Как сделать первообразную из функции

Обновлено: 02.07.2024

Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на промежутке $X$, если для всех $x\in X$ выполняется равенство $F'(x)=f(x)$.

На практике промежутком $X$ считают облать определения функции $F(x)$.

Например:
1) Функция $F(x)=x^2$ является первообразной для $f(x)=2x$, т.к. для любого $x$ производная $F'(x)=f(x)$.
2) Функция $F(x)=cos⁡x$ является первообразной для $f(x)=sin⁡x$, т.к. для любого $x$ производная $F'(x)=f(x)$.

Поиск производной данной функции называют дифференцированием .
Поиск первообразной данной функции называют интегрированием .
Дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями.

п.2. Основное свойство первообразной. Неопределенный интеграл

Каждая первообразная для функции $f(x)$ имеет вид $F(x)+C$, где $F(x)$ – одна из этих первообразных, $C$ – произвольная постоянная.

Действительно, по правилу нахождения производной суммы: $$ (F(x)+C)'=F'(x)+C'=f(x)+0=f(x) $$ Т.е. первообразная определена с точностью до константы.

Например:

Для $f(x)=sin⁡x$
Первообразными будут \begin F(x)=cos⁡x,\ F(x)=cos⁡x+1, \\ F(x)=cos⁡x-2,\ F(x)=cos⁡x+0,100500 \end и т.д.

Множество всех первообразных функции $f(x)$ называют неопределенным интегралом этой функции: $$ \int f(x)dx=F(x)+C $$

Например: $$ \int x^2 dx=\frac+C,\ \ \int \frac>=2\sqrt+C $$

п.3. Таблица неопределенных интегралов

Пользуясь результатами, полученными для производных (см. Главу 8 данного справочника), можем составить таблицу неопределенных интегралов.

Если взять производную от функции в правом столбце, мы получаем функцию в левом столбце. В этом легко убедиться самостоятельно.

п.4. Правила нахождения первообразных

Первообразная суммы равна сумме первообразных .
Если $F(x)$ и $G(x)$ являются первообразными для функций $f(x)$ и $g(x)$,
то $F(x)+G(x)$ - первообразная для функции $f(x)+g(x)$.

Действительно $$ \begin F'(x)=f(x)\\ G'(x)=g(x) \end \Rightarrow \left(F(x)+G(x)\right)'=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x) $$
Например:
Найдем первообразную функции $y=x^5+sin⁡x$
Это сумма двух функций $f_1(x)=x^5,\ f_2(x)=sin⁡x$.
Соответствующие первообразные $F_1(x)=\frac,\ F_2(x)=-cos⁡x$
Общая первообразная с учетом постоянного слагаемого:
$F(x)=\frac-cosx+C$

Постоянный множитель функции является постоянным множителем первообразной .
Если $F(x)$ является первообразной для $f(x)$,
то $kF(x)$ - первообразная для $kf(x)$.

Действительно $$ \left(kF(x)\right)'=kF'(x)=kf(x) $$
Например:
Найдем первообразную функции $y=5sinx+2=5\cdot sinx+2\cdot 1$
Первообразная для синуса $F_1(x)=-cosx$, первообразная для единицы $F_2(x)=⁡x$
Общая первообразная
$F(x)=-5cosx+2x$

Линейное преобразование аргумента функции .
Если $F(x)$ является первообразной для $f(x)$,
то для функции с аргументом $f(kx+b)$ - первообразной будет $\frac1k F(kx+b)$.

Действительно
Для $x$ получаем цепочку отображений: $x\rightarrow kx+b\rightarrow F(kx+b)$
По правилу дифференцирования сложной функции (см. §45 данного справочника) \begin \left(\frac1k F(kx+b)\right)'=\frac1k\cdot F'(kx+b)\cdot (kx+b)'=\frac1k\cdot F'(kx+b)\cdot k=F'(kx+b)=\\ =f(kx+b) \end
Например:
Найдем первообразную функции $y=sin(5x+2) $
Нам известно, что первообразная для $f(x)=sin⁡x,\ F=-cos⁡x$
При преобразовании аргумента $x\rightarrow 5x+2$ у новой первообразной будет новый аргумент и множитель $\frac1k=\frac15$. Получаем:
$F(x)=-\frac15 cos(5x+2)$

п.5. Свойства неопределенных интегралов

Свойства неопределенных интегралов являются прямыми следствиями свойств первообразных.

Линейное преобразование аргумента подынтегральной функции: $$ \int f(xk+b)dx=\frac1k F(kx+b)+C $$ где $F(x)$ - первообразная для $f(x),\ k\ne 0$

Например:
Найдем интеграл $\int \left(x\sqrt+\frac\right)dx$
Подынтегральное выражение – это сумма двух функций, первообразные для которых: \begin F_1(x)=\frac>=\frac>=\frac25x^2\sqrt\\ F_2(x)=\frac12\cdot tg(2x-1) \end Получаем: \begin \int\left(x\sqrt+\frac\right)dx=\frac25x^2\sqrt+\frac12 tg(2x-1)+C \end Поверим результат интегрирования дифференцированием: \begin \left(\frac25x^2\sqrt+\frac12 tg(2x-1)+C\right)'=\frac25\cdot\frac52 x^+\frac12\cdot\frac\cdot (2x-1)'+0=\\ =x\sqrt+\frac \end Мы получили исходную подынтегральную функцию. Результат интегрирования верный.

п.6. Примеры

Пример 1. Докажите, что функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, если:
a) $F(x)=x^2\sqrt+14sin3x$
$f(x)=\frac52 x\sqrt+42cos 3x$
Найдем производную $F'(x)$ $$ F'(x)=\frac52\cdot x^+14\cdot cos3x\cdot (3x)'=\frac52 x\sqrt+42cos3x=f(x) $$ Что и требовалось доказать.

Пример 2. Найдите первообразную функции, которая проходит через данную точку:
a) $y=sinx,\ A\left(\frac\pi 3;\frac14\right)$
Общий вид первообразных для синуса: $$ F(x)=-cosx+C $$ Чтобы найти ту первообразную, которая проходит через данную точку, нужно подставить координаты этой точки: $$ \frac14=-\cos\frac\pi 3+C\Rightarrow C=\frac14+cos\frac\pi 3=\frac14+\frac12=\frac34 $$ Искомая первообразная: $$ F(x)=-cosx+\frac34 $$
б) $y=(x+2)(3x-1),\ A(0;4)$
Получаем квадратный трехчлен: $y=3x^2+5x-6$
Общий вид первообразной: $$ F(x)=3\cdot\frac+5\cdot\frac-6\cdot x+C=x^3+2,5x^2-x+C $$ Первообразная, которая проходит через данную точку: $$ 4=0^3+2,5\cdot 0^2-0+C\Rightarrow C=4 $$ Искомая первообразная: $$ F(x)=x^3+2,5x^2-x+4 $$
в*) $y=\frac,\ A(-2;1)$
Выделим целую часть: $y=\frac=\frac=1-\frac$
Общий вид первообразной: $$ F(x)=x-3\cdot\ln(x+3)+C $$ Первообразная, которая проходит через данную точку: $$ 1=-2-3\cdot\ln(-2+3)+C=-2-3\cdot 0+C=-2+C\Rightarrow C=3 $$ Искомая первообразная: $$ F(x)=x-3\ln(x+3)+3 $$
г*) $y=\frac,\ A\left(\frac\pi 4;\frac\pi 2\right)$
Преобразуем тригонометрическое выражение: $y=\frac=\frac=2-\frac$
Общий вид первообразной: $$ F(x)=2x-tgx+C $$ Первообразная, которая проходит через данную точку: $$ \frac\pi 2=2\cdot\frac\pi 4-tg\frac\pi 4+C=\frac\pi 2-1+C\Rightarrow C=1 $$ Искомая первообразная: $$ F(x)=2x-tgx+1 $$

Пример 3. Найдите неопределенный интеграл и результат проверьте дифференцированием:
a) $$ \int\left(e^x+\frac1x\right)dx=e^x+\ln|x|+C $$ Проверка: $$ (e^x+\ln|x|+C)'=e^x+\frac1x+0=e^x+\frac1x $$ Получили подынтегральную функцию. Ответ верный.

б) $$ \int\left(\frac1x-\frac-\frac\right)dx=\ln|x|-4\cdot\frac>+3\cdot ctgx+C=\ln|x|+\frac4x+3ctgx+C $$ Проверка: $$ (\ln|x|+\frac4x+3ctgx+C)'=\frac14+4\cdot\left(-\frac\right)+3\cdot\left(-\frac\right)+0=\frac1x-\frac-\frac $$ Получили подынтегральную функцию. Ответ верный.

г*) \begin \int\fracdx=\int\fracdx=2\int\frac=-2\cdot 2ctg\frac x2+C=-4ctg\frac x2+C \end Проверка: \begin \left(-4ctg\frac x2+C\right)'=-4\cdot\left(-\frac\right)\cdot\left(\frac x2\right)'+0=\frac=\frac \end Получили подынтегральную функцию. Ответ верный.

Пример 4*. Найдите ту первообразную для функции $f(x)=3x^3-4$, для графика которой касательной является прямая $y=-x+2$

Общий вид первообразной: $F(x)=3\cdot\frac-4\cdot x+C=\frac34 x^4-4x+C$
Уравнение касательной (см. §47 данного справочника) к первообразной: $$ y=\underbrace_(x-x_0)+F(x_0)=f(x_0)\cdot x+(F(x_0)-f(x_0)\cdot x_0) $$ По условию $ y=-x+2\Rightarrow \begin f(x_0)=-1\\ F(x_0)-f(x_0)\cdot x_0=2 \end $
Из первого уравнения найдем абсциссу точки касания: $$ 3x_0^3-4=-1\Rightarrow 3x_0^3=3\Rightarrow x_0^3=1\Rightarrow x_0=1 $$ Тогда из второго уравнения: $$ F(x_0)=f(x_0)x_0+2=-1\cdot 1+2=1 $$ Получаем: $$ 1=\frac34\cdot 1^4-4\cdot 1+C=-3\frac14+C\Rightarrow C=1+3\frac14=4\frac14 $$ Искомая первообразная: $$ F(x)=\frac34x^4-4x+4\frac14 $$

Если F(x) — первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С, где С — произвольная постоянная.

любая функция F(x) = х 2 + С , где С — произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2х . ◄

Правила вычисления первообразных

Если F(x) — первообразная для f(x) , а G(x) — первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) — первообразная для f(x) + g(x) . Иными словами, первообразная суммы равна сумме первообразных .
Если F(x) — первообразная для f(x) , и k — постоянная, то k· F(x) — первообразная для k· f(x) . Иными словами, постоянный множитель можно выносить за знак производной .
Если F(x) — первообразная для f(x) , и k , b — постоянные, причём k ≠ 0 , то 1 /_k· F( k x + b ) — первообразная для f (kx + b ) .

Неопределённый интеграл

Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С, то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x) . Обозначается неопределённый интеграл так:

f(x) — называют подынтегральной функцией ;

f(x) dx — называют подынтегральным выражением ;

x — называют переменной интегрирования ;

F(x) — одна из первообразных функции f(x) ;

С — произвольная постоянная.

Слово "интеграл" происходит от латинского слова integer , что означает "восстановленный". Считая неопределённый интеграл от 2 x , мы как бы восстанавливаем функцию х 2 , производная которой равна 2 x . Восстановление функции по её производной, или, что то же, отыскание неопределённого интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Основные свойства неопределённого интеграла

Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:

Таблица первообразных и неопределённых интегралов

	f(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + С
I.	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
III.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac>+C$$	$$\int x^ndx=\frac>+C$$
IV.	$$\frac$$	$$\ln \|x\|+C$$	$$\int\frac=\ln \|x\|+C$$
V.	$$\sin x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac$$	$$\textrm ~x+C$$	$$\int\frac=\textrm ~x+C$$
VIII.	$$\frac$$	$$-\textrm ~x+C$$	$$\int\frac=-\textrm ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
X.	$$a^x$$	$$\frac<\ln a>+C$$	$$\int a^xdx=\frac<\ln a>+C$$
XI.	$$\frac>$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac>=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac>$$	$$\arcsin \frac+C$$	$$\int\frac>=\arcsin \frac+C$$
XIII.	$$\frac$$	$$\textrm ~x+C$$	$$\int \frac=\textrm ~x+C$$
XIV.	$$\frac$$	$$\frac\textrm ~\frac+C$$	$$\int \frac=\frac\textrm ~\frac+C$$
XV.	$$\frac<\sqrt>$$	$$\ln\|x+\sqrt\|+C$$	$$\int\frac<\sqrt>=\ln\|x+\sqrt\|+C$$
XVI.	$$\frac~(a\neq0)$$	$$\frac\ln \begin\frac\end+C$$	$$\int\frac=\frac\ln \begin\frac\end+C$$
XVII.	$$\textrm ~x$$	$$-\ln \|\cos x\|+C$$	$$\int \textrm ~x ~dx=-\ln \|\cos x\|+C$$
XVIII.	$$\textrm ~x$$	$$\ln \|\sin x\|+C$$	$$\int \textrm ~x ~dx=\ln \|\sin x\|+C$$
XIX.	$$ \frac $$	$$\ln \begin\textrm ~\frac\end+C $$	$$\int \frac=\ln \begin\textrm ~\frac\end+C $$
XX.	$$ \frac $$	$$\ln \begin\textrm\left (\frac+\frac<\pi > \right ) \end+C $$	$$\int \frac=\ln \begin\textrm\left (\frac+\frac<\pi > \right ) \end+C $$
Первообразные и неопределённые интегралы, приведённые в этой таблице, принято называть табличными первообразными и табличными интегралами .

Определённый интеграл

Пусть на промежутке [a; b] задана непрерывная функция y = f(x) , тогда определённым интегралом от a до b функции f(x) называется приращение первообразной F(x) этой функции, то есть

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Основные правила вычисления определённого интеграла

Замечание . Во всех случаях предполагается, что подынтегральные функции интегрируемые на числовых промежутках, границами которых являются пределы интегрирования.

Геометрический и физический смысл определённого интеграла

Площадь S криволинейной трапеции (фигура, ограниченная графиком непрерывной положительной на промежутке [a; b] функции f(x) , осью Ox и прямыми x=a , x=b ) вычисляется по формуле

Путь s , который преодолела материальная точка, двигаясь прямолинейно со скоростью, изменяющейся по закону v(t) , за промежуток времени [ t₁; t₂ ] , вычисляется по формуле

Площадь фигуры

для всех x ∈ [a; b] , то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и прямыми x = a , x = b , вычисляется по формуле

Изобразим схематически графики данных функций и выделим другим цветом фигуру, площадь которой необходимо найти. Для нахождения пределов интегрирования решим уравнение:

Объём тела вращения

Если тело получено в результате вращения около оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на промежутке [a; b] функции y = f(x) и прямыми x = a и x = b , то его называют телом вращения .

Если тело вращения получено в результате вращения фигуры, ограниченной сверху и снизу графиками функций y = f(x) и y = g(x) , соответственно, то

Расположим конус в прямоугольной системе координат так, чтобы его ось совпадала с осью Ox , а центр основания располагался в начале координат. Вращение образующей AB определяет конус. Так как уравнение AB

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл. Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

Константу можно выносить из-под знака интеграла:

Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Вспомним таблицу производных. В левой колонке — функции, в правой — их производные. Например, — производная от функции , — производная функции . А чем будет являться для функции ? Или — для функции ? Вы уже догадались. Первообразной.

Заметим, кстати, что — производная не только функции , но и функций , — в общем, всех функций вида Здесь C — константа, то есть постоянная величина, и ее производная равна нулю.

Аналогично, функция — производная для всех функций вида , где — константа.

Посмотрим на таблицу первообразных. Каждая функция в левом столбце таблицы является производной для функции в правом столбце.

Таблица первообразных

Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных.

Первообразная разности функций — разности первообразных.

Первообразная от функции , где — постоянный множитель, равна произведению на первообразную функции , то есть .

Множество всех первообразных функции называется неопределенным интегралом данной функции. Записывается это так:

Нахождение первообразной называется также интегрированием функции. А нахождение производной — дифференцированием функции. Интегрирование (то есть нахождение первообразной) и дифференцирование (взятие производной) — взаимно-обратные действия.

Формула для вычисления площади под графиком функции (Формула Ньютона-Лейбница)

Пусть в прямоугольной системе координат задана фигура, ограниченная графиком непрерывной функции , осью и прямыми и . Пусть функция неотрицательна на отрезке [a; b].

Тогда площадь этой фигуры вычисляется по формуле:

1. Значение первообразной функции в точке 0 равно 6. Найдите .

Найдем первообразную функции с помощью таблицы первообразных. Получим:

2. Значение первообразной функции в точке 0 равно -13. Найдите

Найдем первообразную функции с помощью таблицы первообразных. Получим:

При x = 0 получим: Значит, и

3. На рисунке изображен график функции . Найдите значение выражения , где - одна из первообразных функции .

По формуле Ньютона-Лейбница, разность первообразных — это площадь, ограниченная графиком функции, осью X и прямыми y=a и y=b.

В этой задаче нужная фигура ограничена графиком функции, осью и прямыми и . Это квадратик, и площадь его равна 4.

4. На рисунке изображён график некоторой функции . Функция — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница, площадь под графиком функции на отрезке [a,b] равна разности значений первообразной в концах отрезка, то есть

Читайте также: