Как сделать прямоугольный треугольник
Обновлено: 07.07.2024
Чтобы построить угол равный данному, проводим прямую и ставим на ней точку. Это будет вершина нашего угла. Берем циркуль с произвольным раствором, ставим его на вершину данного угла. Проводим дугу таким образом, чтобы она пересекла лучи данного угла.
Можно ли построить треугольник по двум сторонам и медиане?
Отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны, называют медианой. Зная длины двух сторон и медианы, соединяющихся в одной из вершин, можно построить треугольник, не имея данных о длине третьей стороны или величинах углов.
Как построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету?
По катету и гипотенузе прямоугольный треугольник можно построить как минимум двумя способами. Способ 1: Начертить прямую и отложить на ней меньший отрезок (обозначим его как AB). Для построения перпендикулярной прямой отложить такой же отрезок по другую сторону одной из точек концов отрезка, отложенного в п.
Когда равны прямоугольные треугольники?
По гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Как начертить отрезок с помощью циркуля и линейки?
- Циркулем проводим окружности с центром в точках A и B радиусом AB.
- Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей (дуг).
- По линейке проводим отрезок или линию, проходящую через точки P и Q.
- Находим искомую середину отрезка AB — точку пересечения AB и PQ.
Как построить середину данного отрезка?
Для нахождения середины отрезка на плоскости можно сначала построить две дуги равного (и достаточно большого) радиуса с центрами в концах отрезка, а затем через точки пересечения этих дуг провести прямую. Точка, где полученная прямая пересекает отрезок, является его серединой.
Как рассчитать градус треугольника?
Если известны стороны треугольника, можно рассчитать его углы, воспользовавшись теоремой косинусов. Здесь, квадрат одной стороны треугольника (а) равен сумме квадратов двух его других сторон (b,с), образующих искомый угол (α), плюс удвоенное произведение этих сторон (b,с) на косинус угла.
Как сделать правильный треугольник?
Циркуль Проведите прямую линию. На лист бумаги положите линейку и проведите карандашом вдоль длинной стороны линейки. Полученный отрезок является первой стороной равностороннего треугольника, то есть вам нужно нарисовать еще две стороны той же длины, а каждый угол между сторонами должен быть равен 60 градусам.
Особую роль в геометрии играет треугольник, у которого один из углов составляет 90°. Сегодня мы узнаем несколько его важных свойств.
Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
Прямоугольный треугольник
Напомним, что прямоугольным треугольником называют треуг-к, один из углов которого равен 90°.
Покажем несколько рисунков, на которых изображены прямоугольные треуг-ки:
Тот угол, который равен 90° (его ещё называют прямым), отмечается квадратиком.
Может ли у треуг-ка быть два или три прямых угла? Конечно же нет, ведь сумма углов треугольника должна равняться 180°. Отсюда следует очевидный факт – те 2 угла прямоугольного треуг-ка, которые не равны 90°, должны быть острыми. Более того, можно утверждать, что их сумма в точности равна 90°.
Задание. В прямоугольном треуг-ке один из углов равен 40°. Чему равен второй острый угол?
Обозначим неизвестный нам угол как ∠1. Сумма острых углов должна равняться 90°, поэтому можно записать уравнение:
Этот ответ можно получить и немного иначе. Сумма всех углов треуг-ка равна 180°. Один из них равен 40°, а другой – 90°. То есть можно составить такое равенство:
Первый способ отличается лишь тем, что он требует более простых вычислений.
Онлайн-курсы помогают систематизировать информацию и закрепить ее в прочные знания.
Задание. Найдите все углы треугольника, который одновременно является и прямоугольным, и равнобедренным.
Решение. У любого равнобедренного треуг-ка есть два одинаковых угла при основании. Ясно, что в прямоугольном треуг-ке не может быть двух прямых углов, а потому равны друг другу острые углы. Обозначим величину одного из них как х. Оба угла равны х, поэтому можно записать уравнение:
Получается, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике два угла равны 45°, а один – 90°.
У сторон прямоугольного треугольника есть особые названия. Та сторона, которая лежит против прямого угла, называется гипотенузой прямоугольного треугольника, а две остальные стороны называют катетами.
По рисунку видно, что гипотенуза длиннее катетов. И это правило выполняется для всех прямоугольных треуг-ков. В самом деле, в любом треуг-ке против наибольшего угла лежит наибольшая сторона. Катеты лежат против острых углов, а гипотенуза – против прямого угла, и поэтому она длиннее.
Задание. Докажите, что если в треуг-ке из одной вершины провести и медиану, и высоту, то медиана будет не меньше высоты.
Решение. Напомним, что высота – это отрезок, опущенный на сторону под прямым углом, а медиана – отрезок, проведенный к середине противоположной стороны. В принципе, эти два отрезка могут совпасть друг с другом, и тогда их длины равны. Рассмотрим случай, когда медиана и высота не совпадают:
Обозначим буквой М середину АС, тогда ВМ – медиана. Высоту обозначим как ВН. В результате у нас образуется ∆МВН, причем угол на пересечении ВН и АC(∠BHM) равен 90°. В этом треуг-ке медиана оказывается гипотенузой, а высота – катетом прямоугольного треугольника. Так как гипотенуза всегда длиннее катета, то и МВ длиннее ВН.
Прямоугольный треугольник с углом в 30°
Особый интерес представляет прямоугольный треуг-к, у которого один из углов равен 30°:
Несложно вычислить его второй угол. Он будет равен 60°:
Оказывается, у данного треуг-ка катет, лежащий против угла в 30° (ВС), вдвое меньше гипотенузы. Докажем это утверждение. Для это приложим к ∆АВС другой, равный ему ∆АСD, получив, по сути, его зеркальное отображение:
Так как ∠В = 60°, то и ∠D = 60°. Величина угла ∠ВАD равна сумме углов ∠ВАС и ∠САD:
В итоге получается, что в ∆АВD каждый из углов 60°. Это означает, что он является равносторонним, то есть его стороны равны. В частности
Именно это и необходимо было доказать. Аналогично с помощью такого же построения можно доказать обратное утверждение – у прямоугольного треуг-ка, в котором гипотенуза вдвое длиннее одного из катетов, острый угол (тот самый, который лежит против этого катета) равен 30°.
Задание. В треуг-ке СMH угол С – прямой. Внешний угол при вершине M составляет 120°. Известно, что сумма МН и МС составляет 18 см. Чему равны МН и МC?
Решение. Выполним построение треугольника согласно указанным условиям:
Внешний угол треугольника равен сумме тех 2 углов, которые не смежны с ним. То есть
Итак, рассматриваемый нами треуг-к имеет острый угол, равный 30°. Из этого следует, что катет МС вдвое короче гипотенузы МН:
Задание: У равнобедренного треуг-ка ECB основанием является EC. Известно, что ∠В = 120°. Высота, опущенная из точки Сна боковую сторону ЕВ, равна 9 см. Чему равна длина основания?
Обозначим высоту как СН. Обратите внимание, что в данном случае высота падает не на сам отрезок ЕВ, а на его продолжение. Эта особенность характерна для всех тупоугольных треуг-ков.
Изучим ∆ЕВС. С одной стороны, он равнобедренный. Значит, углы при его основании равны:
Но в сумме все углы треугольника дают 180°. Это позволяет найти углы при его основании:
Итак, углы при основании треуг-ка равны 30°. Теперь внимательно посмотрим на другой треуг-к – ЕНС. С одной стороны, он является прямоугольным, ведь ∠ЕНС = 90°. С другой стороны, мы только что вычислили, что один из его острых углов, ∠НЕС, равен 30°. Это значит, что катет НС вдвое должен быть вдвое короче гипотенузы ЕС:
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Ранее мы доказали три признака равенства треуг-ков. Зная их, можно составить особые признаки равенства прямоугольных треугольников.
Пусть у двух треуг-ков равны катеты. Но угол между катетами всегда равен 90°. Но если у треуг-ков совпадают две стороны и угол между ними, то они равны друг другу (по первому признаку). Поэтому можно сформулировать такую теорему:
Треуг-ки окажутся равными и в том случае, если у них одинаковы гипотенуза и один из острых углов. Ведь тогда у них будут одинаковы сторона (гипотенуза) и прилегающие к ней углы (прямой и острый угол).
Наконец, есть ещё один признак – по одинаковым катету и гипотенузе.
Последняя теорема нуждается в доказательстве. Пусть есть ∆АВС и ∆А1В1С1, у которых прямыми являются∠С и ∠С1, при этом равны гипотенузы (АВ = А1В1) и одни из катетов, например, ВС = В1С1. Наложим ∆А1В1С1 на ∆АBС так, чтобы совпали вершины С, а также стороны СВ и СА наложились на лучи С1В1 и С1А1. Это можно сделать, так как углы С и С1 равны друг другу.
Очевидно, что при этом также совпадут и точки В и В1, ведь ВС = В1С1. А что будет с точками А и А1, могут ли они не совпасть? Предположим, что это так, тогда картинка будет выглядеть так:
Рассмотрим получившийся треуг-к АА1В. Он является равнобедренным, так как гипотенузы АВ и А1В1 равны. Однако угол ∠ВАА1 – тупой, ведь он является смежным с острым углом ∠САВ. Может ли существовать равнобедренный треуг-к, у которого угол при основании тупой? Не может, ведь тогда и второй его угол при основании был бы тупым, и их сумма оказалась бы больше 180°. Получившееся противоречие означает, что исходная предпосылка суждения, согласно которой точки А и А1 могут не совпасть, ошибочна. Следовательно, они совпадают. Получается, что можно так наложить треуг-ки АВС и А1В1С1 друг на друга, что все их вершины совпадают. Но это и означает, что треуг-ки равны.
Задание. В равнобедренном треуг-ке из вершин, лежащих в основании, опущены высоты на противоположные стороны. Докажите, что они равны друг другу.
Решение. Сначала построим рисунок. Традиционно обозначим треуг-к как АВС, причем АС будет его основанием. Высоты обозначим как CD и АЕ:
Нам требуется показать, что СD = AE. Видно, что у нас есть два треуг-ка, ∆АСE и ∆АСD, которые кажутся равными. Докажем, что они действительно равны. С одной стороны, оба треуг-ка являются прямоугольными, ведь АЕ и СD – это высоты:
ведь это углы при основании равнобедренного треуг-ка. В итоге получаем, что у двух треуг-ков равны как гипотенузы, так и один из острых углов. Следовательно, ∆АDCи ∆АЕС равны. Но из этого следует, что у них одинаковы катеты DCи АЕ, чье равенство как раз необходимо доказать.
Задание. Треуг-к АВС – равнобедренный, с основанием АС. Высоты СDи АЕ пересекаются в точке М. Известно, что ∠АМС = 140°. Вычислите углы треуг-ка АВС.
Решение. Данная задача во многом повторяет предыдущую, поэтому мы используем картинку из неё:
В предыдущей задаче мы уже доказали, что ∆ADC = ∆AEC. Из этого равенства следует, что АD = ЕС. Теперь рассмотрим ∆АDM и ∆СЕМ. Они оба являются прямоугольными, ведь
У них есть одинаковые катеты: АD = ЕС. Также у треуг-ков есть одинаковые острые углы, это ∠DMAи ∠ЕМС (они равны, так как являются вертикальными). Если у двух прямоугольных треуг-ков совпадает один острый угол, то должен совпадать и второй, ведь их сумма постоянна и составляет 90°. Получается, что ∠DAM = ∠ECM.
В итоге у двух прямоугольных треуг-ков, ∆DMA и ∆ЕМС, равны катеты и прилегающий к ним острый угол. Значит, ∆DMA = ∆EMC. Но тогда АМ = МС. Получается, что ∆МАС является равнобедренным, и углы при его основании равны:
Найдем эти углы равнобедренного треугольника, записав сумму углов ∆МАС:
Следующий шаг – находим угол ∠DAM. Сумма острых углов прямоугольного треуг-ка равна 90°, поэтому запишем равенство:
Для наглядности отметим все найденные нами углы на рисунке:
Задание. В ∆КЕН известны два угла: ∠К = 55° и ∠Е = 67°. В ∆КЕН проведены высоты ЕР и КТ. Чему равен угол ∠КМЕ?
Решение: Как всегда, начинаем с построения:
У нас есть два прямоугольных треуг-ка, у которых известен один из острых углов. Это ∆КРЕ и ∆КТЕ. Но если известен один из острых углов, то можно найти и второй, ведь их сумма составляет 90°. Для ∆РКЕ можно записать равенство:
Теперь в ∆КМЕ нам известны сразу два угла, ∠ТКЕ и ∠КЕР. Значит, можно найти и третий угол, ведь их сумма известна (она составляет 180°):
Задание. На сторонах луча О отмечены точки А и В, причем эти точки равноудалены от О. Через А и В проведены прямые, перпендикулярные сторонам угла. Эти прямые пересекаются в точке С. Докажите, что ОС – это биссектриса угла О.
Решение. Построим картинку по условию задачи:
Попробуем показать, что ∆ОАС = ∆ОСВ. Оба эти треуг-ка являются прямоугольными. Гипотенуза у них общая – это ОС. Также у них есть одинаковые катеты, ведь ОА = ОВ (так как А и В равноудалены от О). Получаем, что у треуг-ков ОАС и ОСВ совпадают гипотенуза и один из катетов. Этого достаточно для того, чтобы считать треуг-ки равными.
Но если ∆ОАС = ∆ОСВ, то ∠АОС = ∠СОВ. Получается, что ОС разбивает луч АОВ на два равных угла. А это как раз и значит, что ОС является биссектрисой.
Однако полностью задачу мы ещё не решили. Обратите внимание, что в условии сказано, что через А и В проходят прямые, перпендикулярные сторонам угла. На нашем рисунке АС⊥ОА и ВС⊥ОВ. Но ведь можно выполнить построение и иначе, когда АС⊥ОВ, а ВС⊥ОА. Тогда рисунок будет выглядеть значительно сложнее:
Здесь буквами D и E обозначены точки пересечения перпендикулярных прямых и сторон угла. Нам снова надо доказать, что ∠АОС = ∠СОВ. Заметим, что АВ – это основание равнобедренного треуг-ка ОАВ (ведь ОА = ОВ). Значит, ∠ОАВ = ∠ОВА (углы при основании). На следующем шаге сравним ∆ADB и ∆АЕВ. Они прямоугольные, а гипотенуза АВ у них общая. Только что мы выяснили, что у них совпадает и один из острых углов (∠ОАВ = ∠ОВА). На основании этого можно утверждать, что ∆АЕВ = ∆АDВ.
Из этого равенства следует, что AD = EB. Далее сравним отрезки ОD и ОЕ. Для них можно записать соотношения:
Но АО = ОВ (по условию), а AD = EB. Отсюда следует, что и ОD = ОЕ.
Теперь мы можем рассмотреть ∆DOCи ∆СОВ. У них равны катеты OD и ОЕ, а гипотенуза ОС является общей. Значит, треуг-ки равны. Но тогда ∠АОС = ∠СОВ, а именно этот факт нам и надо доказать.
Понятие расстояния между точкой и прямой
Рассмотрим некоторую прямую b и произвольную точку А, не лежащую на ней. Опустим из точки перпендикуляр на прямую, и точку их пересечения обозначим как Н. Также отметим на прямой точку М, не совпадающую с Н, и соединим ее с А:
В результате мы получаем прямоугольный треуг-к АНМ. Так как АМ – гипотенуза, то она длиннее катета АН:
Прямую АМ называют наклонной к прямой, а АН – это перпендикуляр. Получаем, что перпендикуляр из точки всегда короче, чем наклонная. Именно длину перпендикуляра называют расстоянием между точкой и прямой. Другими словами, расстояние между прямой и точкой – это наименьшая возможная длина отрезка, соединяющего эту точку с прямой.
Задание. Докажите, что середина основания р-бедр. треуг-ка равноудалена от боковых сторон треугольника.
Решение. Обозначим вершины треуг-ка буквами А, В и С, причем АС – основание. Буквой Н обозначим середину АС. Естественно, что АН = НС. Теперь опустим из Н перпендикуляры на стороны АВ и ВС, которые обозначим как НМ и НЕ:
Нам необходимо доказать, что НМ = НЕ. Для этого сравним ∆АМН и ∆НЕС. Они прямоугольные. Их гипотенузы равны, ведь АН = НС. Также ∠А = ∠С, ведь это углы при основании равнобедренного треуг-ка. Значит, ∆АМН и ∆НЕС равны по равны по равному острому углу и гипотенузе. А из равенства треуг-ков следует, что МН = НЕ.
Задание. Докажите, что концы отрезка равноудалены от прямой, проходящей через середину этого отрезка.
Решение. Обозначим отрезок как АС, а его середину буквой Н. Опустим из А и С перпендикуляры АР и СМ на прямую, проходящую через Н:
Требуется доказать, что АР = СМ. Рассмотрим ∆АНР и ∆МНС. Они прямоугольные, при этом АН = НС (по условию). Ясно, что ∠АНР = ∠МНС, ведь они являются вертикальными. Если у прямоугольных треуг-ков равны гипотенуза и один из острых углов, то такие треуг-ки равны, то есть ∆АНР = ∆МНС. Из этого следует, что АР = СМ.
Расстояние между параллельными прямыми
Построим пару параллельных прямых. Далее из одной точки, лежащей на первой прямой, опустим перпендикуляр на вторую прямую. Длина этого перпендикуляра будет считаться расстоянием между параллельными прямыми:
Возникает логичный вопрос – а зависит ли расстояние между параллельными прямыми от выбора точки, из которой опускается перпендикуляр? Естественно, не зависит, но это надо доказать. Пусть есть прямые а и b, причем а||b. Выберем на а произвольные точки Р и К и опустим из них перпендикуляры РМ и КС на b. Докажем, что РМ = КС.
Сначала заметим, КС перпендикулярно не только b, но и а, ведь прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой параллельной прямой. Теперь рассмотрим ∆РМС и ∆РКС. Они прямоугольные, у них есть общая гипотенуза РС. Заметим, что ∠РКС = ∠РСМ, ведь это накрест лежащие углы. Получается, что ∆РКС = ∆РМС. Значит, РМ = КС, что и необходимо доказать.
Задание. Прямая АВ параллельна прямой СD. Известно, что AD = 6 см, ∠ADC = 30°. Чему равна расстояние между АВ и СD?
Решение. Выполним построение:
Опустим из А перпендикуляр на СD, который пересечет прямую в точке Н. Расстояние между прямыми будет равно длине АН, а ее можно найти из ∆АНD. Он является прямоугольным, а один из его острых углов (∠АDH) равен 30°. Это значит, что катет АН вдвое короче, чем гипотенуза АD:
AH = AD:2 = 6:2 = 3 см
Построение треугольника по трем элементам
Рассмотрим важную практическую задачу. Нам известны три признака равенства треуг-ка, каждый из которых требует, чтобы у треуг-ков совпадали три элемента. Другими словами, часто по трем элементами можно однозначно построить треуг-к. Рассмотрим, как это делается.
Пусть известны две стороны треугольника и угол между ними. Например, надо построить треуг-к со сторонами 6 и 4 см, а угол между ними равен 45°. В этом случае сначала надо построить угол, а потом отложить на его лучах отрезки длиной 4 и 6 см. Далее концы этих отрезков необходимо соединить:
Очень легко построение треугольника по стороне и прилегающей к ней углам. Пусть сторона треугольника равна 10 см, а прилегающие к ней углы должны равняться 20° и 50°. В этом случае на первом шаге следует построить отрезок длиной 10 см. Далее от одной из его вершин надо отложить луч, образующий угол в 50° с отрезком(естественно, можно начать и с угла 20°). На последнем шаге из второй вершины откладывается луч, образующий угол 20°. Точка пересечения этих двух лучей и будет третьей вершиной треуг-ка:
Построение треугольника по трем сторонам вызывает у школьников куда большие затруднения. Пусть нужно построить треуг-к со сторонами 10, 8 и 5 см. Сначала откладывается отрезок, равный одной из сторон, например, 10 см. Далее. Из концов этого отрезка проводятся окружности, чьи радиусы равны 2 оставшимся сторонам. Если длины сторон удовлетворяют неравенству треуг-ка, то окружности пересекутся в двух точках. Осталось соединить концы первого отрезка с любой из этих точек, и получится требуемый треуг-к:
Попробуйте самостоятельно использовать этот метод для сторон, которые не удовлетворяют неравенству треуг-ка, например, для 3, 4 и 8 см. Если вы всё сделаете правильно, то окружности просто не пересекутся, и построить треуг-к не удастся.
В трех рассмотренных примерах ответ задачи был единственным. Однако иногда существует несколько неравных друг другу треуг-ка, у которых равны 3 элемента. Для примера попытаемся построить треуг-к РЕН, у которого РЕ = 10 см, РН = 7 см, ∠Е = 30°. Сначала построим отрезок РЕ. Далее от одной из его вершин, например от Е, отложим угол 30°. На следующем шаге строим окружность радиусом 7 см, центр которой располагается в точке Р. Она пересечет угол в двух точках, Н1 и Н2. В итоге получается, что есть сразу два треуг-ка, удовлетворяющие условию задачи – РЕН1 и РЕН2. Они явно не равны друг другу, так как РЕН2 является тупоугольным, а РЕН1 – остроугольным треуг-ком:
Итак, мы узнали много нового о прямоугольных треуг-ках, научились определять расстояние между прямой и точкой и между двумя параллельными прямыми, а также узнали, как строить треуг-ки по 3 элементам. Эти знания помогут в дальнейшем освоении геометрии.
Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).
Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.
Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).
Свойства прямоугольного треугольника
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.
2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.
3. Теорема Пифагора:
4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :
5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:
6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.
7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :
8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине
9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:
Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.
Чтобы посчитать стороны прямоугольного треугольника воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):
- для гипотенузы (с):
- длины катетов a и b
- длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
- длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
- длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
- длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
- длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
- длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
- длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
Введите их в соответствующие поля и получите результат.
Найти гипотенузу (c)
Найти гипотенузу по двум катетам
Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?
Формула
следовательно: c = √ a² + b²
Пример
Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:
c = √ 3² + 4² = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 см
Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу
Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:
c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см
Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу
Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:
c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см
Найти гипотенузу по двум углам
Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.
Найти катет
Найти катет по гипотенузе и катету
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:
a = √ 5² - 4² = √ 25 - 16 = √ 9 = 3 см
Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:
b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см
Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:
a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см
Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:
b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см
Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:
Читайте также: