Как сделать обратную замену в биквадратном уравнении
Добавил пользователь Alex Обновлено: 04.10.2024
Биквадратным уравнением называется уравнение следующего вида:
где - любые действительные числа, но , x – неизвестная искомая переменная.
Коэффициенты имеют соответственно названия: - старший коэффициент (коэффициент при ), - второй коэффициент (коэффициент при ), - свободный член.
Корнем биквадратного уравнения называется такое значение переменной , при подстановке которого трехчлен обращается в ноль.
Решить биквадратное уравнение – это значит найти все его корни или установить, что корней нет.
При решении биквадратного уравнения необходимо придерживаться следующей схемы:
1) Подстановкой свести заданное биквадратное уравнение к квадратному уравнению вида
2) Найти корни полученного квадратного уравнения. (См. схему решения квадратных уравнений ) .
3) Приравнять полученные значения корней квадратного уравнения к введенной переменной подстановки . То есть провести обратную замену.
4) Найти корни биквадратного уравнения, решив уравнения обратной замены.
Пример 1: Решить уравнение
Данное уравнение является биквадратным.
Введем замену переменных:
Тогда заданное уравнение перепишется в следующем виде:
Полученное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты:
Так как , то квадратное уравнение имеет два корня.
Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни
Введем обратную замену и . И решим полученные уравнения:
Ответ:
Пример 2: Решить уравнение
Данное уравнение является биквадратным.
Введем замену переменных:
Тогда заданное уравнение перепишется в следующем виде:
Полученное уравнение является полным приведенным и имеет следующие коэффициенты:
Так как , то квадратное уравнение имеет два корня.
Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни
Введем обратную замену и . И решим полученные уравнения:
Уравнение же решения не имеет.
Таким образом, решением биквадратного уравнения будут корни
Ответ:
Примечание: Из решенного выше примера видно, что при получении отрицательного значения корня квадратного уравнения , можно сразу исключать его из рассмотрения как неудовлетворяющего условию
Пример 3: Решить уравнение
Данное уравнение является биквадратным.
Введем замену переменных:
Тогда заданное уравнение перепишется в следующем виде:
Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .
Так как , то квадратное уравнение не имеет корней.
Таким образом, биквадратное уравнение тоже не имеет корней.
Ответ: Корней нет.
Пример 4: Решить уравнение
Данное уравнение является биквадратным.
Введем замену переменных:
Тогда заданное уравнение перепишется в следующем виде:
Полученное уравнение является полным приведенным и имеет следующие коэффициенты:
Так как , то квадратное уравнение имеет два корня.
Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни
Так как оба полученных корня квадратного уравнения отрицательны , то биквадратное уравнение иметь решений не будет. (Смотри примечание данной главы)
Мы уже с вами вспоминали, какие уравнения называются квадратными и как решать квадратные уравнения с помощью дискриминанта или теоремы Виета.
Биквадратное уравнение введением новой переменной игрек равной икс квадрат приводится к квадратному уравнению относительно игрек.
Теперь давайте вспомним, что называется степенью уравнения.
Давайте повторим алгоритм решения биквадратных уравнений и уравнений, приводимых к квадратным.
Биквадратное уравнение — это уравнение вида ax^4 + bx^2 + c = 0.
Биквадратное уравнение необходимо привести к квадратному уравнению при помощи замены переменной: y = x^2.
Будет получено новое квадратное уравнение относительно переменной y: ay^2 + by + c = 0.
Далее мы решаем квадратное уравнение, как привыкли, с помощью дискриминанта, находим корни уравнения y1 и y2. далее делаем обратную замену: x^2 = y1, x^2 = y2. И уже решая эти два уравнения мы получаем корни данного биквадратного уравнения.
- Написать правильный и достоверный ответ;
- Отвечать подробно и ясно, чтобы ответ принес наибольшую пользу;
- Писать грамотно, поскольку ответы без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок лучше воспринимаются.
Мореплаватель — имя существительное, употребляется в мужском роде. К нему может быть несколько синонимов.
1. Моряк. Старый моряк смотрел вдаль, думая о предстоящем опасном путешествии;
2. Аргонавт. На аргонавте были старые потертые штаны, а его рубашка пропиталась запахом моря и соли;
3. Мореход. Опытный мореход знал, что на этом месте погибло уже много кораблей, ведь под водой скрывались острые скалы;
4. Морской волк. Старый морской волк был рад, ведь ему предстояло отчалить в долгое плавание.
Рассмотрим на примерах решение таких уравнений.
Пример №1. Решить уравнение:
В данном уравнении заменим х 2 на переменную, например а (букву для замены можно брать любую): х 2 =а. Степень данного уравнения при этом понизится на 2, получаем квадратное уравнение:
Решаем данное уравнение, например, по теореме Виета. Тогда:
Методом подбора получаем корни квадратного уравнения 9 и 16. Проверяем, что действительно 9+16=25, 916=144. Теперь переходим к нахождению корней биквадратного уравнения, которое дано по условию. Мы заменяли х 2 на а, поэтому подставляем вместо а полученные значения – это 9 и 16:
Теперь находим корни каждого из этих неполных квадратных уравнений: х 2 =9, отсюда уравнение имеет два корня ±3; х 2 =16, отсюда имеет еще два корня ±4. Следовательно, данное биквадратное уравнение имеет четыре корня: 3, -3, 4, -4.
Пример №2. Решить уравнение:
Заменим на переменную у: х 2 =у. Получим уравнение:
Найдем его корни: у1=–1, у2=4. Подставим корни вместо у и получим уравнения: х 2 =–1; х 2 =4. Видим, что первое неполное квадратное уравнение не имеет корней, а корни второго уравнения – это ±2. Значит, данное биквадратное уравнение имеет корни ±2.
Пример №3. Решить уравнение:
Выполним замену переменной: х 2 =у. Решим уравнение:
Подбором корни найти невозможно, поэтому через дискриминант получаем, что корней нет, так как дискриминант будет отрицательный. Значит и данное биквадратное уравнение тоже не имеет корней.
Читайте также: