Как сделать развертку призмы
Обновлено: 07.07.2024
Построение развертки поверхности призмы можно выполнить несколькими способами:
- Способ нормального сечения.
- Способ раскатки.
- Способ треугольников (триангуляции) — здесь не рассматривается.
Рассмотрим на примерах построение развертки поверхности призмы
первыми двумя способами.
1-й способ. Способ нормального сечения (нормальное сечение перпендикулярно ребрам призмы).
Этот способ развертки боковой поверхности призмы можно применить, если на чертеже:
- ребра призмы являются прямыми уровня, то есть имеют на одной из заданных проекций натуральную величину,
- на проекциях нет натуральных величин оснований призмы.
. Если на чертеже ребра призмы являются прямыми общего положения, то следует изменить положение призмы относительно плоскостей проекций, преобразовав ребра в прямые уровня, например, способом замены плоскостей проекций.
Построение развертки боковой поверхности призмы способом нормального сечения выполняется по следующему графическому алгоритму:
1-е действие. Провести на проекции призмы, на которую ребра призмы проецируются в натуральную величину, плоскость нормального сечения, перпендикулярную ее ребрам (в произвольном месте по длине ребер).
2-е действие. Построить натуральную величину многоугольника нормального сечения (например, способом замены плоскостей проекций).
3-е действие. Развернуть на свободном поле чертежа натуральный многоугольник сечения в прямую и через точки его вершин провести перпендикулярные прямые — направления ребер.
4-е действие. Отложить на направлениях ребер в обе стороны от линии нормального сечения натуральные отрезки соответствующих ребер.
5-е действие. Соединить построенные конечные точки ребер отрезками прямых и достроить плоскую фигуру развертки боковой поверхности призмы.
6-е действие. Оформить чертеж развертки, проведя линии сгиба в местах расположения ребер тонкими штрихпунктирными линиями с двумя короткими пунктирами.
На рис. 9.1 показан пример построения развертки поверхности треугольной призмы способом нормального сечения, так как на чертеже призмы ее ребра являются горизонтальными прямыми уровня, а основания являются плоскостями общего положения, т. е. не имеют натуральной величины.
Для построения развертки выполнены графические действия предложенного алгоритма.
1-е действие. Провести горизонтально-проецирующую плоскость нормального сечения перпендикулярно горизонтальным проекциям ребер призмы (произвольно по длине ребер).
2-е действие. Способом замены плоскостей проекций построить натуральную величину нормального сечения — треугольник , стороны которого определяют ширину каждой грани призмы.
3-е действие. На свободном поле чертежа треугольник нормального сечения развернуть в горизонтальную линию и отметить натуральные величины его сторон; из отмеченных на линии сечения точек 1, 2, 3 и 1 провести перпендикулярные прямые — направления ребер.
4-е действие. Отложить на проведенных направлениях ребер вверх и вниз отрезки натуральных величин ребер (см. ребро ) взятых с заданной горизонтальной проекции призмы, где ребра имеют натуральную величину.
5-е действие. Соединить отрезками прямых построенные конечные точки ребер и достроить плоскую фигуру развертки.
6-е действие. Оформить чертеж развертки, выполнив линии сгиба по ребрам призмы тонкими штрихпунктирными линиями с двумя короткими штрихами.
На этом же рис. 9.1 показано также построение на развертке точки , лежащей на грани призмы.
2-й способ. Способ раскатки
Этот способ развертки применяется, если на чертеже:
- ребра призмы являются прямыми уровня;
- основания призмы (или одно из оснований) лежат в плоскости уровня, т. е. имеют на чертеже натуральную величину.
На рис. 9.2 показан пример построения развертки способом раскатки, так как на чертеже ребра призмы являются фронтальными прямыми, а оба основания лежат в горизонтальных плоскостях уровня и на горизонтальной проекции призмы имеют натуральную величину. За плоскость развертки принята фронтальная плоскость проекций, так как ребра призмы фронтальные прямые.
Построение развертки способом раскатки выполняется по следующему графическому алгоритму:
2-е действие. Повторить последовательное вращение каждой грани
вокруг следующего ребра и совместить каждую грань с плоскостью развертки, построив конечные точки каждого ребра с помощью дуг-засечек, равных следующим сторонам основания и .
3-е действие. Соединить построенные конечные точки ребер отрезками прямых и достроить плоскую фигуру развертки (достроено также одно основание призмы).
4-е действие. Оформить чертеж развертки, выполнив линии сгиба по ребрам тонкими штрихпунктирными линиями с двумя короткими пунктирами.
На этом же рисунке показано построение на развертке точки , лежащей на грани призмы.
Возможно эти страницы вам будут полезны:
Образовательный сайт для студентов и школьников
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Треугольная призма является одной из частых объемных геометрических фигур, которые мы встречаем в нашей жизни. Например, в продаже можно встретить брелки и часы в форме нее. В физике эту фигуру, сделанную из стекла, используют для изучения спектра света. В данной статье освятим вопрос, касающийся развертки треугольной призмы.
Что собой представляет треугольная призма
Рассмотрим эту фигуру с геометрической точки зрения. Чтобы ее получить, следует взять треугольник, имеющий произвольные длины сторон, и параллельно самому себе перенести его в пространстве на некоторый вектор. После этого необходимо соединить одинаковые вершины исходного треугольника и треугольника, полученного переносом. Мы получили треугольную призму. Ниже фото демонстрирует один из примеров этой фигуры.
Из рисунка видно, что она образована 5-ю гранями. Две одинаковые треугольные стороны называются основаниями, три стороны, представленные параллелограммами, называются боковыми. У этой призмы можно насчитать 6 вершин и 9 ребер, из которых 6 лежат в плоскостях параллельных оснований.
Правильная треугольная призма
Выше была рассмотрена треугольная призма общего типа. Она будет называться правильной, если выполняются следующих два обязательных условия:
- Ее основание должно представлять правильный треугольник, то есть все его углы и стороны должны быть одинаковыми (равносторонний).
- Угол между каждой боковой гранью и основанием должен быть прямым, то есть составлять 90 o .
На фото выше изображена рассматриваемая фигура.
Для правильной треугольной призмы удобно выполнять расчеты длины ее диагоналей и высоты, объема и площади поверхности.
Развертка правильной треугольной призмы
Возьмем правильную призму, представленную на предыдущем рисунке, и проведем мысленно для нее следующие операции:
- Разрежем сначала два ребра верхнего основания, которые ближе всего находятся к нам. Отогнем основание вверх.
- Операции пункта 1 проделаем для нижнего основания, только отогнем его вниз.
- Разрежем фигуру по ближайшему боковому ребру. Отогнем влево и вправо две боковые грани (два прямоугольника).
В итоге мы получим развертку треугольной призмы, которая представлена ниже.
Эту развертку удобно использовать для вычисления площади боковой поверхности и оснований фигуры. Если длина бокового ребра равна c, а длина стороны треугольника равна a, тогда для площади двух оснований можно записать формулу:
Площадь боковой поверхности будет равна трем площадям одинаковых прямоугольников, то есть:
Тогда полная площадь поверхности будет равна сумме So и Sb.
Пусть имеется прямая трехгранная призма. Боковая ее поверхность состоит из трех прямоугольников одинаковой высоты. Если основание призмы — равносторонний треугольник, то и ширина прямоугольников будет одинакова. Чтобы построить развертку призмы, надо произвести следующие действия (рис. 9.1):
О проводят горизонтальную прямую;
О на прямой откладывают три отрезка, каждый из которых равен одной из сторон основания призмы (треугольника) АВ, СА, ВС;
О из полученных точек А, В, С проводят вертикальные отрезки длиной, равной высоте призмы;
О через концы этих отрезков проводят еще одну горизонтальную прямую и в результате получают прямоугольник — развертку боковой поверхности данной призмы, состоящей из трех прямоугольников, каждый из которых равен одной из граней призмы;
О совмещают треугольники — основания призмы с разверткой боковой поверхности и получают развертку полной поверхности призмы.
Развертка прямой призмы, основание которой — произвольный многоугольник, строится таким же способом. Если основание призмы — «-угольник, то развертка боковой поверхности состоит из п частей.
Развертка произвольной призматической поверхности может быть построена двумя способами.
О призматическую поверхность пересекают плоскостью, перпендикулярной ее ребрам, и получают ломаную линию;
О определяют длины отрезков полученной ломаной;
О разворачивают ломаную в прямую, т.е. изображают прямую, длина которой равна сумме длин отрезков ломаной;
О из точек, соответствующих вершинам ломаной, проводят перпендикуляры, на которых откладывают длины соответствующих ребер призматической поверхности;
О концы перпендикуляров соединяют отрезками прямой.
Второй способ (рис. 9.2):
О в каждом четырехугольнике — грани призматической поверхности проводят диагональ, которая разбивает его на два треугольника;
О определив длины сторон получившихся треугольников, строят их последовательно в плоскости чертежа.
Развертка боковой поверхности правильной призмы, основание которой представляет собой правильный n-угольник (в данном случае шестиугольник), высотой Н показана на рис. 1. Длина развертки равна nα и также имеет высоту Н. Основание призмы может быть присоединено к граням любой из боковых плоскостей развертки или выполнено отдельно.
Рис 1. Развертка шестиугольной призмы.
Усеченная призма развертка.
Развертка правильной призмы, основание которой представляет собой пятиугольник, усеченной плоскостью под углом α, показана на рис. 2. Длина развертки боковой поверхности равна периметру р основания призмы. Длины вертикальных ребер развертки, например 00°, 11°, равны длинам соответствующих ребер призмы 0’01 0 , 1’11 0 и т. д. Построение верхнего основания можно осуществить, если провести перпендикуляры к отрезку 01 0 31 0 в соответствующих точках и после выбора произвольной вершины верхнего основания, например 0”, описать дугу из выбранной точки как из центра радиусом 0°1° до пересечения перпендикуляра в точке 1”.
Рис. 2. Пятиугольная призма развертка усеченная плоскостью.
Из центра 1” радиусом 1°2° описывается дуга до пересечения перпендикуляра в точке 2″. Построение продолжается до замыкания многоугольника. Полученный многоугольник 0″1″2″…5″ присоединяется к какому-либо ребру развертки или выполняется отдельно.
Читайте также: