Как сделать полярную систему координат
Обновлено: 07.07.2024
Человеку всегда было важно понять свое место в окружающем мире. Причем не только в пространстве, но и во времени, и в социуме. Оставим в стороне время и социум, это тема отдельного большого разговора.
Сосредоточимся на пространстве. Как определить свое местоположение, местоположение других людей и окружающих предметов? И, что даже более важно, как сообщить это местоположение другим?
Этюд о координатах
В современной терминологии, ориентир и набор условий, которые определяют его использование, называют системой координат. А сами координаты определяют положение объекта в этой системе.
Развитие мореплавания, астрономии, геометрии, других наук, потребовало более точного и единообразного способа задания координат объектов. Давайте повнимательнее посмотрим на некоторые системы координат, их применение, изменение, и взаимосвязь между ними. В этой статье, как всегда, будет математика, но почти не будет физики.
Одномерная система координат
Но для любителей точности могу сказать, что так как точка делит прямую на два луча, то направление одного из них можно принять за положительное, а другого за отрицательное. Направление положительного луча обозначим стрелкой, а направление отрицательного ничем не будет обозначаться.
Точка, разделившая прямую на два координатных луча, относительно которой указывают местоположение (координаты) других точек, точно так же называется началом координат.
Несмотря на простоту эта система координат применяется достаточно широко. Посмотрите на обычную линейку. Посмотрите на градусник. И это лишь простейшие примеры того, где она применяется.
Двумерная прямоугольная система координат. Декартова система координат
Пока все просто, совсем как в школьных учебниках. Теперь координаты точки на плоскости задаются парой чисел. Точка А имеет координаты (Xа,Ya), а точка Б (Хб,-Yб). Координата Х называется абсциссой, а Y ординатой. Расстояние между точками А и Б, или длина отрезка АБ, теперь определяется гораздо сложнее
Откуда взялась эта формула? Если бы отрезок АВ был параллелен оси Х, то его длина была бы равна Хв-Ха, точно так же, как в одномерной системе координат. А если он будет параллелен оси Y, то Yb-Ya. Но у нас отрезок координатным осям не параллелен. А теперь посмотрите на эту же иллюстрацию под несколько другим углом
Видите прямоугольный треугольник? Да, мы опять встретили старого знакомого. И наш отрезок это гипотенуза треугольника. Если вспомнить, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то приведенная выше формула становится совершенно очевидной и понятной.
В декартовой системе координат можно задавать не только точки, но и произвольные плоские кривые (мы пока говорим о плоскости). Кривые задаются функциями определяющими зависимость между X и Y. Вот примеры нескольких, хорошо знакомых вам, еще со школы, кривых
Пока ничего особо интересного не было. До сих пор мы не выходили за пределы школьного учебника, но сейчас сделаем небольшой, совсем небольшой, шаг в сторону аналитической геометрии. Не пугайтесь, для понимания будет достаточно знаний геометрии и тригонометрии в рамках школьной программы.
Иногда нужно сменить систему координат, например, для упрощения расчетов. Так координаты вазы на столе можно отсчитывать от угла комнаты, а можно от угла стола. И тут у нас возникает вопрос, а как же изменятся координаты? Другими словами, нам нужны правила преобразования координат между двумя системами координат.
Сначала рассмотрим простейший пример переноса точки начала координат из точки О в точку О1. При этом у нас координатные оси новой системы координат будут параллельны координатным осям старой системы координат
Тут все просто, простейшая арифметика. Мы сдвинули точку начала координат O(0,0) в точку O1(dx,dy). При этом, в новой системе координат точка О1 будет иметь координаты (0,0). Преобразование координат между старой и новой системами будет таким
Но мы можем не только перенести начало координат, но и повернуть новую систему координат.
В этом случае преобразование координат будет сложнее. Я не буду приводить полный вывод формул преобразования координат, что бы излишне не усложнять статью, но покажу, откуда они берутся. Для этого рассмотрим упрощенный случай поворота системы координат без переноса ее начала
Поворот системы координат вокруг своего начала на угол α против часовой стрелки эквивалентен повороту точки А вокруг начала координат на тот же угол, но уже по часовой стрелке. Мы видим два прямоугольных треугольника. Если связать изменение абсциссы и ординаты точки А с углом поворота и добавить сдвиг начала координат, то получим вот такие формулы преобразования
Те, кто знаком с аналитической геометрией, без сомнения, узнали эти формулы. А остальные теперь узнали, откуда они взялись и могут просто применять их, если потребуется.
Давайте вернемся в рамки школьной программы. Кроме замены системы координат возможен и более простой случай преобразования координат. Я говорю об изменении масштаба по осям. По другому это можно назвать деформацией.
Масштаб по осям Х и Y может быть разным. При этом точка начала координат остается на месте. Я не буду приводить формулы преобразований, настолько они просты. Все преобразование будет сводиться к умножению, или делению, на коэффициент масштабирования.
Безусловно, возможно и одновременное выполнение переноса центра координат с поворотом и масштабированием.
Двумерные системы координат. Общий случай
Рассмотрение подобных систем координат выходит далеко за рамки статьи, поэтому я ограничусь лишь этим примером.
Трехмерная декартова система координат
А если мы перейдем в более привычный нам трехмерный мир? К системе координат добавится ось Z. Теперь у нас Х это ширина, Y это высота, а Z это глубина пространства. Если воспользоваться обычным языком, а не математическим. Координата Z называется аппликатой
При этом с направлением оси Z могут быть варианты. Она может идти от нас, как показано на рисунке, или к нам. Это не меняет саму суть системы, но влияет на знак координаты z. Иногда говорят о правосторонней и левосторонней системах координат.
На рисунке я изобразил левостороннюю. Если бы ось Z шла к нам, то система была бы правосторонней. Точки Ayoz, Axoz и Axoy, на рисунке, являются проекциями точки А на соответствующую координатную плоскость.
С трехмерной декартовой системой координат возможны те же самые преобразования, которые мы рассматривали для двумерной. Но сами формулы будут гораздо сложнее и я не буду их приводить. При желании, их можно найти в учебниках аналитической геометрии.
Полярная система координат
Вы же не считаете, что, например, дерево расположено от вас в 5 шагах точно направо и 8 шагах точно вперед? Гораздо привычнее сказать, что дерево впереди и немного правее вас и расстояние до него шагов 10.
Этого мало? Посмотрите, например, на свою руку. Она имеет несколько центров вращения — плечо, локоть. И длина костей руки неизменна. Посмотрите на промышленных роботов, например, работающих на сборке автомобиля. Та же самая картина, несколько центров вращения (называемых осями) и сегменты неизменной длины.
Так не проще ли задавать координаты в виде угла поворота относительно центра вращения и расстояния от центра вращения до точки? Пилоты самолетов примерно этим и пользуются. Например, другой самолет на 10 часах и в 100 метрах означает, что он впереди и левее на 60 градусов, а расстояние до него 100 метров.
В математике такая система координат называется полярной. Вместо расстояний по осям в ней задается расстояние от полюса, центра координат, и угол, отсчитываемый против часовой стрелки, от полярной оси.
В полярной системе координаты точки А будут (r,φ). Выглядит непривычно? Между тем, полярная система координат, хоть и менее распространена, чем декартова, среди не математиков, находит широкое применение.
При этом надо отметить, что угол φ обычно лежит в пределах от 0 до 180 градусов. Или, что тоже самое, от 0 до π. Если угол больше 180 градусов, то меняют на угол противоположного знака (отсчет не против, а по часовой стрелке). Уравнениях некоторых кривых в этой системе выглядят проще, чем в декартовой
Да, уравнение окружности, центр которой не расположен в полюсе, выглядит сложноватым. Зато уравнение окружности с центром в полюсе очень простое. А мы ведь всегда можем сменить систему координат перенеся полюс. Прямая линия в полярной системе задается через нормаль, а не двумя точками, но само уравнение достаточно простое.
Кроме механики, я уже говорил о движениях роботов, полярная система находит применение и для работы с комплексными числами. А значит, широко применяется, например, в электротехнике и электронике (помните угол сдвига фазы?). Может использоваться и для векторных вычислений.
Я не буду рассматривать преобразования (сдвиги и вращения) для полярной системы координат. Те, кто в таких преобразованиях нуждаются, аналитическую геометрию и так знают. А для остальных это будет не слишком интересно, Но покажу, как она связана с ранее описанной декартовой системой координат. Да, это опять будут прямоугольные треугольники
Теперь мы можем выразить угол через отношение катетов, то есть координат точки А. А длину вектора r определить через теорему Пифагора. Точно так же легко выполняется и обратное преобразование.
Но давайте посмотрим на эти формулы внимательнее, нет ли тут скрытых проблем? А они есть! Что если наша точка лежит на одной из координатных осей? Увидели? Я специально выделил это красным. Это показывает, что нельзя бездумно применять формулы. Поэтому угол φ обычно вычисляют по другим формулам
И я упустил из виду, что области значений arcsin и arccos не охватывают всего диапазона от 0 до 360 градусов, так как при этом возникает неоднозначность. Таким образом, использование arcsin и arccos требует отдельного учета знака декартовых координат (номера квадранта), что наоборот усложняет их использование.
И я не указал этой особенности. Спасибо Трушину Виктору, который заметил эту оплошность в х. Это не решает проблему полностью, так как остается еще точка лежащая в начале координат. Но это особый случай, так как эта точка является полюсом. Для полюса невозможно указать угол φ, но сам полюс вполне однозначно определяется условием r=0.
Полярная система координат в пространстве
А что насчет полярной системы координат в трех измерениях? А вот тут возможны варианты. Во первых, мы можем провести ось из полюса перпендикулярную нашей плоскости и отсчитывать дополнительную координату по этой оси. Это даст нам цилиндрическую систему координат
Я уже признавался, что художник из меня плохой, поэтому привожу иллюстрацию из учебника аналитической геометрии кафедры математики физического факультета МГУ.
В цилиндрической системе координат координаты точки М будут (ρ,φ,z).
Но мы может указывать дополнительную координату и как угол к этой оси. Что дает нам сферическую систему координат.
Иллюстрация из учебника кафедры математики физфака МГУ
В этой системе координат точка М будет иметь координаты (r,φ,Θ).
Обратите внимание, что цилиндрическая и сферическая системы координат различаются лишь способом задания и записи координат. Сами системы определяются идентично — плоскостью, в которой лежит полюс и задается угол φ, и ортогональной это плоскости осью.
Я не буду приводить формулы для преобразования между Декартовой трехмерной системой координат и полярными трехмерными системами координат. Что бы не перегружать и не усложнять статью. Желающие могут найти их в учебниках аналитической геометрии.
Заключение
Пожалуй, на этом я остановлюсь. Я не затронул многие другие системы координат. В астрономии используют топоцентрическую, экваториальные, эклиптическую и галактическую системы координат. Координаты объектов на поверхности земного шара (и глобусе) определяются в географической системе координат.
Думаю, все слышали про параллели и меридианы, широту и долготу. Существует геодезическая система координат, учитывающая форму Земли. Есть астрономическая система координат позволяющая определить координаты объектов на поверхности Земли по положению звезд.
Этой системой координат пользовались, например, моряки в своих плаваньях к неизвестным берегам. Эта статья не учебник, это небольшой, и сильно упрощенный, безусловно, далеко не полный, обзор некоторых систем координат использующихся в математике и физике.
И рассчитана она не на корифеев математики, а на интересующихся математикой и физикой обычных людей. Для кого то она слишком проста, для кого то слишком сложна. Ее цель заинтересовать.
1. Определение полярных координат. Понятие угла наклона вектора к данной оси находит постоянные применения в геометрии плоскости. Одним из важнейших среди них является определение полярных координат.
Для определения системы полярных координат на плоскости надо задать:
1° Масштаб (т. е. единицу измерения длины).
2° Направление вращения в плоскости, считаемое положительным.
4° Полупрямую , исходящую из точки О (рис. 54) (эта полупрямая называется полярной осью).
Положительное направление на полупрямой задается вектором ОЕ (где Е — любая ее точка, отличная от точки О).
Если таким образом выбрана полярная система координат, то для каждой точки М (рис. 55) плоскости определены ее полярные координаты, а именно:
1) угол наклона вектора ОМ к полярной оси (т. е. угол от вектора ОЕ до вектора СМ);
2) расстояние точки М от начала О (т. е. длина вектора ОМ).
Угол называется полярным углом точки М или первой полярной координатой этой точки. Полярный угол определен для всех
точек М плоскости (и заключен между 0 и ), за единственным исключением точки О, для которой он делается неопределенным. Число называется полярным радиусом или второй полярной координатой точки М. Полярный радиус любой точки М, отличной от О, положителен; для точки О он равен нулю.
Иногда бывает целесообразно считать полярный угол точки определенным лишь с точностью до слагаемых вида , где k — любое целое число, т. е. считать наряду с данным и всякое число за значение полярного угла: если дано произвольное положительное и произвольное не ограниченное никаким дополнительным условием действительное число , то, взяв на полярной оси вектор ОА длины и повернув его в положительном направлении вокруг точки О на угол , получим вектор ОМ, конец которого будет иметь полярные координаты .
Точку М, полярные координаты которой равны данным , будем обозначать так: .
Пример. Пусть . Будем давать углу всевозможные значения . Множество всех точек с полярными координатами (т. е. множество всех точек , где пробегает все значения (рис. ) образует кривую, называемую спиралью Архимеда.
которому удовлетворяют полярные координаты любой точки М спирали Архимеда, называется уравнением, этой кривой в полярных координатах.
2. Связь прямоугольных координат с полярными. Если на плоскости дана полярная система координат, то этим определена и некоторая прямоугольная система координат: за масштаб и начало координат в этой прямоугольной системе берем масштаб и начало полярной системы; полярную полуось объявляем положительной полуосью абсцисс. Таким образом определена ось абсцисс (вместе с ее направлением).
Так как в определение полярной системы входит и направление положительного вращения плоскости, то мы можем определить ординат как ту ось, в которую перейдет ось абсцисс при повороте ее на угол в положительном направлении.
Полученную таким образом прямоугольную систему координат будем называть системой, определенной данной полярной системой (рис. 57).
Обратно, если дана какая-нибудь прямоугольная система координат, то однозначно определяем полярную систему, сохраняя в ней масштаб и начало данной прямоугольной системы и полярная полуось созпадала с положительной полуосью абсцисс, а положительное направление вращения было тем вращением, которое переводит ось абсцисс в ось ординат поворотом на угол . Очевидно, если мы для полученной таким образом полярной системы координат построим определенную ею прямоугольную, то вернемся к исходной прямоугольной системе.
Итак, каждой полярной системе координат соответствует вполне определенная прямоугольная система, и обратно.
Посмотрим, как связаны между собою координаты х, у и какой-нибудь точки М плоскости в обеих системах.
Имеем очевидные формулы:
Они позволяют перейти от полярных координат точки М к прямоугольным. Но они же позволяют произвести и обратный переход по формулам:
Из двух последних равенств (2) вытекает
Но формула (3) позволяет определить угол лишь с точностью до слагаемых вида при целом .
3. Примеры. Дадим еще несколько примеров кривых, заданных их уравнениями в полярных координатах.
1° Гиперболическая спираль определяется как множество всех точек М, полярные координаты которых связаны между собою уравнением
где — положительная постоянная, а полярный угол пробегает все положительные значения. Начав исследование уравнения (4) с какого-нибудь положительного значения и заставляя возрастать, видим, что полярный радиус точки , монотонно уменьшаясь, стремится к нулю при неограниченном возрастании , так что кривая, совершая бесконечное число оборотов, неограниченно приближается к началу О, никогда его, однако, не достигая.
Если мы теперь, начиная с данного , будем давать углу монотонно Убывающие значения, то будет неограниченно возрастать. Для того чтобы понять, как при этом убывании и возрастании будет изменяться положение точки , воспользуемся второй из формул (1), а именно:
Подставляя сюда значение получаем
откуда видно, что при , стремящемся к нулю, ордината точки у стремится к а, так что кривая при возрастании уходит в бесконечность, неограниченно приближаясь к прямой . Это обстоятельство выражают, говоря, что прямая является асимптотой гиперболической спирали (4).
Произведенное исследование показывает, что гиперболическая спираль имеет , указанный на рис. 58.
2° Логарифмическая спираль. Она определяется как совокупность точек , полярные координаты которых удовлетворяют уравнению
Примем за положительное направление вращения направление против часовой стрелки. При получаем точку . При возрастании возрастает и (в частности, когда возрастает на , то полярный радиус умножается на , спираль быстро
Общий вид логарифмической спирали дан на рис. 59.
Среди многочисленных замечательных свойств логарифмических спиралей отметим следующее: две подобные между собою логарифмические спирали конгруэнтны (т. е. могут быть совмещены посредством движения). Мы докажем важнейший частный случай этой теоремы, а именно следующий.
Пусть логарифмическая спираль дана своим уравнением
в определенной полярной системе координат. При растяжении (гомотетии) плоскости с центром в начале координат О и коэффициентом растяжения эта спираль переходит в ту же спираль, но повернутую на угол —с, где
В самом деле, при нашем растяжении каждая точка
переходит в точку
В частности, точка перейдет в точку . Значит, множество точек, удовлетворяющих уравнению
переходит в множество точек, удовлетворяющих уравнению
Другими словами, растянутая с коэффициентом растяжения k логарифмическая спираль имеет своим уравнением в полярных координатах уравнение
При повороте на угол —с точка переходит в точку . Значит, если точка удовлетворяла уравнению (5), то после поворота она перейдет в точку , удовлетворяющую уравнению
Это и будет уравнение нашей спирали, повернутой на угол —с; мы видим, что она совпадает с уравнением спирали, растянутой с коэффициентом растяжения k. Теорема доказана.
Замечание. Мы рассмотрели лишь случай читателю предлагается разобрать логарифмическую спираль при положительном При логарифмическая спираль, очевидно, превращается в окружность.
3° Кривая, уравнение которой в полярных координатах есть
На плоскости, кроме декартовой прямоугольной системы координат, используют также полярную систему координат. Это связано с тем, что сложность уравнений кривых зависит от системы координат, в которой они представляются. Поэтому при удачном выборе системы координат можно существенно упростить решение той или иной задачи.
Уравнение окружности радиуса $R$ с центром в начале координат в декартовой системе координат имеет вид: $x^ +y^ =R^ $. Уравнение той же окружности в полярной системе координат: $\rho =R$.
Полярная система координат вводится следующим образом. На плоскости вибираем некоторую точку $O$, которая называется полюсом. Из этой точки проводим луч $Ox$, который называется полярной осью. Выбираем линейный масштаб для измерения длин отрезков. Для измерения углов выбираем или градусную, или радианную меру.
Положение точки $M$ на плоскости определяют два числа: число $\rho $ -- расстояние точки $M$ от полюса (полярный радиус $OM$), а также число $\phi $ -- угол, образованный полярным радиусом с полярной осью (полярный угол). Положительным направлением отсчета угла $\phi $ считается направление против часовой стрелки.
Числа $\rho $ и $\phi $ называются полярными координатами точки $M\left(\rho ,\; \phi \right)$. При этом полярный радиус $\rho \ge 0$, а полярный угол $0\le \phi
Связь между прямоугольными и полярными координатами
Между полярными и декартовыми прямоугольными координатами точки $M$ можно установить связь. Для этого нужно совместить полюс и полярную ось с началом и положительным направлением оси $Ox$ прямоугольной системы координат.
Из треугольника $OMM_ $ получаем следующие формулы связи:
- для заданных полярных координат $\rho $ и $\phi $ декартовы координаты $x$ и $y$ вычисляются по формулам $x=\rho \cdot \cos \phi $ и $y=\rho \cdot \sin \phi $;
- для заданных декартовых координат $x$ и $y$ полярные координаты $\rho $ и $\phi $ вычисляются по формулам $\rho =\sqrt +y^ > $ и $\phi =Arctg\frac$.
Обратная тригонометрическая функция $\phi =Arctg\frac $ многозначна, поэтому при практических вычислениях пользуются главным значением $ - \frac <\pi >
Общая формула имеет вид:
\[\phi =\left\ \; \; при \; x>0,\; y>0> \\ <\pi +arctg\frac
Некоторые важнейшие кривые
При построении графиков в полярных координатах с помощью средств MS Excel имеются некоторые особенности.
График в MS Excel может быть построен, если функция однозначна и задана в декартовой прямоугольной системе координат.
Для построения графика циссоиды $y^ =\frac > $ следует использовать уравнения $y=+\sqrt <\frac> > $ и $y=-\sqrt <\frac> > $.
При построении графика строфоиды поступаем аналогично.
Для построения графиков кардиоиды и лемнискаты такой прием не подходит, так как разрешить их уравнения в декартовой прямоугольной системе координат относительно $y$ невозможно.
Поэтому рекомендуется использовать уравнения этих кривых в полярных координатах по следующей схеме: задать значение угла $\phi $ в градусах (так удобнее), перевести это значение в радианы, в соответствии с уравнением кривой вычислить значение $\rho $, вычислить декартовы координаты $x$ и $y$ по формулам $x=\rho \cdot \cos \phi $ и $y=\rho \cdot \sin \phi $. Теперь можно строить график обычным образом.
Автор:
Для указания точек при создании объектов можно вводить абсолютные и относительные полярные координаты.
Чтобы воспользоваться полярными координатами для задания точки, введите значения расстояния и угла, отделяемые друг от друга символом угловой скобки (<).
По умолчанию в AutoCAD возрастание величин углов происходит при движении против часовой стрелки. Чтобы указать направление по часовой стрелке, введите отрицательное значение для угла. Например, введенные значения 1 эквивалентны точке со значениями 1. Порядок угловых измерений можно изменять с помощью команды ЕДИНИЦЫ.
Абсолютные полярные координаты
Абсолютные полярные координаты измеряются от исходной точки ПСК (0,0), которая является пересечением осей X и Y. Абсолютные полярные координаты используются в том случае, когда известны точные координаты точки, выраженные линейными и угловыми единицами.
Следующий пример иллюстрирует построение двух отрезков в абсолютных полярных координатах с использованием текущего направления отсчета углов. Введите в подсказке следующее:
Команда: отрезок
Относительные полярные координаты
Относительные координаты отсчитываются относительно последней введенной точки. Относительные декартовы координаты применяются, если известны значения смещений координат точки относительно предыдущей точки.
Для обозначения относительных координат используется знак @ перед числовыми значениями. Например, чтобы указать точку, удаленную от последней заданной точки на 1 единицу и находящуюся под углом 45 градусов от оси X, необходимо ввести @1.
Следующий пример иллюстрирует построение двух отрезков в относительных полярных координатах. В каждой иллюстрации отрезок начинается в местоположении, обозначенном как предыдущая точка.
Читайте также: