Как сделать прямоугольную систему координат

Добавил пользователь Алексей Ф.
Обновлено: 05.10.2024

За основную координатную плоскость берется плоскость эклиптики или экватора, основная ось отсчета ОХ направлена из начала О координат в точку весеннего равноденствия Т, ось OY - под углом 90° к оси ОХ, ось OZ дополняет систему до правой (рис. 17).

1. Связь между экваториальной и эклиптической прямоугольными системами координат. Если основная плоскость OXY — плоскость экватора, а начало О выбрано в центре небесной сферы, то прямоугольная система координат OXYZ называется экваториальной.

Экваториальные сферические координаты любой точки Р связаны с экваториальными прямоугольными координатами этой же точки соотношениями

Рис. 17. Связь между экваториальной в эклиптической системами прямоугольных координат.

Если основная плоскость эклиптической системы сферических координат — плоскость эклиптики — совпадает с плоскостью OXY прямоугольной системы координат начало которой, как и прежде, лежит в центре небесной сферы, а ось ОХ направлена в точку весеннего равноденствия Ф, то система координат называется эклиптической (рис. 17).

Эклиптические сферические координаты точки Р выражаются через эклиптические прямоугольные координаты этой же точки посредством формул

Переход от прямоугольных экваториальных координат точки Р к эклиптическим прямоугольным координатам этой же точки выполняется по следующим формулам преобразования

экваториальных прямоугольных координат в эклиптические:

Формулы обратного преобразования имеют вид

Формулы перехода от сферических эклиптических координат к прямоугольным экваториальным координатам (с тем же началом) записываются в виде

Формулы перехода от сферических экваториальных координат к прямоугольным эклиптическим имеют вид

2. Связь между гелиоцентрической и геоцентрической системами координат. Если начало одной системы координат не совпадает с началом другой, то для преобразования координат, кроме возможных поворотов осей координат, необходим еще и параллельный перенос осей координат в новое начало отсчета (рис. 18).

Если — координаты точки Р в гелиоцентрической прямоугольной экваториальной системе координат — координаты Солнца в геоцентрической экваториальной прямоугольной системе координат то прямоугольные координаты точки Р в системе определяются формулами

Если ввести геоцентрические экваториальные сферические координаты точки Р (геоцентрическое расстояние обозначается иногда символом А), то будем иметь

Замечание. Очевидно, гелиоцентрические прямоугольные экваториальные координаты Земли равны геоцентрическим прямоугольным экваториальным координатам Солнца, взятым с обратными знаками, т. е.

Рис. 18. Переход от гелиоцентрической системы координат к геоцентрической системе координат.

Для перехода от гелиоцентрических эклиптических сферических координат к геоцентрическим эклиптическим сферическим координатам можно применить формулы

где — геоцентрические эклиптические координаты (радиус-вектор, долгота и широта) Солнца.

Нередко широтой Солнца можно пренебречь и положить Тогда формулы (1.1.035) принимают вид

Преобразование гелиоцентрических эклиптических сферических координат точки Р в геоцентрические экваториальные сферические координаты осуществляется по формулам

Если вместо прямоугольных экваториальных координат Солнца заданы его эклиптические координаты то геоцентрические экваториальные координаты небесного объекта вычисляют по таким формулам:

Наклон эклиптики, к экватору должен быть отнесен к системе координат той же эпохи, что и величины

3. Относительные координаты. В экваториальной геоцентрической системе координат находят применение также две другие координаты (рис. 19):

1) Угловое расстояние объекта относительно опорного объекта измеряемое дугой большого круга на небесной сфере;

2) Позиционный угол, или угол положения отсчитываемый от круга склонений опорного объекта до дуги против часовой стрелки, если смотреть на небесную сферу снаружи.

Координаты называются относительными координатами, их можно выразить через экваториальные координаты опорного объекта и объекта 2 следующими формулами (см. треугольник на рис. 19):

На практике часто можно пренебречь величинами поиядка и применять приближенные формулы

4. Дифференциальные координаты. Положение объекта относительно объекта в экваториальной системе координат определяется разностями и эти разности выражаются через относительные координаты при помощи равенств (1.1.040)

Рис. 19. Относительные сферические координаты.

Рис. 20. Относительные прямоугольные координаты.

Разности называются дифференциальными экваториальными координатами.

Величины определяемые равенствами (рис. 20)

называются прямоугольными координатами объекта относительно объекта

Разности прямых восхождений и склонений можно выразить через разности эклиптических долгот и широт (дифференциальные эклиптические координаты) и, наоборот,

при помощи слбдующих формул:

Вспомогательный угол вычисляется по формулам

5. Дифференциальные изменения координат. Малые изменения координат объекта на небесной сфере с достаточной степенью точности могут быть выражены дифференциальными формулами, которые выводятся из основных соотношений, связывающих сферические координаты с положением объекта в пространстве. Формулы (1.1.027) дают

Заменой на и на получим формулы дифференциальных изменений координат в эклиптической системе:

6. Основная операция. Если в прямоугольной экваториальной системе координат (ось направлена в точку весеннего равноденствия Т) объект из положения, определяемого радиусом-вектором сместился на и занял положение 2, определяемое радиусом-вектором , то (рис. 21)

Соотношения (1.1.051) для приращений , обусловленных малым перемещением объекта на определяют основную операцию [60].

где — вектор скорости объекта то при основная операция (1.1.051) дает

где матрица — оператор основной операции

Основную операцию можно выполнить и в других системах координат при помощи соответствующей оператор-матрицы К (например, ).

7. Преобразование координат при помощи матриц [61]. Применение прямоугольных координат в сочетании с матрицами-операторами поворота определяемыми равенствами

где — произвольный угол поворота, позволяет выразить формулы преобразования координат, приведенные выше, в компактном, удобном для машинных вычислений виде. Так, с учетом соотношений (1.1.027) и (1.1.028) формулы (1.1.023) и (1.1.029) связи экваториальных и эклиптических координат записываются в виде

Рис. 21. Связь между приращениями радиуса-вектора объекта и приращениями сферических координат.

Обратное преобразование имеет вид

Если означает радиус-вектор небесного объекта, координаты которого заданы в первой экваториальной системе

то переход ко второй экваториальной системе можно выполнить по формуле

где означает местное звездное время, связанное с прямым восхождением а и часовым углом небесного объекта соотношением (1.1.022),

Сохраняя прежний принцип отсчета азимута А от точки юга к западу от 0° до 360°, получим формулы (1.1.021а), связывающие горизонтальные координаты объекта с его экваториальными координатами в следующем виде:

Обращаясь к формулам (1.1.022а), получаем соотношения между горизонтальными координатами объекта и его координатами, отнесенными ко второй экваториальной системе:

При отсчете азимутов А от точки севера к востоку от 0° до 360° соответствующие горизонтальные координаты объекта связаны с его координатами соотношениями

Аналогичным образом можно выразить в матрично-векторной форме и соотношения (1.1.035), (1.1.037), (1.1.038). Например, формула (1.1.037) принимает вид

Метод координат — это, конечно, очень хорошо, но в настоящих задачах C2 никаких координат и векторов нет. Поэтому их придется вводить. Да-да, вот так взять и ввести: указать начало отсчета, единичный отрезок и направление осей x, y и z.

Самое замечательное свойство этого метода заключается в том, что не имеет никакого значения, как именно вводить систему координат. Если все вычисления будут правильными, то и ответ будет правильным.

Тем не менее, приведу некоторые рекомендации, как лучше ввести систему координат для самых часто встречающихся в задаче C2 многогранников. С указанием конкретных точек. Во всех случаях упор делается на минимизацию объема вычислений.

Координаты куба

Если в задаче C2 будет куб — считайте, что вам повезло. Это самый простой многогранник, все двугранные углы которого равны 90°.

Система координат также вводится очень просто:

Начало координат — в точке A;
Чаще всего ребро куба не указано, поэтому принимаем его за единичный отрезок;
Ось x направляем по ребру AB, y — по ребру AD, а ось z — по ребру AA₁.

Обратите внимание: ось z направляется вверх! После двумерной системы координат это несколько непривычно, но на самом деле очень логично.

Итак, теперь у каждой вершины куба есть координаты. Соберем их в таблицу — отдельно для нижней плоскости куба:

Точка	A	B	C	D
Координаты	(0; 0; 0)	(1; 0; 0)	(1; 1; 0)	(0; 1; 0)

Точка	A₁	B₁	C₁	D₁
Координаты	(0; 0; 1)	(1; 0; 1)	(1; 1; 1)	(0; 1; 1)

Несложно заметить, что точки верхней плоскости отличаются соответствующих точек нижней только координатой z. Например, B = (1; 0; 0), B₁ = (1; 0; 1). Главное — не запутаться!

Координаты трехгранной призмы

Призма — это уже намного веселее. При правильном подходе достаточно знать координаты только нижнего основания — верхнее будет считаться автоматически.

В задачах C2 встречаются исключительно правильные трехгранные призмы (прямые призмы, в основании которых лежит правильный треугольник). Для них система координат вводится почти так же, как и для куба. Кстати, если кто не в курсе, куб — это тоже призма, только четырехгранная.

Итак, поехали! Вводим систему координат:

Начало координат — в точке A;
Сторону призмы принимаем за единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи;
Ось x направляем по ребру AB, z — по ребру AA₁, а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.

Здесь требуются некоторые пояснения. Дело в том, что ось y НЕ совпадает с ребром AC, как многие считают. А почему не совпадает? Подумайте сами: треугольник ABC — равносторонний, в нем все углы по 60°. А углы между осями координат должны быть по 90°, поэтому сверху картинка будет выглядеть так:

Надеюсь, теперь понятно, почему ось y не пойдет вдоль AC. Проведем в этом треугольнике высоту CH. Треугольник ACH — прямоугольный, причем AC = 1, поэтому AH = 1 · cos A = cos 60°; CH = 1 · sin A = sin 60°. Эти факты нужны для вычисления координат точки C.

Теперь взглянем на всю призму вместе с построенной системой координат:

Получаем следующие координаты точек:

Как видим, точки верхнего основания призмы снова отличаются от соответствующих точек нижнего лишь координатой z. Основная проблема — это точки C и C₁. У них есть иррациональные координаты, которые надо просто запомнить. Ну, или понять, откуда они возникают.

Координаты шестигранной призмы

Теперь введем собственно систему координат. Начало координат — точку O — поместим в центр симметрии шестиугольника ABCDEF. Ось x пойдет вдоль FC, а ось y — через середины отрезков AB и DE. Получим такую картинку:

Обратите внимание: начало координат НЕ совпадает с вершиной многогранника! На самом деле, при решении настоящих задач вы обнаружите, что это очень удобно, поскольку позволяет значительно уменьшить объем вычислений.

Осталось добавить ось z. По традиции, проводим ее перпендикулярно плоскости OXY и направляем вертикально вверх. Получим итоговую картинку:

Запишем теперь координаты точек. Предположим, что все ребра нашей правильной шестигранной призмы равны 1. Итак, координаты нижнего основания:

Координаты верхнего основания сдвинуты на единицу по оси z:

Координаты четырехугольной пирамиды

Пирамида — это вообще очень сурово. Мы разберем только самый простой случай — правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны единице. Однако в настоящих задачах C2 длины ребер могут отличаться, поэтому ниже приведена и общая схема вычисления координат.

Итак, правильная четырехугольная пирамида. Это такая же, как у Хеопса, только чуть поменьше. Обозначим ее SABCD, где S — вершина. Введем систему координат: начало в точке A, единичный отрезок AB = 1, ось x направим вдоль AB, ось y — вдоль AD, а ось z — вверх, перпендикулярно плоскости OXY. Для дальнейших вычислений нам потребуется высота SH — вот и построим ее. Получим следующую картинку:

Теперь найдем координаты точек. Для начала рассмотрим плоскость OXY. Здесь все просто: в основании лежит квадрат, его координаты известны. Проблемы возникают с точкой S. Поскольку SH — высота к плоскости OXY, точки S и H отличаются лишь координатой z. Собственно, длина отрезка SH — это и есть координата z для точки S, поскольку H = (0,5; 0,5; 0).

Заметим, что треугольники ABC и ASC равны по трем сторонам (AS = CS = AB = CB = 1, а сторона AC — общая). Следовательно, SH = BH. Но BH — половина диагонали квадрата ABCD, т.е. BH = AB · sin 45°. Получаем координаты всех точек:

Вот и все с координатами пирамиды. Но не с координатами вообще. Мы рассмотрели лишь самые распространенные многогранники, однако этих примеров достаточно, чтобы самостоятельно вычислить координаты любых других фигур. Поэтому можно приступать, собственно, к методам решения конкретных задач C2.

Чтобы узнать координаты точки в координировать система вы делаете наоборот. Начните с точки и проведите вертикальную линию вверх или вниз до оси x. Вот твой х-координировать. А затем сделайте то же самое, но по горизонтальной линии, чтобы найти y-координировать.

Точно так же кто изобрел координаты?

Кроме того, как вы относитесь к квадрантам по математике? Первый квадрант - это верхний правый угол графика, участок, где и x, и y положительны. Второй квадрантв верхнем левом углу включает отрицательные значения x и положительные значения y. Третий квадрант, нижний левый угол, включает отрицательные значения как x, так и y.

Где находится начало прямоугольной системы координат?

Начало прямоугольной координаты это точка пересечения осей x и y. Любая точка на картезианский самолет может быть расположенный задав расстояние по горизонтали справа от происхождения (это называется его x координировать) и его вертикальное расстояние над происхождения (это называется его y координировать).

Как решить прямоугольную систему координат?

Нанесите точки на прямоугольная система координат. Определите, на каком квадранте или оси расположена точка. Сообщите, является ли упорядоченная пара решением уравнения с двумя переменными или нет. Завершите упорядоченную пару, в которой отсутствует одно значение.

Что такое прямоугольный граф?

Декартова система координат, также называемая прямоугольный система координат основана на двумерной плоскости, состоящей из оси x и оси y. Перпендикулярно друг другу оси делят плоскость на четыре участка.

Как можно использовать прямоугольную систему координат в реальной жизни?

A прямоугольная система координатИли Декартова система координат, может также применяется в повседневной жизни. На оси ординат, которая представляет собой горизонтальную линию, мы может измерить общий объем продаж или сколько зерновых было продано, а затем по оси абсцисс, которая представляет собой горизонтальную линию, мы может измерить измеряемую дату.

Как найти прямоугольную координату?

Прямоугольные координаты используйте значение x и значение y, чтобы найти точку на плоскости. В общем, для преобразования между полярным и прямоугольные координаты использование: x = r cos (θ) y = r sin (θ)

Что такое стандартная система координат?

A система координат это метод определения местоположения точки на Земле. Наиболее системы координат используйте два числа, a координировать, чтобы определить местоположение точки. Каждое из этих чисел указывает расстояние между точкой и некоторой фиксированной контрольной точкой, называемой началом координат.

Почему это называется прямоугольной системой координат?

Горизонтальные линии сетки проходят через целые числа, отмеченные на оси ординат. Результирующая сетка - это прямоугольная система координат, прямоугольная система координат Также под названием ху самолет, координатная плоскость, или Декартова система координат (поскольку он был разработан математиком названный Рене Декарт.)

Какова точка полярных координат?

Декартова координата система использует горизонтальную ось, которая называется осью x, и вертикальную ось, называемую осью y. Уравнения для линий в этой системе будут иметь переменные как x, так и y. Для пример, уравнение 2x + y = 2 является пример линии в этой системе.

Что такое стандартная система координат?

Форум. Данные Стандартный – Системы координат, система координат используется для определения местоположения на Земле. Он создается вместе с картографической проекцией, датумом и опорным эллипсоидом и описывает местоположения в терминах расстояний или углов от фиксированной опорной точки.

Как найти склон?

склон of a line характеризует направление линии. К найдите что собой представляет склон, вы разделите разность y-координат двух точек на линии на разницу x-координат тех же двух точек.

Как сегодня используется декартова система координат?

Как сегодня используется декартова система координат? В математике Декартова система координат is используемый однозначно определить каждую точку в самолет через два числа, обычно называемых x-координировать И они-координировать точки.

Что такое Z в сферических координатах?

Итак, учитывая точку в сферические координаты что собой представляет цилиндрические координаты точки будет, r = ρsinφθ = θz= ρcosφ r = ρ sin? φ θ = θ z = ρ cos?

Что вы подразумеваете под прямоугольной системой координат?

Что такое система координат в физике?

Системы координат используются для описания положения объекта в пространстве. А система координат это искусственный математический инструмент, который мы конструируем для описания положения реального объекта.

Сколько квадрантов находится в координатной плоскости?

Где находится начало прямоугольной системы координат?

Каковы части прямоугольной системы координат и ее использование?

Координаты точки. Каждой точке на числовой прямой присваивается номер.
ось абсцисс; ось y. Для размещения точек на плоскости используются две перпендикулярные линии: горизонтальная линия, называемая осью x, и вертикальная линия, называемая осью y.
Координатная плоскость.
Заказанные пары.
Происхождение.
x-координата.
y-координата.
Квадранты.

Что такое прямоугольный граф?

Какие системы координат наиболее распространены?

Географический система координат использует долготу и широту, выраженные в десятичных градусах. Например, WGS 1984 и NAD 1983 являются наиболее общий датум сегодня. До 1983 года NAD27 был наиболее общий ИГД.

Какова точка полярных координат?

Трехмерная структура. Х-ось и у-ось представляют первые два измерения; в z–ось, третье измерение. В графическом изображении x и y обозначают ширину и высоту; в z обозначает глубину. ЭТО ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЛЬКО ДЛЯ ЛИЧНОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ. Любое другое воспроизведение требует разрешения.

Что подразумевается под радиальным расстоянием?

Ясно, что это уравнение является квадратным уравнением относительно y 2, поэтому для данного значения x может быть два значения (больше, чем one) из y. Следовательно, это делает не представляют функцию if нарисованный в прямоугольной координатной плоскости . Следовательно, это представляет функцию if нарисованный в прямоугольной координатной плоскости.

Как найти склон?

Кто является сторонником прямоугольной системы координат?

Декартова система координат назван в честь Рене Декарта (1596–1650), известного французского математика и философа, который одним из первых описал его свойства.

Кто является сторонником прямоугольной системы координат?

Полярные координаты Он пунктов помечены (r, θ) и нанесены на полярный сетка. Ссылка точка (аналогично происхождению декартовой системы) называется полюсом, а луч от полюса в исходном направлении - это полярный ось.

Что такое плоскость XY?

xy–самолет это самолет который содержит оси x и y; в yz–самолет содержит оси y и z; в xz–самолет содержит оси x и z. Эти три координаты самолеты разделите пространство на восемь частей, называемых октантами. Первый октант на переднем плане определяется положительными осями.

Как работают функции?

A функция уравнение, которое имеет только один ответ для y для каждого x. А функция назначает ровно один выход каждому входу указанного типа. Обычно называют функция либо f (x), либо g (x) вместо y. f (2) означает, что мы должны найти значение нашего функция когда x равно 2.

Что такое ось Z?

Третий ось, обычно представляющая глубину трехмерной сетки, диаграммы или графика в декартовой системе координат. В z–ось перпендикулярна как x-ось и у-ось и используется для построения значения z, третье неизвестное в математике.

Что такое координаты XY?

Точка пересечения осей x и y называется началом координат. Цифры на координировать сетка используются для определения местоположения точек. Каждую точку можно идентифицировать по упорядоченной паре чисел; то есть число на оси x, называемое x-координировать, а число на оси Y называется y-координировать.

Представляет ли что-либо из следующего, нарисованного в прямоугольной координатной плоскости, функцию?

Что такое декартова плоскость, объясните с помощью диаграммы?

Декартова плоскость Определение. А Декартова плоскость - это график с одной осью x и одной осью y. Эти две оси перпендикулярны друг другу. Для оси Y числа ниже нуля отрицательны, а числа выше положительны. В Декартова плоскость показаны несколько упорядоченных пар, которые представляют точки на график.

Y или Z вертикальны?

Прямоугольная система координат образуется пересечением на плоскости под прямым углом двух числовых осей. Положительная полуось одной из них направлена вправо (ось абсцисс), а второй – вверх (ось ординат). Точка пересечения осей совпадает с точкой 0 каждой из них и называется началом координат. Координаты – это набор данных, по которому определяется положение того или иного объекта. Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называется ортонормированной (декартовой) системой координат (в честь французского математика Рене Декарта ).

Оси координат делят плоскость на 4 угла, которые называют координатными четвертями. Четверть, образованная положительными полуосями (правый верхний угол), считают первой (I). Отсчитываем четверти (или координатные углы) против часовой стрелки.

Чтобы обозначить числами точное положение точки на плоскости, проводят две перпендикулярные координатные прямые – x и y, которые пересекаются в начале отсчета – точке О.

Пусть M – некоторая точка плоскости. Проведем через нее прямую MA, перпендикулярную координатной прямой X, и прямую MB, перпендикулярную координатной прямой Y.

Так как точка A имеет координату 4, а точка B координату 3, то положение точки M определяется парой чисел (4; 3). Эту пару чисел называют координатами точки M.

Число 4 называют абсциссой точки M, а число 3 – ординатой точки M.

Точку M с абсциссой 4 и ординатой 3 обозначают так: M(4; 3).

На первом месте пишут абсциссу точки, а на втором – ее ординату.

Если переставить координаты местами, то получится другая точка N(3; 4), которая тоже изображена на рисунке.

Каждой точке на координатной плоскости соответствует пара чисел: ее абсцисса и ордината, и наоборот, каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.

Укажите, какие из данных точек расположены выше оси абсцисс: \(A(1;3)\) , \(B(2;-2)\) , \(C(0;-2)\) , \(D(4;1)\) , \(M(-2;0)\) .

Укажите, какие из данных точек расположены левее оси кординат: \(A(-3;-4)\) , \(B(0;2)\) , \(C(4;1)\) , \(D(-1;3)\) , \(M(2;0)\) .

Укажите, какие из данных точек расположены ниже оси абсцисс: \(A(5;0)\) , \(B(-3;2)\) , \(C(4;-3)\) , \(D(1;-2)\) .

Читайте также: