Как сделать разложить на простые множители
Обновлено: 04.07.2024
числа \(2\); \(3\); \(5\); \(7\); \(11\) — простые, т. к. делятся только на \(1\) и сами на себя, т. е. имеют два делителя.
числа \(4\); \(6\); \(8\); \(10\) — составные, т. к. делятся не только на \(1\) и сами на себя, а ещё, например, на \(2\), т. е. имеют более двух делителей.
Сокращённо нахождение разложения выглядит как столбик: слева от черты записываем делимое, а справа — делитель, результат деления записывают под делимым. Эти действия повторяем до получения \(1\). Справа от черты и будут записаны простые делители числа.
Мы с вами окунемся в мир разложения на простые множители - ведь тут начинается одна из основных проблем, с которой сталкиваются школьники. Если разобраться с нею сразу, то дальше будет намного проще!
Разложение на простые множители
Недавно мы с вами разобрались, что существуют три группы чисел: простые, составные и единица, которая не относится к ним.
На рисунке можно увидеть это деление.
Составные числа всегда можно представить в виде пары множителей, больших единицы.
Например:
Видим, что было дано число 60. Мы его расписали как произведение чисел, больших единицы: 2 и 3, 2 и 5
Если посмотреть внимательно, видно, что все множители в нашем случае являются простыми числами. То есть, мы разложили на простые множители число 60
Можно сделать вывод, что каждое из составных чисел записывается единственным образом в виде произведения простых чисел.
Мы с вами познакомились с основной теоремой арифметики для натуральных чисел.
Если разложить любое натуральное число на простые множители, то всегда получим одни и те же простые множители, просто в разном порядке.
Например, представим число 390 в виде произведения простых чисел.
Таким образом, чтобы разложить натуральное число на простые множители, нужно:
- записать его как произведение множителей
- проверить, есть ли среди них составные числа
- если есть, повторить разложение с ними
- делать так до тех пор, пока все числа в разложении не станут простыми
- записать получившееся разложение
Пример:
Чтобы открыть сейф, нужно ввести код - число, состоящее из пяти простых чисел, записанных в порядке убывания. Все эти числа - простые делители числа 984
Решение
Ответ: Шифр 413222
Пример:
Разложите на множители число 60 всеми возможными способами:
а) на 2 множителя;
б) на 3 множителя;
в) на 4 множителя;
Решение
Пример:
Разложить на простые множители числа: 2520, 4100, 472, 888
Решение
Для первого числа:
Для второго числа:
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Мы с вами узнали, что простыми называются числа, у которых всего два делителя: единица и само это число, например, 19, 23 и многие другие. Искать эти числа начали еще в третьем столетии до нашей эры, когда были приведено доказательство того, что их количество бесконечно. Это сделал учёный-математик Евклид.
Но до развития ЭВМ в 20 веке нашей эры поиск простых чисел был проблемным, так как вычисления производились вручную. Компьютерная техника позволила сделать рывок в поиске и изучении простых чисел. Например, в 1985 году самое большое из найденных простых чисел содержало в себе 65050 цифр.
В наше время этот рекорд уже побит. Каждый раз для этого компьютер отбирает число и делит его на все известные простые числа. Поиск не останавливается, и энтузиасты ищут дальше.
Спрашивается, зачем всё это делается? Ответ таков: простые числа широко используются в науке, особенное место занимают в криптографии при разработке шифров. Поэтому изучение простых чисел и поиск новых кандидатов оправдан.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Второй способ разложения на простые множители
Натуральное число можно разложить на простые множители и другим способом:
- Последовательно делить его сначала на два, потом на 3 и т.д. пока не получим единицу
- Полученное записать в виде произведения простых чисел
Ниже можно увидеть пример того, как нужно оформить такой способ нахождения разложения.
В итоге мы получили разложение на простые множители.
Получается, что составное число можно поделить без остатка только на те простые числа, из которых можно записать разложение этого числа на простые множители.
Составное натуральное число можно разделить без остатка на те составные числа, разложения которых на простые множители входят целиком в разложение нашего числа.
Пример:
Разложите вторым способом числа на простые множители.
а) 48
б) 3600
в) 532
г) 780
д) 8160
е) 624
Решение
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894) занимался изучением свойств простых чисел.
Ему удалось доказать интересный факт: между любым натуральным числом, большим 1, и удвоенным числом, есть хотя бы одно простое число. Ниже представлены несколько примеров в подтверждение этого факта:
6 и 12 - между ними 7, 11
9 и 18 - между ними 11, 13, 17
13 и 26 - между ними 17, 19, 23
По этим примерам видно, что есть хотя бы одно простое число между числом и его удвоенным результатом.
Христиан Гольдбах (1690-1764), известный математик, служивший более 250 лет назад в Академии наук в Санкт- Петербурге, предположил, что для всех нечётных чисел, больших 5, можно составить сумму из трех простых чисел.
Посмотрим, как это может выглядеть на примерах:
7 = 2 + 2 + 3
11 = 3 + 3 + 5
19= 5 + 7 + 7
31= 13 + 13 + 5
Виноградов И.М. (1891-1983), известный советский математик, доказал его предположение спустя 200 лет.
12 = 5 + 7
18 = 7 + 11
26 = 13 + 13
36 = 17 + 19
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Интересная информация
Закономерность между расположением простых чисел на числовой прямой так и остается загадкой с древнейших времён.
Уже точно известно, что простых чисел бесчисленное множество и никто не знает точное их количество.
При Эратосфене появился первый алгоритм того, как можно определить, простое перед нами число или нет.
Начиная с работ известных математиков Эйлера и Ферма, множество других ученых до сих пор пытаются разгадать тайну простых чисел.
Придумано и описано несколько алгоритмов, закономерностей, но они работают только для небольшого количества простых чисел. А для всех сразу уже возникают проблемы.
К числу таких проблем относится так называемая гипотеза Римана. За её решение, а так же за решение других шести проблем тысячелетия предлагается премия в размере одного миллиона долларов.
На сегодняшний день ученые уже говорят о 23 проблемах, которые появились в более позднее время и тоже относятся к неразрешенным.
Рассмотрим 2 проблемы по изучаемой нами теме.
Первая проблема Ландау.
Каждое чётное число, большее 2, записывается как сумма двух простых чисел, а каждое нечётное число, большее 5, записывается как сумма трёх простых чисел.
Примеры:
14 = 7 + 7
17 = 5 + 5 + 7
22 = 11 + 11
51 = 1 + 13 + 37
Вторая проблема Ландау.
3 и 5; 5 и 7; 7 и 9; 11 и 13, 17 и 19; 41 и 43;
Мы знаем, что число простых чисел неограничено, но бесконечность количества пар близнецов не была доказана или опровергнута.
Определение множителя
В младших классах вы учили, что множители — это числа, которые мы умножаем, называя результат их умножения произведением.
Определения множителя как компонента умножения
Сейчас немного расширим понятие множителя.
Множитель — это число или математическое выражение, которое участвует в представления числа или выражения в виде произведения.
Представить число или математическое выражение в виде произведения чисел или математических выражений — значит разложить на множители.
Давайте рассмотрим определение множителя на примерах. Давайте определим где в представлении числа или выражения прячется множитель?
Пример 1
Пусть нам дано число 15. Это число можно представить в виде произведения . Значит, согласно определению 5 — это множитель, 3 — это тоже множитель.
Пример 2
Рассмотрим теперь выражение: . Это выражение можно представить в виде произведения . Получаем два множителя — первый множитель (2x-3) и второй множитель (2x+3).
Самое простое произведение имеет два множителя, но может быть и больше множителей.
Простые множители
Если число можно представить в виде произведения чисел, делящихся только на себя или на единицу, то такие числа называются простыми множителями. Другими словами, простые множители это простые делители числа, делящие его без остатка.
Пример 1
Разложите число 65 на простые множители.
Решение: число 65 будем делить на простые числа, пока оно нацело не разделится. Так мы видим, что число 65 не делится на 2, 3 и 4, так как не соответствует признакам делимости на эти числа. Зато делится на 5, так как оканчивается на 5. При делении мы получаем 13. Число 13 — простое, так как делится только на себя и на единицу. Таким образом, число . И мы выполнили разложение числа на простые множители. Теперь вы знаете, как разложить число на простые множители.
Пример 2
Разложите число 270 на простые множители.
Решение: Разделим сначала число 270 на 2 (сначала берем самое маленькое простое число), получим 135. Посмотрим, делится ли это число на 3. Для этого сложим все числа, стоящие в разрядах данного числа — . Девять делится на 3, значит, и число 135 разделится на 3: . Получившееся число опять делится на 3: . И снова число 15 делится на 3: . Получили простое число 5. Делим .
Итак, запишем разложение числа 270 на простые множители в виде столбца, где справа от черты мы пишем на какое простое число мы делим, а слева — что получаем:
Простой множитель — это множитель, который представляет собой простое число.
Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел.
Пример. Представим в виде произведения простых множителей числа 4, 6 и 8:
Правые части полученных равенств называются разложением на простые множители.
Разложение на простые множители — это представление составного числа в виде произведения простых множителей.
Разложить составное число на простые множители — значит представить это число в виде произведения простых множителей.
Простые множители в разложении числа могут повторяться. Повторяющиеся простые множители можно записывать более компактно — в виде степени.
24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 2 3 · 3.
Примечание. Простые множители обычно записывают в порядке их возрастания.
Как разложить число на простые множители
Последовательность действий при разложении числа на простые множители:
- Проверяем по таблице простых чисел, не является ли данное число простым.
- Если нет, то последовательно подбираем самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое данное число делится без остатка, и выполняем деление.
- Проверяем по таблице простых чисел, не является ли полученное частное простым числом.
- Если нет, то последовательно подбираем самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое полученное частное делится нацело, и выполняем деление.
- Повторяем пункты 3 и 4 до тех пор, пока в частном не получится единица.
Пример. Разложите число 102 на простые множители.
Начинаем поиск наименьшего простого делителя числа 102. Для этого последовательно подбираем самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое 102 разделится без остатка. Берём число 2 и пробуем разделить на него 102, получаем:
Число 102 разделилось на 2 без остатка, поэтому 2 — первый найденный простой множитель. Так как делимое равно делителю, умноженному на частное, то можно написать:
Переходим к следующему шагу. Проверяем по таблице простых чисел, не является ли полученное частное простым числом. Число 51 составное. Начиная с числа 2, подбираем из таблицы простых чисел наименьший простой делитель числа 51. Число 51 не делится нацело на 2. Переходим к следующему числу из таблицы простых чисел (к числу 3) и пробуем разделить на него 51, получаем:
Число 51 разделилось на 3, поэтому 3 — второй найденный простой множитель. Теперь мы можем и число 51 представить в виде произведения. Этот процесс можно записать так:
102 = 2 · 51 = 2 · 3 · 17.
Проверяем по таблице простых чисел, не является ли полученное частное простым числом. Число 17 простое. Значит наименьшим простым числом, на которое делится 17, будет само это число:
Так как в частном у нас получилась единица, то разложение закончено. Таким образом, разложение числа 102 на простые множители имеет вид:
Ответ: 102 = 2 · 3 · 17.
В арифметике имеется ещё другая форма записи, облегчающая процесс разложения составных чисел. Она состоит в том, что весь процесс разложения записывают столбиком (в две колонки, разделённые вертикальной чертой). Слева от вертикальной черты, сверху вниз, записывают последовательно: данное составное число, затем получающиеся частные, а справа от черты — соответствующие наименьшие простые делители.
Пример. Разложить на простые множители число 120.
Пишем число 120 и справа от него проводим вертикальную черту:
Справа от черты записываем самый маленький простой делитель числа 120:
Выполняем деление и получившееся частное (60) записываем под данным числом:
Подбираем наименьший простой делитель для 60, записываем его справа от вертикальной черты под предыдущим делителем и выполняем деление. Продолжаем процесс до тех пор, пока в частном не получится единица:
В частном у нас получилась единица, значит разложение закончено. После разложения в столбик множители следует выписать в строчку:
Ответ: 120 = 2 3 · 3 · 5.
Составное число разлагается на простые множители единственным образом.
Это значит, что если, например, число 20 разложилось на две двойки и одну пятёрку, то оно и всегда будет так разлагаться независимо от того, начнём ли мы разложение с малых множителей или с больших. Принято начинать разложение с малых множителей, т. е. с двоек, троек и т. д.
Калькулятор разложения на множители
Данный калькулятор поможет вам выполнить разложение числа на простые множители. Просто введите число и нажмите кнопку Разложить .
Читайте также: