Как сделать матрицу перехода
Обновлено: 07.07.2024
Сайт о разделе высшей математики - линейной алгебре
Подписаться на эту рубрику по RSS
Пусть дана координатная плоскость Oxyz. Рассмотрим поворот осей координат вокруг начала координат на некоторый угол.
Лемма. Пусть А и В – две матрицы размера над полем K. Если для любого столбца выполняется равенство , тогда .
Доказательство. Пусть – столбцы матрицы А, – столбцы матрицы В, – канонический базис пространства столбцов .
Пусть , – два базиса произвольного векторного пространства V и пусть – произвольный вектор. Обозначим через и – столбцы координат вектора х относительно старого и нового базисов соответственно. В таких обозначениях справедлива следующая теорема, которая устанавливает связь между координатами одного и того же вектора в двух различных базисах.
Для вычисления матрицы перехода применяется равенство (4). Пусть векторы и старого и нового базиса являются столбцами одной высоты, т.е. являются векторами пространства . Тогда столбцы старого и нового базисов образуют матрицы: , . Подставляя их в равенство (4), получаем матричное равенство:
Пусть , – два базиса произвольного векторного пространства V над полем K. Назовем первый базис "старым", а второй "новым". Разложим векторы нового базиса по старому базису:
Определение. Пусть V и W – произвольные векторные пространства над полем К. Отображение называют гомоморфизмом (или линейным отображением) векторного пространства в векторное пространство , если , :
Пусть – базис векторного пространства V над полем K и – произвольный вектор векторного пространства V. Из определения базиса следует, что любой вектор можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов и притом единственным образом:
Определение. Векторное пространство называется конечномерным, если оно обладает конечной порождающей системой векторов.
Замечание. Мы будем изучать только конечномерные векторные пространства. Несмотря на то, что мы уже довольно много знаем о базисе конечномерного векторного пространства, у нас нет уверенности, что базис такого пространства вообще существует. Все ранее полученные свойства были получены в предположении, что базис существует. Следующая теорема закрывает этот вопрос.
Теорема. (О существовании базиса конечномерного векторного пространства.) Читать дальше.
Рассуждение проведём для случая n = 3. Один и тот же вектор x относительно различных базисов имеет различные координаты. Можем написать:
Любой вектор второго базиса можем разложить по первому базису, т.е.
В силу единственности разложения по данному базису мы должны приравнять коэффициенты при векторах e 1 ,e 2 ,e 3 и полученные. Тогда
Введём в рассмотрение матрицы
Тогда полученные соотношения можно записать в матричном виде X = Z X .
Матрица Z называется матрицей преобразование координат при переходе от старого базиса к новому, т.е. от базиса e 1 ,e 2 . e n к базису E 1 ,E 2 . E n . Причём, столбцами матрицы преобразования координат являются координаты вектора нового базиса E 1 ,E 2 . E n относительно старого базиса e 1 ,e 2 . e n .
Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису
Пусть в пространстве E n определён линейный оператор A , т.е. y = A x
Или Y = A X , где X (x 1 ,x 2 . x n ) T и Y (y 1 ,y 2 . y n ) T матрицы-столбцы, со ставленные из координат векторов x и y относительно данного базиса n 1 ,e 2 . e n , A - матрица линейного оператора A .
Выберем в том же пространстве E n другой базис E 1 ,E 2 . E n . Относительно нового базиса матрица линейного оператора A будет иной. Обозначим через T матрицу преобразова ния координат, а через X и Y - одностолбцовые матрицы, составленные из координат векторов x и y относительно нового базиса, т.е.
Подставим полученное в общий вид, тогда получим: T Y = A T X
Умножая левую и правую части равенства слева на T -1 , получим: Y = T -1 A T X .
Итак, если в E n перейти к новому базису, то матрица линейного оператора также изменится и в самом общем случае будет равна T -1 A T .
Пример: Оператор A в базисе пространства E 3
Найти его матрицу в базисе
Решение: Матрица оператора в новом базисе находим по формуле B = T -1 AT , где T - матрица перехода от старого базиса к новому. Матрицу перехода находим по формуле T = X -1 Y .
Сопряженный и самосопряженный оператор
Пусть в вещественном евклидовом пространстве E n определён линейный оператор A
Определение 1. Оператор A * в вещественном евклидовом пространстве E n называ ется сопряженным по отношению к линейному оператору A в том же пространстве, если его матрица в любом ортонормированном базисе этого пространства является транспо нированной по отношению к матрице оператора A .
Свойства сопряженного оператора
1. E * = E, где E - тождественный оператор, т.е. оператор, матрица которого E единичная в E n
2. (A + B) * = A * + B *
3. (A B) * = B * A *
4. если A -1 существует, то (A -1 ) * = (A * ) -1 .
Определение 2. Линейный оператор A, определённый в вещественном евклидовом пространстве E n , называется самосопряженным, или симметрическим, если он cовпа дает со своим сопряженным оператором A * , т.е. если A * = A .
Матрица самосопряженного оператора совпадает с транспонированной в любом ортонормированном базисе, т.е. является симметричной относительно главной диагонали.
Свойства самосопряженного оператора
1. если A * = A , B * = B , то (A + B) * = A * + B * = A + B ;
2. если A - невырожденный самосопряженный оператор, то (A -1 ) * = (A * ) -1 = A -1 .
Доказательство. Действительно, если существует A -1 и кроме того A * = A , то в силу свойства 4 сопряженного оператора, получим (A -1 ) * = (A * ) -1 = A -1 ;
3. Если A - самосопряженный оператор в вещественном пространстве E n , то имеет место равенство:
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
Пусть A - линейный оператор. Пусть x 1 , где 1 некоторое подпространство прост ранства E n . Вектор y = A x может принадлежать подпространству 1 , а может и не принад лежать.
Определение. Подпространство 1 называется инвариантным по отношению к оператору A, если A x 1 , x 1 .
Определение. Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора A, если найдётся такое число , что будет выполняться равенство A x = x . При этом число называют собственным значением (собственным числом) оператора A , соответствующим вектору x. Множество всех собственных значений оператора A называется его спектром.
Остановимся на отыскании собственных значений и собственных векто ров линейного оператора A. Рассмотрение проведём для случая n = 3. Итак, пусть в некотором базисе оператор A имеет матрицу
и пусть одностолбцовая матрица соответствует вектору x. Тогда в силу определения
Дело свелось к решению системы линейных однородных уравнений, записанной в матричном виде. Очевидно, что эта система имеет ненулевое решение, если det(A E) = 0. Уравнение det(A E) = 0 называется характеристическим уравнением оператора A; многочлен det(A E) называется соответственно характеристическим многочленом оператора A. В координатной форме характеристическое уравнение выглядит так:
Решив его, найдём - собственные значения линейного оператора. Далее, для суммы диагональных элементов матрицы A, которую называют следом этой матрицы trA или следом оператор A (trA), справедлива формула . Кроме того, detA = 1 2 3 .
После того как найдены собственные значения линейного оператора A, остаётся подставить их по очереди в уравнение и найти соответствующие собственные векторы x (1) , x (2) , x (3)
Пример: Найти собственные значения и собственные числа линейного оператора, матрица которого
Решение. По определения собственного вектора можем написать - матрица – столбец, соответ ствующая искомому вектору x линейного оператора A;
В матричной форме получим:
Система однородная, следовательно, она имеет бесчисленное множество решений, если определитель системы равен нулю, т.е. имеем характеристическое уравнение:
Решая его, получим такие собственные значения 1 = 1; 2 = 3.
Найдём соответствующие собственные векторы.
1) 1 = 1 подставим в уравнение, получим
где t (1) - некоторый параметр. Таким образом, имеем множество коллинеарных векторов, соответствующих первому собственному числу 1 = 1:
Этот вектор нетрудно пронормировать, тогда мы получим единичный собственный вектор, соответствующий первому собственному числу 1 = 1 т.е.
2) 2 = 3 подставим в уравнение, получим
В заключение заметим, что множество всех векторов y = A x , где x E n , называется областью значений линейного оператора A в E n , а множество всех векторов x 1 E n , таких, что A x = 0, называется ядром линейного оператора.
Свойства собственных чисел и собственных векторов самосопряженного оператора
Рассмотрим самосопряженный оператор A, определённый в вещественном евклидо вом пространстве E n . В силу определения матрица его A -симметрическая.
Теорема 1. Собственные числа самосопряженного оператора A есть вещественные числа.
Теорема 2. Собственные векторы, отвечающие двум различным собственным значениям самосопряженного оператора, ортогональны.
>Доказательство. Пусть - различные собственные значения самосопряженного оператора A, а x 1 , x 2 - соответствующие им собственные значения. Тогда
Но т.е. левые части равенств равны, следовательно, вычитая их почленно, получим: а это и означает, что собственные векторы x 1 , x 2 ортогональны.
Замечание. Так как собственные векторы самосопряженного оператора A ортогональны, их можно принять за базис линейного пространства, в котором определён этот линейный оператор. Поделив далее каждый вектор на его длину, мы получаем ортонор мированный базис.
Теорема 3. В базисе из единичных собственных векторов самосопряженного оператора матрица этого оператора диагональная, причём элементами диагонали являются её собственные числа.
Доказательство. Доказательство проведём для случая n = 3. Пусть e 1 , e 2 , e 3 - единичные векторы самосопряженного оператора A относительно некоторого базиса линейного пространства 3 , отвечающие собственным значениям этого линейного оператора, т.е. . Примем векторы e 1 , e 2 , e 3 за базис линей ного пространства. Очевидно, что в этом базисе векторы имеют координаты:
. Следовательно, матрица A оператора A в базисе e 1 , e 2 , e 3 имеет вид:
Выбор такого базиса, в котором матрица линейного оператора имеет диагональный вид, называется приведением матрицы к диагональному виду.
Пусть в пространстве имеются два базиса:
Первый условимся называть старым базисом, второй — новым. Каждый из элементов нового базиса, по теореме 1, можно линейно выразить через векторы старого базиса
Можно сказать, что новые базисные векторы получаются из старых с помощью матрицы
(причем коэффициенты их разложений по старым базисным векторам образуют столбцы этой матрицы). Матрица А называется матрицей перехода от базиса к базису
Определитель матрицы А не равен нулю, так как в противном случае ее столбцы, а следовательно, и векторы были бы линейно зависимы.
Обратно, если определитель матрицы А отличен от нуля, то столбцы ее линёйно независимы, и значит, векторы получающиеся из базисных векторов с помощью матрицы А, линейно независимы, т. е. образуют некоторый базис. Значит, матрицей перехода может служить любая квадратная матрица порядка с отличным от нуля определителем.
Посмотрим теперь, как связаны между собой координаты одного и того же вектора в старом и новом базисах. Пусть — в старом базисе и в то же время в новом.
Подставляя в последнее равенство вместо их выражения (2) через получим
Ввиду единственности разложения вектора по базису отсюда следует, что
Таким образом, старые координаты вектора х
получаются из новых его координат с помощью той же матрицы А, только коэффициенты соответствующих раз ложений образуют строки этой матрицы.
Пример. Пусть единичные векторы, направленные по осям прямоугольной декартовой системы координат. Повернем оси координат на угол против часовой стрелки, и пусть — новые базисные векторы. Углы, образуемые вектором с векторами и , равны соответственно (рис. 5).
Поэтому координаты этого вектора в базисе равны значит, Аналогично, углы вектора с векторами равны соответственно координаты его в базисе равны и значит,
Коэффициенты а( и а2 находим в результате решения следующей системы уравнений:
где Л. ] и X 2 — характеристические числа матрицы А, которые соответственно равны X у = 1 + у; X 2 = 1 - j.
Для вычисления коэффициентовaj иа2 удобна полярная форма характеристических чисел:
Подставляя X и X 2 в систему уравнений для определения коэффициентов с*] и а2 и решая ее, получаем:
Из уравнения следует, что
Основой для построения алгоритма решения уравнений состояния служит выражение (11.116). Представим его в виде двух уравнений:
Учитывая, что матрица перехода Ф|?Г] = Х к , запишем уравнение (11.117) в виде
Последнее уравнение можно представить в виде следующего рекуррентного соотношения
Подставляя соотношение (11.120) в (11.118), получаем рекуррентное соотношение для выходного вектора:
Выражение (11.121) позволяет построить итерационный алгоритм вычисления вектора выхода YlArT’J. На к-й итерации значение вектора [кТ в момент времени t - кТ определяется вектором состояния Хк - 1 Т] и значениями вектора
входа U(0 при t = (к - 1 )Т и t = кТ. Вектор Х[к -1 Т вычисляется на (к - 1)-й итерации. Схема алгоритма, реализующая уравнение (11.121), показана на рис. 11.34.
Рис. 11.34. Схема алгоритма решения уравнений состояния цифровой системы
В отличие от алгоритма решения неоднородных уравнений непрерывной системы (рис. 5.34) алгоритм (рис. 11.34) не содержит операций интегрирования и приближенного вычисления матрицы перехода Ф(Г) = e' v . Поэтому точность последнего алгоритма определяется только точностью применяемой для его реализации цифровой ЭВМ.
Разработанный алгоритм может без изменений применяться и для решения однородных уравнений состояния (11.124). При этом необходимо принять U(0 - 0, либо В = 0 и D = 0.
Контрольные вопросы и задания
- 1. Дайте определение цифровой системы автоматического управления. Укажите типы ЦСАУ и изобразите их функциональные схемы.
- 2. На какие группы подразделяются аналого-цифровые преобразователи? Приведите примеры преобразователей напряжение-код.
- 3. Приведите примеры преобразователей код—напряжение.
- 4. Какие операции и с помощью каких элементов выполняется преобразование непрерывного сигнала в цифровой код — Л/D? Изобразите схему преобразователя.
- 7. Как учитывается нелинейность квантования по уровню? Изобразите структурную схему квантователя по уровню.
- 8. Чему равна передаточная функция кодирующего устройства?
- 9. Как изображается преобразователь/!/D на функциональной и структурной схемах?
- 10. Изложите методику определения математической модели цифрового вычислительного устройства. Запишите передаточную функцию ЦВУ. Какие условия физической реализации передаточной функции ЦВУ?
- 11. Как учитывается на структурной схеме ЦВУ время прохождения сигнала через дискретный преобразователь? Изобразите структурную схему ЦВУ.
- 12. Какой элемент в ЦСАУ чаще используется как преобразователь кода в непрерывную величину?
- 13. Запишите передаточную функцию фиксатора.
- 14. Изобразите возможный вариант структурной схемы ЦСАУ.
- 15. Обоснуйте возможность сведения ЦСАУ к предельной импульсной системе (рис. 11.24).
- 16. Изложите методику выполнения Z-преобразования функции ПНЧ (рис. 11.25) с учетом чистого запаздывания т.
- 17. Запишите Z-передаточные функции ПНЧ для случаев, когда запаздывание т равно: а) целому числу периодов квантования Г; б) части периода квантования; в) при смещении ? = 0.
- 18. Определите Z -передаточную функцию ЦСАУ (рис. 11.24, б) в разомкнутом со-
стоянии, если Кнч(р) =-, в системе используется фиксатор нулевого порядка,
Читайте также: