Как сделать площадь треугольника 4 класс

Обновлено: 03.07.2024

Формулы вычисления площади квадрата и прямоугольника известны ещё из младших классов школы. Сегодня мы научимся вычислять площадь других многоугольников – треугольников, параллелограммов, трапеций.

План урока:

Площадь прямоугольного треугольника

Пусть в прямоугольном треугольнике известны два его катета. Обозначим их буквами а и b. Как тогда вычислить площадь такого треуг-ка?

Прямоугольный треугольник можно достроить до прямоугольника:

Площадь получившегося прямоугольника равна произведению чисел а и b. С другой стороны, прямоугольник состоит из двух треуг-ков площадью S, поэтому его общая площадь составляет 2S. Тогда можно записать, что

Задание. Катеты прямоугольного треугольника имеют длины 3 и 4. Определите его площадь.

Решение. Просто подставляем в формулу вместе букв a и b числа 3 и 4:

Задание. Площадь прямоугольного треугольника равна 100, а один катет больше другого вдвое. Найдите оба катета.

Решение. Пусть меньший катет равен х, тогда больший катет будет равен 2х. Выразим площадь прямоугольного треугольника через х:

Естественно, нас интересует только положительный корень, а отрицательный можно отбросить:

Меньший катет оказался равным 10, тогда больший катет, который вдвое больше, будет равен 20.

Задание. Найдите площадь фигуры, показанной на рисунке. Сторона каждой клеточки имеет длину, равную единице:

Решение. Эту фигуру можно разбить на квадрат со стороной 8 и два прямоугольных треуг-ка, то есть всего на три фигуры:

Подсчитаем площадь каждой из трех фигур по отдельности:

Чтобы найти площадь всей фигуры, достаточно просто сложить три полученных числа:

Задание. Вычислите площадь треуг-ка, изображенного на рисунке (площадь каждой отдельной клеточки составляет единицу):

Решение. Здесь проблема заключается в том, что треуг-к прямоугольным не является. Однако можно построить прямоуг-к, который будет состоять сразу из 4 треуг-ков:

Мы можем найти как площадь всего прямоугольника (обозначим ее как S), так и площади трех прямоугольных треуг-ков S₁, S₂ и S₃:

Площадь произвольного треугольника

Перейдем к более сложному случаю, когда необходимо подсчитать площадь произвольного треугольника, не являющегося прямоугольным. Предположим, надо найти площадь произвольного ∆АВС. Опустим из А на сторону ВС высоту АН:

В результате мы получили два прямоугольных треуг-ка, ∆АВН и ∆АCН. Мы уже знаем, как найти их площади:

Общая площадь всего ∆АВС равна сумме площадей ∆АВН и ∆АСН. Запишем ее и вынесем общий множитель АН/2 за скобки:

В скобках стоит сумма ВН + НС. Но ведь эта сумма равна длине стороны ВС! Тогда окончательно формулу можно записать в виде:

Получили, что для вычисления площади произвольного треугольника надо сначала умножить его высоту на сторону, на которую она падает, а далее поделить результат на 2. Однако для полного доказательства этого факта надо рассмотреть особый случай, когда высота в треуг-ке падает не на сторону, а на ее продолжение (такая ситуация возникает в тупоугольном треуг-ке):

На рисунке снова получились всё те же прямоугольные треуг-ки ∆АСН и ∆АВН. Запишем формулы их площади:

Отличие в том, что на этот раз площадь АВС можно вычислить не как сумму, а как разницу этих площадей:

Итак, можно сформулировать следующее правило:

Примечание. Часто сторону, на которую опущена высота, называют основанием треуг-ка.

Задание. Вычислите площадь ∆АВС, если сторона АВ имеет длину 7, а высота СН равна 4.

Решение. В данной задаче на сторону длиной 7 падает высота длиной 4. Надо просто подставить эти числа в формулу:

Задание. Докажите, что медиана треуг-ка разбивает его на два равновеликих треуг-ка.

Пусть в ∆АВС проведена медиана СМ. Требуется доказать, что

Важно заметить, что СН будет являться высотой не только для ∆АВС, но также и для ∆СВМ и ∆САМ. Обозначим СН как h, а АВ как а. Тогда мы можем найти длины отрезков ВМ и АМ, ведь медиана делит сторону АВ пополам:

Получили одно и то же значение, то есть площади треуг-ков равны.

В рассмотренной задаче мы использовали тот факт, что у нескольких треуг-ков может быть общая высота. Общая высота используется и в многих других геометрических задачах.

Задание. Предложите способ, как разделить треуг-к, показанный на рисунке, на три равновеликих треуг-ка:

Чтобы треуг-ки были равновелики, достаточно, чтобы у них была общая высота, а основания, на которые эта высота падает, были бы равны друг другу. Поэтому можно просто поделить нижнюю сторону на три одинаковых отрезка (длиной по 7 клеток) и соединить концы полученных отрезков с противоположной вершиной:

Красной линией здесь показаны границы треуг-ков, а штриховой – их общая высота СН. Вычислить площадь каждого из треуг-ков можно по следующим формулам:

Но отрезки BD, DE и EA одинаковы (по 7 клеточек), поэтому одинаковы будут и площади:

Заметим, что необязательно делить на три одинаковых отрезка именно нижнюю сторону. Допустимы и два других варианта решения:

Но и это не единственные решения задачи. Попробуйте самостоятельно предложить ещё несколько вариантов.

Формула площади треуг-ка показывает, что между длинами высот и сторон есть взаимосвязь.

Задание.В ∆РЕТ РЕ = 72, ЕТ = 45. Высота ТН имеет длину 40. Найдите высоту РМ.

Зная ТН и РЕ, мы сможем найти площадь треуг-ка:

Теперь запишем эту формулу площади в ином виде, когда используется высота МР и сторона ЕТ

Величину S_РЕТ мы только что вычислили, а длина ЕТ известна из условия, поэтому можно подставить их в формулу:

Площадь параллелограмма

На рисунке синим показаны высоты параллелограмма, а красным цветом отмечены продолжения оснований. Оказывается, что площадь параллелограмма равна произведению его высоты и основания, на которую она опущена. Докажем это.

Опустим в параллелограмме АВСD высоты ВН и СК:

В результате получили четырехуг-к ВНКС, который является прямоугольником, ведь все его углы прямые. Очевидно, что ∆АВН и ∆DCK равные. Это можно доказать тем, что они являются прямоугольными, у них есть одинаковые гипотенузы АВ и CD (они равны как противоположные стороны параллелограмма) и одинаковые катеты ВН и СК (это уже противоположные стороны прямоугольника ВНКС).

Раз они равны, то одинаковы и их площади:

Но величину S₃ можно заменить на S₂. В свою очередь полученная сумма равна площади прямоугольника ВНКС, которая может быть вычислена как произведение его смежных сторон:

Но ВН – это высота, а НК – основание параллелограмма. То есть мы доказали следующее утверждение:

Задание. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке:

Решение. По рисунке несложно определить длину как основания, так и высоты параллелограмма:

Далее надо просто перемножить эти длины:

Примечание. Конечно, если вы вдруг забыли формулу площади параллелограмма, можно просто разделить его на прямоугольник и два прямоугольных треуг-ка:

Дальше можно просто посчитать по отдельности S₁, S₂и S₃, после чего сложить их. Попробуйте сделать это самостоятельно.

Задание. Площадь параллелограмма равна 162 см 2 , а одна из его высот вдвое короче основания, к которому она проведена. Найдите эту высоту и основание.

Решение. В данной задаче не потребуется даже рисунок. Обозначим высоту буквой h, тогда основание, которое вдвое длиннее, составляет 2h. Произведение этих чисел – это площадь, то есть оно равно 162:

Высота равна 9, а основание будет вдвое больше, то есть его длина равна 18.

Задание. Смежные стороны параллелограмма ABCD имеют длину 12 и 14 см, а угол между ними равен 30°. Вычислите его площадь.

Решение. Опустим на сторону длиной 14 см высоту:

Для вычисления площади надо сначала найти высоту ВН. Её можно определить из ∆АВН. Он является прямоугольным, а его острый угол∠А = 30°. У такого треуг-ка катет, лежащий против 30°, вдвое меньше АВ:

Площадь ромба

Многие четырехуг-ки, изученные нами ранее, являются частными случаями параллелограмма. Для прямоугольника и квадрата мы уже знаем формулы вычисления площади. Осталось разобраться с ромбом. Ясно, что его площадь можно найти также, как и у параллелограмма. Однако площадь ромба можно посчитать и зная только его диагонали.

Построим ромб и проведем в нем диагонали:

Нам уже известно, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом, а точка их пересечения является серединой для каждой диагонали:

Получается, что диагонали разбивают ромб на 4 одинаковых прямоугольных треуг-ка. Высчитаем, к примеру, S_AOB:

В результате мы доказали следующее утверждение:

Задание. Одна диагональ ромба равна 3,2 дм, а другая составляет 14 см. Найдите его площадь.

Решение. Для начала надо перевести все длины в одинаковые единицы измерения. Заменим дециметры на сантиметры:

Задание. Одна диагональ ромба в три раза длиннее другой, а площадь фигуры составляет 150. Вычислите длину диагоналей ромба.

Решение. Обозначим меньшую диагональ как х, тогда вторая будет равна 3х. Выразим площадь через х:

Вторая диагональ ромба будет втрое длиннее, то есть ее длина равна 3•10 = 30

Ответ: 10 и 30 см.

Площадь трапеции

Осталось рассмотреть единственный известный нам вид четырехуг-ка, который не является параллелограммом. Это трапеция. Для вычисления ее площади также потребуется высота. Под ней подразумевают перпендикуляр, опущенный из вершины трапеции на одно из ее оснований. Другими словами, высота трапеции – это расстояние между основаниями трапеции.

В произвольной трапеции ABCD, где АD – большее основание, опустим из В высоту (то есть перпендикуляр) на AD, а из D– высоту на ВС. Также проведем диагональ ВD:

Ясно, что общая площадь трапеции будет равна сумме площадей ∆АВDи ∆ВСD. В свою очередь площадь каждого из них можно подсчитать по стороне и опущенной на нее высоте. Высоты мы как раз и провели, это ВН и DK, поэтому можно записать:

Теперь заметим, что отрезки ВН и КD одинаковы, ведь фигура ВНDК является прямоугольником. Тогда площадь ∆ВСD можно записать в таком виде:

В итоге мы доказали, что для вычисления площади трапеции следует ее высоту умножить на сумму длин оснований, после чего поделить результат на два. Обычно этот факт записывают следующим образом:

Задание. У трапеции АВСD основаниями являются АВ (21 см) и CD (17 см). Высота ВН составляет 7 см. Найдите площадь трапеции.

Решение. Это простая задача на использование формулы площади трапеции:

Задание. Найдите площадь прямоугольной трапеции, показанной на рисунке (площадь клеточки равна единице):

Решение. На рисунке показана прямоугольная трапеция. Её высота равна длине ее правой боковой стороны трапеции. Покажем размеры, необходимые нам для выполнения расчета:

Задание. Тупой угол равнобедренной трапеции составляет 135°. Проведенная из этого угла высота делит противолежащее основание на отрезки длиной 14 и 34 см. Какова площадь трапеции?

Решение. Выполним построение:

Найдем острый угол трапеции. Так как CD||АВ, то

Рассмотрим ∆АDH. Он прямоугольный, а один из его острых углов равен 45°. Тогда и второй острый угол также равен 45°. То есть это равнобедренный треуг-к. Это помогает найти длину высоты DH:

ведь это прямоугольныетреуг-ки с равными гипотенузой и катетом:

Из равенства треуг-ков следует, что

Итак, сегодня мы узнали, как вычислять площади треуг-ков и некоторых видов четырехуг-ков. В большинстве случаев предварительно необходимо найти высоту в многоугольнике. В будущем мы узнаем ещё несколько формул для вычисления площадей фигур.

Пусть даже самым простым способом поиска площади треугольника была и будет формула умножения высоты на основание с последующим делением результата пополам, есть и другие способы, котоыре позволят вам вычислить площадь треугольника, если входные данные у вас другие. Так, есть формулы для нахождения площади треугольника, когда известны длины трех его сторон, когда известна длина одной стороны равностороннего треугольника, когда известны длины двух сторон и значение угла между ними.

Новые вопросы в Математика

5. Нарисуйте на листе тетради круг с центром в точке 0 и изобразите его диаметр. Сложите лист по диаметру. На какие части линия изгиба делит круг? Как … ты это понял? Какой метод нужно использовать, чтобы разде- лить круг на четыре равные части? Сделайте это на практике.

запишите числа, встречающиеся в предложениях1) Средняя глубине океано е р и ее нометр 2) Снероеть обращения емя округ Сев не се лесен емь сотых низоме … тра в секунду, а) полна обем Вук терминного моря или на равен на девяти целам нестидесяти двум соты кубических километр

Пожалуйста, помогите с этим заданием. Гейдман, рабочая тетрадь, 4 класс, гимназия. Номер 4. За хороший ответ с подробным решением: баллы, спасибо, хор … ошая оценка, корона.

3. Задан круг с центром в точке Ои радиусом 8 см. На его границе отмечена точка А, внутри – точка В, а снаружи - точка С. Что можно сказать о рас- сто … янии ОА от центра круга до точки А? Ао длинах отрезков OB и ОС?

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 10 Реши задачу с помощьо уравнение Две снегоуборочные машины одновременно выехали в 8 утра и поехали в одном направлении. В 11 чутра … расстояние меж- ду ними было 6 км. С какой скоростью двигалась первая ма- шина, если скорость второй машины 30 км/ч? у = ? км/ч S орноо v, = 30 км/ч s, S-6 кмПомогите пожалуйста.

2. Начертите циркулем окружности радиуса: а) 6 см; б) 4 см 5 мм. Чему равен диаметр этой окружности?

В даанном материале представлена исследовательская работа на уроке математики по нахождению площади треугольника, прилагается ученический лист исследователя.

Вложение	Размер
Исследовательская работа на уроке математики	557 КБ
Презентация к уроку математики "Нахождение площади треугольника"	2.88 МБ

Предварительный просмотр:

Класс: 4 (система Л. В. Занкова)

Нахождение площади прямоугольного треугольника.

Выведение формулы площади прямоугольного треугольника. Применение полученных знаний на практике.

Практическая работа исследовательского типа.

1 . Постановка учебной задачи и формирование понятия о способе нахождения площади прямоугольного треугольника.

2. Совершенствование знаний о многоугольниках, нахождении их периметра и площади.

3. Развитие логического мышления, речи, памяти, творчества учащихся.

4. Воспитание активной самостоятельной личности.

Обеспечение мотивационно – воспитательной задачи

Заметки и пояснения

Придумай примеры на умножение и деление в два или три действия на предложенные ответы.

12, 12, 36, 24, 24, 3, 1, 10, 5, 15, 81,

25, 72, 6, 9, 63, 30, 7, 4.

Несложное задание, цель которого привлечь внимание, настроиться на работу.

При каких значениях букв будут верными равенства?

a + 2147 = 140 78 × b = 78 3596 – р = 506

к : 1933 = 0 1596 : е = 3 785 : x = 785

4238 × с = 0 у – 8743 = 1007

93 : х = 0 имеет значение? Почему?

Отца этого человека звали Сергей Львович. Дочь этого человека звали Мария Александровна. Как звали этого человека?

5555, 4244, 7431, 3625, 1330, 2212.

- По какому признаку разделили? Как определили, чётное это число или нет? Сидящим за партой парам надо запомнить все числа.

Найдите суммы этих чисел.
Найдите разности этих чисел.
Найдите произведение чисел 5555 и 2

Звучат музыка и звуки природы. 1 минута

IV. Подготовка к новому материалу.

1. Найдите лишнюю фигуру.

2. Разделите остальные фигуры на две группы.

3. Расскажите всё, что вы знаете об этих фигурах.

Кроме признаков данных фигур, надо вспомнить и формулу нахождения площади.

V. Работа с листами исследователя.

Листы для исследовательской работы прилагаются. Лист №1 – для учителя, лист №2 – для уч-ся.

VI. Физкульт. пауза

«Делу – время, потехе – час.

До скорой встречи, наша книжка.

Походим, как косолапый мишка.

В сторону ручки и тетрадки –

Станем прыгать как зайчатки.

Все дела отбросим с вами,

Станем мы быстрее лани.

Попробуйте, как обезьяны,

Плод достать с высокой лианы.

А теперь, как примерные ребятки,

Тихо садитесь, берите тетрадки.

Урок наш ещё не окончен, друзья,

И лениться нам нельзя.

Подпрыгиваем как можно выше.

Говорим все вместе

VII. Решение задач.

1. Проверка результатов исследования по учебнику. С. 20

2. Нахождение площади рабочей поверхности воздушного змея.

Цель: Сколько надо купить материала на его изготовление?

Чтобы заинтересовать учеников практической задачей, желательно иметь модель воздушного змея.

VIII. Логическая задача.

Русская пословица «Муравей

В бутылке, стакане, кувшине и банке налиты молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, в банке – не лимонад и не вода, а сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Определите, где какая жидкость.

При решении используются индивидуальные карточки с таблицей.

- Занятость на уроке:

Я скучал Весь урок был занят делом

- Продуктивность от урока:

Ничего нового Получил новые Сам добыл

не узнал знания от учителя новые знания

- Настроение от урока:

Недоволен Недоволен Отличное

уроком собой настроение

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Конспект урока и презентация по теме "Площадь треугольника" (4 класс)

В уроке много геометрического материала, повышенного уровня сложности.

Конспект урока по математике ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКА. ПОУПРАЖНЯЕМСЯ В ИЗМЕРЕНИИ ПЛОЩАДЕЙ И ПОВТОРИМ ПРОЙДЕННЫЙ МАТЕРИАЛ

Предмет: математикаКласс: 3-7Тема урока: ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКА. ПОУПРАЖНЯЕМСЯ В ИЗМЕРЕНИИ ПЛОЩАДЕЙ И ПОВТОРИМ ПРОЙДЕННЫЙ МАТЕРИАЛЦели урока: учить сравнивать площади фигур; выяснить, что та.

Конспект урока математики+презентация "Площадь. Единицы измерения площади" (УМК "Школа России", 3 класс)

Цели деятельности учителя:формирование представления о площади и единицах измерения;ознакомление с различными способами сравнения фигур;развитие умения анализировать и обобщать.Планируемые.

Урок математики 2кл "Площадь фигур. Единицы измерения площади"

Презентация "Площадь треугольника"

Цели:образовательные: расширение понятийной базы за счёт включения в неё новых элементов; выведение правила вычисления площади прямоугольника; умение вычислять площадь прямоугольника; развивающие.

Теперь вам не нужно тратить время на долгие вычисления, прежде чем вы сможете узнать площадь треугольника. Зная методы расчета, используемые для расчета площади треугольника, вы легко сможете это сделать самостоятельно. Действительно, всегда лучше знать формулы площади треугольника. Треугольники могут быть разными и вы это знаете, но как найти площадь треугольника если вам практически ничего неизвестно о треугольнике? И что нужно знать из размеров треугольника, чтобы найти его площадь. Давайте разбираться. При этом тема не так проста как кажется на первый взгляд, наверное, поэтому задачи нахождения площади треугольника есть и в ОГЭ и в ЕГЭ по математике.

Что такое треугольник

Треугольник — это геометрическая фигура. По определению, это многоугольник, имеющий три стороны. Следовательно, треугольник также должен иметь три угла.

Сумма трех углов треугольника должна быть равна 180°.

Чтобы иметь возможность вычислить площадь треугольника, мы должны сначала знать меру его основания, а также высоту. Основание треугольника представляет одну из его сторон. Высота, с другой стороны, представляет собой каждую из трех прямых линий, которые проходят через одну из вершин треугольника и перпендикулярны стороне, лежащей напротив принятой вершины (то есть перпендикулярно основанию).

Прежде всего, помните, что треугольник состоит из трех сторон и трех углов. Это значит, что у него должно быть три вершины. Треугольник, вершинами которого являются A, B и C, может быть представлен как: ΔABC. Существуют разные виды треугольников. Они могут быть классифицированы двумя различными способами: либо по свойству его сторон, либо по свойству его углов.

Различные типы треугольников в зависимости от длины их сторон

Разносторонний треугольник

Равнобедренный треугольник

Мы говорим, что треугольник равнобедренный, если он имеет две стороны одинаковой длины и два равных угла при основании. Равнобедренный треугольник также можно узнать по тому факту, что его высота представляет его ось симметрии, его медиану и биссектрису.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник обязательно имеет прямой угол. Другими словами, сумма двух других его углов должна быть равна 90°. Прямоугольный треугольник также имеет гипотенузу.

Это противоположная сторона вершине с прямым углом. Прямой треугольник может быть разносторонним (или любым), если его три стороны имеют разную длину.

Кроме того, он может быть равнобедренным в том случае, если он имеет два одинаковых катета.

Равносторонний треугольник

Треугольник называется равносторонним, если он имеет три стороны одинаковой длины. Поэтому все его углы также равны и каждый по 60°. В равностороннем треугольнике любая высота также выступает в качестве медианы и биссектрисы.

Площадь треугольника

Площадь разностороннего треугольника

Вычисляем площадь треугольника без особенностей — все его стороны разные и все углы разные.

$S=\frac<1> <blockquote> \cdot ab \cdot sin \alpha$

Если известны высота в треугольнике и основание, то используется формула площади треугольника через основание и высоту:

$S=\frac<1> <blockquote> ah$

Формула Герона определения площади треугольника

Если известны стороны любого треугольника, то его площадь можно определить по формуле Герона.

" width="274" height="23" />
, где " width="81" height="23" />

Площадь равнобедренного треугольника

Площадь треугольника через основание и сторону можно найти, если известны сторона и основания равнобедренного треугольника.

$S=\frac<1> <blockquote>b \sqrt$

К равнобедренному треугольнику также применима формула площади треугольника через основание, сторону и угол между ними:

$S=\frac<1> <blockquote>ab \cdot sin \alpha$

Найти площадь равнобедренного треугольника можно также через боковые стороны и угол между ними.

$S=\frac<1> <blockquote> a^2 \cdot sin \alpha$

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами:

$S=\frac<b^2> <blockquote>>$

Площадь прямоугольного треугольника

Приведем формулы площади прямоугольного треугольника. Формула площади прямоугольного треугольника через катет и прилежащий угол:

Площадь прямоугольного треугольника по радиусу вписанной окружности и гипотенузе

Площадь прямоугольного треугольника, если в него вписана окружность:

Площадь равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника можно найти через радиус описанной окружности.

$S=\frac<3 \sqrt<3> <blockquote> R^2>$

Если дан радиус вписанной окружности, то площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:

$S=3r^2 \sqrt<3> <blockquote>$

$S=\frac<\sqrt<3> <blockquote>> \cdot a^2$

Площадь равностороннего треугольника, если известна высота треугольника:

$S=\frac<h^2> <blockquote>>$

Читайте также: