Как сделать котангенс альфа

Обновлено: 05.07.2024

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

Основные тригонометрические тождества

\[ \sin^\alpha + \cos^ \alpha = 1 \]

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 \]

Четность, нечетность тригонометрических функций

\[ \sin \left ( - \alpha \right ) = - \sin \left ( \alpha \right ) \]

\[ \cos \left ( - \alpha \right ) = \cos \left ( \alpha \right ) \]

\[ tg \left ( - \alpha \right ) = - tg \left ( \alpha \right ) \]

\[ ctg \left ( - \alpha \right ) = ctg \left ( \alpha \right ) \]

Зависимость между синусом и косинусом

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой $ \dfrac=\dfrac $ , а отношение $ \dfrac=\dfrac $ — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов $ \alpha $ , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества $ tg \alpha = \dfrac $ , $ ctg \alpha=\dfrac $ .

Например: $ tg \alpha = \dfrac $ является справедливой для углов $ \alpha $ , которые отличны от $ \dfrac<\pi>+\pi z $ , а $ ctg \alpha=\dfrac $ — для угла $ \alpha $ , отличного от $ \pi z $ , $ z $ — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 \]

Данное тождество справедливо только для таких углов $ \alpha $ , которые отличны от $ \dfrac<\pi> z $ . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что $ tg \alpha = \dfrac $ , а $ ctg \alpha=\dfrac $ . Отсюда следует, что $ tg \alpha \cdot ctg \alpha = \dfrac \cdot \dfrac=1 $ . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

$ tg^ \alpha + 1=\dfrac <\cos^\alpha> $ — сумма квадрата тангенса угла $ \alpha $ и $ \alpha $ , отличных от $ \dfrac<\pi>+ \pi z $ .

$ 1+ctg^ \alpha=\dfrac<\sin^\alpha> $ — сумма $ \alpha $ , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого $ \alpha $ , отличного от $ \pi z $ .

Формулы приведения

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Формулы понижения степени

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Там, где заканчиваются границы привычной и давно знакомой алгебры, начинаются владения тригонометрии. Давайте вооружимся всеми необходимыми формулами, чтобы в полном обмундировании преодолеть любые тригонометрические испытания.

О чем эта статья:

9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Связь между sin и cos одного угла

Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.

Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.

Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:

sin 2 α + cos 2 α = 1

Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.

Равенство tg 2 α + 1 = 1/cos 2 α и равенство 1 + сtg 2 α + 1 = 1/sin 2 α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin 2 α и cos 2 α.

В результате деления получаем:

sin 2 α + cos 2 α = 1

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.

Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.

Докажем тождество sin 2 α + cos 2 α = 1

Синус угла (sin α) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус угла (cos α) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Образовался прямоугольный треугольник OA₁B.

Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:

Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.

Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Синус угла — это ордината y.
Косинус угла — это абсцисса x.
Тангенс угла — это отношение ординаты к абсциссе.
Котангенс угла — это отношение абсциссы к ординате.

Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.

Исходя из определений:

Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества

задаются sin и cos углов.

Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.

Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества

верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.

применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Связь между тангенсом и котангенсом

Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.

Тождество записывается в следующем виде:
tg α * ctg α = 1.

Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.

Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.

tg α * ctg α = 1.

Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.

Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом.

Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:

Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.

Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.

Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin 2 α + cos 2 α = 1.

Для этого нужно поделить обе части тождества на cos 2 α, где косинус не равен нулю.
В результате деления получаем формулу tg 2 α + 1 =
Если обе части основного тригонометрического тождества sin 2 α + cos 2 α = 1 разделить на sin 2 α, где синус не равен нулю, то получим тождество:
1 + ctg 2 α = .
Отсюда можно сделать вывод, что тригонометрическое тождество tg 2 α + 1 = применимо для любого угла α, не равного + π + z, где z — это любое целое число.
А тригонометрическое тождество 1 + ctg 2 α = применимо для любого угла, не равного π * z, где z — это любое целое число.

Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.

Основные тригонометрические тождества

sin 2 α + cos 2 α = 1

tg 2 α + 1 =

1 + ctg 2 α =

Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.

Примеры решения задач

Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.

Задачка 2. Найдите значение cos α,
если:

Подставляем значения sin α:

Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.

Справочные данные по тангенсу (tg x) и котангенсу (ctg x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица тангенсов и котангенсов, производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.

Геометрическое определение

Прямоугольный треугольник.

|BD| – длина дуги окружности с центром в точке A .
α – угол, выраженный в радианах.

Тангенс ( tg α ) – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .
Котангенс ( ctg α ) – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .

, где n - целое.
, где n - целое.

Принятые обозначения

Тангенс

В западной литературе тангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.

Котангенс

В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.

Графики функций тангенс, y = tg x , и котангенс, y = ctg x

Графики функций y=tg(x) и y=ctg(x).

Свойства тангенса и котангенса

Периодичность

Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .

Четность

Функции тангенс и котангенс – нечетные.

Области определения и значений, возрастание, убывание

Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).

y = tg x	y = ctg x
Область определения и непрерывность
Область значений	–∞	–∞
Возрастание	–
Убывание	–
Экстремумы	–	–
Нули, y = 0
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 0	–

Формулы

Выражения через синус и косинус

Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности

Остальные формулы легко получить, например

Произведение тангенсов

Формула суммы и разности тангенсов

Таблица тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента.

Выражения через комплексные числа

Выражения через гиперболические функции

Производные

Производная n-го порядка по переменной x от функции :
.
Производная n-го порядка по переменной x от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > >; для котангенса > > >

Интегралы

Разложения в ряды

Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга, . При этом получаются следующие формулы.

$B_n = (-1)^n \, n! \left| \begin при . при . где Bn – числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения: ; ; где . Либо по формуле Лапласа: \frac1 & 1 & 0 & . & 0 \\ \frac1 & \frac1 & 1 & . & 0 \\ \frac1 & \frac1 & \frac1 & . & 0 \\ . & . & . & . & . \\ \frac1 & \frac1 & \frac1 & . & \frac12 \\ \end \right|$

Обратные функции

Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс, соответственно.

Арктангенс, arctg

, где n - целое.

Арккотангенс, arcctg

, где n - целое.

Наиболее часто встречающиеся тригонометрические формулы:

$\blacktriangleright$ Основные тождества: \[\begin <|l|l|>\hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1& \mathrm\, \alpha \cdot \mathrm\, \alpha =1 \\ &(\sin\alpha\ne 0, \cos\alpha\ne 0)\\[0.5ex] \hline &\\ \mathrm\, \alpha=\dfrac &\mathrm\, \alpha =\dfrac \\&\\ 1+\mathrm^2\, \alpha =\dfrac1 & 1+\mathrm^2\, \alpha=\dfrac1\\&\\ (\cos\alpha\ne 0)& (\sin\alpha\ne 0) \\ \hline \end\]

$\blacktriangleright$ Формулы сложения углов: \[\begin <|l|r|>\hline &\\ \sin<(\alpha\pm \beta)>=\sin\alpha\cdot \cos\beta\pm \sin\beta\cdot \cos\alpha & \cos<(\alpha\pm \beta)>=\cos\alpha\cdot \cos\beta \mp \sin\alpha\cdot \sin\beta\\ &\\ \hline &\\ \mathrm\, (\alpha\pm \beta)=\dfrac<\mathrm\, \alpha\pm \mathrm\, \beta><1 \mp \mathrm\, \alpha\cdot \mathrm\, \beta> & \mathrm\, (\alpha\pm\beta)=-\dfrac<1\mp \mathrm\, \alpha\cdot \mathrm\, \beta><\mathrm\, \alpha\pm \mathrm\, \beta>\\&\\ \cos\alpha\cos\beta\ne 0&\sin\alpha\sin\beta\ne 0\\ \hline \end\]

$\blacktriangleright$ Формулы двойного и тройного углов: \[\begin <|lc|cr|>\hline \sin =2\sin \alpha\cos \alpha & \qquad &\qquad & \cos=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\ \sin \alpha\cos \alpha =\dfrac12\sin && & \cos=2\cos^2\alpha -1\\ & & & \cos=1-2\sin^2 \alpha\\ \hline &&&\\ \mathrm\, 2\alpha = \dfrac<2\mathrm\, \alpha><1-\mathrm^2\, \alpha> && & \mathrm\, 2\alpha = \dfrac<\mathrm^2\, \alpha-1><2\mathrm\, \alpha>\\&&&\\ \cos\alpha\ne 0, \ \cos2\alpha\ne 0 &&& \sin\alpha\ne 0, \ \sin2\alpha\ne 0\\ \hline &&&\\ \sin =3\sin \alpha -4\sin^3\alpha && & \cos=4\cos^3\alpha -3\cos \alpha\\&&&\\ \hline \end\]

$\blacktriangleright$ Формулы понижения степени: \[\begin <|lc|cr|>\hline &&&\\ \sin^2\alpha=\dfrac>2 &&& \cos^2\alpha=\dfrac>2\\&&&\\ \hline \end\]

$\blacktriangleright$ Формулы произведения функций: \[\begin <|c|>\hline \\ \sin\alpha\sin\beta=\dfrac12\bigg(\cos-\cos\bigg)\\\\ \cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\bigg(\cos+\cos\bigg)\\\\ \sin\alpha\cos\beta=\dfrac12\bigg(\sin+\sin\bigg)\\\\ \hline \end\]

$\blacktriangleright$ Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла: \[\begin <|l|r|>\hline &\\ \sin=\dfrac<2\mathrm\, \alpha><1+\mathrm^2\, \alpha> & \cos=\dfrac<1-\mathrm^2\, \alpha><1+\mathrm^2\, \alpha>\\&\\ \cos\alpha\ne 0 & \sin\alpha\ne 0\\ \hline \end\]

$\blacktriangleright$ Формула вспомогательного аргумента: \[\begin <|c|>\hline \text\\ \hline \\ \sin\alpha\pm \cos\alpha=\sqrt2\cdot \sin<\left(\alpha\pm \dfrac<\pi>4\right)>\\\\ \sqrt3\sin\alpha\pm \cos\alpha=2\sin<\left(\alpha\pm \dfrac<\pi>6\right)>\\\\ \sin\alpha\pm \sqrt3\cos\alpha=2\sin<\left(x\pm \dfrac<\pi>3\right)>\\\\ \hline \text\\ \hline\\ a\sin\alpha\pm b\cos\alpha=\sqrt\cdot \sin<(\alpha\pm \phi)>, \ \ \cos\phi=\dfrac a<\sqrt>, \ \sin\phi=\dfrac b<\sqrt>\\\\ \hline \end\]

Зная идею вывода формул, вы можете запомнить лишь несколько из них. Тогда остальные формулы вы всегда сможете быстро вывести.

Вывод всех основных тождеств был рассказан в предыдущем разделе “Введение в тригонометрию”.

$\blacktriangleright$ Вывод формулы косинуса разности углов $\cos<(\alpha -\beta)>=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$

Рассмотрим тригонометрическую окружность и на ней углы $\alpha$ и $\beta$ . Пусть этим углам соответствуют точки $A$ и $B$ соответственно. Тогда координаты этих точек: $A(\cos\alpha;\sin\alpha), \ B(\cos\beta;\sin\beta)$ .

Рассмотрим $\triangle AOB: \ \angle AOB=\alpha-\beta$ . По теореме косинусов:

$AB^2=AO^2+BO^2-2AO\cdot BO\cdot \cos(\alpha-\beta)=1+1-2\cos(\alpha-\beta) \ (1)$ (т.к. $AO=BO=R$ – радиус окружности)

По формуле расстояния между двумя точками на плоскости:

Таким образом, сравнивая равенства $(1)$ и $(2)$ :

Отсюда и получается наша формула.

$\blacktriangleright$ Вывод остальных формул суммы/разности углов:

Остальные формулы с легкостью выводятся с помощью предыдущей формулы, свойств четности/нечетности косинуса/синуса и формул приведения $\sin x=\cos(90^\circ-x)$ и $\cos x=\sin (90^\circ-x)$ :

разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos\alpha\cos\beta\ne 0$
(при $\cos\alpha=0 \Rightarrow \mathrm\,(\alpha\pm\beta)=\mp \mathrm\,\beta$ , при $\cos\beta=0 \Rightarrow \mathrm\,(\alpha\pm\beta)=\pm \mathrm\,\alpha$ ):

Таким образом, данная формула верна только при $\cos\alpha\cos\beta\ne 0$ .

5) Аналогично, только делением на $\sin\alpha\sin\beta\ne 0$ , выводится формула котангенса суммы/разности двух углов.

$\blacktriangleright$ Вывод формул двойного и тройного углов:

Данные формулы выводятся с помощью предыдущих формул:

1) $\sin 2\alpha=\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ , получим еще две формулы для косинуса двойного угла:

разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos^2\alpha\ne 0$ (при $\cos\alpha=0 \Rightarrow \mathrm\,2\alpha=0$ ):

Таким образом, эта формула верна только при $\cos\alpha\ne 0$ , а также при $\cos2\alpha\ne 0$ (чтобы существовал сам $\mathrm\,2\alpha$ ).

По тем же причинам при $\sin\alpha\ne 0, \sin2\alpha\ne 0$ .

5) $\sin3\alpha=\sin(\alpha+2\alpha)=\sin\alpha\cos2\alpha+\cos\alpha\sin2\alpha=\sin\alpha(1-2\sin^2\alpha)+\cos\alpha\cdot 2\sin\alpha\cos\alpha=$

6) Аналогично выводится, что $\cos3\alpha=\cos(\alpha+2\alpha)=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$

$\blacktriangleright$ Вывод формул понижения степени:

Данные формулы — просто по-другому записанные формулы двойного угла для косинуса:

1) $\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1 \Rightarrow \cos^2\alpha=\dfrac2$

2) $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha \Rightarrow \sin^2\alpha=\dfrac2$

Заметим, что в данных формулах степень синуса/косинуса равна $2$ в левой части, а в правой части степень косинуса равна $1$ .

$\blacktriangleright$ Вывод формул произведения функций:

1) Сложим формулы косинуса суммы и косинуса разности двух углов:

Получим: $\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta \Rightarrow \cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\Big(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\Big)$

2) Если вычесть из формулы косинуса суммы косинус разности, то получим:

3) Сложим формулы синуса суммы и синуса разности двух углов:

$\blacktriangleright$ Вывод формул суммы/разности функций:

Обозначим $\alpha+\beta=x, \alpha-\beta=y$ . Тогда: $\alpha=\dfrac2, \ \beta=\dfrac2$ . Подставим эти значения в предыдущие три формулы:

Получили формулу суммы косинусов.

Получили формулу разности косинусов.

Получили формулу суммы синусов.

4) Формулу разности синусов можно вывести из формулы суммы синусов:

Аналогично выводится формула суммы котангенсов.

$\blacktriangleright$ Вывод формул выражения синуса и косинуса через тангенс половинного угла:

(разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos^2\alpha\ne 0$ (при $\cos\alpha=0$ и $\sin2\alpha=0$ ):)

2) Так же, только делением на $\sin^2\alpha$ , выводится формула для косинуса.

$\blacktriangleright$ Вывод формул вспомогательного угла:

Данные формулы выводятся с помощью формул синуса/косинуса суммы/разности углов.

Рассмотрим выражение $a\sin x+b\cos x$ . Домножим и разделим это выражение на $\sqrt\,$ :

$a\sin x+b\cos x=\sqrt\left(\dfrac a<\sqrt>\sin x+ \dfrac b<\sqrt>\cos x \right)=\sqrt\big(a_1\sin x+b_1\cos x\big)$

Заметим, что таким образом мы добились того, что $a_1^2+b_1^2=1$ , т.к. $\left(\dfrac a>\right)^2+\left(\dfrac b>\right)^2=\dfrac=1$

Таким образом, можно утверждать, что существует такой угол $\phi$ , для которого, например, $\cos \phi=a_1, \ \sin \phi=b_1$ . Тогда наше выражение примет вид:

$\sqrt\,\big(\cos \phi \sin x+\sin \phi\cos x\big)=\sqrt\,\sin (x+\phi)$ (по формуле синуса суммы двух углов)

$\blacktriangleright$ Рассмотрим некоторые частные случаи формул вспомогательного угла:

$a) \ \sin x\pm\cos x=\sqrt2\,\left(\dfrac1\sin x\pm\dfrac1\cos x\right)=\sqrt2\, \sin \left(x\pm\dfrac<\pi>4\right)$

$b) \ \sqrt3\sin x\pm\cos x=2\left(\dfrac2\sin x\pm \dfrac12\cos x\right)=2\, \sin \left(x\pm\dfrac<\pi>6\right)$

$c) \ \sin x\pm\sqrt3\cos x=2\left(\dfrac12\sin x\pm\dfrac2\cos x\right)=2\,\sin\left(x\pm\dfrac<\pi>3\right)$

КОТАНГЕНС (ctg α) острого угла в прямоугольном треугольнике равняется отношение прилежащего катета к противолежащему катету.

Малая таблица значений тригонометрических функций (в радианах и градусах)

α (радианы)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	√3π/2	2π
α (градусы)	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
ctg α (Котангенс)	—	√3	1	1/√3	0	—	0	—

Полная таблица котангенсов для углов от 0° до 360°

Угол в градусах	Ctg (Котангенс)
0°	∞
1°	57.29
2°	28.6363
3°	19.0811
4°	14.3007
5°	11.4301
6°	9.5144
7°	8.1443
8°	7.1154
9°	6.3138
10°	5.6713
11°	5.1446
12°	4.7046
13°	4.3315
14°	4.0108
15°	3.7321
16°	3.4874
17°	3.2709
18°	3.0777
19°	2.9042
20°	2.7475
21°	2.6051
22°	2.4751
23°	2.3559
24°	2.246
25°	2.1445
26°	2.0503
27°	1.9626
28°	1.8807
29°	1.804
30°	1.7321
31°	1.6643
32°	1.6003
33°	1.5399
34°	1.4826
35°	1.4281
36°	1.3764
37°	1.327
38°	1.2799
39°	1.2349
40°	1.1918
41°	1.1504
42°	1.1106
43°	1.0724
44°	1.0355
45°	1
46°	0.9657
47°	0.9325
48°	0.9004
49°	0.8693
50°	0.8391
51°	0.8098
52°	0.7813
53°	0.7536
54°	0.7265
55°	0.7002
56°	0.6745
57°	0.6494
58°	0.6249
59°	0.6009
60°	0.5774
61°	0.5543
62°	0.5317
63°	0.5095
64°	0.4877
65°	0.4663
66°	0.4452
67°	0.4245
68°	0.404
69°	0.3839
70°	0.364
71°	0.3443
72°	0.3249
73°	0.3057
74°	0.2867
75°	0.2679
76°	0.2493
77°	0.2309
78°	0.2126
79°	0.1944
80°	0.1763
81°	0.1584
82°	0.1405
83°	0.1228
84°	0.1051
85°	0.0875
86°	0.0699
87°	0.0524
88°	0.0349
89°	0.0175
90°	0

Таблица котангенсов для углов от 91° до 180°

Угол	Ctg (Котангенс)
91°	-0.0175
92°	-0.0349
93°	-0.0524
94°	-0.0699
95°	-0.0875
96°	-0.1051
97°	-0.1228
98°	-0.1405
99°	-0.1584
100°	-0.1763
101°	-0.1944
102°	-0.2126
103°	-0.2309
104°	-0.2493
105°	-0.2679
106°	-0.2867
107°	-0.3057
108°	-0.3249
109°	-0.3443
110°	-0.364
111°	-0.3839
112°	-0.404
113°	-0.4245
114°	-0.4452
115°	-0.4663
116°	-0.4877
117°	-0.5095
118°	-0.5317
119°	-0.5543
120°	-0.5774
121°	-0.6009
122°	-0.6249
123°	-0.6494
124°	-0.6745
125°	-0.7002
126°	-0.7265
127°	-0.7536
128°	-0.7813
129°	-0.8098
130°	-0.8391
131°	-0.8693
132°	-0.9004
133°	-0.9325
134°	-0.9657
135°	-1
136°	-1.0355
137°	-1.0724
138°	-1.1106
139°	-1.1504
140°	-1.1918
141°	-1.2349
142°	-1.2799
143°	-1.327
144°	-1.3764
145°	-1.4281
146°	-1.4826
147°	-1.5399
148°	-1.6003
149°	-1.6643
150°	-1.7321
151°	-1.804
152°	-1.8807
153°	-1.9626
154°	-2.0503
155°	-2.1445
156°	-2.246
157°	-2.3559
158°	-2.4751
159°	-2.6051
160°	-2.7475
161°	-2.9042
162°	-3.0777
163°	-3.2709
164°	-3.4874
165°	-3.7321
166°	-4.0108
167°	-4.3315
168°	-4.7046
169°	-5.1446
170°	-5.6713
171°	-6.3138
172°	-7.1154
173°	-8.1443
174°	-9.5144
175°	-11.4301
176°	-14.3007
177°	-19.0811
178°	-28.6363
179°	-57.29
180°	∞

Таблица котангенсов для углов от 181° до 270°

Угол	Ctg (Котангенс)
181°	57.29
182°	28.6363
183°	19.0811
184°	14.3007
185°	11.4301
186°	9.5144
187°	8.1443
188°	7.1154
189°	6.3138
190°	5.6713
191°	5.1446
192°	4.7046
193°	4.3315
194°	4.0108
195°	3.7321
196°	3.4874
197°	3.2709
198°	3.0777
199°	2.9042
200°	2.7475
201°	2.6051
202°	2.4751
203°	2.3559
204°	2.246
205°	2.1445
206°	2.0503
207°	1.9626
208°	1.8807
209°	1.804
210°	1.7321
211°	1.6643
212°	1.6003
213°	1.5399
214°	1.4826
215°	1.4281
216°	1.3764
217°	1.327
218°	1.2799
219°	1.2349
220°	1.1918
221°	1.1504
222°	1.1106
223°	1.0724
224°	1.0355
225°	1
226°	0.9657
227°	0.9325
228°	0.9004
229°	0.8693
230°	0.8391
231°	0.8098
232°	0.7813
233°	0.7536
234°	0.7265
235°	0.7002
236°	0.6745
237°	0.6494
238°	0.6249
239°	0.6009
240°	0.5774
241°	0.5543
242°	0.5317
243°	0.5095
244°	0.4877
245°	0.4663
246°	0.4452
247°	0.4245
248°	0.404
249°	0.3839
250°	0.364
251°	0.3443
252°	0.3249
253°	0.3057
254°	0.2867
255°	0.2679
256°	0.2493
257°	0.2309
258°	0.2126
259°	0.1944
260°	0.1763
261°	0.1584
262°	0.1405
263°	0.1228
264°	0.1051
265°	0.0875
266°	0.0699
267°	0.0524
268°	0.0349
269°	0.0175
270°	0

Таблица котангенсов для углов от 271° до 360°

Угол	Ctg (Котангенс)
271°	-0.0175
272°	-0.0349
273°	-0.0524
274°	-0.0699
275°	-0.0875
276°	-0.1051
277°	-0.1228
278°	-0.1405
279°	-0.1584
280°	-0.1763
281°	-0.1944
282°	-0.2126
283°	-0.2309
284°	-0.2493
285°	-0.2679
286°	-0.2867
287°	-0.3057
288°	-0.3249
289°	-0.3443
290°	-0.364
291°	-0.3839
292°	-0.404
293°	-0.4245
294°	-0.4452
295°	-0.4663
296°	-0.4877
297°	-0.5095
298°	-0.5317
299°	-0.5543
300°	-0.5774
301°	-0.6009
302°	-0.6249
303°	-0.6494
304°	-0.6745
305°	-0.7002
306°	-0.7265
307°	-0.7536
308°	-0.7813
309°	-0.8098
310°	-0.8391
311°	-0.8693
312°	-0.9004
313°	-0.9325
314°	-0.9657
315°	-1
316°	-1.0355
317°	-1.0724
318°	-1.1106
319°	-1.1504
320°	-1.1918
321°	-1.2349
322°	-1.2799
323°	-1.327
324°	-1.3764
325°	-1.4281
326°	-1.4826
327°	-1.5399
328°	-1.6003
329°	-1.6643
330°	-1.7321
331°	-1.804
332°	-1.8807
333°	-1.9626
334°	-2.0503
335°	-2.1445
336°	-2.246
337°	-2.3559
338°	-2.4751
339°	-2.6051
340°	-2.7475
341°	-2.9042
342°	-3.0777
343°	-3.2709
344°	-3.4874
345°	-3.7321
346°	-4.0108
347°	-4.3315
348°	-4.7046
349°	-5.1446
350°	-5.6713
351°	-6.3138
352°	-7.1154
353°	-8.1443
354°	-9.5144
355°	-11.4301
356°	-14.3007
357°	-19.0811
358°	-28.6363
359°	-57.29
360°	∞

Чему равен котангенс 30? …

— Находим в нашей табличке нужное значение. Правильный ответ будет такой: 1.7321

Читайте также: