Как сделать корень четвертой степени

Обновлено: 04.07.2024

А сейчас мы рассмотрим свойства корней.

Квадратный корень, кубический корень и корень в N-ой степени.

Порешаем задачки, чтобы к концу этого занятия все, что касается корней (в любой степени) было тебе абсолютно понятно!

И, самое главное, чтобы ты смог решить любую задачу c корнями на экзамене!Поехали!

Свойства корней — коротко о главном

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа $ a$ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен $ a$

Свойства корней:

Для любого натурального $ n$, целого $ k$ и любых неотрицательных чисел $ a$ и $ b$ выполнены равенства:

Арифметический квадратный корень

Когда ты разберешься в этой теме, тебе станет намного легче решать иррациональные уравнения и неравенства.

Для этого рассмотрим примеры, с которыми ты уже сталкивался на уроках (ну, или тебе с этим только предстоит столкнуться).

К примеру, перед нами уравнение $ ^>=4$. Какое решение у данного уравнения? Какие числа можно возвести в квадрат и получить при этом $ 4$?

Вспомнив таблицу умножения, ты легко дашь ответ: $ 2$ и $ -2$ ( ведь при перемножении двух отрицательных чисел получается число положительное)!

Для упрощения, математики ввели специальное понятие квадратного корня и присвоили ему специальный символ $ \sqrt$.

Дадим определение арифметическому квадратному корню.

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа $ a$ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен $ a$
$ \left( \sqrt=x,\ ^>=a;\ \ x,a\ge 0 \right)$

А почему же число $ a$ должно быть обязательно неотрицательным?

Например, чему равен $ \sqrt$. Так-так, попробуем подобрать. Может, три?

Проверим: $ ^>=9$, а не $ -9$. Может, $ \left( -3 \right)$? Опять же, проверяем: $ <<\left( -3 \right)>^>=9$. Ну что же, не подбирается? Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число!

Это надо запомнить: число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

Такое замечание вполне уместно. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратных уравнений и арифметического квадратного корня из числа.

Квадратное уравнение или квадратный корень?

К примеру, $ ^>=4$ не равносильно выражению $ x=\sqrt$.

Из $ ^>=4$ следует, что $ \left| x \right|=\sqrt$, то есть $ x=\pm \sqrt=\pm 2$ или $ _>=2;\ _>=-2$.

А из $ x=\sqrt$ следует, что $ x=2$.

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки являются результатом решения уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.

В наше квадратное уравнение подходит как $ 2$, так и $ -2$.

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

А теперь попробуй решить такое уравнение $ ^>=3$.

Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля: $ ^>=0$ – не подходит.

Двигаемся дальше $ \text=1;\ ^>=1$ – меньше трех, тоже отметаем.

А что если $ x=2$; $ ^>=4$ – тоже не подходит, т.к. это больше трех.

С отрицательными числами получится такая же история.

И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?

Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между $ 1$ и $ 2$, а также между $ -2$ и $ -1$.

Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными. И что дальше?

Давай построим график функции $ y=^>$ и отметим на нем решения. (Прочти по ссылке как использовать график функции для решения уравнений)

Давай попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора! Извлечем корень из $ 3$, делов-то! Ой-ой-ой, выходит, что $ \sqrt=1,732050807568…$.

Такое число никогда не кончается.

Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!? Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. $ \sqrt$ и $ -\sqrt$ уже сами по себе ответы.

Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

Рассмотрим еще один пример для закрепления.

Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной $ \displaystyle 1$ км, сколько км тебе предстоит пройти?

Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора: $ ^>=<^>+<^>$. Таким образом, $ ^>=1+1=2$.

Так чему же здесь равно искомое расстояние?

Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что $ c=\sqrt$. Корень из двух приблизительно равен $ 1,41$, но, как мы заметили раньше, $ \sqrt$ -уже является полноценным ответом.

Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать. Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от $ 1$ до $ 20$, а также уметь их распознать.

К примеру, необходимо знать, что $ 15$ в квадрате равно $ 225$, а также, наоборот, что $ 225$ – это $ 15$ в квадрате.

Вот тебе полная таблица квадратов чисел. Сверху строка — основание степени, слева в столбик показатель степени, на пересечение искомое значение степени. Запомнить нужно только то, что выделено зеленым.

Понятие корня из четвёртой степени можно рассмотреть на примере уравнения вида: x*x*x*x=y. Корнем четвёртой степени из числа y является x. Из этого уравнения видно, что число, из которого извлекается корень, не может быть отрицательным. Корень из ноля даёт ноль.Найти x можно несколькими способами.

Как найти корень четвёртой степени
Как найти корень степени из числа
Как решать уравнения четвертой степени

Калькулятор, или компьютер, или лист бумаги и ручка.

Вычислить корень четвёртой степени можно, если дважды извлечь квадратный корень из числа. На большинстве калькуляторов есть функция извлечения квадратного корня. Такая функция есть в служебных программах Windows. В Интернете существуют также онлайн-программы.

Можно вычислить корень четвёртой степени, возведя число y в степень ¼ или 0,25. Сделать это можно в программе Microsoft Excel. Введите в строке функций: =y^(1/4) или =y^0,25. Нажав “Enter”, вы получите ответ в выделенной ячейке.

Если под рукой нет техники, можно найти приблизительное значение корня методом итерации, т.е. повторения. Возьмите число, умножьте само на себя четыре раза, сравните результат с числом y. Затем возьмите другое число, больше или меньше предыдущего, в зависимости от результата. Так повторите несколько раз, пока не получите результат достаточной точности.

Также существует интересный алгоритм вычисления квадратных корней. Воспользовавшись им дважды, вы получите корень четвёртой степени. Рассмотрим его на примере числа 7072781.

Начиная справа, отделите по две цифры:70.72.81. Подберите наибольшее число, квадрат которого будет меньше 70 - первой части числа – 8. Это первая цифра вашего результата.

Возведите эту цифру в квадрат и вычтите из 70: 70-64=6. Припишите её слева ко второй части числа – 672. Удвойте первую цифру результата: 8*2=16. Затем найдите наибольшее число, приписав которое к 16 и умножив на него полученную цифру, вы получите наибольший результат, не превышающий 672: 164*4=656

Далее действуйте так: 672-656=16 Приписываете 16 слева к третьей части – 1681. Удваиваете 84 – две уже известные цифры результата: 84*2=168. Находите число, дописав которое справа и умножив на него, вы получаете в этот раз ровно 1681: 1681*1=1681. Цифра 1 - третий знак ответа. Квадратный корень из 7072781 равен 841.

Если вы не получили равенства, нужно повторить операцию, чтобы найти цифры ответа после запятой. Двумя цифрами следующей части будут два ноля. Вычисления производятся до достижения необходимой точности ответа. Если в вашем числе остались ещё части, также повторяете операцию. Затем применяете весь алгоритм с самого начала и извлекаете квадратный корень из числа 841. Полученный ответ - 29.

Этот необычный способ позволяет вычислить корень 4 степени, если ответ является целым числом.

Чтобы вычислить корень четвертой степени, надо число, стоящее под знаком корня, разложить в виде суммы нечетных слагаемых. Искомое значение корня 4 степени равно количеству слагаемых в разложении. Рассмотрим, как этим способом вычислить корень 4 степени, на конкретных примерах:

$\begin</p> <p>> = 1> \\ > = \sqrt[4]> = 2> \\ > = \sqrt[4]> = 3> \\ > = \sqrt[4]> = 4> \\ > = \sqrt[4]> = 5> \\ > = \sqrt[4]> = 6> \\ > = \sqrt[4]> = 7> \\ > = \sqrt[4]> = 8> \\ > = \sqrt[4]> = 9> \\ > = \sqrt[4]> = 10> \end$

Число, с которого начинается разложение в n-й строке, ищем следующим образом:

$<n^3></p> <p> - (n - 1)$

С прикладной точки зрения этот способ не очень востребован. Тем не менее, такой подход у вычислению корня 4 степени заслуживает внимания и демонстрирует интересное свойство нечетных чисел.

Для возведения числа в степень и нахождения корня, введите число и степень.

Возведение в положительную и отрицательную степень

Положительная степень

Степень числа a с натуральным показателем n (n>1) можно представить в виде произведения

Пример Выполнить возведение в степень.

Выполним возведение в степень положительных и отрицательных чисел, десятичных дробей, правильных и смешанных дробей.

Отрицательная степень

Степень числа a с отрицательным натуральным показателем n (n Пример Вычислить значение числа в отрицательной степени.

Пример Выполните возведение дроби в отрицательную степень.

Иногда значительно легче вычислить дробь в отрицательной степени, сразу поменяв числить и знаменатель местами и умножив степень на -1. Рассмотрим данное преобразования на примерах.

Корень из числа

Корень нечётной степени из положительного числа

В результате вычисления корня нечётной степени из положительного числа будет положительное число: .

Пример Вычислим корни нечётной степени из 8, 27, 125, 243

Корни 3 степени также называют кубическими корнями.

В результате вычисления корней 5-ой степени из положительных чисел, получили также положительные числа.

Корень нечётной степени из отрицательного числа

В результате вычисления корня нечётной степени из отрицательного числа будет отрицательное число: .

Пример Найдем корни 3 и 5 степеней из отрицательных чисел.

Корень четной степени из положительного числа

Корень чётной степени из положительного числа имеет два значения, положительное и отрицательное: .

Пример Вычислим корни 2 и 4 степени.

Корень 2-й степени называют квадратный корнем.

Корень четной степени из отрицательного числа

Корень четной степени из отрицательного числа не существует для вещественных чисел.

Корень любой степени из нуля

Числа в степени -1, 0, 1

Число в -1 степени

Число 3 в -1 степени можно представить в виде дроби .Обратная операция также верна , любую дробь можно представить как число в -1 степени, для этого нужно поменять числить и знаменатель местами.

Число является обратным числом 5, т.е. их произведение равно единице , такое равенство выполнено для любого числа

Пример Представить дробь в степени -1

Число в 1 степени

Число в первой степени является самим числом a 1 =a

Число в 0 степени

Любое число в степени ноль равно единице a 0 =1

Читайте также: