Как сделать нок

Добавил пользователь Дмитрий К.
Обновлено: 05.10.2024

два маршрутных такси отвозят пассажиров из аэропорта в ближайшие населённые пункты. Одно маршрутное такси возвращается в аэропорт через \(25\) минут, другое — через \(35\) минут. После возвращения в аэропорт они сразу же снова уезжают. Если сейчас маршрутные такси отправятся одновременно в рейс, то через сколько часов они вновь вместе окажутся в аэропорту?

Решая задачу, приходим к выводу, что число часов, через которое они вновь вместе уйдут в рейс, должно делиться без остатка на \(25\) и на \(35\), т. е. должно быть кратным этим числам.

Выпишем числа, кратные \(25\). Получим: \(25\); \(50\); \(75\); \(100\); \(125\); \(150\); \(175\); \(200\); \(225\); \(250\); \(275\); \(300\); \(325\); \(350\); \(375\).

Выпишем числа, кратные \(35\). Получим: \(35\); \(70\); \(105\); \(140\); \(175\); \(210\); \(245\); \(280\); \(315\); \(350\); \(385\).

Наименьшим из них является число \(175\), т. е. впервые маршрутные такси вновь вместе уйдут в рейс только через \(175\) минут.

Наименьшим общим кратным натуральных чисел \(m\) и \(n\) называют наименьшее натуральное число, которое кратно и \(m\), и \(n\).

Нахождение наименьшего общего кратного применяется при выполнении действий сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.

3. Каждое из выписанных простых чисел взять с наибольшим из показателей степени, с которыми оно входит в разложения данных чисел.

Петя строит железную дорогу из частей, длина которых 4 см, а Сережа, из частей длина которых 6 см. Какую наименьшую протяженность дорожного полотна построят мальчики равной длины?

Длина дороги, построенной мальчиками, должна делиться нацело на 4 и 6, так как части, из которых строят дорогу Петя и Сережа равны 4 см и 6 см соответственно, то есть длина построенной железной дороги должна быть кратной и 4, и 6.

Числа кратные 4:

4, 8, 12 , 16, 20, 24 , 28, 32, 36 , 40, 44, 48 , 52, 56, 60 .

Числа кратные 6:

6, 12 , 18, 24 , 30, 36 , 42, 48 , 54, 60 .

То есть общими кратными чисел 4 и 6 являются числа (выделено синим):

12 , 24 , 36 , 48 , 60 .

Но наименьшим из них является 12. Это число называется наименьшим общим кратным.

То есть наименьшая протяженность дорожного полотна равной длины у Пети и Сережи 12 см.

Наименьшее натуральное число, которое делится нацело на каждое из двух данных натуральных чисел, то есть кратно каждому из них, называют наименьшим общим кратным этих чисел.

Наименьшее общее кратное чисел и обозначают так: НОК(; ), то есть мы можем записать НОК(4; 6) = 12.

Нахождение наименьшего общего кратного:

Найдем НОК(12; 15).

Выбираем наибольшее из двух чисел, в нашем случае это число 15, и записываем числа кратные ему, до тех пор, пока не получим число, которое будет кратно второму числу, в нашем случае числу 12.

Получаем: 15, 30, 45, 60 .

Число 60 является наименьшим общим кратным чисел 12 и 15, то есть НОК(12; 15) = 60.

Разложим данные числа на простые множители:

12 = 223 15 = 35.

Далее для выписываем простые множители, которые входят в разложение первого числа, и добавляем множители из разложения второго числа, которых нет в разложении первого, то есть в нашем случае, это множитель 5.

Итак, мы получим 4 множителя 2235, произведение данных множителей равно числу 60, которое является наименьшим общим кратным чисел 12 и 15, то есть мы снова получили НОК(12; 15) = 60.

Таким же образом можно найти НОК трех и более чисел.

Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо:

разложить их на простые множители;
выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
найти произведение получившихся множителей.

Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел.

Найдем НОК(2520; 4620). Для это разложим данные числа на простые множители и запишем разложение в виде произведения степеней:

Наименьшим общим кратным (НОК) двух натуральных чисел, называют наименьшее натуральное число, которой кратно обоим числам. Напомним, что кратным натуральному числу a, называют натуральное число, которое делится на a без остатка

Общие принципы

Если одно из двух чисел делится на другое без остатка, то большее из этих чисел будет наименьшим общим кратным;
Если два числа являются взаимно простыми (делятся только на себя и на единицу), то НОК этих чисел будет равным их произведению.

НОК(10;20) = 20;
НОК(7;70) = 70 (7 и 10 — взаимно простые числа);

Как найти наименьшее общее кратное?

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, необходимо:

Действия с дробями, имеющими различный знаменатель, можно значительно облегчить, если найти наименьшее общее кратное (НОК). Это такое число, например, кратное числу а, которое можно разделить на это а целиком, без остатка.

К числам, кратным 8, относятся 16, 24, 32, 40 и т.п. Кратными 9-ти являются 9, 18, 27, 36 и т.п.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Существует бесчисленное множество чисел, делящихся на а без остатка, т.е. кратных ему. В то же время, этого нельзя сказать о числе делителей. Так, делителями для 9-ти являются 9, 3, 1.

Если для двух или более натуральных чисел существует число, делящееся на оба без остатка, то оно является наименьшим общим кратным. А то из, них, которое самое маленькое, является нок.

Вычисление НОК, правила в математике

Для нахождения нок в математике существует несколько правил или алгоритмов. Самый простой вариант — вычисление НОК для двух чисел-участников. Способ легкий, но приемлем для маленьких натуральных чисел.

Нужно составить ряды чисел, кратных каждому из выбранных значений.

К (4) — 4, 8, 12, 16, 20, 24;

К (6) — 6, 12, 18, 24, 30.

Из рядов видно, что в обоих рядах встречаются числа 12 и 24. Это общие кратные. Однако 12 из них — меньшее число.

Поэтому НОК (4, 6) — 12.

Как найти НОК через НОД

Определение НОК можно провести с использованием НОД (наибольшего общего делителя).

В этом блоке изложения материала следует уточнить некоторые понятия.

Простым называется такое натуральное число, которое целиком можно разделить только само на себя либо на единицу.

Наименьшим простым числом является двойка. Она же — единственное четное натуральное простое число. Все остальные — нечетные.

Множество чисел делятся не только на 1 и на себя, но и на другие целые натуральные числа:

8 делится на 1, 2, 4, 8;

36 — на 1, 2, 3, 4, 6, 8 и т.д.

Эти числа — делители восьми и тридцати шести (делимых). Именно они могут разделить 8 и 36 без остатка. В обоих приведенных примерах делимые (8, 36) являются составными числами, поскольку имеют более двух делителей.

В приведенных рядах существуют одинаковые делители. Это 1, 2, 4, 8.

Самое большое число — 8. Оно и является наибольшим общим делителем.

Наибольший общий делитель (НОД) — число, на которое без остатка делится выбранная пара (либо больше) чисел.

Бывают пары чисел, которые из общих делителей имеют только единицу. Тогда они называются взаимно простыми: НОД (9, 8)=1, НОД (12, 10)=1.

На следующем примере показаны пары чисел со значениями их НОД и НОК.

Решение задачи по нахождению НОК через НОД сводится к следующей формуле:

НОК чисел a,b равняется частному произведения a и b на наибольший общий делитель чисел a и b (по-другому НОД (a, b).

Исходя из этого заключения получается, что НОК и НОД взаимосвязаны друг с другом. Наименьшее общее кратное можно легко найти через наибольший общий делитель для двух или более натуральных чисел.

Как найти НОК через разложение чисел

Кроме составления рядов значений, кратных каждому из двух выбранных натуральных чисел, для правильного определения НОК пользуются методом разложения на множители.

Найденные простые множители первого разложения сравниваются с аналогичными из второго разложения, после чего они перемножаются.

После разложения числа 9 на простые множители получается ряд:

После разложения 12-ти получается ряд:

После разложения на множители числа 9 получаем: 3*3. После разложения на множители 12-ти получаем: 2*2*3. Объединяя множители обеих вариантов, получаем произведение: 3*3*2*2=36.

Наименьшее общее кратное чисел 9 и 12 — 36.

В качестве проверки произведем действия:

На практике записывают: НОК (9, 12)=36.

Такими действиями можно найти НОК более сложных чисел.

Найти НОК чисел 50 и 180.

Число 50 делится на 1, 2, 5, 10, 25, 50.

Число 180 на: 1, 5, 15, 30, 45, 90, 180.

Разложив на множители 50, получаем: 2, 5, 5.

Разложив 180, получаем: 2, 2, 3, 3, 5.

Из первого разложения выписываем: 2*5*5. Сравнивая со вторым разложением, описываем одну двойку и две тройки. После перемножения полученного ряда получается произведение: 2*5*5*2*3*3=900. Это и есть наименьшее общее кратное чисел 50 и 180.

Следовательно, НОК (50, 180)=900.

Существует еще один быстрый способ находить НОК. Он приемлем для вариантов, когда одно число нацело делится на другое. Например: НОК (15, 30)=30, НОК (20, 80)=80, НОК (16, 48)=48.

Для случаев, когда у двух чисел не имеется общих делителей, их можно просто перемножить и получить НОК. Например, НОК (7, 8)=56, НОК (4, 9)=36, НОК (7, 9)=63.

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Если предстоит найти НОК для большего, чем 2, количества чисел, их нужно разложить на простые множители. Например,

Сравнивая множители в каждом случае разложения натуральных чисел и выстраивая их в один ряд для умножения, получаем, что НОК (32, 40, 80) = 2*2*2*2*2*5 = 160.

В математике принято для нахождения НОК трех и более чисел применять следующую теорему:

Дано задание вычислить НОК для чисел 140 (a₁), 9 (a₂), 54 (а₃), 250 (а₄).

Для нахождения НОК (140, 9) производим действия. 140=15*9+5; 9=5*1+4.

Последующее разложение: 5=4*1+1, 4=4*1.

Следовательно, НОД (140, 9)=1. НОК (140, 9)=140*9/НОД (140, 9)=140*9/1=1260.

По аналогии вычисляем m₃ (=3780) и m₄ (=94500). Это и есть ответ решения задачи по нахождению НОК чисел 140, 9, 54, 250.

Читайте также: