Как сделать объем шара

Обновлено: 03.07.2024

Шар (сфера) - геометрическое место точек пространства, равноудаленных от одной точки - центра шара.

Шар это геометрическое тело, образованное в результате вращения полукруга на оси своего диаметра.

Что такое шар?

Шар или сфера представляет собой объемное тело, которое образовано вращением окружности вдоль оси. Ось вращения окружности также является ее осью симметрии и совпадает с диаметром. Поскольку все параметры шара, как и окружности, неразрывно связаны с числом π, то и его объем не является исключением. Интегрируя по трем углам в сферической плоскости, получаем объем равный четырем третям числа π , умноженным на радиус в третьей степени.

Объем шара

Объём шара равен 4/3 π на произведение радиуса (r) в кубе

\[ \LARGE V = \frac \cdot \pi \cdot R^ \]

где:
V - объем шара
π - число пи (3.1415)
R - радиус шара

Единственное, её могли определять через описанный вокруг шара многогранник. Если это было в школьной программе, напишите, пожалуйста, в комментариях.

Итак, для вычисления объема шара нам потребуется простая схема и "немножко интеграла". Нарисуем сферу, которую рассечем плоскостью на высоте х от начала координат, совпадающего с центром сферы:

Очевидно, что сечение шара будет являться окружность, площадь которой нам нужно для начала найти. Выразим её радиус через прямоугольный треугольник СОМ:

Основная мысль нахождения объема шара в том, что мы можем "составить" всю сферу из очень тонких слоёв (толщиной dx ) такой площади. Величина х у нас изменяется от -R до R : слои как бы пробегают шар сверху до низу. Записываем интеграл и решаем его:

Объем геометрической фигуры — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом, определяемая его формой и линейными размерами.

Представим себе два сосуда: один в форме куба, а второй произвольной формы, доверху наполненных жидкостью. Предположим, что для наполнения первого сосуда потребовалось m кг жидкости, а для наполнения второго сосуда n кг жидкости. Таким образом, второй сосуд в n/m раз больше первого. Величину, указывающую, во сколько раз второй сосуд больше первого, называют объемом второго сосуда, если первый сосуд при этом является единицей измерения.

Из этого определения вытекают следующие свойства:

Поскольку для заполнения каждого сосуда требуется определенное количество жидкости, то каждый сосуд имеет определенный положительный объем.

Для заполнения равных сосудов требуется одно и то же количество жидкости, поэтому равные сосуды имеют равные объемы.

Если данный сосуд разделить на две части, то количество жидкости, необходимое для заполнения всего сосуда, состоит из количества жидкости, необходимого для заполнения его частей. Поэтому объем всего сосуда равен сумме объемов его частей.

Общая формула для объемов тел вращения

Телом вращения в простейшем случае называется такое тело, которое плоскостями, перпендикулярными некоторой прямой (оси вращения), пересекается по кругам с центрами на этой прямой. Круговой цилиндр, конус, шар в геометрии являются примерами тел вращения.

Для доказательства существования общей формулы вычисления объема тел вращения необходимо выполнить следующие построения. Введем декартовы координаты x, y, z, приняв ось тела за ось x. Плоскость xy пересекает поверхность тела по линии, для которой ось x является осью симметрии. Пусть Y = f ( x ) — уравнение той части линии, которая расположена над осью. Проведем через точку x оси абсцисс плоскость, перпендикулярную к ней, и обозначим через V ( x ) объем части тела, лежащей слева от этой плоскости, тогда V ( x ) является функцией от x. Найдем ее производную:

V ' ( x ) = l i m h → 0 V ( x + h ) - V ( x ) h .

Разность V ( x ) > h . V ( x + h ) - V ( x ) представляет собой объем слоя тела толщиной h между двумя плоскостями, перпендикулярными оси x , проходящими через точки с абсциссами x и x + h . Пусть М — наибольшее, а m — наименьшее значение функции f ( x ) на отрезке [ x , x + h ] . Тогда рассматриваемый слой тела содержит цилиндр с радиусом m, высотой h и содержится в цилиндре с радиусом M и той же высотой h. Поэтому:

π m 2 h ≤ V ( x + h ) - V ( x ) ≤ π M 2 h , π m 2 ≤ V ( x + h ) - V ( x ) h ≤ π M 2 .

Если f ( x ) - непрерывная функция, то при h → 0 левая и правая части последнего неравенства стремятся к одному и тому же пределу π f 2 ( x ) . К тому же пределу стремится и отношение, заключенное между ними, т.е. производная V ' ( x ) = πf 2 ( x ) .

Объем части тела, заключенной между параллельными плоскостями x = a и x = b будет вычисляться по формуле: V ( b ) - V ( a ) = ∫ a b π f 2 ( x ) d x , a b .

Формула объема шара через диаметр

Основные понятия

Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.

Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара.

Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью.

Шаровым слоем называется часть шара, расположенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар.

Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется.

Для иллюстрации определений можно нарисовать следующие эскизы.

Формула объема шара через радиус и диаметр

Введем декартовы координаты, приняв центр шара за начало координат. Плоскость xy пересекает шар радиуса R по окружности, которая задается уравнением x 2 + y 2 = R 2 . Полуокружность, расположенная над осью x, задается уравнением y = f ( x ) = + R 2 - x 2 , - R ≤ x ≤ R .

Поэтому объем шарового слоя между плоскостями x = a и x = b определяется по формуле V = V ( b ) - V ( a ) = π ∫ a b R 2 - x 2 d x = π R 2 x - x 3 3 a b = π R 2 b - a - π 3 b 3 - a 3 .

Для объема всего шара надо взять f = - R , b = R , из чего делаем следующий вывод:

Формула объема шара через радиус: V = 4 3 π R 3 .

Зная, что радиус равен половине диаметра ( R = d / 2 ) , получаем формулу объема шара через диаметр: V = π d 3 6 .

Формулы объемов частей шара

Для получения объема шарового сегмента высотой H надо взять a = R - H , b = R . Получим объем шарового сегмента: V = π H 3 R - H 3 .

Объем шарового сектора: V = 2 3 π R 2 H , где R - радиус шара, а H — высота соответствующего шарового сегмента.

Формула объема шара через длину окружности

Длина окружности L определяется по формуле L = 2 π R . Поставив ее в формулу 2 получим формулу для вычисления объема шара через длину окружности.

Формула объема шара через длину окружности: V = L 3 6 π 2 .

Решим задачу по математике для 11 класса. По разные стороны от центра шара проведены два параллельных сечения с площадью 9 π и 16 π см 2 . Расстояние между сечениями равно 7 см. Определить объем шарового поля.

Чтобы решать задачу, необходимо сделать эскиз и записать формулу для вычисления объема шарового слоя: V ш . с = 1 6 π h 3 + 1 2 π r 1 2 + r 2 2 h .

Чтобы найти объем шарового слоя необходимо знать его высоту и радиус оснований. Высота — это и есть расстояние между сечениями. Радиусы оснований найдем из площади сечений: r 1 = S 1 π = 9 π π = 3 , r 2 = S 2 π = 16 π π = 4 .

Подставим радиусы оснований в формулу для вычисления объема шарового слоя: V ш . с . = 1 6 π · 7 3 + 1 2 π 3 2 + 4 2 · 7 = 434 3 π с м 3 .

Введите радиус шара:

Шар – геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой находятся на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара.

Формула объема шара: ,
где R – радиус шара

Найдите радиус. Если радиус дан, перейдите к следующему шагу. Если дан диаметр, разделите его на два, чтобы найти радиус. [3] Когда вы вычислите радиус, запишите его. Например, радиус равен 3 см. [4]

Если дана только площадь поверхности сферы, вычислите радиус так: площадь поверхности разделите на 4π, а затем из полученного значения извлеките квадратный корень. Таким образом: r = √(S/4π), где S — площадь поверхности сферы. [5]

Возведите радиус в куб. Для этого умножьте радиус на себя три раза или возведите его в третью степень. Например, 3 3 = 3 * 3 * 3 = 27. Когда будете записывать окончательный ответ, не забудьте про единицу измерения (в нашем примере это кубические сантиметры). Теперь найденное значение подставьте в формулу для вычисления объема сферы (V = ⁴/₃πr³). Таким образом: V = ⁴/₃π * 27.

Если радиус равен 5 см, то кубический радиус равен 5 3 = 5 * 5 * 5 = 125.

Кубический радиус умножьте на 4/3. Вы подставили в формулу значение r 3 (в нашем примере 27); теперь умножьте это значение на 4/3: 4/3 * 27 = 36. Теперь формула запишется так: V = ⁴/₃ * π * 27 = 36π.

Умножьте полученное значение на π. Это последний шаг процесса вычисления объема сферы. Можно оставить π и записать ответ так: V = 36π. Или вместо π подставьте численное значение этой константы (π ≈ 3,14) [6] : V = 3,14 * 36 = 113,04 ≈ 113. Не забудьте указать кубические единицы измерения. Таким образом, объем шара с радиусом 3 см приблизительно равен 113 см 3 .

Шар, сфера и их части

Введем следующие определения, связанные с шаром, сферой и их частями.

Определение 1. Сферой с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O равно r (рис. 1).

Определение 2. Шаром с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O не превосходит r (рис. 1).

Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом r является поверхностью шара с центром в точке O и радиусом r.

Замечание. Радиусом сферы ( радиусом шара ) называют отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы ( радиусом шара ).

Определение 3. Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы , заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Определение 4. Шаровым слоем называют часть шара , заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Окружности, ограничивающие сферический пояс, называют основаниями сферического пояса.

Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называют высотой сферического пояса.

Из определений 3 и 4 следует, что шаровой слой ограничен сферическим поясом и двумя кругами, плоскости которых параллельны параллельны между собой. Эти круги называют основаниями шарового слоя.

Высотой шарового слоя называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований шарового слоя .

Определение 5. Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Определение 6. Шаровым сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит шар пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Из определений 3 и 5 следут, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс , у которого одна из плоскостей оснований касается сферы (рис. 4). Высоту такого сферического пояса и называют высотой сферического сегмента.

Соответственно, шаровой сегмент – это шаровой слой, у которого одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высоту такого шарового слоя называют высотой шарового сегмента .

По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс , у которого обе плоскости оснований касаются сферы (рис. 5). Соответственно, весь шар – это шаровой слой, у которого обе плоскости оснований касаются шара (рис. 5).

Определение 7. Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы (рис. 6).

Высотой шарового сектора называют высоту его сферического сегмента .

Замечание. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса с общим основанием. Вершиной конуса является центр сферы .

Молярный объём

Vm — величина, равная отношению объёма V системы (тела) к её количеству вещества n:

Молярный объем для газов при нормальных условиях: Vm = 22,4 л/моль

Формула вычисления объема шара

1. Через радиус

Объем (V) шара равняется трем четвертым произведения его радиуса в кубе и числа π .

Примечание: в расчетах значение числа π округляется до 3,14.

2. Через диаметр

Диаметр шара равняется двум его радиусам: d = 2R. А значит, формула вычисления объема может выглядеть следующим образом:

Формула расчёта объёма шара

Объем шара можно вычислить по формуле:

Как найти объем трехмерных объектов

Начнем с расчета для прямоугольных и квадратных фигур. Придерживайтесь инструкции и постарайтесь рассчитать самостоятельно, чтобы закрепить знания. Числа, указанные в описании, берутся в качестве примера. Вы можете производить другие расчеты.

Измеряем длину предмета в сантиметрах – 9. Сантиметры приходят на помощь, когда невозможно получить целое число в метрах .
Замеряем ширину в сантиметрах – 17.
Умножаем между собой длину и ширину 9 * 17 = 152 см 2 – получили площадь основания
Производим замер высоты – 28 см.
Умножаем площадь основания на высоту 152 см 2 * 28 см = 4256.

Полученное число необходимо перевести в кубические метры. Для этого конечный результат делим на 1.000.000. Пример будет выглядеть следующим образом – 4256 м 3 /1000000 = 0,004256 м 3

Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

В следующей таблице приведены формулы, позволяющие вычислить объем шара и объемы его частей, а также площадь сферы и площади ее частей.

где
r – радиус сферы.

где
r – радиус шара.

где
r – радиус сферы,
h – высота сферического пояса .

Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r₁ и r₂ !

где
r₁ , r₂ – радиусы оснований шарового слоя,
h – высота шарового слоя .

где
r – радиус сферы,
h – высота сферического сегмента .

где
r – радиус шара,
h – высота шарового сегмента .

где
r – радиус шара,
h – высота шарового сектора .

Сфера

где
r – радиус сферы.

где
r – радиус шара.

Площадь сферического пояса:

где
r – радиус сферы,
h – высота сферического пояса .

Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r₁ и r₂ !

Объем шарового слоя:

где
r₁ , r₂ – радиусы оснований шарового слоя,
h – высота шарового слоя .

Площадь сферического сегмента:

где
r – радиус сферы,
h – высота сферического сегмента .

Объем шарового сегмента:

где
r – радиус шара,
h – высота шарового сегмента .

Объем шарового сектора:

где
r – радиус шара,
h – высота шарового сектора .

Прочие единицы измерения

1 дюйм кубический = 1,63871·10 −5 м³
1 литр = 1·10 −3 м³
Лямбда 1 λ = 1·10 −9 м³
1 унция = 2,841·10 −5 м³ (анг.)
1 унция = 2,957·10 −5 м³ (амер.)
1 фут кубический = 2,83168·10 −2 м³
1 ярд кубический = 0,76455 м³
1 стер = 1 м³
1 ае кубическая =3,348071936e+40 км³
1 км кубический = 1 000 000 000 м³
1 световой год кубический = 8,46590536e+38 км³
1 пк кубический = 2,9379989989648103256576e+40 км³
1 мпк кубический =1 000 000 000 пк³=2,9379989989648103256576e+49 км³

Пример нахождения объёма шара

Найти объем шара радиусом 10 сантиметров.

Для того чтобы вычислить объем шара формула используется следующая:

где V – искомый объем шара, π – 3,14 , R – радиус.

Таким образом, при радиусе 10 сантиметров объем шара равен:

В геометрии шар определяется как некое тело, представляющее собой совокупность всех точек пространства, которые располагаются от центра на расстоянии, не более заданного, называемого радиусом шара. Поверхность шара именуется сферой, а сам он образуется путем вращения полукруга около его диаметра, остающегося неподвижным.

С этим геометрическим телом очень часто сталкиваются инженеры-конструкторы и архитекторы, которым часто приходится вычислять объем шара. Скажем, в конструкции передней подвески подавляющего большинства современных автомобилей используются так называемые шаровые опоры, в которых, как нетрудно догадаться из самого названия, одними из основных элементов являются именно шары. С их помощью происходит соединение ступиц управляемых колес и рычагов. От того, насколько правильно будет вычислен их объем, во многом зависит не только долговечность этих узлов и правильность их работы, но и безопасность движения.

В технике широчайшее распространение получили такие детали, как шариковые подшипники, с помощью которых происходит крепление осей в неподвижных частях различных узлов и агрегатов и обеспечивается их вращение. Следует заметить, что при их расчете конструкторам требуется найти объем шара (а точнее – шаров, помещаемых в обойму) с высокой степенью точности. Что касается изготовления металлических шариков для подшипников, то они производятся из металлической проволоки при помощи сложного технологического процесса, включающего в себя стадии формовки, закалки, грубой шлифовки, чистовой притирки и очистки. Кстати говоря, те шарики, которые входят в конструкцию всех шариковых ручек, изготавливаются по точно такой же технологии.

Достаточно часто шары используются и в архитектуре, причем там они чаще всего являются декоративными элементами зданий и других сооружений. В большинстве случаев они изготавливаются из гранита, что зачастую требует больших затрат ручного труда. Конечно, соблюдать столь высокую точность изготовления этих шаров, как тех, которые применяются в различных агрегатах и механизмах, не требуется.

Без шаров немыслима такая интересная и популярная игра, как бильярд. Для их производства используются различные материалы (кость, камень, металл, пластмассы) и используются различные технологические процессы. Одним из основных требований, предъявляемых к бильярдным шарам, является их высокая прочность и способность выдерживать высокие механические нагрузки (прежде всего, ударные). Кроме того, их поверхность должна представлять собой точную сферу для того, чтобы обеспечивалось плавное и ровное качение по поверхности бильярдных столов.

Наконец, без таких геометрических тел, как шары, не обходится ни одна новогодняя или рождественская елка. Изготавливаются эти украшения в большинстве случаев из стекла методом выдувания, и при их производстве наибольшее внимание уделяется не точности размеров, а эстетичности изделий. Технологический процесс при этом практически полностью автоматизирован и вручную елочные шары только упаковываются.

Как найти объем для фигур цилиндрической формы

Цилиндр – это тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями. Одним из видов цилиндра является призма.

Чтобы произвести вычисления нужно найти диаметр тела (ширина) одного круглого основания и полученное число поделить на 2. Допустим, диаметр основания равен 30 см.

Производим расчеты: 30 см / 2 = 15 см. Половина диаметра круга ‒ радиус.
Возводим полученный радиус в квадрат или умножаем самого на себя: 15 * 15 = 225 см 2 .
Полученное число 225 см 2 – это квадрат радиуса. Эту цифру умножаем на число ПИ — 3,14. Например: 225 см 2 * 3,14 = 706,5 см 2 .
Проводим новый замер, чтобы узнать расстояние между круглыми основаниями, допустим, оно равно 12 см.
Это число умножаем на площадь круглого основания: 706,5 см 2 * 12 см = 8 478 см 3
Полученное значение и будет искомым объемом. Для перевода в кубические метры необходимо конечное число поделить на один миллион. Как мы делали в предыдущем примере.

Объем шарового сегмента

Шаровой сегмент – часть шара, отсекаемая какой нибудь плоскостью. Объем шарового сегмента вычисляется по формуле:

[ LARGE V = cdot pi cdot h^2 cdot (3 cdot R – h) ]

где:
V – объем шарового сегмента
h – высота шарового сегмента
R – радиус шарового сегмента
π – число пи (3.1415)

Советы

Примеры задач

Задание 1
Вычислите объем шара, если его радиус равняется 3 см.

Решение:
Применив первую формулу (через радиус) получаем:

Задание 2
Найдите объем шара, если известно, что его диаметр равен 12 см.

Решение:
Используем вторую формулу, в которой задействован диаметр:

Читайте также: