Как сделать проверку метода гаусса

Обновлено: 04.07.2024

Что вы будете делать, если вас попросят решить простенькую систему с тремя неизвестными? У каждого сформировался свой собственный и наиболее удобный лично для него подход. Существует масса способов решить систему линейных алгебраических уравнений. Но почему предпочтение отдается именно методу Гаусса?

Обо всем по порядку

Начнем с простого. Пусть задана система линейных уравнений третьего порядка:

Теперь второе уравнение умножается на и вычитается из третьего:

Получили довольно простую систему, из которой легко находится , затем и .

Внимательный читатель обязательно заметит: а что, если диагональные элементы равны нулю? Что же делать, если, например, ? Неужели знаменитый метод Гаусса на этом заканчивается?

Ничего страшного! Давайте найдем и поменяем местами -ую и первую строку (не ограничивая общности, предположим, что ). Заметим, что случая, когда все быть не может, так как в этом случае определитель матрицы коэффициентов обращается в ноль и решить систему не предоставляется возможным. Итак, после перестановки 3-го уравнение на первую строку, выполняем действия, описанные ранее.

Поиском максимального по модулю элемента можно заниматься на каждой итерации, то есть на -ой итерации искать , затем менять -ую и -ую строчки. Алгоритм, в которм осуществляется поиск максимального элемента в столбце, называется методом Гаусса с выбором главного элемента в столбце.

Есть и другой способ. Можно на -ой итерации искать , затем менять уже не строчки, а столбцы. Но при этом важно запоминать индексы меняющихся столбцов в какой-нибудь массив (чтобы потом восстановить точный порядок переменных).

Пример простого кода, реализующего данный алгоритм:

Почему Гаусс?

Существует и другой способ решения СЛАУ. Один из таких — метод Крамера. Он заключается в предварительном подсчете некоторого количества определителей, с помощью которых моментально вычисляются значения переменных. При исходной системе этот метод будет выглядеть следующим образом:

Но вспомним — что такое определитель?

По определению, определитель матрицы есть сумма

где — знак подстановки

Определитель содержит слагаемых. Для решения системы необходимо посчитать определителей. При достаточно больших это очень затратно. Например, при число операций становится в то время как метод Гаусса с ассимптотикой потребует всего лишь операций.

Итерационные методы

В качестве алгоритмов решения СЛАУ подходят и так называемые итерационные методы. Они заключаются в последовательном вычислении приближений до тех пор, пока какое-то из них будет максимально близко к точному ответу.

Рассмотрим популярный метод Якоби, который является одним из простейших итерационных методов решения СЛАУ.

Для начала запишем систему в следующем виде:

Отделим -ое слагаемое и выразим его через все остальное:

Заметим, что обязательным условием применения данного метода является отсутствие нулей по главной диагонали.

Реализация метода Якоби на Java:
В качестве берется заранее вычисленное так называемое машинное эпсилон.

Модификацией метода Якоби является метод релаксации. Его главное отличие заключается в том, что с помощью заранее подобранного параметра количество итераций значительно снижается. Опишем в кратце главную идею метода.

Из исходной системы снова выразим , но расставим немного иначе счетчики и добавим параметр :

При это все превращается в метод Якоби.

Иллюстрация метода на языке Java:
здесь

Вместо заключения

Метод Гаусса был предложен известнейшим немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777 - 1855) и является одним из наиболее универсальных методов решения СЛАУ. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении задачи, расширенная матрица системы с помощью элементарных преобразований над ее строками приводится к ступенчатому виду. Далее последовательно находятся все неизвестные, начиная снизу вверх.

Принцип метода Гаусса

Метод Гаусса включает в себя прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то есть получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный - методом Гаусса-Жордана, который отличается от первого только последовательностью исключения переменных.

Метод Гаусса идеально подходит для решения систем содержащих больше трех линейных уравнений, для решения систем уравнений, которые не являются квадратными (чего не скажешь про метод Крамера и матричный метод). То есть метод Гаусса - наиболее универсальный метод для нахождения решения любой системы линейных уравнений, он работает в случае, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна.

Примеры решения систем уравнений

Задание. Решить СЛАУ $\left\ 2 x_+x_+x_=2 \\ x_-x_=-2 \\ 3 x_-x_+2 x_=2 \end\right.$ методом Гаусса.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент $a_$ равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений):

Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей - три первых:

Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на $\frac$ ):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:

От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3:

Умножив третью строку на $\left(-\frac\right)$ , получаем:

Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гассу-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент $a_$, для этого от второй строки отнимем третью:

Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:

Полученной матрице соответствует система

$\left\x_+0 \cdot x_+0 \cdot x_=-1 \\ 0 \cdot x_+x_+0 \cdot x_=1 \\ 0 \cdot x_+0 \cdot x_+x_=3\end\right.$ или $\left\ x_=-1 \\ x_=1 \\ x_=3 \end\right.$

Метод преобразований Гаусса (также известный как преобразование методом последовательного исключения неизвестных переменных из уравнения или матрицы) для решения систем линейных уравнений представляет собой классический методом решения системы алгебраических уравнений (СЛАУ). Также этот классический метод используют для решения таких задач как получение обратных матриц и определения ранговости матрицы.

Преобразование с помощью метода Гаусса заключается в совершении небольших (элементарных) последовательных изменениях системы линейных алгебраических уравнений, приводящих к исключению переменных из неё сверху вниз с образованием новой треугольной системы уравнений, являющейся равносильной исходной.

Эта часть решения носит название прямого хода решения Гаусса, так как весь процесс осуществляется сверху вниз.

После приведения исходной системы уравнений к треугольной осуществляется нахождение всех переменных системы снизу вверх (то есть первые найденные переменные занимают находятся именно на последних строчках системы или матрицы). Эта часть решения известна также как обратный ход решения методом Гаусса. Заключается его алгоритм в следующем: сначала вычисляется переменные, находящиеся ближе всего к низу системы уравнений или матрицы, затем полученные значения подставляются выше и таким образом находится ещё одна переменная и так далее.

Описание алгоритма метода Гаусса

Последовательность действий для общего решения системы уравнения методом Гаусса заключается в поочередном применении прямого и обратного хода к матрице на основе СЛАУ. Пусть исходная система уравнений имеет следующий вид:

$\begin a_ \cdot x_1 +. + a_ \cdot x_n = b_1 \\ . \\ a_ \cdot x_1 + a_ \cdot x_n = b_m \end$

Чтобы решить СЛАУ методом Гаусса, необходимо записать исходную систему уравнений в виде матрицы:

Готовые работы на аналогичную тему

$A = \begin a_ & … & a_ \\ \vdots & … & \vdots \\ a_ & … & a_ \end$, $b=\begin b_1 \\ \vdots \\ b_m \end$

Матрица $A$ называется основной матрицей и представляет собой записанные по порядку коэффициенты при переменных, а $b$ называется столбцом её свободных членов. Матрица $A$, записанная через черту со столбцом свободных членов называется расширенной матрицей:

$A = \begin a_ & … & a_ & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & . \\ a_ & … & a_ & b_m \end$

Теперь необходимо с помощью элементарных преобразований над системой уравнений (или над матрицей, так как это удобнее) привести её к следующему виду:

$\begin α_> \cdot x_> + α_> \cdot x_>. + α_> \cdot x_> +. α_> \cdot x_> = β_1 \\ α_> \cdot x_>. + α_> \cdot x_> +. α_> \cdot x_> = β_2 \\ . \\ α_> \cdot x_> +. α_> \cdot x_> = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \\ 0 = β_m \end$ (1)

Матрица, полученная из коэффициентов преобразованной системы уравнения (1) называется ступенчатой, вот так обычно выглядят ступенчатые матрицы:

$A = \begin a_ & a_ & a_ & b_1 \\ 0 & a_ & a_ & b_2\\ 0 & 0 & a_ & b_3 \end$

Для этих матриц характерен следующий набор свойств:

1. Все её нулевые строки стоят после ненулевых
2. Если некоторая строка матрицы с номером $k$ ненулевая, то в предыдущей строчке этой же матрицы нулей меньше, чем в этой, обладающей номером $k$.

После получения ступенчатой матрицы необходимо подставить полученные переменные в оставшиеся уравнения (начиная с конца) и получить оставшиеся значения переменных.

Основные правила и разрешаемые преобразования при использовании метода Гаусса

При упрощении матрицы или системы уравнений этим методом нужно использовать только элементарные преобразования.

Таким преобразованиями считаются операции, которые возможно применять к матрице или системе уравнений без изменения её смысла:

• перестановка нескольких строк местами,
• прибавление или вычитание из одной строчки матрицы другой строчки из неё же,
• умножение или деление строчки на константу, не равную нулю,
• строчку, состоящую из одних нулей, полученную в процессе вычисления и упрощения системы, нужно удалить,
• Также нужно удалить лишние пропорциональные строчки, выбрав для системы единственную из них с более подходящими и удобными для дальнейших вычислений коэффициентами.

Все элементарные преобразования являются обратимыми.

Разбор трёх основных случаев, возникающих при решении линейных уравнений используя метод простых преобразований Гаусса

Различают три возникающих случая при использовании метода Гаусса для решения систем:

1. Когда система несовместная, то есть у неё нет каких-либо решений
2. У системы уравнений есть решение, причём единственное, а количество ненулевых строк и столбцов в матрице равно между собой.
3. Система имеет некое количество или множество возможных решений, а количество строк в ней меньше чем количество столбцов.

Исход решения с несовместной системой

Для этого варианта при решении матричного уравнения методом Гаусса характерно получение какой-то строчки с невозможностью выполнения равенства. Поэтому при возникновении хотя бы одного неправильного равенства полученная и исходная системы не имеют решений вне зависимости от остальных уравнений, которые они содержат. Пример несовместной матрицы:

$\begin 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end$

В последней строчке возникло невыполняемое равенство: $0 \cdot x_ + 0 \cdot x_ + 0 \cdot x_ = 1$.

Система уравнений, у которой есть только одно решение

Данные системы после приведения к ступенчатой матрице и удаления строчек с нулями имеют одинаковое количество строк и столбцов в основной матрице. Вот простейший пример такой системы:

$\begin x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end$

Запишем её в виде матрицы:

Чтобы привести первую ячейку второй строчки к нулю, домножим верхнюю строку на $-2$ и вычтем её из нижней строчки матрицы, а верхнюю строчку оставим в исходном виде, в итоге имеем следующее:

$\begin 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end$

Этот пример можно записать в виде системы:

$\begin x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end$

Из нижнего уравнения выходит следующее значение $x$: $x_2 = 3 \frac$. Подставим это значение в верхнее уравнение: $x_1 – 3 \frac$, получаем $x_1 = 1 \frac$.

Система, обладающая множеством возможных вариантов решений

Для этой системы характерно меньшее количество значащих строк, чем количество столбцов в ней (учитываются строки основной матрицы).

Переменные в такой системе делятся на два вида: базисные и свободные. При преобразовании такой системы содержащиеся в ней основные переменные необходимо оставить в левой области до знака “=”, а остальные переменные перенести в правую часть равенства.

У такой системы есть только некое общее решение.

Разберём следующую систему уравнений:

$\begin 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end$

Запишем её в виде матрицы:

$\begin 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end$

Наша задача найти общее решение системы. Для этой матрицы базисными переменными будут $y_1$ и $y_3$ (для $y_1$ - так как он стоит на первом месте, а в случае $y_3$ - располагается после нулей).

В качестве базисных переменных выбираем именно те, которые первые в строке не равны нулю.

Оставшиеся переменные называются свободными, через них нам необходимо выразить базисные.

Используя так называемый обратный ход, разбираем систему снизу вверх, для этого сначала выражаем $y_3$ из нижней строчки системы:

Теперь в верхнее уравнение системы $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ подставляем выраженное $y_3$: $2y_1 + 3y_2 - (\fracy_4 + \frac) + y_4 = 1$

Выражаем $y_1$ через свободные переменные $y_2$ и $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \fracy_4 - \frac + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \fracy_4 + \frac – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \fracy_4 + \frac$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

Решить слау методом Гаусса. Примеры. Пример решения системы линейных уравнений заданных матрицей 3 на 3 используя метод Гаусса

$\begin 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end$

Запишем нашу систему в виде расширенной матрицы:

$\begin 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end$

Теперь для удобства и практичности нужно преобразовать матрицу так, чтобы в верхнем углу крайнего столбца была $1$.

Для этого к 1-ой строчке нужно прибавляем строчку из середины, умноженную на $-1$, а саму среднюю строчку записываем как есть, выходит:

$\begin -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end$

Далее к средней строчке прибавим верхнюю, умноженную на $5$, а последнюю строчку преобразуем, умножив первую строчку на 3 и сложив с последней, получаем:

$\begin -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end$

Домножим верхнюю и последнюю строчки на $-1$, а также поменяем местами последнюю и среднюю строки:

$\begin 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end$

Далее сложим последнюю строчку с удвоенной средней:

$\begin 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end$

И разделим последнюю строчку на $3$:

$\begin 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end$

Получаем следующую систему уравнений, равносильную исходной:

$\begin x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end$

Из верхнего уравнения выражаем $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Пример решения системы, заданной с помощью матрицы 4 на 4 методом Гаусса

$\begin 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end$.

В начале меняем местами верхнюю исследующую за ней строчки, чтобы получить в левом верхнем углу $1$:

$\begin 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end$.

Теперь умножим верхнюю строчку на $-2$ и прибавим ко 2-ой и к 3-ьей. К 4-ой прибавляем 1-ую строку, домноженную на $-3$:

$\begin 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & -1 & 3 & -1 & 4 \\ \end$

Теперь к строке с номером 3 прибавляем строку 2, умноженную на $4$, а к строке 4 прибавляем строку 2, умноженную на $-1$.

$\begin 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end$

Домножаем строку 2 на $-1$, а строку 4 делим на $3$ и ставим на место строки 3.

$\begin 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end$

Теперь прибавляем к последней строке предпоследнюю, домноженную на $-5$.

$\begin 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end$

Метод Гаусса используется для решения систем линейных уравнений и для нахождения обратной матрицы. Начнем с нахождения обратной матрицы.

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом Гаусса

припишем к столбцам матрицы справа столбцы единичной матрицы того же порядка. Получим матрицу

2. С помощью элементарных преобразований строк приведем матрицу к матрице, в левой части которой будет стоять единичная матрица:

3. Полученная таким образом матрица, стоящая в правой части матрицы , и будет обратной матрицей к матрице

Приведем матрицу с помощью элементарных преобразований строк, к матрице, в которой единичная матрица будет слева. Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на , а к третьей строке первую, умноженную на :

Разделим все элементы второй строки на :

Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на :

Умножим третью строку на :

Прибавим к первой строке вторую, умноженную на , а ко второй третью, умноженную на :

К первой строке прибавим третью, умноженную на :

.

Алгоритм применения метода Гаусса для решения СЛУ

Пусть задана система линейных уравнений

Записывается матрица – расширенная матрица этой системы:

Над строками матрицы производятся элементарные преобразования: разрешается изменять порядок строк, умножать строки на любые отличные от нуля числа и прибавлять к любой строке матрицы любую другую её строку, умноженное на произвольное число. В результате таких элементарных преобразований основная матрица системы должна быть приведена к нижнему треугольному виду

Эта матрица эквивалентна системе линейных уравнений

Из этой системы последовательно снизу вверх выражаются все неизвестные переменные.

Произведем над строками полученной матрицы элементарные преобразования. Ко второй строке прибавим первую, умноженную на , а к третьей прибавим первую умноженную на .

:

К третьей строке прибавим вторую, умноженную на :

:

Перейдем от матрицы снова к системе

, подставляя это значение во второе уравнение, находим, что

Подставляя найденные значения переменных в первое уравнение, получим:

Теорема. Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную.

Смысл метода Гаусса заключается в том, чтобы преобразовать исходную систему уравнений и получить равносильную разрешенную или равносильную несовместную систему.

Итак, метод Гаусса состоит из следующих шагов:

В результате через несколько шагов получим либо разрешенную систему (возможно, со свободными переменными), либо несовместную. Разрешенные системы распадаются на два случая:

1. Число переменных равно числу уравнений. Значит, система определена;
2. Число переменных больше числа уравнений. Собираем все свободные переменные справа — получаем формулы для разрешенных переменных. Эти формулы так и записываются в ответ.

Вот и все! Система линейных уравнений решена! Это довольно простой алгоритм, и для его освоения вам не обязательно обращаться к репетитору высшей по математике. Рассмотрим пример:

Задача. Решить систему уравнений:

1. Вычитаем первое уравнение из второго и третьего — получим разрешенную переменную x ₁;
2. Умножаем второе уравнение на (−1), а третье уравнение делим на (−3) — получим два уравнения, в которых переменная x ₂ входит с коэффициентом 1;
3. Прибавляем второе уравнение к первому, а из третьего — вычитаем. Получим разрешенную переменную x ₂;
4. Наконец, вычитаем третье уравнение из первого — получаем разрешенную переменную x ₃;
5. Получили разрешенную систему, записываем ответ.

совместной системы линейных уравнений — это новая система, равносильная исходной, в которой все разрешенные переменные выражены через свободные.

Когда может понадобиться общее решение? Если приходится делать меньше шагов, чем k ( k — это сколько всего уравнений). Однако причин, по которым процесс заканчивается на некотором шаге l k , может быть две:

1. После l -го шага получилась система, которая не содержит уравнения с номером ( l + 1). На самом деле это хорошо, т.к. разрешенная система все равно получена — даже на несколько шагов раньше.
2. После l -го шага получили уравнение, в котором все коэффициенты при переменных равны нулю, а свободный коэффициент отличен от нуля. Это противоречивое уравнение, а, следовательно, система несовместна.

Важно понимать, что возникновение противоречивого уравнения по методу Гаусса — это достаточное основание несовместности. При этом заметим, что в результате l -го шага не может остаться тривиальных уравнений — все они вычеркиваются прямо в процессе.

Задача. Исследовать совместность и найти общее решение системы:

1. Вычитаем первое уравнение, умноженное на 4, из второго. А также прибавляем первое уравнение к третьему — получим разрешенную переменную x ₁;
2. Вычитаем третье уравнение, умноженное на 2, из второго — получим противоречивое уравнение 0 = −5.

Итак, система несовместна, поскольку обнаружено противоречивое уравнение.

Задача. Исследовать совместность и найти общее решение системы:

1. Вычитаем первое уравнение из второго (предварительно умножив на два) и третьего — получим разрешенную переменную x ₁;
2. Вычитаем второе уравнение из третьего. Поскольку все коэффициенты в этих уравнениях совпадают, третье уравнение превратится в тривиальное. Заодно умножим второе уравнение на (−1);
3. Вычитаем из первого уравнения второе — получим разрешенную переменную x ₂. Вся система уравнений теперь тоже разрешенная;
4. Поскольку переменные x ₃ и x ₄ — свободные, переносим их вправо, чтобы выразить разрешенные переменные. Это и есть ответ.

Итак, система совместная и неопределенная, поскольку есть две разрешенных переменных ( x ₁ и x ₂) и две свободных ( x ₃ и x ₄).

Читайте также:

  
• Как сделать протертую землянику
  
• Как сделать свою одежду в everskies
  
• Как сделать кимуру
  
• Как сделать квас из пшеницы
  
• Как сделать проверку системы счисления