Как сделать каноническое уравнение параболы

Добавил пользователь Дмитрий К.
Обновлено: 04.10.2024

Кривая второго порядка - это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:

Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах - при вторых степенях одновременно не нули.

или можно встретить следующую форму записи:

К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Покажем на примере определение значений коэффициентов.

Рассмотрим кривую второго порядка:

Вычислим определитель из коэффициентов:

Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,

если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,

если Δ F₁ и F₂ - фокусы.

с - фокальное расстояние,

Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат:

2а - большая ось эллипса, 2b - малая ось эллипса.

а - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса.

Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b:

Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x₀;y₀), оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Эксцентриситет - число, равное отношению фокального расстояния к большей полуоси:

Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут.

Гипербола - множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками.

с - фокальное расстояние,

Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.

Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат:

x - действительная ось, y - мнимая ось.

а - действительная полуось, b - мнимая полуось.

Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x₀;y₀), оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид:

Эксцентриситет гиперболы - число, равное отношению фокусного расстояния к действительной полуоси.

Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох.

Директриса гиперболы - прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящая от нее на расстоянии a/Ε.

f₁ - правая директриса, f₂ - левая директриса.

Порядок построения гиперболы :

1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b.

2. Провести асимптоты гиперболы - диагонали построенного прямоугольника.

3. Строим гиперболу с вершинами в точках А₁ (-а;0), А ₂ (а;0).

Параболой называется линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
y^=2px\label
$$
при условии $p > 0$.

Из уравнения \eqref вытекает, что для всех точек параболы $x \geq 0$. Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Форма параболы известна из курса средней школы, где она встречается в качестве графика функции $y=ax^$. Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством $2p=a^$.

Фокусом параболы называется точка $F$ с координатами $(p/2, 0)$ в канонической системе координат.

Директрисой параболы называется прямая с уравнением $x=-p/2$ в канонической системе координат ($PQ$ на рис. 8.11).

Рис. 8.11. Парабола.

Свойства параболы.

Расстояние от точки $M(x, y)$, лежащей на параболе, до фокуса равно
$$
r=x+\frac

.\label
$$

Вычислим квадрат расстояния от точки $M(x, y)$ до фокуса по координатам этих точек: $r^=(x-p/2)^+y^$ и подставим сюда $y^$ из канонического уравнения параболы. Мы получаем
$$
r^=\left(x-\frac

\right)^+2px=\left(x+\frac

\right)^.\nonumber
$$
Отсюда в силу $x \geq 0$ следует равенство \eqref.

Заметим, что расстояние от точки $M$ до директрисы также равно
$$
d=x+\frac

.\nonumber
$$

Следовательно, мы можем сделать следующий вывод.

Для того чтобы точка $M$ лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директрисы этой параболы.

Докажем достаточность. Пусть точка $M(x, y)$ одинаково удалена от фокуса и от директрисы параболы:
$$
\sqrt<\left(x-\frac

\right)^+y^>=x+\frac

.\nonumber
$$

Возводя это уравнение в квадрат и приводя в нем подобные члены, мы получаем из него уравнение параболы \eqref. Это заканчивает доказательство.

Параболе приписывается эксцентриситет $\varepsilon=1$. В силу этого соглашения формула
$$
\frac=\varepsilon\nonumber
$$
верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы.

Уравнение касательной к параболе.

Выведем уравнение касательной к параболе в точке $M_(x_, y_)$, лежащей на ней. Пусть $y_ \neq 0$. Через точку $M_$ проходит график функции $y=f(x)$, целиком лежащий на параболе. (Это $y=\sqrt$ или же $y=-\sqrt$, смотря по знаку $y_$.) Для функции $f(x)$ выполнено тождество $(f(x))^=2px$, дифференцируя которое имеем $2f(x)f'(x)=2p$. Подставляя $x=x_$ и $f(x_)=y_$, находим $f'(x_)=p/y_$ Теперь мы можем написать уравнение касательной к параболе
$$
y-y_=\frac

(x-x_).\nonumber
$$
Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним, что $y_^=2px_$. Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид
$$
yy_=p(x+x_).\label
$$

Заметим, что для вершины параболы, которую мы исключили, положив $y_ \neq 0$, уравнение \eqref превращается в уравнение $x=0$, то есть в уравнение касательной в вершине. Поэтому уравнение \eqref справедливо для любой точки на параболе.

Касательная к параболе в точке $M_$ есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезком, который соединяет $M_$ с фокусом, и лучом., выходящим из этой точки в направлении оси параболы (рис. 8.12).

Рассмотрим касательную в точке $M_(x_, y_)$. Из уравнения \eqref получаем ее направляющий вектор $\boldsymbol(y_, p)$. Значит, $(\boldsymbol, \boldsymbol_)=y_$ и $\cos \varphi_=y_/\boldsymbol$. Вектор $\overrightarrow$ имеет компоненты $x_=p/2$ и $y_$, а потому
$$
(\overrightarrow, \boldsymbol)=x_y_-\frac

y_+py_=y_(x_+\frac

).\nonumber
$$
Но $|\overrightarrow|=x_+p/2$. Следовательно, $\cos \varphi_=y_/|\boldsymbol|$. Утверждение доказано.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса), и данной прямой (директрисы).

По определению | KM |=| MF | , тогда с учетом

, получим уравнение

. Возведем это равенство в квадрат:

Это каноническое уравнение параболы ветвью вправо (рис. 2.8).

Очевидно, что x ≥ 0 и каждому x соответствует два значения y , равных по величине и противоположных по знаку, следовательно, парабола симметрична относительно оси 0 x .

Эксцентриситет параболы (аналогично эллипсу и гиперболе) определяется формулой:

_. Можно показать, что парабола ветвью влево (рис. 2.9), имеет уравнение y 2 = – 2 px .

Для параболы ветвями вверх ( рис. 2.10 ) или вниз (рис. 2.11 ) уравнения выводятся аналогично уравнению (2.19) и имеют соответственно канонический вид x 2 =2 py и y 2 =2 px.

Пример 2.7. Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки A (3;–4) равно расстоянию до прямой y = 2 . Полученное уравнение привести к каноническому виду.

Решение. Пусть M ( x ; y ) – текущая точка искомой кривой. Опустим из точки M перпендикуляр MB на прямую y = 2. Тогда точка B имеет координаты ( x ; 2). Так как по условию MA = MB , то

Полученное уравнение определяет параболу ветвью вниз и с вершиной в точке O ’ ( 3;–1). Точка A ( 3;–4) является фокусом параболы. Для приведения уравнения к простейшему (каноническому) виду положим x – 3= x ’ , y + 1= y ’ . Тогда в системе координат x ’ 0 ’ y ’ уравнение параболы принимает следующий вид: x ’2 = –12 y ’ .

Примечание. При вращении параболы вокруг ее оси образуется параболоид вращения

Директриса параболы — такая прямая, кратчайшее расстояние от которой до любой точки, принадлежащей параболе, точно такое же, как расстояние от этой точки до фокуса.

Вершина параболы — точка пересечения параболы с ее осью. Она считается началом системы координат, канонической для данной кривой.

Вершина — середина перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису. Таким образом, директриса перпендикулярна оси симметрии и проходит на расстоянии р/2 от вершины параболы. Число р — фокальный параметр, расстояние от фокуса до директрисы. Поскольку все параболы подобны, именно эта характеристика определяет масштаб конкретной параболы.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Каноническое уравнение параболы

Каноническое уравнение параболы:

Если расположить параболу слева от оси ординат, уравнение примет вид:

Уравнение директрисы параболы, если вершина не в пересечении осей координат

Формула директрисы параболы имеет вид:

Если вершину перенести в точку $(x_0;\;y_0)$ , отличную от начала осей координат, каноническое уравнение примет вид:

Алгоритм расчета

Если уравнение параболы приведено в виде квадратного многочлена, перенесем все слагаемые с y в левую часть уравнения, а с х — в правую.
Упростим выражение, выделив полный квадрат относительно одной из переменных.
Введем новые переменные $(x_1;\;y_1)$ , чтобы привести уравнение к каноническому виду, ведя при этом отсчет с новой точки начала координат.
Вычислим параметр р и фокус, запишем уравнение директрисы.
Вернемся к старым координатам, заменив $(x_1;\;y_1)$ на х и y.

Фокус параболы

Расстояние от точки фокуса (F) до любой точки параболы равняется расстоянию от этой точки к директрисе.

Чтобы составить уравнение директрисы, нужно знать фокальный параметр.

Фокальный параметр — половина длины хорды, проходящей через её фокус перпендикулярно фокальной оси.

Примеры решения задач

Задача №1

Составить уравнение директрисы параболы $y^2\;=\;6x$ .

Решение

Сравнив каноническое уравнение с данным, получим:

Уравнение директрисы — $х\;=\;-\frac р2.$

В данном случае оно будет выглядеть так:

Задача №2

Найти директрису параболы, заданной уравнением $4х^2\;-\;12х\;+\;y\;+\;6\;=\;0.$

Решение

Преображаем многочлен, находим полный квадрат относительно переменной х:

Пусть $(y — 3)$ будет $y_1$ , а $(х\;-\;\frac32)$ — $х_1$ .

Тогда, перенеся начало координат в точку $(x_1;\;y_1)$ , получим каноническое уравнение $х_1^2\;=\;-y_1$ .

Тогда уравнение директрисы — $y_1=\;\frac1$ .

Заменив $y_1$ на $(y — 3)$ , получим уравнение: $y\;–\;3\;=\;\frac1$

Читайте также: