Как сделать производную из дроби
Обновлено: 04.07.2024
Операция отыскания производной называется дифференцированием.
В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).
Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.
Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного - в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.
Пример 1. Найти производную функции
Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.
Из таблицы производных выясняем, что производная "икса" равна единице, а производная синуса - косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:
Пример 2. Найти производную функции
Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:
Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.
Таблица производных простых функций
| 1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200. ), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю. Это очень важно помнить, так как требуется очень часто |
| 2. Производная независимой переменной. Чаще всего "икса". Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго |
| 3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни. |
| 4. Производная переменной в степени -1 |
| 5. Производная квадратного корня |
| 6. Производная синуса |
| 7. Производная косинуса |
| 8. Производная тангенса |
| 9. Производная котангенса |
| 10. Производная арксинуса |
| 11. Производная арккосинуса |
| 12. Производная арктангенса |
| 13. Производная арккотангенса |
| 14. Производная натурального логарифма |
| 15. Производная логарифмической функции |
| 16. Производная экспоненты |
| 17. Производная показательной функции |
Правила дифференцирования
| 1. Производная суммы или разности |
| 2. Производная произведения |
| 2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель |
| 3. Производная частного |
| 4. Производная сложной функции |
Правило 1. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции
т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.
Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны, т.е.
Правило 2. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение
т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.
Например, для трёх множителей:
Правило 3. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём
т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.
Где что искать на других страницах
При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные - в статье "Производная произведения и частного функций".
Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.
А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u'v , в котором u - число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).
Другая частая ошибка - механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.
По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.
Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями".
Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие "Производные простых тригонометрических функций".
Пошаговые примеры - как найти производную
Пример 3. Найти производную функции
Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители - суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:
Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, "икс" у нас превращается в единицу, а минус 5 - в ноль. Во втором выражении "икс" умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную "икса". Получаем следующие значения производных:
Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:
А проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.
Пример 4. Найти производную функции
Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:
Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:
Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями".
Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок "Производные простых тригонометрических функций".
Пример 5. Найти производную функции
Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых - квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:
Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.
Пример 6. Найти производную функции
Решение. В данной функции видим частное, делимое которого - квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:
Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на :
Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.
Найти производные самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 7. Найти производную функции
Пример 8. Найти производную функции
Пример 9. Найти производную функции
Пример 10. Найти производную функции
Пример 11. Найти производную функции
Ещё больше домашних заданий на нахождение производных
Продолжаем искать производные вместе
Пример 12. Найти производную функции
Решение. Применяя правила вычисления производной алгебраической суммы функций, вынесения постоянного множителя за знак производной и формулу производной степени (в таблице производных - под номером 3), получим
Пример 13. Найти производную функции
Решение. Применим правило дифференцирования произведения, а затем найдём производные сомножителей, так же, как в предыдущей задаче, пользуясь формулой 3 из таблицы производных. Тогда получим
Пример 14. Найти производную функции
Решение. Как и в примерах 4 и 6, применим правило дифференцирования частного:
Теперь вычислим производные в числителе и перед нами уже требуемый результат:
Пример 15.Найти производную функции
Шаг1. Применяем правило дифференцирования суммы:
Шаг2. Найдём производную первого слагаемого. Это табличная производная квадратного корня (в таблице производных - номер 5):
Шаг3. В частном знаменатель - также корень, только не квадратный. Поэтому преобразуем этот корень в степень:
и далее дифференцируем частное, не забывая, что число 2 в первом слагаемом числителя - это константа, производная которой равна нулю, и, следовательно всё первое слагаемое равно нулю:
Корень из константы, как не трудно догадаться, является также константой, а производная константы, как мы знаем из таблицы производных, равна нулю:
а производная, требуемая в условии задачи:
Ещё больше домашних заданий на нахождение производных
Напоминаем, что чуть более сложные примеры на производную произведения и частного - в статьях "Производная произведения и частного функций" и "Производная суммы дробей со степенями и корнями".
Как мы знаем,
Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
Математический смысл этого определения понять не очень просто, поскольку в школьном курсе алгебры понятие предела функции либо не изучают совсем, либо изучают очень поверхностно. Но для того, чтобы научиться находить производные различных функций, это и не обязательно.
Тем, кто все же хочет понять, что такое предел числовой последовательности, я предлагаю посмотреть ВИДЕОУРОК:
Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. В результате выполнения этой операции мы по определенным правилам получаем другую функцию:
В этом равенстве - функция, от которой мы берем производную,
- функция, которая получается в результате этой операции.
Для того, чтобы каждый раз не искать производные элементарных функций, используя определение производной, существует таблица производных элементарных функций :
1 . Производная константы равна нулю:
2 . Производная степенной функции:
Заметим, что может принимать любые действительные значения.
3 . Производная показательной функции:
Частный случай этой формулы:
4 . Производная логарифма:
Частный случай этой формулы:
5 . Производные тригонометрических функций:
6 . Производные обратных тригонометрических функций:
Правила дифференцирования:
1. Производная суммы двух функций:
2. Производная произведения двух функций:
3. Производная дроби:
4. Производная произведения функции на число равна произведению числа на производную функции (число "выносится" за знак производной):
Чтобы правильно найти производную функции , полезно придерживаться такого алгоритма :
1. Выделите, какие элементарные функции входят в состав уравнения функции.
2. Отделите в явном виде коэффициенты.
3. Если возможно, упростите выражение , используя свойства степени, свойства логарифмов или тригонометрические формулы в зависимости от того, какие элементарные функции входят в состав функции
4. Вспомните, чему равны производные этих функций или посмотрите в таблице производных.
5. Обратите внимание на то, какими арифметическими действиями связаны между собой элементарные функции, которые входят в состав функции и вспомните правило, по которому находится производная суммы, разности, произведения или частного двух функций.
Пример 1. Найти производную функции:
Используя свойства логарифмов, упростим выражение в правой части уравнения функции:
Так как по условию , следовательно, <|>>=x" />
Пример 2. Найти производную функции:
1. Упростим каждую дробь, используя свойства степени :
Мы видим, что наша функция представляет собой сумму степенных функций.
Пример 3. Найти производную функции
Сначала запишем каждое слагаемое в виде степени и выделим в явном виде числовые коэффициенты:
Теперь легко найти производную:
Пример 4. Найти производную функции:
Мы видим, что наша функция представляет собой дробь, в числителе которой стоит степенная функция, а в знаменателе сумма косинуса и константы.
Найдем производную функции по формуле производной дроби:
Формулы нахождения производной дроби как для частного случая, так и универсальную, можно посмотреть внизу страницы. Далее, же следует подробное описание вывода этих формул с подробным пояснением, почему именно так.
Для начала, преобразуем выражение для нахождения производной. Как известно, дробь вида 1/х можно представить как х -1 .
Таким образом, заменив исходное выражение на тождественное, задачу нахождения производной дроби вида 1/х можно представить как:
(1/x)' = (x -1 )'
Тогда для нахождения производной дроби можно применить правило нахождения производной степенной функции, откуда:
(x -1 )' = -1x -2 = - 1 / х 2
Таким образом, производная дроби 1/х равна:
(1/х)' = - 1 / x 2
На основании только что показанного принципа преобразования исходного выражения, можно вывести и более универсальную формулу:
Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе
( 1 / x с )' = - c / x с+1
Пример нахождения производной дроби:
( 1 / x 2 )' = - 2 / x 3 .
(впереди ставим минус, показатель степени переменной поднимаем в числитель дроби, а степень переменной в знаменателе увеличиваем на единичку. Немного "ненаучно", но подходит для быстрого запоминания)
Квадратное уравнения имеет 4 корня, число Пи может быть равно 2, факториал можно вычислить для нецелого аргумента - обо всё этом я писал на своём канале. Сегодня я хочу выдать Вам еще один замечательный математический этюд .
Давайте подумаем, как возвести число в 4-ю степень? Ну
То же самое и с производной: вторую производную от функции можно получить последовательно применяя операцию дифференцирования.
Напрашивается такой вопрос: а есть ли такой оператор (назовём его А), что если его применить к функции ДВА раза, то получится обычная производная?
Оказывается, и это доказывается в курсе продвинутого математического анализа, такие операторы существуют и в самом обобщенном случае. Давайте лучше на простом примере:
Что мы сделали выше? Мы нашли обобщенную формулу производной n-ного порядка для указанной функции.
А теперь моё любимое: подставим вместо n число 1/2. Посмотрим, что получилось:
"Ну и что, скажете Вы, - это какое-то искусственное сооружение" В ответ на это я применю операцию вычисления дробной производной еще разок:
Мы получили как раз тот самый оператор A (некое правило вычисления), который при двойном применении к функции возвращает её производную. Будем называть его полупроизводной .
Первопроходцами применения дробной производной как обобщенного случая знакомой нам со школы операции являются математики Лопиталь, Лейбниц и Абель .
Операция - далеко не бесполезная , хотя и не имеет такого явного физического смысла как её полноценная сестра.
Дробная производная возникает в огромном количестве практических задач в метеорологии, химии, применяется при моделировании перемещения потоков жидкости, распространения сложных акустических колебаний и, конечно, на самом переднем крае науки - квантовой физике.
Конечно, рассказанное мной не претендует ни на какую математическую строгость, ведь, чтобы рассказать о дробной производной нужно знать немного больше школьного курса математики. Несмотря на это, в следующих выпусках я на очень простом языке это сделаю.
Там еще много интересного! Например, дробная производная константы отнюдь не равна нулю !
Подписывайтесь на канал! Ставьте "Нравится" этой публикации , мотивируя меня писать дальше. Спасибо за внимание!
Читайте также: