Как сделать передаточную функцию

Добавил пользователь Евгений Кузнецов
Обновлено: 04.10.2024

Преобразование дифференциальных уравнений по Лапласу дает возможность ввести удобное понятие передаточной функции, характеризующей динамические свойства системы.Передаточной функцией называется отношение изображения выходного воздействия Y(р) к изображению входного X(р) при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной:

Передаточная функция имеет порядок, который определяется порядком полинома знаменателя (n).
Из формулы (2.6) следует, что изображение выходного сигнала можно найти как

Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета САР сводится к определению ее передаточной функции.При расчете настроек регуляторов широко используются достаточно простые динамические модели промышленных обьектов управления. В частности, использование моделей инерционных звеньев первого или второго порядка с запаздыванием для расчета настроек регуляторов обеспечивает в большинстве случаев качественную работу реальной системы управления. В зависимости от вида переходной характеристики (кривой разгона) задаются чаще всего одним из трех видов передаточной функции обьекта управления:

В виде передаточной функции инерционного звена первого порядка:

где: К - коэффициент усиления,
Т - постоянная времени,
- запаздывание,которые должны быть определены в окрестности номинального режима работы обьекта.

Передаточная функция – это способ математического описания динамической системы.

Передаточная функция в основном используется в цифровой обработке сигналов, а также в теории управления. Она представляет собой дифференциальный оператор, который выражает связь между выходом и входом линейной стационарной системы. Если известны передаточная функция и входной сигнал системы, то можно восстановить выходной сигнал. В теории управления передаточная функция непрерывной системы является отношением преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Преобразование Лапласа – это интегральное преобразование, которое связывает между собой функцию комплексного переменного с функцией вещественного переменного.

Передаточная функция какой-либо системы определяет все ее динамические свойства, таким образом первоочередная задача расчета системы управления сводится к определению ее передаточной функции. К основным свойствам передаточных функций относятся:

Импульсная переходная функция представляет собой оригинал для передаточной функции.
В физически реализуемых системах порядок полинома числителя передаточной функции не может быть больше порядка полинома ее знаменателя.
Числитель и знаменатель передаточной функции представляют собой характеристические полиномы дифференциального уравнения перемещения линейной системы. Полюса передаточной функции являются корнями характеристического полинома знаменателя, а нули корни характеристического полинома числителя.
Для систем с неизменяемыми параметрами компонентов и с сосредоточенными параметрами передаточная функция представляет собой дробно-рациональную функцию

Передаточная функция электрической цепи. Пример решения задач

Передаточная функция линейной электрической цепи представляет собой отношение электрической выходной величины к входному воздействию, которые выражены в операторной форме и рассматриваются при нулевых начальных условиях, таким образом выражение передаточной функции выглядит следующим образом:

Готовые работы на аналогичную тему

где: F2 - выходная электрическая величина; F1 - входное воздействие.

Различают следующие основные виды передаточных функций для электрических цепей:

Безразмерная (по напряжению) передаточная функция.
Фазо-частотная характеристика.
Амплитудно-частотная характеристика.

Общий вид передаточной функции по напряжению, которая очень часто используется для анализа электрических цепей частотными методами, следующий:

Рассмотрим схему электрической цепи, которая представлена на рисунке ниже:

Рисунок 1. Схема цепи. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В комплексном виде передаточная функция для нее будет выглядеть следующим образом:

Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В вышеприведенном выражении модуль:

Рассмотрим схему, которая представлена на рисунке ниже

Рисунок 3. Схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Необходимо определить коэффициент передачи по напряжению, а также амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики для вышеприведенной цепи. Для нее формула для расчета коэффициента передачи по напряжению будет иметь следующий вид:

$Hu(jw) = U2(jw) / U1(jw)$

Выражение комплексной функции U2(jw) будет иметь следующий вид:

$U2 = I(jw)*(1/jwC)=U1(jw) / (R+(1/jwC)) * 1/jwC = U1(jw) / (1+(jwRC)$

Если мы подставим формулу для U2 в выражение для Hu(jw), то получим комплексную передаточную функцию следующего вида:

Таким образом амплитудно-частотную характеристику рассматриваемой цепи можно выразить:

Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Фазо-частотная характеристика определяется по формуле:

Если изменять частоту (w) от 0 до определенного значения, можно изобразить графики фазо-частотной и амплитудно-частотной характеристик.

Рисунок 5. Графики. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики могут быть представлены единым графиком, если построить зависимость комплексной передаточной функции от частоты w на комплексной плоскости. В данном случае конец вектора передаточной функции будет описывать кривую, называемую годографом комплексной передаточной функции.

Рисунок 6. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В некоторых случаях оперируют таким понятием, как логарифмическая амплитудно-частотная характеристика

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 03 10 2022

Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.

Пeрeда́точная фу́нкция — один из способов математического описания динамической системы. Используется в основном в теории управления, связи и цифровой обработке сигналов. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.

В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Целью рассмотрения САУ может быть решение одной из двух задач: задачи анализа или задачи синтеза. Но в любом случае порядок исследования систем включает в себя следующие этапы: математическое описание, исследование установившихся режимов, исследование переходных режимов.

Рассмотрим случай, когда в замкнутой системе можно выделить объект управления ОУ и управляющее устройство УУ, как это показано на рис. 2.2.

Рис. 2.2 — Замкнутая САУ с единичной обратной связью

Общее уравнение САУ получается из системы уравнений объекта и управляющего устройства.

Состояние объекта характеризуется выходной величиной , регулирующим воздействием и возмущением . Тогда выходная величина может быть представлена функцией:

Состояние управляющего устройства характеризуется регулирующим воздействием и входным воздействием . Процессы в УУ будут описываться двумя уравнениями:

Приведенные уравнения полностью описывают процессы в САУ. Если в них исключить переменные , то получим дифференциальное уравнение САУ:

Уравнение (2.4) описывает поведение системы во времени, определяет переходные процессы и обычно называется уравнением динамики.

Однако в форме дифференциальных уравнений математическое описание в теории автоматического управления обычно не применяется вследствие сложности решения таких уравнений.

Исследование САУ существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления.

Возьмем некоторый элемент САУ, имеющий один вход и один выход. Если на его вход подать сигнал , то изменение выходного сигнала во времени будет описываться дифференциальным уравнением -й степени:

Пусть — изображения по Лапласу величин и . Тогда при нулевых начальных условиях, т.е. при и , в соответствии с теоремой о дифференцировании оригиналов [1, 2], получим

С учетом (2.6) дифференциальное уравнение (2.5), содержащее функции и , при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению, содержащему изображения этих функций и :

Таким образом, формально переход от дифференциального уравнения к алгебраическому относительно изображения при нулевых начальных условиях получается путем замены символов дифференцирования оригиналов функций соответственно на и функций — их изображениями . С комплексной переменной , как и с другими членами алгебраического уравнения, можно производить различные действия: умножение, деление, вынесение за скобки и т.д.

Каждый элемент САУ в общем случае описывается дифференциальным уравнением вида (2.5). Следовательно, при выводе дифференциального уравнения системы в целом необходимо совместно решить систему дифференциальных уравнений.

Преобразование Лапласа позволяет свести задачу решения системы дифференциальных уравнений высших порядков к решению системы алгебраических уравнений. Определив из алгебраических уравнений изображение искомой функции , находят эту функцию, пользуясь таблицами оригиналов и изображений или по известным формулам обратного преобразования Лапласа.

Преобразование дифференциального уравнения по Лапласу дает возможность ввести одно из фундаментальных понятий — понятие передаточной функции.

Из уравнения (2.7) определим отношение изображения выходной величины к изображению входной:

Отношение изображения выходной величины элемента (или системы) к изображению его входной величины при нулевых начальных условиях называется передаточной функциейэлемента (или системы).

Согласно (2.8) передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной :

где — полином степени , — полином степени , причем .

Из определения передаточной функции следует, что:

Передаточная функция является основной формой математического описания объектов в теории автоматического управления и так как она полностью определяет динамические свойства объекта, то первоначальная задача расчета САУ сводится к определению передаточной функции.

Рассмотрим примеры по определению передаточных функций некоторых простейших схем, характерных для электроники.

Вывести передаточную функцию для схемы на рис. 2.3, считая входным воздействием приложенное напряжение , а выходным — ток в цепи .

Процессы в схеме описываются уравнением

Перейдем к изображению по Лапласу:

Составим передаточную функцию как отношение изображения выходной величины к изображению входной величины:

где — коэффициент передачи, — постоянная времени.

Передаточные функции принято записывать в такой форме, чтобы свободные члены полиномов от равнялись бы единице, что и сделано как в рассмотренном примере, так и в последующих.

Вывести передаточную функцию схемы на рис. 2.4, считая входной величиной напряжение , а выходной — .

При выводе передаточной функции будем считать, что цепочка не нагружена (никаких элементов к выходным зажимам не подключено, либо эти элементы имеют сопротивление, стремящееся к бесконечности) и сопротивление источника входного напряжения настолько мало, что им можно пренебречь.

Система уравнений, описывающих процессы в устройстве, схема которого изображена на рис 2.4, имеет вид:

Подставив третье уравнение в первое, получим:

Перейдем к изображениям:

где — постоянная времени.

Вывести передаточную функцию схемы на рис. 2.5, считая входной величиной , выходной , при допущениях, сформулированных в примере 2.3.

Составляем два уравнения по второму закону Кирхгофа, одно уравнение по первому закону Кирхгофа и расписываем выходную величину:

Из второго и третьего уравнений соответственно получим:

Подставим полученные выражения и в первое и четвертое уравнения и запишем получившуюся систему в операторной форме:

где — коэффициент передачи, , — постоянные времени.

Вывести передаточную функцию схемы на рис. 2.6, считая входной величиной , выходной , при допущениях, сформулированных в примере 2.3.

Рис. 2.6 — Схема к примеру 2.5

Система уравнений электрического равновесия схемы для мгновенных значений величин:

Последнее соотношение здесь, конечно, не уравнение, а обозначение выходной величины.

Уравнения в операторной форме:

Из второго уравнения

Подставим полученное значение в третье уравнение:

Последнее соотношение подставим в первое уравнение и определим передаточную функцию:

где — коэффициент передачи, , — постоянные времени.

Вывести передаточную функцию схемы на рис. 2.7, а, содержащей операционный усилитель.

Операционными усилителями называются усилители постоянного тока малой мощности, имеющие два входа — инвертирующий (–) и неинвертирующий (+). В настоящее время они выполняются по интегральной технологии, т.е. в виде микросхем, и характеризуются большими значениями коэффициента усиления ( ) и входного сопротивления ( ).

Выведем вначале передаточную функцию для типового включения операционного усилителя, показанного на рис. 2.7, б, в общем виде.

Рис. 2.7 — К выводу передаточной функции устройства

на операционном усилителе

С учетом принятых допущений ( ) напряжение между неинвертирующим и инвертирующим входами операционного усилителя описывается выражением

Следовательно, напряжение на инвертирующем входе приближенно равно нулю, отсюда . Кроме того, учитывая, что , можно считать , следовательно, . Тогда выходное напряжение схемы может быть рассчитано по формуле

С учетом последней формулы можно легко получить выражение для передаточной функции устройства, схема которого приведена на рис. 2.7, б:

Знак минус в выражении (2.9) указывает на то, что полярность выходного напряжения схемы противоположна полярности входного напряжения.

Из курса электротехники известно, что операторные сопротивления конденсатора и индуктивности рассчитываются по формулам

Используя выражение для , для схемы, изображенной на рис. 2.7, а, получим:

Подставляя полученные соотношения в формулу (2.9), получим выражение передаточной функции схемы, взятое со знаком минус:

Читайте также: