Как сделать проверку системы счисления
Обновлено: 04.07.2024
Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 for Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel для iPad Excel для iPhone Excel для планшетов с Android Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel для телефонов с Android Больше. Основные параметры
Система чисел является систематическим способом представления чисел символьными символами и использует базовое значение для удобной группировки чисел в сжатой форме. Самая распространенная система числов — десятичная, которая имеет базовое значение 10, и набор символов 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Однако существуют и другие числовые системы, которые могут быть более эффективными для определенной цели. Например, так как на компьютерах используется логическое значение для вычислений и операций, для выполнения вычислений и операций используется двоичная числовая система, которая имеет базовое значение 2.
Microsoft Office Excel есть несколько функций, которые можно использовать для преобразования чисел в числовые системы и из них:
С помощю этого онлайн калькулятора можно перевести целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Дается подробное решение с пояснениями. Для перевода введите исходное число, задайте основание сисемы счисления исходного числа, задайте основание системы счисления, в которую нужно перевести число и нажмите на кнопку "Перевести". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Предупреждение
Результат уже получен!
Перевод целых и дробных чисел из одной системы счисления в любую другую − теория, примеры и решения
Существуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля:
| число | 6 | 3 | 7 | 2 |
| позиция | 3 | 2 | 1 | 0 |
Тогда число 6372 можно представить в следующем виде:
Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.
Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо:
| число | 1 | 2 | 8 | 7 | . | 9 | 2 | 3 |
| позиция | 3 | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 | -3 |
Тогда число 1287.923 можно представить в виде:
В общем случае формулу можно представить в следующем виде:
где Цn-целое число в позиции n, Д-k- дробное число в позиции (-k), s - система счисления.
Несколько слов о системах счисления.Число в десятичной системе счисления состоит из множества цифр , в восьмеричной системе счисления - из множества цифр , в двоичной системе счисления - из множества цифр , в шестнадцатеричной системе счисления - из множества цифр , где A,B,C,D,E,F соответствуют числам 10,11,12,13,14,15.
В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.
| Таблица 1 | |||
|---|---|---|---|
| Система счисления | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Для перевода чисел с одной системы счисления в другую, проще всего сначала перевести число в десятичную систему счисления, а затем, из десятичной системы счисления перевести в требуемую систему счисления.
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления
С помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления.
Пример 1. Переводить число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:
Пример 2. Переводить число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:
Пример 3. Переводить число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС. Решение:
Здесь A -заменен на 10, B - на 11, C- на 12, F - на 15.
Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.
Пример 4. Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:
| 159 | 2 | ||
| 158 | 79 | 2 | |
| 1 | 78 | 39 | 2 |
| 1 | 38 | 19 | 2 |
| 1 | 18 | 9 | 2 |
| 1 | 8 | 4 | 2 |
| 1 | 4 | 2 | 2 |
| 0 | 2 | 1 | |
| 0 |
Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111. Следовательно можно записать:
Пример 5. Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147(см. Рис. 2). Следовательно можно записать:
Пример 6. Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Как видно из рисунка Рис.3, последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 - D. Следовательно наше шестнадцатеричное число - это 4CD9.
Далее рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в двоичную СС, в восьмеричную СС, в шестнадцатеричную СС и т.д.
Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат).
Рассмотрим вышеизложенное на примерах.
Пример 7. Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.
| 0.214 | |
| x | 2 |
| 0 | 0.428 |
| x | 2 |
| 0 | 0.856 |
| x | 2 |
| 1 | 0.712 |
| x | 2 |
| 1 | 0.424 |
| x | 2 |
| 0 | 0.848 |
| x | 2 |
| 1 | 0.696 |
| x | 2 |
| 1 | 0.392 |
Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0.0011011.
Следовательно можно записать:
Пример 8. Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.
| 0.125 | |
| x | 2 |
| 0 | 0.25 |
| x | 2 |
| 0 | 0.5 |
| x | 2 |
| 1 | 0.0 |
Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат:
Пример 9. Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.
| 0.214 | |
| x | 16 |
| 3 | 0.424 |
| x | 16 |
| 6 | 0.784 |
| x | 16 |
| 12 | 0.544 |
| x | 16 |
| 8 | 0.704 |
| x | 16 |
| 11 | 0.264 |
| x | 16 |
| 4 | 0.224 |
Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем:
Пример 10. Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.
| 0.512 | |
| x | 8 |
| 4 | 0.096 |
| x | 8 |
| 0 | 0.768 |
| x | 8 |
| 6 | 0.144 |
| x | 8 |
| 1 | 0.152 |
| x | 8 |
| 1 | 0.216 |
| x | 8 |
| 1 | 0.728 |
Пример 11. Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим:
Пример 12. Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим:
Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.
1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:
Пример . Число перевести в десятичную систему счисления.
2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:
Пример . Число перевести в десятичную систему счисления.
3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться та блицей степеней числа 16:
Пример . Число перевести в десятичную систему счисления.
4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.
5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.
6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.
7. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).
Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.
8. Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).
Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.
9. Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.
Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.
10. Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.
Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.
11. При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.
Перед тем как перейти к алгоритму перевода, вспомним алфавит популярных систем счисления:
Для перевода чисел из десятичной системы в любую другую, воспользуемся соответствующим алгоритмом. Важно заметить, что алгоритм перевода целых и дробных чисел будет отличаться.
Алгоритм перевода целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q
- Последовательно выполнять деление десятичного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления, до тех пор, пока частное не станет равным 0.
- Для получения ответа в q-ном коде, необходимо записать, полученные, в результате деления остатки, в обратном порядке.
Пример 1 : перевести десятичное число 101 в двоичную систему счисления
Исходя из вышеприведенного алгоритма, полученные остатки необходимо записать в обратном порядке.
Пример 2 : перевести десятичное число 443 в пятеричную систему счисления
Полученные остатки необходимо записать в обратном порядке.
Пример 3 : перевести десятичное число 1187 в девятеричную систему счисления
Решение будет выглядеть следующим образом:
Алгоритм перевода десятичной дроби в q-ичную систему
- Последовательно выполнять умножение исходной дроби на q, до тех пор, пока, дробная часть не станет равна 0 или пока не будет достигнута необходимая точность вычисления.
- Полученная дробь в q-ичной системе будет равна прямой последовательности целых частей произведений.
Пример 4: перевести число 0,15 в троичную систему.
Решение будет выглядеть следующим образом:
0.15 ∙ 3 = 0.45 (0)
0.45 ∙ 3 = 1.35 (1)
0.35 ∙ 3 = 1.05 (1)
0.05 ∙ 3 = 0.15 (0)
0.15 ∙ 3 = 0.45 (0)
0.45 ∙ 3 = 1.35 (1)
0.35 ∙ 3 = 1.05 (1)
0.05 ∙ 3 = 0.15 (0)
0.15 ∙ 3 = 0.45 (0)
0.45 ∙ 3 = 1.35 (1)
0.35 ∙ 3 = 1.05 (1)
В данном примере можно продолжить вычисления, но зачастую, такой точности будет достаточно.
Перевод дробного десятичного числа в q-ичную систему
Для того чтобы перевести десятичное число, содержащее дробную часть, необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную.
Пример 5: перевести число 358,201 из десятичной системы в шестиричную
Для решения примера потребуется отдельно перевести 358 и отдельно 0,201 из десятичной системы в шестиричную, используя вышеизложенные алгоритмы. Таким образом переведя 358, получим:
Перевод десятичной дроби 0,201 выглядит так:
0.201 ∙ 6 = 1.206 (1)
0.206 ∙ 6 = 1.236 (1)
0.236 ∙ 6 = 1.416 (1)
0.416 ∙ 6 = 2.496 (2)
0.496 ∙ 6 = 2.976 (2)
0.976 ∙ 6 = 5.856 (5)
0.856 ∙ 6 = 5.136 (5)
0.136 ∙ 6 = 0.816 (0)
0.816 ∙ 6 = 4.896 (4)
0.896 ∙ 6 = 5.376 (5)
0.376 ∙ 6 = 2.256 (2)
Теперь осталось соединить результаты перевода. Таким образом: 358.20110=1354.111225504526
Читайте также: