Как сделать из 8 треугольников один треугольник
Добавил пользователь Владимир З. Обновлено: 05.10.2024
На математических кружках очень любят давать задачки на разрезание. Например:
Докажите, что любой треугольник можно разрезать
на n равнобедренных треугольников для любого n = 4, 5, 6, …
Для начала подумаем, а какие треугольники легко распадаются на равнобедренные? Хорошо известно, что прямоугольный треугольник распадается на два равнобедренных: линия разреза проходит по медиане, проведенной из вершины прямого угла.
Теперь, очевидно, хочется разрезать произвольный треугольник на прямоугольные. И это тоже совсем не трудно: опустим высоту из вершины самого большого угла треугольника (для остроугольного треугольника можно взять любую вершину).
Соединим проделанные два шага: произвольный треугольник можно разрезать на два прямоугольных, а каждый из прямоугольных — на два равнобедренных. В итоге произвольный треугольник распадается на 4 равнобедренных.
Итак, сейчас мы умеем разрезать произвольный треугольник на 4 равнобедренных треугольника. Отметим это на числовой прямой.
Научимся увеличивать уже имеющееся количество равнобедренных треугольников ещё на 3 треугольника.
У нас есть большой треугольник, разделенный на несколько маленьких равнобедренных. Разрезав теперь один из маленьких треугольников на 4 равнобедренных, мы увеличим на 3 общее число равнобедренных треугольников (вместо одного получили четыре).
Значит, научившись разрезать произвольный треугольник на 4 равнобедренных и добавляя несколько раз по 3, мы сможем разрезать исходный треугольник на 7, 10, 13, … равнобедренных треугольников.
Теперь нетрудно разрезать произвольный треугольник на 6 равнобедренных: сначала разрезаем его на 2 прямоугольных, а потом один из них — на 2, а другой — на 4 равнобедренных.
Мы уже знаем, как увеличивать количество равнобедренных треугольников на 3. Поэтому стартуя с 6 равнобедренных треугольников, можем получить 9, 12, 15, …
Если треугольник АВС — НЕ правильный, то одна из его сторон больше какой-то другой (АВ > BC). Отложив на стороне АВ сторону ВС (BD = BC), получим равнобедренный треугольник BCD и треугольник ACD, который можно разрезать на 4 равнобедренных. Итак, неравносторонний треугольник легко разрезать на 5 равнобедренных.
Как ни странно, нам осталась самая сложная часть задачи — разрезать правильный треугольник на 5 равнобедренных треугольников. На рисунке показано, как это сделать.
Подведём итог. Мы научились решать задачу для n = 4, 5, 6. Заметили, что к имеющемуся числу треугольников можем добавлять 3 (решив задачу для n, умеем решать ее и для n + 3). И, наконец, поняли, что задача полностью решена!
Многие, наверное, узнали в этом рассуждении принцип математической индукции. Правда, она здесь не совсем обычная. База индукции здесь состоит из трех чисел — 4, 5 и 6. И шаг индукции тоже равен 3 (проверив базу, мы учимся делать переход от n к n + 3).
Используя очень похожие рассуждения (геометрически они даже проще), вы теперь сможете без труда решить такую задачу:
Задача: как разрезать треугольник двумя разрезами на три четырёхугольника и треугольник. Задача на смекалку — справится даже первоклассник, но если нужно обоснование решения, то тут придется порассуждать.
Решение задачи про треугольник
Для того, чтобы разрезать треугольник двумя разрезами на три четырехугольника и 1 треугольник нужно понять, что мы не можем разрезать треугольник лучами, исходящими из его вершин, потому что тогда для четырехугольников вершин будет недостаточно. Четырехугольники образованы двумя лучами, значит, каждые две стороны должны быть у них общими с соседними четырехугольниками. Таким образом общими будут 5 вершин. И три вершины — вершины треугольника. Всего получится 8 точек пересечения, одна из которых внутри треугольника, четыре на его сторонах и три — вершины треугольника. Таким образом, нарисовать такой способ разрезания треугольника двумя разрезами можно так:
Разрезать треугольник можно так
Или разрезать треугольник можно так
Или еще так можно разрезать треугольник
Главное, чтобы лучи не выходили из вершин, а давали нам дополнительные вершины для четыреухгольников. Для этого они должны пересекать стороны треугольника.
Любая из этих трех картинок — правильная. И можно нарисовать множество вариаций.
Из этого материала вы узнаете, как с помощью циркуля построить правильный треугольник. Напомним, что треугольник является правильным, если длина всех его сторон одинакова, а каждый из углов составляет 60°.
На листе бумаги отметьте произвольную точку. Установите в эту точку иглу циркуля и нарисуйте окружность.
Установите иглу циркуля в любую произвольную точку, лежащую на окружности, и нарисуйте вторую окружность с центром в этой точке.
При этом не меняйте раствор циркуля, то есть радиус первой окружности должен быть равен радиусу второй окружности.
Отметьте точки пересечения окружностей.
Соедините полученные точки линией. Полученный отрезок будет первой стороной треугольника.
Далее, через центры обеих окружностей нужно провести прямую линию.
Таким образом, у вас получилось три точки, которые будут тремя вершинами треугольника.
Соедините все три точки между собой.
Полученный треугольник имеет одинаковую длину сторон, а величина каждого его угла составляет 60°, а значит он правильный.
Читайте также: