Как сделать из синуса косинус формулы приведения
Обновлено: 06.07.2024
\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0435\u043c \u0440\u0435\u0448\u0438\u0442\u044c \u0432\u0430\u0448 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440:
cos(\u03c0\/9) \u043d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430 sin. \u0412\u0441\u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u043c \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u0438 \u0443\u0433\u043b\u0430\u0445 \u03c0\/2 \u0438 3\u03c0\/2 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 \u043a\u043e\u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c\u00a0\u03c0\/9 \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u0441\u0443\u043c\u043c\u044b(\u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438) \u0441 \u043e\u0434\u043d\u0438\u043c \u0438\u0437 \u044d\u0442\u0438\u0445 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432:
\u03c0\/2=9\u03c0\/18
\u03c0\/9=2\u03c0\/18=9\u03c0\/18\u00a0-\u00a07\u03c0\/18
cos(\u03c0\/9)=cos(\u03c0\/2 - 7\u03c0\/18)=[\u03c0\/2 - 7\u03c0\/18 \u044d\u0442\u043e 1 \u0447\u0435\u0442\u0432\u0435\u0440\u0442\u044c, cos \u0432 \u043d\u0435\u0439 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435\u043d, \u0437\u043d\u0430\u043a \u043f\u0440\u0438 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0435 \u043d\u0435 \u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f]=sin(7\u03c0\/18).
\u0411\u0443\u0434\u0443\u0442 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441\u044b - \u0441\u043f\u0440\u0430\u0448\u0438\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435.">]" data-testid="answer_box_list">
Чтобы уметь выражать косинус через синус с помощью формул приведения, сначала нужно разобраться с этими формулами. Их довольно много, вот парочка из них:
sin(90-a)=cosa
sin(180+a)=-sina
cos(270+a)=sina
cos(360+a)=cosa
Именно этими углами(90(π/2) , 180(π), 270(3π/2), 360(2π)) мы пользуемся в формулах приведения. И ещё одно, угол a∈(0;90).
Но чтобы их все не запоминать, нужно запомнить закон с помощью которого можно вывести любую из них. Итак нужно запомнить в каких четвертях cos, sin, tg, ctg положительны или отрицательны. Всё это есть во вложении. Легче запомнить если кое что уяснить sin положителен когда положительна ось ординат(её часто обозначают y), cos - когда положительная ось абсцисс(x), tg и ctg (это sin/cos(cos/sin)) поэтому они положительны когда одновременно положительны или отрицательны cos и sin. С этим вроде бы разобрались.
Теперь ещё один закон:
при углах 90 и 270 функция изменяется на кофункцию.
при углах 180 и 360 функция не изменяется.
Изменение на кофункцию - замена косинуса синусом(и наоборот) и замена тангенса котангенсом(и наоборот).
Теперь попробуем решить ваш пример:
cos(π/9) нам нужно заменить на sin. Вспомним что при углах π/2 и 3π/2 функция изменяется на кофункцию, поэтому представим π/9 в виде суммы(разности) с одним из этих углов:
π/2=9π/18
π/9=2π/18=9π/18 - 7π/18
cos(π/9)=cos(π/2 - 7π/18)=[π/2 - 7π/18 это 1 четверть, cos в ней положителен, знак при замене не меняется]=sin(7π/18).
Будут вопросы - спрашивайте.
Новые вопросы в Алгебра
Загрузки всякие
Связь
Содержание
Формулы приведения - сокращенное название формул, которые позволяют привести синусы и косинусы к соответствующим значениям синусов и косинусов острых углов (т.е. от 0 до 90 градусов).
Формулы приведения косинуса
Формулы приведения синуса
Формулы приведения тригонометрических функций
Мнемоническое правило
Подготовительный шаг: аргумент исходной функции представляется в виде
$\pm \alpha + 2\pi z$ или $\pi/2 \pm \alpha + 2\pi z$ или $\pi \pm \alpha + 2\pi z$ или $3\pi/2 \pm \alpha + 2\pi z$,
причем угол должен быть от 0 до 90 градусов (острый). Это замечание про угол альфа очень важно, так как для других углов мнемоническое правило может приводить к неверным результатам.
При приведении функции от аргумента вида kp/2 ± α, где k – целое число, к функции от аргумента α:
Дальше определяется знак, который имеет исходная функция. Функция в правой части записываемой формулы приведения будет иметь такой же знак как и приводимая функция.
Например, при приведении ctg (α – p/2) убеждаемся, что α – p/2 при 0 [синус, косинус]
Правило лошади
Знак правой части равенства совпадает со знаком приводимой функции, стоящей в левой части равенства.
sin(120) = sin(90+30) = [лошадь говорит да] = cos(30) = $\frac 2 $
sin(120) = sin(180-60) = [лошадь говорит нет] = sin(60) = $\frac 2 $
Новоселов - таблица
Формулы приведения в особом доказательстве не нуждаются.
Формулы первой строки выражают свойства четности и нечетности тригонометрических функций, прочие же формулы вытекают из теорем сложения для косинуса и синуса.
В последнем столбце дано геометрическое пояснение формул приведения для острого угла α (равные треугольники заштрихованы).
Формулы четвёртой и восьмой строк легко вывести также и геометрически. Если к углу α прибавить π, т. е. половину полного оборота, то подвижной радиус займёт диаметрально противоположное положение. Абсцисса х и ордината у конца подвижного радиуса, т. е. косинус и синус угла, изменят знаки (не изменяя абсолютной величины) на противоположные, а их отношения не изменятся.
Формулы приведения показывают, что в практических вычислениях достаточно знать значения тригонометрических функций лишь острых углов (и даже не больших 45°).
В этой статье мы изучим все тригонометрические формулы, которые могут понадобится на ЕГЭ.
От основного тригонометрического тождества, до формул тройного угла.
Формулы тригонометрии — коротко о главном
Основные формулы:
Формулы понижения степени:
Данная группа формул позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному.
- \( \displaystyle si^>\alpha =\frac\)
- \( \displaystyle co^>\alpha =\frac\)
- \( \displaystyle si^>\alpha =\frac\)
- \( \displaystyle co^>a=\frac\)
- \( \displaystyle t^>\alpha =\frac,\alpha \ne \frac<\pi >+\pi n,n\in Z\)
Формулы преобразования функций:
Данная группа формул позволяет преобразовать произведение в сумму и сумму в произведение.
- \( \displaystyle sin\alpha \pm sin\beta =2sin\fraccos\frac\)
- \( \displaystyle cos\alpha +cos\beta =2cos\fraccos\frac\)
- \( \displaystyle cos\alpha -cos\beta =-2sin\fracsin\frac\)
- \( \displaystyle tg\alpha \pm tg\beta =\frac\left( \alpha \pm \beta \right)>\)
- \( \displaystyle ctg\alpha \pm ctg\beta =\frac\left( \beta \pm \alpha \right)>\)
Формулы преобразования произведений функций:
- \( \displaystyle sin\alpha sin\beta =\frac\left( \alpha +\beta \right)>\)
- \( \displaystyle sin\alpha cos\beta =\frac\left( \alpha -\beta \right)>\)
- \( \displaystyle cos\alpha cos\beta =\frac\left( \alpha +\beta \right)>\)
Таблица значений тригонометрических функций:
Тригонометрические функции
Как ты уже понял, тригонометрические выражения – это выражения, в котором переменная содержится под знаком тригонометрических функций.
Стоп! Вот прямо здесь мы и остановимся! Я задам тебе вопрос: какие тригонометрические функции ты знаешь?
Верно! Их всего четыре!
- Синус \( \displaystyle sin\left( x \right)\)
- Косинус \( \displaystyle cos\left( x \right)\)
- Тангенс \( \displaystyle tg\left( x \right)\)
- Котангенс \( \displaystyle ctg\left( x \right)\)
Хотя, положа руку на сердце, я скажу тебе, что знание последней не так уж и обязательно (хотя желательно!), поскольку она легко выражается через тангенс.
Да и сам тангенс, по сути – тоже лишь тригонометрическое выражение, зависящее от синуса и косинуса.
Я не буду сейчас определять, что такое синус и косинус, ты и так это уже знаешь из предыдущих разделов. Я лишь скажу пару слов про важность этих понятий.
Так что тригонометрические функции имеют полезные практические свойства. Я не буду их перечислять. Если тебе интересно, ты всегда можешь найти море информации в интернете.
Если все, что я сказал выше, звучало для тебя древним эльфийским языком, то посмотри статью о тригонометрической окружности.
А сейчас я приведу тебе некоторые основные соотношения между тригонометрическими величинами, которые оказываются полезными при решении задач.
Таблица значений тригонометрических функций
Тебе нужно помнить таблицу значений тригонометрических функций для углов хотя бы первой четверти! Я сейчас нарисую здесь эту таблицу, а потом объясню тебе, как сделать ее запоминание проще.
Я ни в коей мере не настаиваю (и даже не надеюсь), что ты выучишь вторую таблицу. Сказать по правде, я и сам ее не знаю.
Но первую таблицу знать совершенно необходимо.
Не всегда на экзамене у тебя будет время, чтобы вывести самостоятельно, скажем, синус \( \displaystyle 60\) градусов.
Для того, чтобы запомнить первую таблицу можно поступить так:
- Например, синус \( \displaystyle 0\) градусов равен нулю значит, косинус \( \displaystyle 0\) градусов – наоборот: единица.
- Синус \( \displaystyle 90\) градусов равен единице, значит косинус \( \displaystyle 90\) градусов равен нулю.
- Синус \( \displaystyle 30\) градусов равен \( \displaystyle \frac\), значит косинус \( \displaystyle 30\) градусов равен \( \displaystyle \frac>\) и т. д.
Тангенс можно получить, разделив синус угла на косинус. Как же всегда вывести большую таблицу, зная малую, я тебе непременно расскажу чуть позднее.
Формулы тригонометрии (основа)
Уже получилось 7 формул! К сожалению, это еще далеко не предел. Совсем не предел.
Тем не менее последние 4 формулы есть ни что иное, как простое следствие первой. В самом деле, ты заметил, почему это так?
Формула 4 получается делением обеих частей формулы 1 на \( \displaystyle co^>\alpha \) и применением формулы 2.
Формула 5 получается аналогично: разделим обе части формулы 1 на \( \displaystyle si^>\alpha \) и вместо выражения \( \displaystyle \frac^>\alpha >
Их особенность заключается в знаке \( \displaystyle \pm \), который стоит перед корнем.
Как это понимать? А понимать надо так: в некоторых случаях мы ставим плюс, а в некоторых – минус.
Если в формуле
\( \displaystyle sin\ \alpha =\pm \sqrt^>\alpha >\)
угол \( \displaystyle \alpha \) таков, что \( \displaystyle \text\ \text< >\!\!\alpha\!\!\text < >
Они подскажут тебе, какой нужно выбирать знак для той или иной функции, так что ты не допустишь досадной ошибки.
Определение. Формулами приведения называют формулы, которые позволяют перейти от тригонометрических функций вида к функциям аргумента . С их помощью синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла можно привести к синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу угла из интервала от 0 до 90 градусов (от 0 до радиан). Таким образом, формулы приведения позволяют нам переходить к работе с углами в пределах 90 градусов, что, несомненно, очень удобно.
Формулы приведения:
Для использования формул приведения существует два правила.
1. Если угол можно представить в виде (π/2 ±a) или (3*π/2 ±a), то название функции меняется sin на cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg. Если же угол можно представить в виде (π ±a) или (2*π ±a), то название функции остается без изменений.
Посмотрите на рисунок ниже, там схематично изображено, когда следует менять знак, а когда нет
На рисунке ниже представлены знаки основных тригонометрических функций в зависимости от четверти.
Пример:
Вычислить
Воспользуемся формулами приведения:
Теперь 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ это π/2. То есть имеем дело со случаем π/2+60, следовательно по первому правилу меняем функцию с sin на cos. В итоге получаем Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.
В этой статье приведены все тригонометрические формулы и тождества (сложения, приведения, двойного угла, половинного угла, разности функций и др.), при помощи которых решается наибольшая часть задач по тригонометрии. Сгруппируем эти формулы по назначению.
Основные тригонометрические формулы
Тригонометрические формулы – это самые незаменимые математические выражения, необходимые для тригонометрических функций. Они выполняются для всех значений аргумента.
Для начала напомним, что синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg) и котангенс (ctg) – неразрывно связаны с понятием угла.
Синусом угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Следуя из этого правило, легко запомнить, что косинус угла – отношение близкого катета (прилежащего) к гипотенузе.
А вот тангенс отличается от первых двух понятиях. Это отношение дальнего к близкому катету. Котангенс с точностью да наоборот от тангенса. Котангенс – отношение близкого к дальнему катету.
Теперь перейдём непосредственно к самим формулам. Эти формулы связывают синус, косинус, тангенс, котангенс одного угла. Каждая из них является следствием каких-то определений.
У вышеперечисленных тождеств соотношение между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла. Благодаря им можно выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Формулы приведения
Формулы приведения – это формулы, при помощи которых значения тригонометрических функций аргументов выражаются через значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Любая из семи формул приведения может быть записана и для градусной меры угла. Чтобы использовать эти формулы, не заучивая их, нужно помнить всего лишь два правила формул приведения:
- Правило знака: с правой части формулы ставится тот знак, который имеет значение выражения в левой части при условии, что угол принадлежит I четверти.
- Правило названий: это тогда, когда в левой части формулы угол равен или . В этом случае синус меняется на косинус, а тангенс на котангенс. Так же и наоборот. Когда же угол равен или , тогда названия выражения сохраняется.
Формулы сложения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса
Формулы сложения нужны для того, чтобы выражать функции разности или же суммы двух углов при помощи тригонометрических функций этих углов.
Синус разности двух углов – .
Благодаря тригонометрическим формулам сложения мы можем понять, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов.
Формулы двойного угла
Формулы двойного угла – это такие формулы, которые связывают тригонометрические функции угла (синус, косинус, тангенс, котангенс) с тригонометрическими функциями угла .
Из формулы сложения для синуса при получим и после приведения подобных слагаемых получается первое тождество . Второе тождество получается аналогичным путём. Что касается двух последних тождеств (3 и 4), они получаются при , соответственно из формул:
Формулы половинного угла
Формулы половинного угла даны для квадратов тригонометрических функций.
Первые две формулы (синус и косинус) справедливы любому углу . Третья формула (тангенс) предназначается для любых углов , при которых определён . И четвёртая, формула котангенса половинного угла справедлива для всех углов альфа, но при которых определён котангенс половинного угла (
Формулы понижения степени
Формулы понижения степени – это такие тригонометрические формулы, которые позволяют перейти от степеней тригонометрических функций к функциям первой степени. Однако от кратного аргумента.
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
Благодаря формулам суммы и разности можно легко упрощать тригонометрические выражения. Кроме того, они часто используются при решении тригонометрических уравнений. Рассмотрим формулы суммы и разности.
Формулы произведения косинусов, синусов и синуса на косинуса
При помощи этих формул можно перейти от произведения тригонометрических функций к разности или сумме.
Все формулы, которые переходят от произведения к сумме или разности осуществляется при помощи вышеописанных формул произведения косинусов, синусов и синус на косинус.
Универсальная тригонометрическая подстановка
Основные тригонометрические формулы завершаются такими формулами, которые выражают функции тригонометрии через тангенс половинного угла.Такая замена называется – универсальная тригонометрическая подстановка. Она очень удобно тем, что любая тригонометрическая функция выражается рационально через тангенс половинного угла без корней.
Эти формулы выражаются через тангенс половинного угла.
Итак, мы написали самые простые и самые основные формулы, которые необходимо знать каждому учащемуся. Ведь именно при их помощи изучается тригонометрия. Кроме того, многие формулы необходимо знать для более эффективной подготовки к ЕГЭ.
Читайте также: