Как сделать равнобедренный треугольник из двух прямоугольных треугольников

Добавил пользователь Алексей Ф.
Обновлено: 04.10.2024

Саша разрезал бумажный треугольник на два треугольника. Затем он каждую минуту резал на два треугольника один из полученных ранее треугольников. Через некоторое время, не меньшее часа, все полученные Сашей треугольники оказались равными. Укажите все исходные треугольники, для которых возможна такая ситуация.

Решение

Достаточность. Равнобедренный треугольник можно разрезать по медиане на два равных прямоугольных треугольника, а прямоугольный – по медиане, проведённой к гипотенузе, на два равнобедренных. Если каждый из них разрезать на два равных треугольника, получим четыре равных прямоугольных треугольника. Аналогично, превратим каждый из них в четыре меньших равных прямоугольных треугольника и т.д.
Необходимость. Последнее разрезание на две части даст два равных треугольника, у которых есть смежные углы. Такой угол больше не смежных с ним углов другого треугольника, значит, он равен смежному, то есть прямой. Таким образом, в итоге исходный треугольник разбился на прямоугольные треугольники. Пусть их углы α, β = 90° – α и 90°, где α ≤ β. Если α = 45° или α = 30°, все углы исходного треугольника кратны α, и несложный перебор показывает, что возможны только наборы (45°, 45°, 90°), (30°, 60°, 90°), (30°, 30°, 120°), (60°, 60°, 60°), то есть треугольник прямоугольный или равнобедренный.
Для остальных значений угла α список α, β, 2α, 90°, 2β не содержит равных углов, и парой смежных углов из списка могут быть либо (90°, 90°),
либо (2α, 2β). Пусть в конце площадь каждой части равна 1, тогда площадь s исходного и любого из промежуточных треугольников – натуральное число.
Докажем индукцией по s, что набор углов такого треугольника может быть одним из трёх типов: (α, β, 90°), (α, α, 2β) или (β, β, 2α).
База (s = 1) уже доказана.
Шаг индукции. Треугольник T с s > 1 был разбит на две части меньшей площади. По предположению индукции наборы углов в частях принадлежат указанному списку и в них есть пара смежных углов. Если смежные углы прямые, то полученные части граничат по катету. Против этого катета могут лежать либо равные углы α, либо равные углы β, либо один α, а другой β. Во всех случаях треугольник T принадлежит к одному из указанных трёх типов. Если же смежные углы равны 2α и 2β, то треугольник T прямоугольный с углами (α, β, 90°).

Можно ли равнобедренный треугольник разбить на два разных прямоугольника треугольника покажи на чертеже как это можно сделать.

Можно, провели биссектрису из вершины к основанию.

Разбейте данный треугольник на 2 прямоугольных треугольника?

Разбейте данный треугольник на 2 прямоугольных треугольника.

Покажите 2 способа.

Начерти квадрат со стороной 4 см разбей этот квадрат на два прямоугольника треугольника Со чтавь из этих треугольника равнобедренный треугольник с основанием 8 см покажи на чертеже как это сделать пом?

Начерти квадрат со стороной 4 см разбей этот квадрат на два прямоугольника треугольника Со чтавь из этих треугольника равнобедренный треугольник с основанием 8 см покажи на чертеже как это сделать помогите.

1)Рассмотрим чертёж и выпиши названия всех многоугольников?

1)Рассмотрим чертёж и выпиши названия всех многоугольников.

2)Запиши обозначения равнобедренных треугольников ; разностороних треугольников.

3)Запиши обозначения всех прямых углов на чертеже.

Есть ли квадраты на чертеже?

4)Найди периметр и площадь прямоугольника АBCD и прямоугольника ABKM 5)сравни площадь прямоугольника ABKM и площадь треугольника ACM.

Помогите пожалуйста сделать задание, Вот что требуется?

Помогите пожалуйста сделать задание, Вот что требуется.

Начерти квадрат со стороной 4 см, Разбей этот квадрат на два прямоугольных треугольника, Составь из этих треугольников равнобедренный треугольник с основанием 8 см.

Начерти квадрат со стороной 4 см?

Начерти квадрат со стороной 4 см.

Разбей этот квадрат на два прямоугольных треугольника.

Составь из этих треугольников равнобедренный треугольник с.

Основанием 8 см.

Покажи на чертеже , какэто сделать.

Начерти квадрат со сторонами 4 см?

Начерти квадрат со сторонами 4 см.

Разбей этот квадрат на два прямоугольника .

Состав из треугольников равнобедренный треугольник с основанием 8 см.

Покажи на чертеже как это сделать .

Покажите чертеж треугольника периметр которого 20см?

Покажите чертеж треугольника периметр которого 20см.

Начерти квадрат со стороной 4 см разбей этот квадрат на 2 прямоугольника составь из этих треугольников равнобедренный треугольник с основанием 8см покажи на чертеже как это сделать?

Начерти квадрат со стороной 4 см разбей этот квадрат на 2 прямоугольника составь из этих треугольников равнобедренный треугольник с основанием 8см покажи на чертеже как это сделать.

Можно ли из двух одинаковых прямоугольных треугольников составить прямоугольник покажи на чертеже как это сделать?

Можно ли из двух одинаковых прямоугольных треугольников составить прямоугольник покажи на чертеже как это сделать.

На какие два треугольника делит прямоугольник его диоганаль?

60 * 6 = 360(книг) - может поместиться 360≥340 Ответ : А.

60 * 6 = 360 книг можно разместить на 6 полках соответсвенно можно разместить и 340 . Ответ : А.

Х + 5 \ 24 = 7 \ 12 Х = 7 \ 12 - 5 \ 24 Х = 9 \ 24 Х = 3 \ 8 У + 2 \ 7 = 1 \ 3 У = 1 \ 3 - 2 \ 7 У = 1 \ 21 У - 3 \ 8 = 5 \ 32 У = 5 \ 32 + 3 \ 8 У = 17 \ 32 У + 2 \ 5 = 1 \ 2 У = 1 \ 2 - 2 \ 5 У = 1 \ 10.

1 / 8 часть бака 1 труба 1 / 16 часть бака 2 труба.

1м = 0, 001км 1дм = 0, 1м 1см = 0, 001дм 1мм = 0, 1см 1см = 0, 01м 1мм = 0, 01дм.

Х² + 4х = 11х - 12 х² - 7х + 12 = 0 D = 49 - 48 = 1 X1 = (7 + 1) / 2 = 4 x2 = 3.

Y = kx + b, значит 4 = 0×x + b 4 = b 8 = - 2x + 4 8 - 4 / ( - 2x) = - 2x, отсюда k = - 2x + 4, проверяем x = 0, P(0 ; 4) x = - 2, K( - 2 ; 8).

Надеюсь, что более или менее понятно.

250 / 55 = 50 / 11 = 4, 54. Ответ : 4.

36 - 18 = 18 18÷2 = 9 18 + 9 = 27 36 - 9 = 27 ответ : 9 грибов.

© 2000-2022. При полном или частичном использовании материалов ссылка обязательна. 16+
Сайт защищён технологией reCAPTCHA, к которой применяются Политика конфиденциальности и Условия использования от Google.

Как построить равнобедренный треугольник? Это легко сделать с помощью линейки, карандаша и клеточек тетради.

Построение равнобедренного треугольника начинаем с основания. Чтобы рисунок получился ровным, количество клеточек в основании должно быть четным числом.

Делим отрезок — основание треугольника — пополам.

Вершину треугольника можно выбрать на любой высоте от основания, но обязательно ровно над срединой.

Как построить остроугольный равнобедренный треугольник?

Углы при основании равнобедренного треугольника могут быть только острыми. Чтобы равнобедренный треугольник получился остроугольным, угол при вершине тоже должен быть острым.

Для этого вершину треугольника выбираем повыше, подальше от основания.

Чем выше вершина, тем меньше угол при вершине. Углы при основании при этом, соответственно, увеличиваются.

Как построить тупоугольный равнобедренный треугольник?

С приближением вершины равнобедренного треугольника к основанию градусная мера угла при вершине увеличивается.

Значит, чтобы построить равнобедренный тупоугольный треугольник, вершину выбираем пониже.

Как построить равнобедренный прямоугольный треугольник?

Чтобы построить равнобедренный прямоугольный треугольник, надо вершину выбрать на расстоянии, равном половине основания (это обусловлено свойствами равнобедренного прямоугольного треугольника).

Например, если длина основания — 6 клеточек, то вершину треугольника располагаем на высоте 3 клеточек над серединой основания. Обратите внимание: при этом каждая клеточка у углов при основании делится по диагонали.

Построение равнобедренного прямоугольного треугольника можно начать с вершины.

Выбираем вершину, от нее под прямым углом откладываем равные отрезки вверх и вправо. Это — боковые стороны треугольника.

Соединим их и получим равнобедренный прямоугольный треугольник.

Построение равнобедренного треугольника с помощью циркуля и линейки без делений рассмотрим в другой теме.

А во-вторых, задачи про прямоугольные и равнобедренные треугольники решаются гораздо легче, чем другие задачи по геометрии.

Нужно всего лишь знать несколько правил и свойств. Все самое интересное о прямоугольных треугольниках обсуждается в соответствующей теме, а сейчас рассмотрим равнобедренные треугольники.

Равнобедренный треугольник — коротко о главном

Определение равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого есть две равные стороны.

\( \displaystyle AB=BC\) – боковые стороны
\( \displaystyle AC\) – основание

Свойства равнобедренного треугольника

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \displaystyle \angle A\ =\angle C\);

Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой: \( \displaystyle BH\) — высота, медиана и биссектриса.

Признаки равнобедренного треугольника

Если в некотором треугольнике два угла равны, то он – равнобедренный;

Если в некотором треугольнике совпадают высота и биссектриса или высота и медиана или медиана и биссектриса, проведённые к одной стороне, то такой треугольник – равнобедренный.

Определение равнобедренного треугольника

Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны.

Посмотри как это выглядит:

Как и у прямоугольного треугольника, у равнобедренного треугольника есть специальные названия для сторон.

Две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием.

И снова внимание на картинку:

Может быть, конечно, и так:

Так что будь внимательным: боковая сторона – одна из двух равных сторон в равнобедренном треугольнике, а основание – третья сторона.

Чем же так уж хорош равнобедренный треугольник?

Чтобы это понять, давай проведём высоту к основанию. Ты помнишь, что такое высота?

Высота равнобедренного треугольника

Высота — это просто линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.

Итак, провели высоту. Что же получилось?

Из одного равнобедренного треугольника получилось два прямоугольных.

Тоже два прямоугольных….

Чем же отличается картинка для равнобедренного треугольника? Смотри ещё раз:

Видишь, два прямоугольных треугольника (Δ𝐴𝐵𝐻 и Δ𝐶𝐵𝐻) – одинаковые!

Или, как математики любят говорить? Равные!

Ну, во-первых, конечно, этим странным математикам мало просто видеть – нужно непременно доказывать. А то вдруг эти треугольники чуть-чуть разные, а мы будем считать их одинаковыми.

Но не переживай: в данном случае доказывать почти так же просто, как и видеть.

Доказательство равенства треугольников

Посмотри внимательно, у нас есть:

\( \displaystyle \underbrace_=\underbrace_\)
\( \displaystyle BH\text< >=\text< >BH\) (ещё говорят, \( \displaystyle BH\)— общая)

И, значит, \( \displaystyle AH\text< >=\text< >CH\)!

Да мы просто найдём и \( \displaystyle AH\), и \( \displaystyle CH\) из теоремы Пифагора (помня ещё при этом, что \( \displaystyle AB=BC\))

Удостоверились? Ну вот, теперь у нас

А уж по трём сторонам – самый легкий (третий) признак равенства треугольников.

Ну вот, наш равнобедренный треугольник разделился на два одинаковых прямоугольных.

Отметим на картинке все одинаковые элементы (углы и стороны).

Видишь, как интересно? Получилось, что:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \( \displaystyle \angle A=\angle C\);
Высота, проведенная к основанию \( \displaystyle (ВH)\), совпадает с медианой и биссектрисой
\( \displaystyle AH=CH\)
\( \displaystyle \angle 1=\angle 2\).

Вспоминаем тут, что медиана – линия, проведённая из вершины, которая делит сторону пополам, а биссектриса – делит угол.)

Ну вот, здесь мы обсудили, что хорошего можно увидеть, если дан равнобедренный треугольник.

Мы вывели, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.

И теперь возникает другой вопрос: а как узнать, равнобедренный ли треугольник?

То есть, как говорят математики, каковы признаки равнобедренного треугольника?

Признаки равнобедренного треугольника

Если в каком-то треугольнике есть два равных угла, то такой треугольник –равнобедренный (ну и естественно, углы эти окажутся при основании).

Если в каком-то треугольнике высота и медиана, или высота и биссектриса, или биссектриса и медиана, проведённые к какой-то стороне, совпадут, то такой треугольник – равнобедренный, а сторона эта – основание.

Ну вот смотри:
Если совпадают высота и медиана, то:

Если совпадают высота и биссектриса, то:

Если совпадают биссектриса и медиана, то:

Ну вот, не забывай и пользуйся:

Как пользоваться признаками равнобедренного треугольника при решении задач

Если дан равнобедренный треугольный треугольник, смело проводи высоту, получай два прямоугольных треугольника и решай задачу уже про прямоугольный треугольник;
Если дано, что два угла равны, то треугольник точно равнобедренный и можно проводить высоту и ….( Дом, который построил Джек… 🙂 );
Если оказалось, что высота разделила сторону пополам, то треугольник – равнобедренный со всеми вытекающими бонусами;
Если оказалось, что высота разделила угол полам – тоже равнобедренный;
Если биссектриса разделила сторону пополам или медиана разделила угол, то это тоже бывает только в равнобедренном треугольнике.

Давай посмотрим, как это выглядит в задачах.

2 задачи на равнобедренный треугольник

Задача 1 (самая простая)

В треугольнике \( \displaystyle ABC\) стороны \( \displaystyle AB\) и \( \displaystyle AC\) равны, а \( \displaystyle \angle BAC=70<>^\circ \).

Найти \( \displaystyle \angle ABC\).

Решение

Что здесь основание? Конечно, \( \displaystyle BC\).

Вспоминаем, что если \( \displaystyle AB=AC\), то и \( \displaystyle \angle B=\angle C\).

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Задача 2

В треугольнике \( \displaystyle ABC\) \( \displaystyle \angle B=\angle C=30<>^\circ \), \( \displaystyle BC=24\sqrt\).

Найти \( \displaystyle AB\).

Решаем:

Смотрим внимательно и соображаем, что раз \( \displaystyle \angle B=\angle C\), то \( \displaystyle AB=AC\).

Треугольник-то равнобедренный! Проводим высоту (это и есть фокус, с помощью которого сейчас все решится).

Вспоминаем, что высота = медиана, то есть

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

Вы точно научитесь решать любые задачи на эти темы, если их прослушаете.

Хотите получить максимум от этих вебинаров? Берите ручку и бумагу и решайте вместе с Алексеем Шевчуком.

ЕГЭ 6. Прямоугольный треугольник: свойства, теорема Пифагора, тригонометрия

Подавляющее большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники.

Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных.

Но в этом видео мы убедимся, что это действительно так. Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой — почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше. И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую — прямоугольными.

На этом уроке мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии.

ЕГЭ 6. Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник

Читайте также: