Как сделать из степенной функции линейную

Обновлено: 28.06.2024

В данной публикации мы рассмотрим определение и формулу степенной функции, а также покажем возможные виды ее графиков (прямая, гипербола, парабола и т.д.).

Определение степенной функции

Степенная функция – это функция вида , где:

a – показатель степени, является действительным числом, a ≠ 0;
x – основание степени, это свободная переменная.

Примеры:

К степенной часто относят функцию вида , где k – любой ненулевой коэффициент.

График степенной функции

Вид графика зависит от того, какие значения принимают показатель степени a и коэффициент k функции.

Зависимость одной величины от другой математики называют функций одной величины от другой.

Вес — это функция от съеденных круассанов. Чем меньше съел, тем меньше весишь.

Расстояние — это функция времени. Чем дольше ты будешь идти, тем больше пройдешь.

Ну а теперь перейдем к одному из видов функций – линейной функции.

Линейная функция — коротко о главном

Линейная функция –это функция вида \( y=kx+b\), где \( k\) и \( b\) – любые числа (коэффициенты).

Рассмотрим, как коэффициенты влияют на месторасположение графика:

\( k\) — отвечает за угол наклона графика (\( \displaystyle k=tg\alpha \))
\( \displaystyle b\) — точка пересечения с \( \displaystyle Oy\)

Общие варианты представлены на рисунке:

Линейная функция

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).

Например, для функции \( y=\sqrt\) отрицательные значения аргумента \( x\) – недопустимы.

Ну и вернемся, наконец, к теме данной статьи.

Линейной называется функция вида \( y=kx+b\), где \( k\) и \( b\) – любые числа (они называются коэффициентами).

Другими словами, линейная функция – это такая зависимость, что функция прямо пропорциональна аргументу.

Как думаешь, почему она называется линейной?

Все просто: потому что графиком этой функции является прямая линия. Но об этом чуть позже.

Область определения линейной функции

Какими могут быть значения аргумента линейной функции \( y=kx+b\)? Правильно, любыми. Это значит, что область определения – все действительные числа:

\( D\left( y \right)=\mathbb\)

или \( D\left( y \right)=\left( -\infty ;+\infty \right)\).

А множество значений?

Область значений линейной функции

Тут тоже все просто: поскольку функция прямо пропорциональна аргументу, то чем больше аргумент \( x\), тем больше значение функции \( y\).

Значит, \( y\) так же как и \( x\) может принимать все возможные значения, то есть \( E\left( y \right)=\mathbb\), верно?

Верно, да не всегда. Есть такие линейные функции, которые не могут принимать любые значения. Как думаешь, в каком случае возникают ограничения?

Вспомним формулу: \( y=kx+b\). Какие нужно выбрать коэффициенты \( k\) и \( b\), чтобы значение функции y не зависело от аргумента \( x\)?

А вот какие: \( b\) – любое, но \( k=0\). И правда, каким бы ни был аргумент \( x\), при умножении на \( k=0\) получится \( 0\)!

Тогда функция станет равна \( y=0\cdot x+b=b\), то есть она принимает одно и то же значение при всех \( x\):

\( y = kx + b:>\left[ \beginE\left( y \right) = \mathbb>k \ne 0\\E\left( y \right) = \left\< b \right\>>k = 0.\end \right.\)

Теперь рассмотрим несколько задач на линейную функцию.

Три задачи на линейную функцию

При увеличении аргумента функции \( y=kx+b\) на \( 2\), функция увеличилась на \( 4\). Найдите коэффициент \( k\).
При увеличении аргумента функции \( y=kx+b\) на \( 1\), функция уменьшилась на \( 3\). Найдите коэффициент \( k\).
Дана функция \( y=kx+b\). При \( x=3:y=1\), а при \( x=5:y=-1\). Определите коэффициенты \( k\) и \( b\) функции.

Решение задачи №1

Пусть начальное значение аргумента равно некому числу \( _>\). После увеличения на \( 2\) аргумент стал равен: \( _>=_>+2\).

Чему была равна функция до увеличения? Подставляем аргумент в формулу:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Решение задачи №2

Аналогично предыдущей задаче:

Начальное значение аргумента равно \( _>\), конечное – \( _>=_>+1\).

Начальное значение функции: \( _>=k_>+b\);

В этот раз функция не увеличилась, а уменьшилась. Это значит, что конечное значение будет меньше начального, а значит, изменение (разность конечного и начального) будет отрицательным:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Определение прямой пропорциональной зависимости

Если проанализировать решения этих двух задач, можно прийти к важному выводу.

При изменении аргумента линейной функции на \( \Delta x\) функция изменяется на \( k\cdot \Delta x\). То есть изменение функции всегда ровно в \( \mathbf\) раз больше изменения аргумента.

По сути это является определением прямой пропорциональной зависимости.

Решение задачи №3

Подставим известные значения аргумента и функции в формулу \( y=kx+b\):

Получили два уравнения относительно \( k\) и \( b\). Теперь достаточно решить систему этих двух уравнений:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

График линейной функции

Как я уже упоминал ранее, график такой функции – прямая линия.

Как известно из геометрии, прямую можно провести через две точки (то есть, если известны две точки, принадлежащие прямой, этого достаточно, чтобы ее начертить).

Предположим, у нас есть функция линейная функция \( y=2x+1\). Чтобы построить ее график, нужно вычислить координаты любых двух точек.

То есть нужно взять любые два значения аргумента \( x\) и вычислить соответствующие два значения функции.

Затем для каждой пары \( \left( x;y \right)\) найдем точку в системе координат, и проведем прямую через эти две точки.

Проще всего найти функцию, если аргумент \( x=0:y\left( 0 \right)=2\cdot 0+1=1\).

Итак, первая точка имеет координаты \( \left( 0;1 \right)\).

Теперь возьмем любое другое число в качестве \( x\), например, \( x=1:y\left( 1 \right)=2\cdot 1+1=3\).

Вторая точка имеет координаты \( \left( 1;3 \right)\).

Ставим эти две точки на координатной плоскости:

Теперь прикладываем линейку, и проводим прямую через эти две точки:

Вот и все, график построен!

Давай теперь на этом же рисунке построим еще два графика: \( y= -1\) и \( y=-x+2\).

Построй их самостоятельно так же: посчитай значение y для любых двух значений \( x\), отметь эти точки на рисунке и проведи через них прямую.

Должно получиться так:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Видно, что все три прямые по-разному наклонены и в разных точках пересекают координатные оси. Все дело тут в коэффициентах \( \displaystyle k\) и \( \displaystyle b\).

Давай разберемся, на что они влияют.

Коэффициенты линейной функции

Для начала выясним, что делает коэффициент \( \displaystyle b\). Рассмотрим функцию \( \displaystyle y=x+b\), то есть \( \displaystyle k=1\).

Меняя \( \displaystyle b\) будем следить, что происходит с графиком.

Итак, начертим графики для разных значений \( \displaystyle b:b=-2,\text< ->1,\text< >0,\text< >1,\text< >2\):

Что ты можешь сказать о них? Чем отличаются графики?

Это сразу видно: чем больше \( \displaystyle b\), тем выше располагается прямая.

Более того, заметь такую вещь: график пересекает ось \( \displaystyle \mathbf\) в точке с координатой, равной \( \displaystyle \mathbf\)!

И правда. Как найти точку пересечения графика с осью \( \displaystyle y\)? Чему равен \( \displaystyle x\) в такой точке?

В любой точке оси ординат (это название оси \( \displaystyle y\), если ты забыл) \( \displaystyle x=0\).

Значит достаточно подставить \( \displaystyle x=0\) в функцию, и получим ординату пересечения графика с осью \( \displaystyle y\):

\( \displaystyle y=k\cdot 0+b=b\)

Теперь по поводу \( \displaystyle k\). Рассмотрим функцию \( \displaystyle \left( b=0 \right).\) Будем менять \( \displaystyle k\) и смотреть, что происходит с графиком.

Построим графики для \( \displaystyle k=-3,\text< ->1,\text< >0,\text< >1,\text< >2:\)

Так, теперь ясно: \( \displaystyle k\) влияет на наклон графика.

Выберем на графике две точки \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\). Для простоты выберем точку \( \displaystyle A\) на пересечении графика с осью ординат. Точка \( \displaystyle B\) – в произвольном месте прямой, пусть ее координаты равны \( \displaystyle \left( x;y \right)\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \displaystyle ABC\), построенный на отрезке \( \displaystyle AB\) как на гипотенузе.

Из рисунка видно, что \( \displaystyle AC=x\), \( \displaystyle BC=y-b\).

Подставим \( \displaystyle y=kx+b\) в \( \displaystyle BC:BC=y-b=kx+b-b=kx\).

Получается, что \( BC = k \cdot AC> \Rightarrow >k = \frac>> = <\mathop<\rm tg>\nolimits> \alpha \).

Итак, коэффициент \( \displaystyle k\) равен тангенсу угла наклона графика, то есть угла между графиком и осью абсциссс.

Именно поэтому его (коэффициент \( \displaystyle k\)) обычно называют угловым коэффициентом.

В случае, когда \( k

Если же \( \displaystyle k=0\), тогда и \( <\mathop<\rm tg>\nolimits> \alpha = 0,\) следовательно \( \displaystyle \alpha =0\), то есть прямая параллельна оси абсцисс.

Понимать геометрическое значение коэффициентов очень важно, оно часто используется в различных задачах на линейную функцию.

Разбор еще трех задач на линейную функцию

1. Найдите коэффициенты \( \displaystyle k\) и \( \displaystyle b\) линейной функции, график которой приведен на рисунке. Запишите уравнение этой функции.

2. Найдите коэффициенты \( \displaystyle k\) и \( \displaystyle b\) линейной функции, график которой приведен на рисунке. Запишите уравнение этой функции.

3. График какой из функций изображен на рисунке?

Решение задачи №1

Коэффициент \( b\) найти проще простого – это ведь точка пересечения графика с осью \( \displaystyle Oy\):

Угловой коэффициент \( \displaystyle k\) – это тангенс угла наклона прямой.

Для его нахождения выберем две точки \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\) на графике и построим прямоугольный треугольник с гипотенузой \( \displaystyle AB\):

Параллельный перенос, сжатие и растяжение графиков. Построение графиков с модулями.

Графики многих функций можно получить из ранее рассмотренных с помощью элементарных геометрических преобразований: параллельного переноса, сжатия, растяжения, симметричного отображения. Рассмотрим некоторые из этих преобразований. Для каждого из элементарных преобразований предлагается два способа построения графика: с помощью преобразования графика и с помощью преобразования системы координат. Обучающийся должен выбрать тот, который кажется ему проще и овладеть им. В каждом случае считается известным график функции у = f(х).

Параллельный перенос графиков

График функции у = /(x) + Ь получается из графика функции у = f(х) с помощью его переноса на вектор b = (0; b). Действительно, в этом случае ко всем ординатам графика у = f(х) прибавляется величина b, что означает сдвиг графика вдоль оси Оу. Если b > 0, то график функции у = f(х) переносится вверх параллельно оси Oy на b, если b 0 — вниз, если b Рис. 49. Построение графика функции у = f(x) + b

Пример:

График функции у = x² — 1 (рис. 50) смещен на 1 вниз параллельно оси Oy относительно графика функции у = х².

Рис. 50. Построение графика функции у = x² — 1

График функции у = f(x+a) получается с помощью переноса графика функции у = f(x) на вектор а = (—а;0). Действительно, перейдя к новым координатам X = х + α, Y = у параллельным переносом вдоль оси Ox на —а, заметим, что относительно новых координат получится исходный график функции Y = f(X). Если а > 0, то старые координаты получаются из новых сдвигом направо вдоль оси Ox на α, т.к. х = X — а. Если же сдвигать график, а не систему координат, то его нужно двигать в противоположном направлении — налево. Итак, если а > 0, то график функции у = f(x) переносится налево параллельно оси Ox на а, если а 0 — вправо, если α Рис. 51. Построение графика функции у = f(x + а) Рис. 52. Построение графика функции у = (х — 2)²

Сжатие и растяжение графиков

Пользуясь изложенными методами, приведем последовательность преобразований при построении графика функции у = f(kx + b), если дан график функции у = f(x):

нарисовать график функции у = f(x);
получить график функции у = f(x + b), сдвинув исходный на вектор b = (-b; 0), как описано в п. 5.1;
получить график функции у = f(kx + b), “сжав” предыдущий в к раз к оси Оу, как описано выше.

Пример:

Написать последовательность преобразований и построить график функции у = .

Решение:

Построение графика показано на рис. 55

Замечание:

Построение графиков с модулями

График функции у = ∣f(x)∣ получается из графика функции у = f(x) следующим образом (рис. 56)

все части графика функции у = f(x), лежащие ниже оси Ох, следует отобразить вверх симметрично относительно этой оси;
оставшиеся внизу части исходного графика следует стереть.

Действительно, по определению модуля действительного числа имеем:
(5.1)

Таким образом, те участки исходного графика, которые лежат не ниже оси Ox (f(x) ≥ 0), менять не нужно, а для тех участков, которые лежат ниже оси Ох, нужно построить функцию у = —f(x). В соответствии с п. 5.2 это получается симметричным отображением исходного графика относительно оси Ох. Заметим, что полученный график лежит не ниже оси Ох, что естественно, т.к. |f(x)| ≥ 0 для ∀x ∈ D(f).

Рис. 55. Построение графика функции у = Рис. 56. Построение графика функции у = |f(x)|

Пример:

Построение графика функции у = |х² — 1| показано на рис. 57.

График функции у = f (|x|) получается из графика функции у = f(х) следующим образом (рис. 58):

все части графика функции у = f(x), лежащие слева от оси Оу, следует стереть;
о оставшуюся часть графика следует отобразить налево симметрично относительно оси Оу.

Действительно, по определению модуля действительного числа имеем:
(5.2)

Рис. 57. Построение графика функции у = |x² — 1|

Таким образом, не нужно изменять те участки исходного графика, для которых х ≥ 0, а для х Рис. 58. Построение графика функции у = f(|x|)

Пример:

Построение графика функции у = (|x| — 2)² показано на рис. 59

Элементарными методами можно строить эскизы графиков более сложных функций.

Пример:

Построить эскиз графика у =

Решение:

Построение графика показано на рис. 60. Заметим, что график отсутствует там, где sin х Рис. 59. Построение графика функции у = (∣x∣ — 2)²

Кроме того, так как √u > и при 0 Рис. 60. Построение графика функции у = √sinx

Построение графиков функций с примерами

Пример:

C помощью элементарных преобразований постройте график функции: у = x² — х — 2.

Решение:

Выделим полный квадрат из правой части уравнения функции: у = x² — х — 2 ⇔ y = x²-x+ ⇔ у = . График этой функции получается следующей последовательностью элементарных преобразований (рис. 61):
1) y =x²
2) у =. Сдвиг вправо вдоль Ox на .
3) у = . Сдвиг вниз вдоль Oy на .

Рис. 61. Построение графика функции у = x² — х — 2

Пример:

Используя сложение, деление функций, постройте график функции: у = х + .

Решение:

В одних осях координат нарисуем графики следующих функций (рис. 62):
1) у = х,
2) y= ,
3) y = x + .

Рис. 62. Построение графика функции у = х +

Пример:

Постройте график сложной функции у = sin² х.

Решение:

В одних осях координат нарисуем графики функций:

1) y = sin x,
2) y = sin² х.

Учитывая, что квадрат числа меньшего единицы, меньше исходного числа, получим график (рис. 63)

Рис. 63. Построение графика функции у = sin² х

Пример:

Постройте график функции в полярной системе координат: r = (прямая линия).

Решение:

Вычислим значения г для некоторых значений ∈ (0; π) — см. таблицу.

	0
r	∞	2			∞

Рис. 64. График функции r =

Соединив плавной линией найденные точки, получим линию вдоль оси Ох, проходящую через точку (0;1). Докажем что эта линия — прямая (рис. 64). Действительно: из Δ ОAВ ⇒ cos = = ⇒ r = .

Пример:

Постройте линию, описываемую уравнением, у =

Решение:

Сначала построим график функции у = (рис. 65). Затем, пользуясь определением |x| (2.1), строим график (рис. 66) функции у =

Наконец, строим линию описываемую уравнением у = (рис. 67):

Рис. 65. График функции у = Рис. 66. График функции у = Рис. 67. График функции у =

Пример:

Постройте линию, описываемую уравнением у =

Решение:

Для построения графика данного примера сначала постройте график функции у =. Затем, в соответствии с определением |х|, сотрите ту часть графика, которая расположена слева от оси Оу, а оставшуюся справа часть, отразите симметрично оси Оу.

Рис. 68. График функции у =

Пример:

Постройте линию, описываемую уравнением у = |х² — х -2|.

Решение:

Для построения графика данного примера сначала постройте график функции у = х² — х — 2. Затем отразите симметрично оси Ox ту часть графика, которая осталась снизу от оси Ох. Затем сотрите ту часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости.

Рис. 69. График функции у = |х² — х — 2|

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

БлогNot. Excel: как построить степенной полином функцией ЛИНЕЙН

Excel: как построить степенной полином функцией ЛИНЕЙН

Сейчас мы хотим, во-первых, построить в Excel интерполирующий полином тоже стандартной функцией, во-вторых, не вдаваясь в детали теории, понять смысл этой простой задачи - как построить кривую, проходящую через несколько известных точек на плоскости.

Итак, по известному набору из N значений функции f(x_i)=y_i , заданному парой векторов x_i, y_i=f(x_i) , i=1, 2, . N , нужно построить кривую, проходящую через все точки.

Через N различных между собой по оси x точек всегда можно построить кривую, зависящую от x N-1 , её уравнение будет иметь общий вид

В этом уравнении нам неизвестны коэффициенты с_i . Из условия, что кривая проходит через все заданные в постановке задачи точки, можно записать систему линейных алгебраических уравнений:

или, в матричном виде

Система линейных алгебраических уравнений, записанная в матричном виде

Решив эту систему уравнений, то есть, найдя обратную к матрице Вандермонда матрицу и умножив её на вектор y , найдём коэффициенты с_i . Теперь, подставив их в уравнение (1), мы можем аналитически оценить значение функции в произвольной точке x .

Ниже показано "ручное" решение в Excel и решение с помощью стандартной функции ЛИНЕЙН.

Скриншот файла Excel с решением

C2 - формируем матрицу из степеней значений x ; избегаем при этом возведения нуля в нулевую степень, заменяя любое число, возводимое в нулевую степень, единицей; ввести формулу в ячейку C2 ; затем растягиваем формулу на ячейки C2:C5 , отпускаем левую кнопку мыши и, не снимая выделения, растягиваем на столбцы D:F (см. Пояснение 1 ниже);
G2:G5 - вычисляем коэффициенты полинома c_i "вручную", обратив матрицу и умножив её на вектор значений y_i ; выделить диапазон G2:G5 ; не снимая выделения, ввести формулу в ячейку G2 ; не снимая выделения, нажать комбинацию клавиш Crl+Shift+Enter (см. Пояснение 2 ниже);
I2 - вычисляем полином третьей степени в точках, не обязательно совпадающих с исходными; по выделенным жирным шрифтом значениям полинома видно, что он прошёл через исходные точки; ввести формулу в ячейку I2 , растянуть за уголок до I8 ;
J2:J5 - вычисляем коэффициенты полинома c_i с помощью функции ЛИНЕЙН , пример в справке (пример 2), к сожалению, прямо ошибочен, плюс не показывает вычисление нескольких коэффициентов полинома; выделить диапазон J2:J5 ; не снимая выделения, ввести формулу в ячейку G2 ; не снимая выделения, нажать комбинацию клавиш Crl+Shift+Enter ; коэффициенты возвращаются в "перевёрнутом" по отношению к нашему ручному расчёту виде;
K2 - для единообразия расчёта переворачиваем массив коэффициентов, готовой функции для этого нет, показан образец, как перевернуть диапазон в Excel; ввести формулу в ячейку K2 , растянуть за уголок до K5 ;
L2 - вычисляем полином третьей степени в тех же точках H2:H8 , в которых вычисляли его значения первым способом; ввести формулу в ячейку L2 , растянуть за уголок до L8 ; видно, что кривая также прошла через исходные точки данных.

Пояснение 1. Как растянуть формулу на матрицу значений

1. Введите требуемую формулу и нажмите Enter , на рисунке показан вид экрана перед нажатием:

Ввод "матричной" формулы со смешанными ссылками

2. Подведите курсор мыши к нижнему правому уголку ячейки C2 , уголок превратился в чёрный крестик, зажмите левую кнопку мыши и растяните формулу вниз до ячейки C5 .

Курсор для растягивания в Excel, "чёрный крестик"

Формула растянута вниз

3. Отпустите кнопку мыши, снова так же подведите курсор к уголку ячейки C5 (опять чёрный крестик) и при зажатой левой кнопке мыши растяните выделение вправо до столбца F .

Заполнение таблицы формулой в Excel

Пояснение 2. Как ввести формулу массива

1. Выделить диапазон ячеек, в которые будет помещён результат матричной или векторной операции (мышкой при зажатой левой кнопке за любое место, на котором курсор имеет вид по умолчанию или при зажатой Shift клавишами со стрелками):

Вид курсора по умолчанию в Excel

Мы сами отвечаем за правильность выделения ячеек диапазона результата, например, Excel не обязан знать, что в результате обращения матрицы размерностью 3x3 получится тоже матрица размерностью 3x3 :

Выделение диапазона ячеек результата в Excel

2. Не снимая выделения, ввести формулу массива в первую ячейку выделенного диапазона, это можно сделать "вручную", просто нажав клавишу F2 и начав набирать формулу со знака " = ", или с помощью Мастера Функций (см. п.3 документа по Excel здесь).

Ввод формулы массива в первую ячейку выделенного диапазона

3. При зажатых клавишах Ctrl и Shift , нажать клавишу Enter , то есть, ввести комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter .

Читайте также: