Усеченный октаэдр как сделать
Добавил пользователь Евгений Кузнецов Обновлено: 19.09.2024
Развертка октаэдра. Как сделать октаэдр из бумаги самому
То, что сейчас является обязательным к изучению на уроках геометрии, в древние времена считалось опасной ересью. Раньше геометрия считалась священным знанием. О геометрических фигурах, таких как: тетраэдр, икосаэдр, куб было опасно говорить, за это можно было поплатиться жизнью, эти тела считались кирпичиками Вселенной.
Октаэдр одна из геометрических фигур, которую относится к сакральной геометрии, алхимии и изучается в стереометрии. Эта фигура называется платоновым телом и является одним из пяти священных фигур, одним из пяти правильных многогранников. Его соотносят со стихией воздуха, эфиром, с энергетическим телом человека. Слово октаэдр состоит из двух слов: восемь и грань, другими словами октаэдр – это восьмигранник, ограниченный восемью треугольниками, обладающий симметрией. Эта геометрическая фигура состоит из 8 граней, 6 вершин (в каждой из которых, сходится 4 ребра) и 12 ребер. Сумма углов октаэдра составляет 240°. Октаэдр считается антипризмой, имеющей треугольное основание.
Виды октаэдров
Октаэдр Брикара. В 1897 французский математик Брикар году доказал, что существуют изгибаемые октаэдры, эти фигуры не имеют самопересечений и являются не выпуклыми.
Существует еще один октаэдр, который был открыт Леонардо да Винчи, и называется он – звездчатый октаэдр. Его можно рассматривать, как соединение двух тетраэдров. Сто лет спустя звездчатый октаэдр был заново открыт Иоганном Кеплером, который назвал его звезда восьмиугольная.
Где можно встретить октаэдр? Чаще всего эту фигуру можно встретить в природе, она – великий творец такие фигур и форм. Алмазы часто имеют вид октаэдра. Уже в XIV веке стали делать огранку, которая повторяет эту геометрическую фигуру. Самый знаменитый алмаз "Шах" сохранил свой естественный вид – форму кристалла октаэдра, его масса составляет 88,7 карата.
Другие минералы тоже имеют форму октаэдра, например, куприт (красная медная руда). Также октаэдр можно найти среди других руд: самородная медь, малахит, лимонит. Такие минералы, как хлорид натрия (поваренная соль), оливин, перовскит, шпинель, флюорит тоже имеют форму этой геометрической фигуры. Различные металлы, например никель, магний, титан, лантан имеют структуру пор и пустот похожую на октаэдр. Формула октаэдра применяется при выделки кожи, протравливания тканей. Игрушка головоломка "Октаэдр" называется умным подарком и напоминает всем известный кубик Рубика. При изготовлении алюминия используют алюминиево-калиевые кварцы имеющие форму этой геометрической фигуры. В играх основанных на правилах Dungeons & Dragons, игральные кости иногда имеют форму октаэдра.
Совсем недавно была представлена интересная находка из Марокко – графитовые кристаллы, имеющие форму октаэдра. Это удивительно, потому что никогда раньше не встречался графит такой конфигурации. Природа продолжает творить божественные фигуры, преподнося нам изумительное открытия и необычные геометрические подарки.
Сколько всего познавательного и удивительного можно узнать о том, что в школе нам казалось неинтересным и не нужным. Великие мыслители с почтением относились к геометрическим фигурам и считали их священными. Художники используют их в своих творениях, писатели рассказывают о них в фантастических произведениях. Интересные факты о геометрических фигурах вызывают у детей живой интерес и желание изучать геометрию, создавать эти замечательные фигуры на уроках в школе или дома.
Развертка октаэдра из бумаги или из картона
Ниже вы найдете схемы, позволяющие сделать октаэдр из бумаги или картона своими руками. При сборке октаэдра можно применить фантазию, поместив на его гранях различные рисунки. Для этого необходимо подобрать картинки в интернете или лучше нарисовать самим и поместить их на грани вашей фигуры в каком либо графическом редакторе, например Photoshop или даже Paint. Такой оригинальный октаэдр с картинками можно преподнести как замечательный сувенир или подарок. Друзьям или родителям обязательно понравятся эти поделки из бумаги, сделанные с любовью и большой выдумкой.
Рассмотрим созданные развертки правильных и полуправильных многогранников.
1. Развертка тетраэдра
2. Октаэдр
3. Развертка куба
4. Додекаэдр
Развертки полуправильных многогранников
1. Усеченный тетраэдр
2. Усеченный октаэдр
3. Усеченный куб
4. Усеченный икосаэдр
5. Усеченный додекаэдр
6. Кубооктаэдр
7. Икосододекаэдр
10. Ромбоусеченный кубооктаэдр
11. Ромбоусеченный икосододекаэдр
12. Курносый куб
13. Курносый додекаэдр
Развертки звездчатых многогранников
1. Звездчатый октаэдр
2. Малый звездчатый додекаэдр
3. Большой звездчатый додекаэдр
Приложение 2
Изготовление шаров кусудамы
СОДЕРЖАНИЕ
Усеченный октаэдр построен из правильного октаэдра со стороной 3 a путем удаления шести правильных квадратных пирамид , по одной из каждой точки. Эти пирамиды имеют длину как основной стороны ( a ), так и длину боковой стороны ( e ) a , образуя равносторонние треугольники . Площадь основания затем 2 . Обратите внимание, что эта форма в точности похожа на половину октаэдра или твердое тело Джонсона J 1 .
Из свойств квадратных пирамид мы теперь можем найти наклонную высоту s и высоту h пирамиды:
час знак равно е 2 - 1 2 а 2 знак равно 1 2 а s знак равно час 2 + 1 4 а 2 знак равно 1 2 а 2 + 1 4 а 2 знак равно 3 2 а h & = - > a ^ >> && = >> a \\ s & = <\ sqrt
Объем пирамиды V определяется выражением:
Поскольку шесть пирамид удаляются усечением, общий потерянный объем составляет √ 2 a 3 .
Усеченный октаэдр имеет пять специальных ортогональных проекций , в центре, на вершине, на двух типах ребер и двух типов граней: шестиугольник, и квадрат. Последние два соответствуют плоскостям Кокстера B 2 и A 2 .
| В центре | Вершина | Край 4-6 | Край 6-6 | Лицо Квадрат | Лицо шестиугольника |
|---|---|---|---|---|---|
| Твердый | |||||
| Каркас | |||||
| Двойной | |||||
| Проективная симметрия | [2] | [2] | [2] | [4] | [6] |
Усеченный октаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция является конформной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.
квадратно- центрированный | шестигранник с центром | |
| Ортографическая проекция | Стереографические проекции | |
|---|---|---|
| Ортогональная проекция в ограничивающем прямоугольнике (± 2, ± 2, ± 2) | Усеченный октаэдр с шестиугольниками, замененными шестью копланарными треугольниками. Появилось 8 новых вершин в: (± 1, ± 1, ± 1). | Усеченный октаэдр, разделенный на топологический ромбический триаконтаэдр |
Все перестановки из (0, ± 1, ± 2) являются декартовы координаты этих вершин одного усеченного октаэдра края длины а = √2 с центром в начале координат. Таким образом, вершины также являются углами 12 прямоугольников, длинные края которых параллельны осям координат.
Усеченный октаэдр можно разделить на центральный октаэдр , окруженный 8 треугольными куполами на каждой грани и 6 квадратными пирамидами над вершинами. [2]
Удаление центрального октаэдра и 2 или 4 треугольных куполов создает два тороида Стюарта с двугранной и тетраэдрической симметрией:
| Род 2 | Род 3 |
|---|---|
| D 3d , [2 + , 6], (2 * 3), порядок 12 | T d , [3,3], (* 332), порядок 24 |
Усеченный октаэдр также может быть представлен еще более симметричными координатами в четырех измерениях: все перестановки (1, 2, 3, 4) образуют вершины усеченного октаэдра в трехмерном подпространстве x + y + z + w = 10 . Следовательно, усеченный октаэдр является пермутоэдром порядка 4: каждая вершина соответствует перестановке (1, 2, 3, 4), а каждое ребро представляет собой одну попарную замену двух элементов.
Площадь A и объем V усеченного октаэдра с длиной ребра a равны:
Есть две однородные окраски с тетраэдрической симметрией и октаэдрической симметрией и две 2-однородные окраски с двугранной симметрией в виде усеченной треугольной антипризмы . Каждому дано конструктивное название. Обозначения их многогранников Конвея даны в скобках.
| 1-униформа | 2-униформа | ||
|---|---|---|---|
| О ч , [4,3], (* 432) Порядок 48 | T d , [3,3], (* 332) Порядок 24 | D 4h , [4,2], (* 422) Заказ 16 | D 3d , [2 + , 6], (2 * 3) Заказать 12 |
122 раскраски | 123 раскраски | 122 и 322 раскраски | 122 и 123 раскраски |
| Усеченный октаэдр (tO) | Скошенный тетраэдр (bT) | Усеченная квадратная бипирамида (tdP4) | Усеченная треугольная антипризма (tA3) |
Усеченный октаэдр существует в структуре фожазитных кристаллов.
Усеченный октаэдр (на самом деле, обобщенный усеченный октаэдр) появляется в анализе ошибок индекса квантования модуляции (Qim) в сочетании с кодовым повторением. [3]
Усеченный октаэдр - один из семейства однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.
| Однородные октаэдрические многогранники | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия : [4,3], (* 432) | [4,3] + (432) | [1 + , 4,3] = [3,3] (* 332) | [3 + , 4] (3 * 2) | |||||||
| т | г г | т т | | rr s 2 | tr | sr | ч | ч 2 т | с с | |
| знак равно | знак равно | знак равно | знак равно или же | знак равно или же | знак равно | |||||
| Двойники к однородным многогранникам | ||||||||||
| V4 3 | V3.8 2 | В (3,4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | V4.6.8 | V3 4 .4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
Он также существует как полное усечение семейства тетраэдров:
| Семейство однородных тетраэдрических многогранников | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия : [3,3] , (* 332) | [3,3] + , (332) | ||||||
| т | г | т | рр | tr | ср | ||
| Двойники к однородным многогранникам | |||||||
| V3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3.3 |
Этот многогранник является членом последовательности однородных узоров с фигурой вершины (4.6.2 p ) и диаграммой Кокстера – Дынкина. . При p 6 они представляют собой мозаики гиперболической плоскости, начиная с усеченного тригептагонального мозаичного покрытия .
Усеченный октаэдр топологически связан как часть последовательности однородных многогранников и мозаик с фигурами вершин n .6.6, простирающихся в гиперболическую плоскость:
Усеченный октаэдр топологически связан как часть последовательности однородных многогранников и мозаик с фигурами вершин 4.2 n .2 n , простирающихся в гиперболическую плоскость:
Усеченный октаэдр ( bitruncated куб), является первым в последовательности bitruncated гиперкубов :
Можно разрезать тессеракт гиперплоскостью так, чтобы его разрезанное поперечное сечение представляло собой усеченный октаэдр. [4]
Усеченный октаэдр существует в трех различных выпуклых однородных сотах ( мозаиках, заполняющих пространство ):
| Усеченный кубический | Усеченный кубический | Усеченная чередующаяся кубическая |
|---|
Клеток транзитивно bitruncated кубических сот можно также рассматривать как Вороную тесселяцию из кубической объемно центрированной решетки . Усеченный октаэдр - один из пяти трехмерных первичных параллелоэдров .
Если исходный усеченный октаэдр имеет единичную длину ребра, его двойственный куб тетракиса имеет длину кромки 9 / 8 √ 2 и 3 / 2 √ 2 .
Содержание
Строительство
Усеченный октаэдр строится из правильного октаэдр с длиной стороны 3а удалением шести правых квадратные пирамиды, по одному с каждой точки. Эти пирамиды имеют длину обеих сторон основания (а) и длина боковой стороны (е) из а, чтобы сформировать равносторонние треугольники. Тогда базовая площадь а 2 . Обратите внимание, что эта форма в точности похожа на половину октаэдра или Джонсон солид J1.
Из свойств квадратных пирамид теперь мы можем найти наклонную высоту, s, а высота, часпирамиды:
Громкость, Vпирамиды определяется выражением:
Поскольку шесть пирамид удаляются усечением, общий потерянный объем составляет √ 2 а 3 .
Ортогональные проекции
В усеченный октаэдр имеет пять специальных ортогональные проекции, с центром, на вершине, на двух типах ребер и двух типах граней: шестиугольник и квадрат. Последние два соответствуют букве B2 и А2 Самолеты Кокстера.
| В центре | Вершина | Край 4-6 | Край 6-6 | Лицо Квадрат | Лицо Шестиугольник |
|---|---|---|---|---|---|
| Твердый | |||||
| Каркас | |||||
| Двойной | |||||
| Проективный симметрия | [2] | [2] | [2] | [4] | [6] |
Сферическая черепица
Усеченный октаэдр также можно представить в виде сферическая черепица, и проецируется на плоскость через стереографическая проекция. Эта проекция конформный, сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.
| квадрат-центрированный | шестиугольник-центрированный | |
| Ортографическая проекция | Стереографические проекции | |
|---|---|---|
Координаты
| Ортогональная проекция в Ограничительная рамка (±2,±2,±2) | Усеченный октаэдр, в котором шестиугольники заменены на 6 копланарных треугольников. Есть 8 новых вершин в: (± 1, ± 1, ± 1). | Усеченный октаэдр подразделяется на топологические ромбический триаконтаэдр |
Все перестановки из (0, ± 1, ± 2) являются Декартовы координаты из вершины из усеченный октаэдр с длиной ребра a = √ 2 с центром в начале координат. Таким образом, вершины также являются углами 12 прямоугольников, длинные края которых параллельны осям координат.
В рёберные векторы иметь декартовы координаты (0, ±1, ±1) и их перестановки. Нормали граней (нормализованные перекрестные произведения ребер с общей вершиной) шести квадратных граней равны (0, 0, ±1) , (0, ±1, 0) и (±1, 0, 0) . Нормали восьми шестиугольных граней равны (± 1 / √ 3 , ± 1 / √ 3 , ± 1 / √ 3 ) . Скалярное произведение между парами двух нормалей граней - это косинус двугранного угла между соседними гранями, либо - 1 / 3 или - 1 / √ 3 . Двугранный угол составляет приблизительно 1,9 · 10 633 радиана (109,471 ° OEIS: A156546 ) на краях, разделяемых двумя шестиугольниками, или 2,186276 радиан (125,263 ° OEIS: A195698 ) на ребрах, общих для шестиугольника и квадрата.
Рассечение
Усеченный октаэдр можно разрезать на центральный октаэдр, в окружении 8 треугольный купол на каждой грани и 6 квадратные пирамиды над вершинами. [2]
Удаление центрального октаэдра и 2 или 4 треугольных куполов создает два Тороиды Стюарта, с двугранной и тетраэдрической симметрией:
| Род 2 | Род 3 |
|---|---|
| D3D, [2 + , 6], (2 * 3), порядок 12 | Тd, [3,3], (* 332), порядок 24 |
 |  |
Пермутоэдр
Усеченный октаэдр также может быть представлен еще более симметричными координатами в четырех измерениях: все перестановки (1, 2, 3, 4) образуют вершины усеченного октаэдра в трехмерном подпространстве Икс + у + z + ш = 10 . Следовательно, усеченный октаэдр - это пермутоэдр порядка 4: каждая вершина соответствует перестановке (1, 2, 3, 4), и каждое ребро представляет собой одну попарную замену двух элементов.
Площадь и объем
Площадь А и объем V усеченного октаэдра реберной длины а находятся:
Равномерная окраска
Есть два равномерные раскраски, с тетраэдрическая симметрия и октаэдрическая симметрия, и две 2-однородные раскраски с двугранная симметрия как усеченная треугольная антипризма. Каждому дано конструктивное название. Их Обозначения многогранника Конвея дан в скобках.
| 1-униформа | 2-униформа | ||
|---|---|---|---|
| Очас, [4,3], (*432) Заказ 48 | Тd, [3,3], (*332) Заказ 24 | D4ч, [4,2], (*422) Заказ 16 | D3D, [2 + ,6], (2*3) Заказ 12 |
| 122 раскраски | 123 раскраски | 122 и 322 раскраски | 122 и 123 раскраски |
| Усеченный октаэдр (к) | Скошенный тетраэдр (бТ) | Усеченная квадратная бипирамида (tdP4) | Усеченная треугольная антипризма (tA3) |
Химия
В усеченный октаэдр существует в структуре фожазит кристаллы.
Скрытие данных
В усеченный октаэдр (фактически, обобщенный усеченный октаэдр) появляется в анализе ошибок модуляции индекса квантования (QIM) в сочетании с кодированием с повторением. [3]
Связанные многогранники
Усеченный октаэдр - один из семейства однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.
| Однородные октаэдрические многогранники | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия: [4,3], (*432) | [4,3] + (432) | [1 + ,4,3] = [3,3] (*332) | [3 + ,4] (3*2) | |||||||
| т | г г | т т | | рр s2 | tr | sr | ч | час2 т | с с | |
| = | = | = | = или же | = или же | = | |||||
| | | | | | ||||||
| Двойники к однородным многогранникам | ||||||||||
| V4 3 | V3.8 2 | V (3,4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | V4.6.8 | V3 4 .4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
Он также существует как полное усечение семейства тетраэдров:
| Семейство равномерных тетраэдрических многогранников | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия: [3,3], (*332) | [3,3] + , (332) | ||||||
| т | г | т | рр | tr | ср | ||
| Двойники к однородным многогранникам | |||||||
| V3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3.3 |
Мутации симметрии
Этот многогранник входит в последовательность однородных узоров с вершиной фигуры (4.6.2п) и Диаграмма Кокстера – Дынкина . За п 6, это мозаики гиперболической плоскости, начиная с усеченная трехгептагональная черепица.
Усеченный октаэдр топологически связан как часть последовательности однородных многогранников и мозаик с фигуры вершин п.6.6, продолжающийся в гиперболической плоскости:
Усеченный октаэдр топологически связан как часть последовательности однородных многогранников и мозаик с фигуры вершин 4.2п.2п, простирающаяся в гиперболическую плоскость:
Октаэдр усечен или tétrakaidécaèdre из Архимеда является полиэдр , имеющий от 8 односторонней правильной шестиугольной , 6-сторонний квадрат , 24 вершин одинаковые и 36 ребра равны между собой . Его грани представляют собой правильные многоугольники, пересекающиеся в одинаковых вершинах, усеченный октаэдр представляет собой архимедово твердое тело . Каждая грань имеет центр симметрии , это также зоноэдр .
Резюме
Координаты и перестановки
Выполняя перестановки из (0, ± 1, ± 2), получим декартовы координаты из вершин усеченного октаэдра с центром в начале координат. Вершины также принадлежат 12 прямоугольникам, длина которых параллельна осям координат. 6 × 4 знак равно 24
Усеченный октаэдр также может быть представлен более симметричными координатами в размерности четыре: 24 перестановки (1,2,3,4) образуют вершины усеченного октаэдра в подпространстве размерности 3 x + y + z + w = 10 . По этой причине усеченный октаэдр также иногда называют пермутоэдром . Конструкция обобщается для любого n и образует многогранник размерности n - 1 , вершины которого получаются с помощью n ! перестановки (1,2, . n ) . Например, шесть перестановок (1,2,3) образуют правильный шестиугольник в плоскости x + y + z = 6 .
Геометрическая конструкция
Мы получаем архимедов тетракаидекаэдр (или усеченный октаэдр), усекая 6 вершин правильного октаэдра до высоты одной трети каждого ребра.
Мы также можем построить усеченный октаэдр, используя противоположный образец .
Читайте также: