Как сделать квадратную матрицу из прямоугольной онлайн
Обновлено: 08.07.2024
1. Скелетное разложение матрицы. В дальнейшем мы будем пользоваться представлением произвольной прямоугольной -матрицы ранга в виде произведения двух матриц и , имеющих соответственно размеры и :
Здесь ранги сомножителей и обязательно равны рангу произведения ,. Действительно (см. стр. 22), Но ранги и не могут превосходить , так как — один из размеров матриц и . Поэтому .
Для того чтобы получить разложение (36), достаточно в качестве столбцов матрицы взять любые линейно независимых столбцов матрицы , либо любые линейно независимых столбцов, через которые линейно выражаются столбцы матрицы . Тогда произвольный -й столбец матрицы будет линейной комбинацией столбцов матрицы с коэффициентами ; эти коэффициенты и образуют -й столбец матрицы (, см. стр. 19).
Поскольку матрицы и имеют максимально возможный ранг , то квадратные матрицы и являются неособенными:
Действительно, пусть столбец — произвольное решение уравнения
Помножим это уравнение слева на строку . Тогда . Отсюда следует и (поскольку — линейная комбинация линейно независимых столбцов матрицы ; ср. с формулой (13")) . Из того, что уравнение (38) имеет только нулевое решение , вытекает, что. Аналогично устанавливается второе неравенство (37).
Разложение (36) будем называть скелетным разложением матрицы .
2. Существование и единственность псевдообратной матрицы. Рассмотрим матричное уравнение
Если — квадратная неособенная матрица, то это уравнение имеет единственное решение . Если же — произвольная прямоугольная -матрица, то искомое решение имеет размеры но не определяется однозначно. В общем случае уравнение (39) имеет бесчисленное множество решений. Ниже будет показано, что среди этих решений имеется только одно, обладающее тем свойством, что его строки и столбцы являются линейными комбинациями соответственно строк и столбцов сопряженной матрицы . Именно это решение мы будем называть псевдообратной матрицей для и обозначать через .
Определение 5. Матрица размеров называется псевдообратной для -матрицы , если выполняются равенства
где и — некоторые матрицы
Докажем сначала, что для данной матрицы не может существовать двух различных псевдообратных матриц и . Действительно, из равенств
и, следовательно (см. конец § 3),
Для того чтобы установить существование матрицы , мы воспользуемся скелетным разложением (36) и будем искать сначала псевдообратные матрицы и . Так как по определению должны иметь место равенства
где — некоторая матрица, то
Умножая слева на и замечая, что — неособенная квадратная матрица, найдем:
Но тогда второе из равенств (42) дает искомое выражение для :
Совершенно аналогично найдем:
Покажем теперь, что матрица
удовлетворяет условиям (40), (41) и, следовательно, является псевдообратной матрицей для .
С другой стороны, из равенств (43), (44) и (45) с учетом равенства , полагая, находим
Таким образом доказано, что для произвольной прямоугольной матрицы существует одна и только одна псевдообратная матрица , которая определяется формулой (45), где и — сомножители в скелетном разложении матрицы . Из самого определения псевдообратной матрицы непосредственно следует, что в случае квадратной неособенной матрицы псевдообратная матрица совпадает с обратной .
Здесь . в качестве столбцов матрицы первые два столбца матрицы . Тогда
Поэтому, согласно формуле (45)
3. Свойства псевдообратной матрицы. Отметим следующие свойства псевдообратной матрицы:
Первое свойство означает, что операции перехода к сопряженной и к псевдообратной матрице перестановочны между собой. Равенство 2° выражает собой взаимность понятия псевдообратной матрицы, тан как согласно 2° псевдообратной матрицей для является исходная матрица . Согласно равенствам 3° и 4° матрицы и являются эрмитовыми и инволютивными (квадрат каждой из этих матриц равен самой матрице).
Для вывода равенства 1° воспользуемся скелетным разложением (36): . Тогда равенство дает скелетное разложение матрицы . Поэтому, заменяя в формуле (45) матрицу на , а матрицу на , получим:
Равенства , , являются скелетными разложениями. Следовательно,
Используя свойство 1°, а также выражения для и , найдем:
Справедливость равенств 3° и 4° проверяется непосредственно путем подстановки в эти равенства вместо соответствующего выражения из формулы (45).
Заметим, что в общем случае, когда разложение не является скелетным, не всегда имеет место равенство . Так, например
4. Наилучшее приближенное решение (по методу наименьших квадратов). Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений
или в матричной записи
Здесь - заданные числа, а – искомые.
В общем случае система (46) может быть и несовместной.
имеет наименьшее значение.
Покажем, что система (46) всегда имеет одно и только одно наилучшее приближенное решение и это приближенное решение определяется по формуле
где — псевдообратная матрица для матрицы .
Для этого рассмотрим произвольный столбец и положим
Исходя из разложения (36) и формулы (45), найдем:
Поэтому из равенства (53) следует
Поэтому из равенства (52) находим
и, следовательно, для любого столбца
тогда, согласно равенству (55)
С другой стороны,
Вспоминая, что (см.определение 5), получим в силу (57):
Поэтому из равенства (58) находим
причем знак = имеет место только при , т.е. при , где .
Пример. Найти наилучшее приближенное решение (по методу наименьших квадратов) системы линейных уравнений:
Но тогда (см. пример на стр. 35)
Определим норму - матрицы как неотрицательное число, задаваемое формулой
При этом очевидно, что
Рассмотрим матричное уравнение
где и – заданные и -матрицы, а - искомая -матрица.
Определим наилучшее приближенное решение уравнения (62) из условия
причем в случае, когда
следует, что -й столбец искомой матрицы должен быть наилучшим приближенным решением системы линейных уравнений
Поскольку это равенство справедливо при любом то
Таким образом, уравнение (62) всегда имеет одно и только одно наилучшее приближенное решение, определяемое формулой (65).
В частном случае, когда — единичная матрица -го порядка, имеем . Следовательно, псевдообратная матрица является наилучшим приближенным решением (по методу наименьших квадратов) матричного уравнения
Это свойство псевдообратной матрицы может быть принято в качестве ее определения.
5. Метод Гревилля последовательного нахождения псевдообратной матрицы состоит в следующем. Пусть - -й столбец в -матрице , — матрица, образованная первыми столбцами матрицы . — последняя строка в матрице (, , ). Тогда
и для имеют место рекуррентные формулы
при этом, если , то
если же , т.е. , то
Предлагаем читателю проверить, что матрица является псевдообратной для матрицы , если матрица и строка определяются формулами (61)-(64). Этот метод не требует вычисления детерминантов и может быть использован для вычисления обратной матрицы. Пример. Пусть
Калькулятор матриц онлайн предназначен для автоматизированного решения задач. В программу вычислений заложена формула, которая позволяет получить готовый ответ с подробным расчетом. Все промежуточные действия и преобразования доступны пользователю.
Для решения матрицы онлайн-калькулятором воспользуйтесь простым интерфейсом сервиса и получите:
- экономию времени;
- уверенность в точности вычислений;
- наглядность и объяснение расчетов;
- решение задачи за один клик.
Найти определитель матрицы онлайн-калькулятором, как и воспользоваться другими вычислениями на сайте, можно бесплатно и неограниченное количество раз.
- Найти определитель матрицы
- Найти обратную матрицу
- Возведение матрицы в степень
- Умножение матрицы на число
- Умножение матриц
- Транспонирование матрицы
- Сложение и вычитание матриц
- Ранг матрицы
Нахождение матрицы онлайн-калькулятором
К решению матриц онлайн чаще всего обращаются студенты с целью быстро узнать ответ. Если алгоритм расчета понятен, то данный способ подготовки к занятиям сокращает время и позволяет охватить больше заданий. Решить матрицу с онлайн-калькулятором также полезно тем, кто не разобрался в теме. С помощью полученных подробных вычислений можно самостоятельно вникнуть в суть расчетов и применять их при решении аналогичных задач.
Не всегда возможно найти ответ с помощью калькулятора. В некоторых заданиях требуется использовать также другие формулы. В таком случае обратитесь к консультанту на сайте:
- для вас оперативно рассчитают стоимость услуги в зависимости от сложности задания, его объема и необходимого срока исполнения;
- подберут надежного исполнителя из числа университетских преподавателей с учеными степенями;
- решат задачи любой тематики и уровня сложности.
Оставляйте заявку, чтобы посчитать стоимость услуги. Для постоянных клиентов у нас действуют скидки.
Читайте также: