Как сделать потенцирование

Добавил пользователь Alex
Обновлено: 05.10.2024

В моём календарно-тематическом планировании на тему “Логарифмические уравнения” отводится 3 часа. Я их разбиваю следующим образом:

1 возможный вариант:

1 урок - лекция “Логарифмические уравнения. Основные методы их решения”. В конце лекции задаю блок уравнений обязательного уровня.

2 урок – решение уравнений различного типа и сложности (это зависит от уровня математической подготовки класса, использую индивидуальный подход).

3 урок – решение уравнений и зачётная работа с само- и взаимопроверкой, а также проверкой учителем.

2 возможный вариант:

1 урок - лекция “Логарифмические уравнения. Основные методы их решения”, но только два метода – на основании определения и потенцирования. Решение уравнений на применение этих методов.

2 урок – лекция “Логарифмические уравнения. Основные методы их решения”, два других метода – подстановки и логарифмирования. Решение уравнений на применение этих методов.

3 урок – решение уравнений и зачётная работа с само- и взаимопроверкой, а также проверкой учителем.

Вариант подачи темы зависит от подготовленности класса.

Лекция “Логарифмические уравнения. Основные методы их решения”.

Эпиграфом своей сегодняшней лекции я привожу слова Ричарда Олдингтона (1892 – 1962гг., английский поэт, прозаик, критик): “Ничему тому, что важно знать, научить нельзя, - всё, что может сделать учитель, это указать дорожки”.

А так же – русскую народную пословицу: “Кто говорит – тот сеет, кто слушает – тот собирает”.

В самом начале моей лекции я хотела бы обратить ваше внимание на следующее. При решении логарифмических уравнений применяют преобразования, которые не приводят к потере корней, но могут привести к приобретению посторонних корней. Поэтому проверка каждого из полученных корней обязательна, если нет уверенности в равносильности уравнений. Здесь возможны два подхода:

Проверка путём подстановки полученных решений в исходное уравнение.

Нахождение области допустимых значений уравнения (ОДЗ). Тогда корнями могут быть только те числа, которые принадлежат этой области.

В своей лекции я буду использовать оба этих подхода, а ваше право уже самим выбирать, какой лично вам больше нравится. Следует отметить, что при решении логарифмических неравенств возможен только один из них: ОДЗ!

Основные методы решения логарифмических уравнений.

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма.

Определение логарифма: Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b. Т. е.

Таким образом, применяя его к нашей теме, мы получим следующее:

Число 16 удовлетворяет ОДЗ, значит 16 – корень исходного уравнения.

Проверка: - верно, значит число 4 – корень исходного уравнения.

По определению логарифма значит

А сейчас мы рассмотрим пример, в котором в основании логарифма уже не число, а выражение, содержащее переменную. Т. е. уравнение будет иметь вид при этом Хочу отметить особо, что рассуждения НЕ ИЗМЕНИЛИСЬ!

С учётом ОДЗ получим, что решением данного уравнения является число 2.

Как мы видим, наличие выражения с переменной в основании влияет лишь на ОДЗ, а не на ход рассуждений. Кроме того, данное уравнение можно решать, не прибегая к нахождению ОДЗ, а просто в конце выполнить проверку.

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их.

Значит, только число 1 является решением исходного уравнения.

Если же в основании – выражение с переменной, то рассуждения не меняем! В этом случае уравнение будет иметь вид

И пример такого уравнения можно разобрать на предыдущем примере 5.

Значит, только число 1 является решением исходного уравнения.

ОДЗ для данного уравнения выглядит следующим образом:

Мы видим, что в этом уравнении рациональнее выполнить проверку, а не искать ОДЗ. Но ещё раз повторюсь, что при решении неравенств ОДЗ находить придётся ОБЯЗАТЕЛЬНО.

Рассмотрим пример, который, на первый взгляд, не может относиться к данному типу уравнений.

Сделаем замену , получим воспользовавшись свойством логарифма (сумма логарифмов равна логарифму произведения подлогарифмических выражений: ), получим уравнение которое в свою очередь замечательно решается методом потенцирования, т.е. А это линейное уравнение, решив которое, получим

Замечу, что часто перед применением какого-либо метода решений, необходимо преобразовать уравнение, применив различные свойства логарифмов. Предыдущий пример, тому подтверждение.

Данный метод мы достаточно часто встречаем в математике, вспомните тригонометрические или показательные уравнения. Поэтому применение его при решении логарифмических уравнений я вам покажу на примере.

В этом уравнении рациональней найти ОДЗ:

Пусть , тогда уравнение примет вид

Значит или . А это уравнения, которые мы решим, используя определение: 1)

Мы видим, что оба корня удовлетворяют ОДЗ, значит оба числа являются решениями исходного уравнения.

Если в основании логарифма лежит выражение с переменной, то уравнение в общем виде будет выглядеть следующим образом:

И опять, вы сами выбираете: ОДЗ или проверка.

Приведём логарифмы к одному основанию – 7, пользуясь свойством перехода к новому основанию , получим:

, выполним подстановку , получим уравнение

Оба числа удовлетворяют ОДЗ.

Данный метод является “обратным” методу потенцирования, т. е. мы от уравнения без логарифмов переходим к уравнению, их содержащему.

Этот метод обычно используется, если в уравнении есть показательные функции, логарифмы – в показателе. Рассмотрим этот метод на примере.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

а теперь воспользуемся свойством логарифмов , получим

Выполним подстановку , получим уравнение

Оба числа удовлетворяют ОДЗ.

Этот пример показывает, что при решении логарифмических уравнений, возможна комбинация нескольких методов. А значит необходимо уметь пользоваться каждым из них. Научиться этому – теперь ваша задача.

На основании определения логарифма.
Метод потенцирования.
Метод постановки.
Метод логарифмирования.

Главным, по моему мнению, является метод, основанный на определении логарифма. Практически в каждом их других методов происходит “выход” на него. Кроме того, на примерах мы увидели, что все методы взаимосвязаны, в “чистом” виде при решении уравнений не используется ни один из них. Поэтому вам необходимо уметь пользоваться КАЖДЫМ!

№ п/п	Уравнения	Комментарии (даётся для слабых учащихся)
1	Пользуясь определением
2	Пользуясь определением
3	Потенциирование
4	Потенциирование
5	Потенциирование
6	Потенциирование
7	Применить свойства логарифмов и затем потенциировать
8	Применить свойства логарифмов и затем потенциировать
9	Пользуясь определением
10	Пользуясь определением, выход на показательное уравнение
11	Показательное уравнение, выход на логарифмическое

Замечание: домашнее задание распечатано на листах для каждого ученика.

Число a b называется степенью с основанием a и показателем b.

Содержание

Натуральная степень

$c = \begin Число с называется n-ной степенью числа а, если \underbrace < a \cdot a\cdot . \cdot a >\\ n \end$
.

Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

Целая степень

Рациональная степень

$a^<p\over q> По определению, = \sqrt[q], \quad p \in \mathbb\ , q \in \mathbb\$

Действительная степень

$a\geqslant 0$

Пусть .

$a^p < \;a^r< \;a^q$

В школе действительную функцию вводят, используя тот факт, что между любыми двумя рациональными числами существует иррациональное, а между любыми двумя иррациональными — рациональное. Тогда , где p , | p − q | , где ε — погрешность вычисления. Таким образом, для любого иррационального числа r подбираются два рациональных p и q с необходимой степенью точности и любое число между a p и a q принимается за ответ.

Другой подход основан на теории рядов и логарифмов. (см. определение комплексной степени)

Потенцирование

Потенцирование — это нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения:

$\log_a~x = b$

Из определения логарифма вытекает, что x = a b . Таким образом, потенцирование означает возведение основания логарифма в степень, равную значению логарифма. Например, если десятичный логарифм числа равен L , то искомое число равно 10 L .

Комплексная степень

Определим некоторые функции:

=\int\limits_1^x> " width="" height="" />
^x=\ln^ " width="" height="" />

теперь для вычисления a z можно использовать свойства степеней и логарифмов:

$a^z = \mathbf<e> ^<z\ln>$

Степень как функция

Поскольку в выражении x y принимает участие две переменных, то его можно рассматривать как:

функцию переменной x (при этом y — параметр). Такая функция называется степенной. Это — частный случай полиномиальной функции.
функцию переменной y (при этом x — параметр). Такая функция называется показательной. Её частный случай — экспонента.
функцию двух переменных.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Потенцирование (математика)" в других словарях:

Потенцирование (Математика) — Потенцирование (в математике) ( de. Potenzieren, от Potenz степень) действие, заключающееся в нахождении числа по данному логарифму. Другими словами, это действие, обратное логарифмированию … Википедия

Возведение в степень — Возведение в степень бинарная операция, первоначально происходящая из многократного умножения натурального числа на самого себя. Обозначение: называ … Википедия

Показатель степени — Число ab называется степенью с основанием a и показателем b. Содержание 1 Натуральная степень 2 Целая степень 3 Рациональная степень … Википедия

Логарифм — График двоичного логарифма Логарифм числа … Википедия

Логарифмическая линейка — Логарифмическая линейка, Счётная линейка аналоговое вычислительное устройство, позволяющее выполнять несколько математических операций, в том числе умножение и деление чисел, возведение в степень (чаще всего в квадрат и куб) и вычисление… … Википедия

Десятичные логарифмы — Рис. 1. Графики логарифмических функций Логарифм числа b по основанию a определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b. Обозначение: . Из определения следует, что записи и ax = b равносильны. Пример … Википедия

Комплексные логарифмы — Рис. 1. Графики логарифмических функций Логарифм числа b по основанию a определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b. Обозначение: . Из определения следует, что записи и ax = b равносильны. Пример … Википедия

Логарифмическая таблица — Рис. 1. Графики логарифмических функций Логарифм числа b по основанию a определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b. Обозначение: . Из определения следует, что записи и ax = b равносильны. Пример … Википедия

Логарифмическая функция — Рис. 1. Графики логарифмических функций Логарифм числа b по основанию a определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b. Обозначение: . Из определения следует, что записи и ax = b равносильны. Пример … Википедия

Свойства логарифмов

Логарифмирование и потенцирование

, после чего просто убираем логарифмы и модули заодно:

Такие действия выполняют при решении некоторых дифференциальных уравнений

Логарифмическая функция и её график

Уравнения и неравенства с логарифмами

ну и давайте что-нибудь посодержательнее:

С геометрической точки зрения это означает, что график функции пересекает график (ось ) в точке .
И, конечно, проверка – подставим в левую часть исходного уравнения:
– в результате получена правая часть, ОК.
Уравнение вида тоже разрешимо из естественных соображений: логарифмы с одинаковыми основаниями равны, если , при этом корни должны быть ТАКИМИ, чтобы для них выполнялись условия . Так, для решения уравнения потенцируем обе части:
, откуда получаем корень , после чего обязательно подставляем его в исходное уравнение: – верное равенство.
А теперь рассмотрим такое уравнение: , где после избавления от логарифмов всё вроде бы хорошо: , однако корнями эти значения не являются, т.к. не входят в область определения логарифмов.

Задание 8

а) Решить графически:
б) Определить количество действительных корней уравнения
в) Почему уравнение мы можем сократить на два, но на два нельзя сокращать правую часть ? Пояснить аналитически и геометрически
г) Вычислить или упростить:
, пожалуй, хватит, а то уже извращение какое-то пошло :)
д) Решить аналитически:
и для особых любителей пример посложнее: .

Определение. Потенцированием называется нахождение чисел (выражения) по заданному логарифму числа (выражения).

Пропотенцировать выражение и найти x .

1) lg x = lg 2 + lg m + lg n

Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения:

2) lg x = 5 lg a - 7 lg b

Используем правила, обратные логарифму степени и частного:

lg x = lg a 5 - lg b 7 = ln a 5 b 7

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Читайте также: