Как сделать нули функции

Обновлено: 07.07.2024

Алгоритм для нахождения нуля функции является численным методом или алгоритм для нахождения приближенного значения из двух величин х , удовлетворяющего п ( х ) = 0 , для данной функции F . Здесь х представляет собой действительное число , называется нулем из й или когда е полиномиальные, корня из е .

При численном анализе изучаются алгоритмы нахождения нулей функции .

Резюме

Конкретные алгоритмы

Дихотомия

Метод дихотомии - это простейший алгоритм поиска нулей непрерывной функции : начните с двух точек a и b , окружающих ноль функции, и на каждой итерации выберите один из двух интервалов [ a , c ] или [ c , b ] , c = ( a + b ) ⁄ ₂ - середина a и b . Алгоритм основан на выборе подынтервала [ a , b ], содержащего ноль. В большинстве случаев метод дихотомии гарантирует сходимость к нулю, когда функция непрерывна . Его исследования идут довольно медленно, поскольку скорость его сходимости линейна. Одна из особенностей этого алгоритма состоит в том, что можно заранее знать количество итераций, необходимых для определения корня уравнения с желаемой точностью.

Ньютон-Рафсон

Метод Ньютона может не сходиться, если начальное значение слишком далеко от нуля. Однако, если он сходится, он намного быстрее, чем метод дихотомии (его скорость сходимости квадратичная ). Его легко обобщить на проблемы более высоких измерений.

Секант

Если производную функции в методе Ньютона заменить конечной разностью , мы получим метод секущей . Он использует повторяющиеся отношения:

Икс нет + 1 знак равно Икс нет - Икс нет - Икс нет - 1 ж ( Икс нет ) - ж ( Икс нет - 1 ) ж ( Икс нет ) = x_ - <\ frac > f (x_ )> .

Этот метод не требует вычисления производной, но это происходит за счет меньшей скорости сходимости, чем у Ньютона (порядка 1,618). Однако, поскольку он требует только оценки функции на итерацию, он обычно быстрее, чем метод Ньютона. Его обобщением в размерности больше 1 является метод Бройдена (en) .

Регула фальси

Метод Мюллера

Метод секущей оценивает корень функции f , аппроксимируя его линейной интерполяцией . Метод Мюллера оценивает корень путем квадратичной интерполяции , используя вычисленные конечные три точки. Он сходится быстрее, чем метод секущей (порядок сходимости 1,84). Это требует вычисления квадратного корня на каждой итерации. Особенностью этого метода является то, что повторяемый член x _n может стать сложным .

Обратная квадратичная интерполяция

Недостатка метода Мюллера можно избежать путем интерполяции взаимного однозначного соответствия f , что приводит к методу обратной квадратичной интерполяции . Еще раз, сходимость асимптотически быстрее, чем метод секущей, но он часто ведет себя плохо, когда итерации не близки к нулю.

Brent Method

Метод Брента представляет собой комбинацию метода дихотомии, метода секущих и обратной квадратичной интерполяции. На каждой итерации этот метод решает, какой из этих трех методов с наибольшей вероятностью приближается к нулю, и выполняет шаг, используя этот метод. В результате получается надежный и быстрый метод, который очень популярен и высоко ценится.

Сопряженный градиент

Другие алгоритмы

Другие алгоритмы нулевого поиска:

метод фиксированной точки : уравнение f ( x ) = 0 переформулируется в виде x = g ( x ), где g выбирается таким образом, что любая последовательность ( x_n ), заданная как x_{n +1} = g ( x_n ), сходится к ноль ф .

Нахождение корней многочлена

Особое внимание было уделено частному случаю, когда f - полиномиальная функция . Конечно, можно использовать методы, описанные в предыдущем разделе. В частности, легко определить производную многочлена, и метод Ньютона - очень хороший кандидат. Но можно выбрать метод, который использует тот факт, что f - многочлен.

Одна из возможностей - рассмотреть сопутствующую матрицу, связанную с полиномом. Зная, что собственные значения этой матрицы совпадают с корнями многочлена, можно затем использовать любой алгоритм поиска собственных значений для поиска приближенных значений корней исходного многочлена, например, метод повторяющейся степени .

Другая возможность - использовать метод Лагерра , который при определенных условиях обязательно сходится к одному из корней (глобальная сходимость). Его скорость сходимости кубическая для простых корней.

Если многочлен имеет рациональные коэффициенты и если мы ищем только рациональные корни, то можно использовать метод Руффини .

Во всех случаях корни приближенных значений исследовательской задачи могут быть плохо обусловлены, как показывают многочлены Уилкинсона (in) .

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Чтобы найти нули функции, заданной формулой y=f(x), надо решить уравнение f(x)=0.

Если уравнение не имеет корней, нулей у функции нет.

Примеры.

1) Найти нули линейной функции y=3x+15.

Чтобы найти нули функции, решим уравнение 3x+15=0.

Таким образом, нуль функции y=3x+15 — x= -5.

2) Найти нули квадратичной функции f(x)=x²-7x+12.

Для нахождения нулей функции решим квадратное уравнение

Его корни x1=3 и x2=4 являются нулями данной функции.

1. Нуль функции – это такое значение довода х, при котором значение функции равно нулю. Впрочем нулями могут быть лишь те доводы, которые входят в область определения исследуемой функции. То есть в такое уйма значений, для которых функция f(x) имеет толк. 2. Запишите заданную функцию и приравняйте ее к нулю, скажем f(x) = 2х?+5х+2 = 0. Решите получившееся уравнение и обнаружьте его действительные корни. Корни квадратного уравнения вычисляются с поддержкой нахождения дискриминанта. 2х?+5х+2 = 0;D = b?-4ac = 5?-4*2*2 = 9;х1 = (-b+?D)/2*а = (-5+3)/2*2 = -0,5;х2 = (-b-?D)/2*а = (-5-3)/2*2 = -2.Таким образом, в данном случае получены два корня квадратного уравнения, соответствующих доводам начальной функции f(x). 3. Все обнаруженные значения х проверьте на принадлежность к области определения заданной функции. Обнаружьте ООФ, для этого проверьте начальное выражение на наличие корней четной степени вида ?f (х), на присутствие дробей в функции с доводом в знаменателе, на наличие логарифмических либо тригонометрических выражений. 4. Рассматривая функцию с выражением под корнем четной степени, примите за область определения все доводы х, значения которых не обращают подкоренное выражение в негативное число (напротив функция не имеет смысла). Уточните, попадают ли обнаруженные нули функции в определенную область допустимых значений х. 5. Знаменатель дроби не может обращаться в нуль, следственно исключите те доводы х, которые приводят к такому итогу. Для логарифмических величин следует рассматривать лишь те значения довода, при которых само выражение огромнее нуля. Нули функции, обращающие подлогарифмическое выражение в нуль либо негативное число, обязаны быть отброшены из финального итога. Обратите внимание! При нахождение корней уравнения, могут возникнуть лишние корни. Проверить это легко: довольно подставить полученное значение довода в функцию и удостовериться обращается ли функция в нуль. Полезный совет Изредка функция не выражается в очевидном виде через свой довод, тогда легко нужно знать, что представляет собой эта функция. Примером этому может служить уравнение окружности.

Нулями функции называются значение абсциссы, при котором значение функции равно нулю.

Если функция задана своим уравнением, то нулями функции будут решения уравнения . Если задан график функции , то нули функции — это значения , в которых график пересекает ось абсцисс.

\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0436\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430 \u043d\u0435\u0442, \u0442\u043e \u043f\u0440\u0438\u0440\u0430\u0432\u043d\u044f\u0442\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u043a \u043d\u0443\u043b\u044e, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0445 \u0438 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043d\u0443\u043b\u0435\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438.
\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440: \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043d\u0443\u043b\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 : \u0443 = 5 +\u00a0\u0445. \u0422\u044b \u043f\u0440\u0438\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0432\u0430\u0435\u0448\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u043a \u043d\u0443\u043b\u044e:
5+ \u0445 = 0
\u0445 = -5
\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, -5 \u0438 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043d\u0443\u043b\u0435\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438. \u042d\u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c, \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0432 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a, \u0433\u0434\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043a\u0430\u0442\u044c \u043e\u0441\u044c \u041e\u0425 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 (-5;0)">]" data-testid="answer_box_list">

Если дан график, то нули функции - это пересечение графика с осью ОХ.
Если же графика нет, то приравнять функцию к нулю, полученный х и будет нулем функции.
Например: найти нули функции : у = 5 + х. Ты приравниваешь функцию к нулю:
5+ х = 0
х = -5
Таким образом, -5 и есть нулем функции. Это можно проверить, построив график, где график будет пересекать ось ОХ в точке (-5;0)

Новые вопросы в Алгебра

1. Приведите к стандартному виду: 1. 5х·8у·(-7х2)+(-6х) ·3у2 2. 5а2 + 3а -7- 5а2 - 3а2 + 7а - 11 3. 6а2в - 5ав2 + 5а3 + 2ав2 – 8а3 – 3а2в

Укажи, каким числом является сумма следующих иррациональных чисел: 19+√8 и 19−√8. Рациональным числом Иррациональным числом Определи сумму заданных чи … сел. Ответ:

Одной из задач, возникающих при исследовании функции, является нахождение её нулей - т.е. точек пересения с осью абсцисс. Рассмотрим график некоторой функции :

Нулями функции являются точки в которых, как было сказано выше, график функции пересекает ось абсцисс. Чтобы найти нули функции необходимо и достаточно решить уравнение:

Нулями функции будут корни этого уравнения. Таким образом, нули функции находятся в точках .

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha способен найти нули практически любой, даже очень сложной функции.

Читайте также: