин 12
невыпуклых граней 0
грань
количество 12
Октагемиоктаэдр
Этот многогранник представляет собой ограненный кубоктаэдр. Иногда его называют также октатетраэдром. Четыре экваториальные шестиугольные грани многогранника имеют общие ребра с восемью треугольными гранями.
Другой ограненной формой кубоктаэдра является кубогемиоктаэдр.
Модель допускает окраску в пять цветов, при которой четыре экваториальные шестиугольные грани окрашиваются в четыре различных цвета, а все внешние треугольные грани получают пятый цвет. Эта раскраска удовлетворяет принципу раскраски карт.
Так же, как и при изготовлении модели тетрагемигексаэдра, есть два способа изготовления этой модели.
При использовании первого метода изготовьте восемь тетраэдров, оставив на части их ребер пазы, а на части — язычки. Самостоятельно определите, какие наклейки следует отогнуть, а какие оставить внутри. Соедините заготовки, вставляя язычки в соответствующие пазы.
При втором методе вы изготавливаете шесть чаш — бездонных пирамид с квадратными основаниями — и соединяете их наклейками двойной толщины. В последнюю очередь подклеиваются внешние треугольные грани.
название октагемиоктаэдр
обозначение 3/2 3|3
граней 12
ребер 24
вершин 12
невыпуклых граней 0
грань
количество 8 4
Малый битригональный икосододекаэдр
Этот многогранник состоит из 12 пентаграмм на гранях додекаэдра и 20 треугольников на гранях икосаэдра. Легко заметить, что у каждой вершины грани встречаются тройками в чередующемся порядке, поэтому многогранник и называется битригональным икосододекаэдром.
Пентаграммы могут быть окрашены в шесть цветов так, что противоположные звезды будут одноцветными. Для сохранения основного принципа раскраски карт при выборе красок для треугольных граней необходимо обратиться к второй схеме раскраски икосаэдра.
Чертеж и описание изготовления модели этого многогранника пока отсутствуют.
название малый битригональный икосододекаэдр
обозначение 3|5/2 3
граней 32
ребер 60
вершин 20
невыпуклых граней 12
грань 3 5/2
количество 20 12
В геометрия, то усеченный икосододекаэдр является Архимедово твердое тело, один из тринадцати выпуклых изогональный непризматические твердые тела, состоящие из двух или более типов правильный многоугольник лица.
Имеет 62 лица: 30 квадраты, 20 обычных шестиугольникии 12 обычных декагоны. У него больше всего ребер и вершин среди всех Платоновых и Архимедовых тел, хотя курносый додекаэдр имеет больше лиц. Из всех вершинно-транзитивных многогранников он занимает наибольший процент (89,80%) объема сферы, в которую он вписан, очень узко превосходя курносый додекаэдр (89,63%) и малый Ромбикосододекаэдр (89,23%), и в меньшей степени опережая Усеченный икосаэдр (86,74%); он также имеет наибольший объем (206,8 кубических единиц), когда длина его ребра равна 1. Из всех вершинно-транзитивных многогранников, не являющихся призмами или антипризмами, он имеет наибольшую сумму углов (90 + 120 + 144 = 354 градуса). в каждой вершине; только призма или антипризма с более чем 60 сторонами будет иметь большую сумму. Поскольку каждая его грань имеет точечную симметрию (эквивалентно 180 ° вращающийся симметрии) усеченный икосододекаэдр представляет собой зоноэдр.
Содержание
Имена
Название усеченный икосододекаэдр, первоначально предоставленный Иоганн Кеплер, вводит в заблуждение. Фактический усечение из икосододекаэдр имеет прямоугольники вместо квадраты. Этот неоднородный многогранник топологически эквивалент архимедова твердого тела.
Альтернативные взаимозаменяемые имена:
- Усеченный икосододекаэдр (Иоганн Кеплер)
- Ромбоусеченный икосододекаэдр (Магнус Веннингер[1] )
- Большой ромбоикосододекаэдр (Роберт Уильямс, [2] Питер Кромвель [3] )
- Усеченный додекаэдр или же икосаэдр (Норман Джонсон)
Название большой ромбоикосододекаэдр относится к отношениям с (маленьким) ромбикосододекаэдр (сравните раздел Рассечение).
Существует невыпуклый однородный многогранник с похожим названием невыпуклый большой ромбоикосододекаэдр.
Площадь и объем
Площадь поверхности А и объем V усеченного икосододекаэдра реберной длины а находятся: [ нужна цитата ]
Если набор всего 13 Архимедовы тела были построены с одинаковой длиной ребер, усеченный икосододекаэдр будет самым большим.
Декартовы координаты
Декартовы координаты для вершин усеченного икосододекаэдра с длиной ребра 2φ - 2 с центром в начале координат - это все даже перестановки из: [4]
(± 1 / φ , ± 1 / φ , ±(3 + φ)), (± 2 / φ , ±φ, ±(1 + 2φ)), (± 1 / φ , ±φ 2 , ±(−1 + 3φ)), (±(2φ − 1), ±2, ±(2 + φ)) и (±φ, ±3, ±2φ),
куда φ = 1 + √ 5 / 2 это Золотое сечение.
Рассечение
Усеченный икосододекаэдр - это выпуклый корпус из ромбикосододекаэдр с кубоиды над его 30 квадратами, отношение высоты к основанию которых φ . Остальное его пространство можно разделить на неоднородные купола, а именно 12 между внутренними пятиугольниками и внешними декагонами и 20 между внутренними треугольниками и внешними шестиугольниками.
Альтернативное рассечение также имеет ромбикосододекаэдрическое ядро. Имеет 12 пятиугольные ротонды между внутренними пятиугольниками и внешними декагонами. Оставшаяся часть - это тороидальный многогранник.
Эти изображения показывают ромбикосододекаэдр (фиолетовый) и усеченный икосододекаэдр (зеленый). Если длина их ребер равна 1, расстояние между соответствующими квадратами равно φ .
Ортогональные проекции
Усеченный икосододекаэдр имеет семь особых ортогональные проекции, с центром на вершине, на трех типах ребер и трех типах граней: квадратной, шестиугольной и десятиугольной. Последние два соответствуют букве A2 и H2 Самолеты Кокстера.
| В центре | Вершина | Край 4-6 | Край 4-10 | Край 6-10 | Лицо квадрат | Лицо шестиугольник | Лицо десятиугольник |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Твердый | |||||||
| Каркас | |||||||
| Проективный симметрия | [2] + | [2] | [2] | [2] | [2] | [6] | [10] |
| Двойной изображение |
Сферические мозаики и диаграммы Шлегеля
Усеченный икосододекаэдр также можно представить в виде сферическая черепица, и проецируется на плоскость через стереографическая проекция. Эта проекция конформный, сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.
| Ортографическая проекция | Стереографические проекции | ||
|---|---|---|---|
| Декагон-центрированный | Шестиугольник-центрированный | Квадрат-центрированный | |
Геометрические вариации
В Икосаэдрическая симметрия есть неограниченные геометрические вариации усеченный икосододекаэдр с изогональный лица. В усеченный додекаэдр, ромбикосододекаэдр, и усеченный икосаэдр как вырожденные предельные случаи.
Усеченный икосододекаэдрический граф
в математический поле теория графов, а усеченный икосододекаэдрический граф (или же большой ромбоикосододекаэдрический граф) это граф вершин и ребер усеченного икосододекаэдра, один из Архимедовы тела. Имеет 120 вершины и 180 ребер, и является нулевой симметричный и кубический Архимедов граф. [5]
| 3-х кратная симметрия |  2-х кратная симметрия |
Связанные многогранники и мозаики
| Икосаэдр-бабочка и додекаэдр содержат две трапециевидные грани вместо квадрата. [6] | |
| Семейство однородных икосаэдрических многогранников | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия: [5,3], (*532) | [5,3] + , (532) | ||||||
| т | г | т | рр | tr | ср | ||
| Двойники к однородным многогранникам | |||||||
| V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
Этот многогранник можно рассматривать как член последовательности однородных узоров с вершиной фигуры (4.6.2п) и Диаграмма Кокстера-Дынкина . За п 6, это мозаики гиперболической плоскости, начиная с усеченная трехгептагональная черепица.
Полуправильные многогранники — в общем случае это различные выпуклые многогранники, имеющие определённые признаки правильных, такие как одинаковость всех граней или являемость всех граней правильными многоугольниками, а также пространственная симметрия. Определение может варьироваться и включать различные типы многогранников, но в первую очередь сюда относятся архимедовы тела.
Содержание
Архимедовы тела
Архимедовы тела — выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами:
- Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани — правильные многоугольники одного типа, это — правильный многогранник);
- Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую. В частности,
- Все многогранные углы при вершинах конгруэнтны.
Первое построение полуправильных многогранников приписывается Архимеду, хотя соответствующие работы утеряны.
Каталановы тела
Двойственные архимедовым телам, так называемые Каталановы тела, имеют конгруэнтные грани, равные двугранные углы и правильные многогранные углы. Каталановы тела тоже иногда называют полуправильными многогранниками. В этом случае полуправильными многогранниками считается совокупность архимедовых и каталановых тел. Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани — правильные многоугольники, но они не одинаковы, а каталановы — в том смысле, что их грани одинаковы, но не являются правильными многоугольниками; при этом для тех и других сохраняется условие одного из типов пространственной симметрии: тетраэдрического, октаэдрического или икосаэдрического.
То есть, полуправильными в этом случае называются тела, у которых отсутствует только одно из первых двух из следующих свойств правильных тел:
- Все грани являются правильными многоугольниками;
- Все грани одинаковы;
- Тело относится к одному из трёх существующих типов пространственной симметрии.
Архимедовы — тела, у которых отсутствует второе свойство, у каталановых отсутствует первое, третье свойство сохраняется для обоих видов тел.
Существует 13 архимедовых тел, два из которых (курносый куб и курносый додекаэдр) не являются зеркально-симметричными и имеют левую и правую формы. Соответственно, существует 13 каталановых тел.
Примеры
Существует две бесконечные последовательности полуправильных многогранников — правильные призмы и антипризмы.
Читайте также: