Сделали ряд решений как правильно

Добавил пользователь Валентин П.
Обновлено: 05.10.2024

(1)Астрономия, как и все другие науки, возникла из практических потребностей человека. (2)С развитием общества перед астрономией выдвигались всё новые и новые задачи, для решения которых нужны были более совершенные способы наблюдений и более точные методы расчётов. (3) постепенно стали создаваться простейшие астрономические инструменты и разрабатываться математические методы обработки наблюдений.

1. В каких из приведённых ниже предложений верно передана ГЛАВНАЯ информация, содержащаяся в тексте?

1) Практические потребности человека привели к появлению астрономии, которая развивалась независимо от развития человеческого общества.

2) Появление и развитие астрономии тесно связаны с практическими нуждами человека, требующими более совершенных способов наблюдений и методов расчётов, в связи с чем стали создаваться простейшие астрономические инструменты и разрабатываться более совершенные математические методы обработки наблюдений.

3) С развитием человеческого общества перед астрономией выдвигались задачи, для решения которых нужны были более совершенные способы наблюдений и более точные методы расчётов.

4) Происхождение и развитие астрономии объясняется нуждами человека, потребовавшими более совершенных способов наблюдений и методов расчётов, для которых стали создаваться астрономические инструменты и разрабатываться математические методы обработки наблюдений.

5) Создание простейших астрономических инструментов и совершенствование математических методов обработки наблюдений привели к развитию астрономии.

2. Самостоятельно подберите указательное наречие, которое должно стоять на месте пропуска в третьем (3) предложении. Запишите это наречие.

3. Прочитайте фрагмент словарной статьи, в которой приводятся значения слова ОБЩЕСТВО. Определите значение, в котором это слово употреблено во втором (2) предложении текста. Выпишите цифру, соответствующую этому значению в приведённом фрагменте словарной статьи.

ОБЩЕСТВО, -а, ср.

1) В дворянской среде: узкий круг избранных людей. Принят в обществе. Бывать в обществе.

2) Добровольное, постоянно действующее объединение людей для достижения какой-либо цели. О. любителей книги. Всероссийское о. охраны природы. Спортивные общества.

3) Та или иная среда людей, компания. Попасть в дурное о. Душа общества.

4) Совокупность людей, объединённых исторически обусловленными социальными формами совместной жизни и деятельности. Феодальное о. Капиталистическое о.

5) кого-чего. Совместное пребывание с кем-н. Чуждаться чьего-н. общества. В обществе старых друзей.

4. В одном из приведённых ниже слов допущена ошибка в постановке ударения: НЕВЕРНО выделена буква, обозначающая ударный гласный звук. Выпишите это слово.

5. В одном из приведённых ниже предложений НЕВЕРНО употреблено выделенное слово. Исправьте лексическую ошибку, подобрав к выделенному слову пароним. Запишите подобранное слово.

Когда молодому специалисту ПРЕДОСТАВИЛИ слово, в зале наступила тишина.

Форвард забросил две шайбы и сделал одну результативную ПЕРЕДАЧУ.

Цель программы – расширить возможности талантливых студентов для профессионального роста, ИЗОБРЕТАТЕЛЬНОЙ деятельности.

Во время сильного дождя бочки в саду ПЕРЕПОЛНЯЮТСЯ водой.

Замечательная роль ВЕЛИКОГО актёра принесла ему всенародную любовь и славу.

6. Отредактируйте предложение: исправьте лексическую ошибку, заменив неверно употреблённое слово. Запишите это слово.

Компании, причастные к инциденту с разливом нефти в Мексиканском заливе, сделали ряд решений по предотвращению подобных случаев в дальнейшем.

7. В одном из выделенных ниже слов допущена ошибка в образовании формы слова. Исправьте ошибку и запишите слово правильно.

8. Установите соответствие между грамматическими ошибками и предложениями, в которых они допущены: к каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца.

ГРАММАТИЧЕСКИЕ ОШИБКИ

ПРЕДЛОЖЕНИЯ

А. ошибка в построении предложения с однородными членами Б. неправильное употребление падежной формы существительного с предлогом В. неправильное построение предложения с деепричастным оборотом Г. нарушение в построении предложения с причастным оборотом Д. нарушение видо-временной соотнесённости глагольных форм

1. Только прибыв в часть, мы получили разрешение на заселение. 2. В статье говорится об античной культуре, а также о современном искусстве. 3. Российские педагоги проводят ежегодно профессиональные конкурсы, во время которых делились друг с другом накопленным опытом работы. 4. Не посетивших картинную галерею было не так уж много. 5. На тонких ножках качались бутоны гвоздик, ещё до конца не распустившимся. 6. Благодаря использования инновационных технологий заметно повысилось качество выпускаемой продукции. 7. Уверенность в том, что любой новорождённый обязательно владеет каким-то языком, породила целую цепь опытов. 8. Молодая исполнительница не только любила классическую музыку, но и джаз. 9. Изменив название пьесы, была подготовлена новая афиша.

1) аккл..матизация, проф..лактика, к..лебаться

2) неразб..риха, пост..лить (скатерть), соч..тание

3) бл..стать, автом..тизировать, п..лисадник

4) к..ммерческий, п..норама, аб..немент

5) неприк..сновенный, непром..каемый, выр..внять

1) пр..умный, (народное) пр..дание, пр..одолею

2) под..грал, про..ски, пред..стория

3) о..гладил, о..бой, по..ставка

4) об..ехать, под..ёмный, пред..явить

5) нен..глядный, з..йти, поз..вчера

1) досто..нство, неряшл..вый

2) пузырч..тый, (посмотреть) искос..

3) подразум..вал, никел..вый

4) выкорч..вывать, ретуш..р

5) кавказ..кий, скольз..кий

1) (войско) выдерж..т, застел..шь

2) приемл..мый (вариант), (стенд) верт..тся

3) (флаги) ре..т, (хорошо) понима..щий

4) пропущ..нный, муч..мый

5) (факты) противореч..т, леч..щий (врач)

13. Определите предложение, в котором НЕ со словом пишется СЛИТНО. Раскройте скобки и выпишите это слово.

Блестят, как губы, (НЕ)УТЁРТЫЕ рукою, и лозы ив, и листья дуба.

Мы так и остались в (НЕ)ДОУМЕНИИ, когда странный гость внезапно удалился.

(НЕ)ОСОЗНАВАЯ своего предназначения, герои пьес А. П. Чехова часто проживают свой век бессмысленно.

Картошка на огородах до сих пор (НЕ)ВЫКОПАНА.

Маленькие трагедии отдельного человека остаются никем (НЕ)ЗАМЕЧЕННЫМИ.

14. Определите предложение, в котором оба выделенных слова пишутся СЛИТНО. Раскройте скобки и выпишите эти два слова.

(ЗА)ТЕМ он повернул линейку компаса (В)ТОМ направлении, в котором скрылся мальчик.

ТО(ЖЕ) выражение готовности к решительным действиям появилось на лице Артёма, что и при первой нашей встрече, (ПРИ)ЧЁМ даже его глаза выражали ту же уверенность.

Я (ТОТ)ЧАС направился к Татариновым с таким расчётом, ЧТО(БЫ) не застать Николая Антоновича.

(В)ТЕЧЕНИЕ некоторого времени Вера получает пылкие и страстные любовные письма от неизвестного ей лица, но (ПО)ПРЕЖНЕМУ не придаёт им значения.

Онегин, ТАК(ЖЕ) как и герой Б. Констана, умён, но подчёркнуто равнодушен к окружающим его людям и (ПРИ)ТОМ не видит в жизни ничего достойного своих душевных усилий.

РЯД — б е с к о н е ч н а я с у м м а, последовательность элементов (наз. ч л е н а м и д а н н о г о р я д а) нек рого линейного топологич. пространства и определенное бесконечное множество их конечных сумм (наз. ч а с т и ч н ы м и с у м м а м и р я… … Математическая энциклопедия

Право граждан на обжалование действий и решений органов уголовного преследования в Белоруссии — Уголовно процессуальная форма и уголовно процессуальные гарантии являются серьёзным фактором, обеспечивающим соблюдение законности при производстве по материалам и уголовному делу. И все же на любых этапах уголовного судопроизводства нередко… … Википедия

Право граждан на обжалование действий и решений органов уголовного преследования в Беларуси — Уголовно процессуальная форма и уголовно процессуальные гарантии являются серьезным фактором, обеспечивающим соблюдение законности при производстве по материалам и уголовному делу. И все же на любых этапах уголовного судопроизводства нередко… … Википедия

НЕЙМАНА РЯД — ряд вида где Бесселя функции (цилиндрич. функции 1 го рода), нек рое число (действительное или комплексное). К. Нейман [1] рассмотрел частный случай, когда целое число. Он показал, что если аналитич. ция в замкнутом круге с центром в начале… … Математическая энциклопедия

ИНТЕГРО-СТЕПЕННОЙ РЯД — ряд, содержащий степени переменной функции под знаком интеграла. Пусть K(s, t1, . tk) функция непрерывная по совокупности переменных в кубе [a, b]k+1 и пусть U(s) произвольная непрерывная на [ а, b]функция. Выражение где a0, a1 . ak… … Математическая энциклопедия

Оценка и принятие решений (judgment and decision making) — Исслед. в области О. и п. р. можно разбить на четыре категории: поведенческие, когнитивные, организационные и системы поддержки решения. Каждая из этих категорий имеет свою собственную теорет. перспективу и методологию, применяемую при анализе… … Психологическая энциклопедия

Теория принятия решений — Виктор Васнецов. Витязь на распутье. 1878 Теория принятия решений область исследования, вовлекающая понятия и методы математики, статистики … Википедия

Принятие решений — Теория принятия решений область исследования, вовлекающая понятия и методы математики, статистики, экономики, менеджмента и психологии; изучает закономерности выбора людьми путей решения разного рода задач, а также исследует способы поиска… … Википедия

Признание и приведение в исполнение иностранных судебных решений в США — Признание решения иностранного суда на территории США означает, что данное решение служит подтверждением гражданских и иных прав и обязанностей в такой же степени, что и решение суда США. Признание иностранного судебного решения является… … Википедия

Исполнение приговоров и решений иностранных судов — I. Уголовные приговоры иностранных судов по общему правилу, освященному и практикой, и теорией, не подлежат И., так как уголовный приговор является применением публичных законов данной страны, которые не могут распространяться на чужую территорию … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Задание 5 № 14059

В одном из приведённых ниже предложений НЕВЕРНО употреблено выделенное слово. Исправьте лексическую ошибку, подобрав к выделенному слову пароним. Запишите подобранное слово.

На данный момент смартфоны находятся в разработке, и их конструкция может ПРЕТЕРПЕТЬ изменения.

Боль оказалась НЕТЕРПИМОЙ, и к спортсмену прямо на футбольном поле подошёл врач.

ИНФОРМАЦИОННЫЙ портал Всероссийской олимпиады школьников пользуется большой популярностью у старшеклассников.

Они молча постояли у Могилы Неизвестного Солдата, глядя на мечущееся на ветру пламя ВЕЧНОГО огня.

В ГАРАНТИЙНОМ талоне должны быть указаны дата продажи, наименование изделия, его серийный номер.

Приведём верное написание.

На данный момент смартфоны находятся в разработке, и их конструкция может ПРЕТЕРПЕТЬ изменения.

Боль оказалась НЕТЕРПИМОЙ, и к спортсмену прямо на футбольном поле подошёл врач — неверно. Корректно: Боль оказалась НЕСТЕРПИМОЙ, и к спортсмену прямо на футбольном поле подошёл врач.

Они молча постояли у Могилы Неизвестного Солдата, глядя на мечущееся на ветру пламя ВЕЧНОГО огня.

В ГАРАНТИЙНОМ талоне должны быть указаны дата продажи, наименование изделия, его серийный номер.

Дублирует задание 12627.

Задание 6 № 14060

Отредактируйте предложение: исправьте лексическую ошибку, исключив лишнее слово. Выпишите это слово.

В этом пейзаже не было ни одной кричащей краски, ни одной острой черты в рельефе, но его скупые озёрца, наполненные тёмной и спокойной водой, кажется, выражали главную суть воды больше, чем все моря и океаны.

Приведём верное написание.

В этом пейзаже не было ни одной кричащей краски, ни одной острой черты в рельефе, но его скупые озёрца, наполненные тёмной и спокойной водой, кажется, выражали суть воды больше, чем все моря и океаны.

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2019 по русскому языку., Демонстрационная версия ЕГЭ—2020 по русскому языку., Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по русскому языку.

Задание 5 № 14864

Чтобы как-то ПОПОЛНИТЬ недостаток природного материала для стихов, Лиза ходила гулять к пруду.

И однажды он не выдержал, сбрил успевшую ОТРАСТИ до бородки щетину.

В течение нескольких секунд следователь копался в архивах своей памяти, пытался извлечь оттуда хоть какие-то воспоминания о событиях ГОДИЧНОЙ давности.

Все говорят, что Панкрашина была очень ЭКОНОМНОЙ и зря деньги на ветер не бросала.

Приведём верное написание.

Чтобы как-то ВОСПОЛНИТЬ недостаток природного материала для стихов, Лиза ходила гулять к пруду.

И однажды он не выдержал, сбрил успевшую ОТРАСТИ до бородки щетину.

Все говорят, что Панкрашина была очень ЭКОНОМНОЙ и зря деньги на ветер не бросала.

Задание 6 № 14879

Отредактируйте предложение: исправьте лексическую ошибку, заменив неверно употреблённое слово. Запишите подобранное слово, соблюдая нормы современного русского литературного языка.

Время от времени глава семьи менял расстановку сил в собственном доме, одних возносил, других лишал на время полномочий, держал в грязном теле, с тем чтобы потом снова одарить вниманием и заботой.

Пояснение (см. также Правило ниже).

Приведём верное написание.

Время от времени глава семьи менял расстановку сил в собственном доме, одних возносил, других лишал на время полномочий, держал в ЧЁРНОМ теле, с тем чтобы потом снова одарить вниманием и заботой.

Правило: Задание 6 (ОГЭ). Лексическое значение слова. Группы слов по происхождению и употреблению.

Формулировка задания:

замените разговорное слово стилистически нейтральным синонимом в предложении, запишите это слово;

замените книжное слово стилистически нейтральным синонимом в предложении, запишите это слово;

замените разговорное словосочетание стилистически нейтральным, запишите это словосочетание.

1. Что нужно знать, выполняя данное задание?

Синонимы — это слова, чаще всего одной части речи, различные по звучанию, но тождественные или близкие по лексическому значению , нередко отличающиеся стилистической окраской: здесь — тут, смотреть — глядеть мыслить — думать, жестокий — безжалостный, окрестность — округа и т.д.

Группа слов, состоящая из нескольких синонимов, называется синонимическим рядом: спать— почивать— дрыхнуть .

Первое слово спать— является стилистически нейтральным, т.к. наиболее употребительное, может быть использовано в любом стиле речи, обладает минимальной экспрессией; в словаре стоит первым в синонимическом ряду. Слово почивать используется в основном в книжном стиле, придает речи архаический характер (так говорили в старину). Дрыхнуть — этот синоним звучит грубо (такие слова называют просторечными) и употребляется в разговорной речи.

2. Что нужно понимать, выполняя данное задание? Что разговорные слова — это слова, разрешённые в непринуждённой устной речи. И что их можно использовать только в определённых условиях. Чтобы не заменить одно разговорное слово на другое, необходима помощь словарей. Нам помогают толковые словари известных авторов Ожегова, Ефремовой, а также словарь синонимов Александрова.

При поиске слова обращаем внимание на пометки: разг., прост. и слова с такими пометками ни в коем случае не выбираем в качестве ответа.

Рассмотрим пример. Мы замешкались в пути, поэтому пришли к назначенному месту затемно

В словаре Ожегова: ЗАМЕ́ШКАТЬСЯ, -аюсь, -аешься; совер. (разг.). Задержаться, пробыть дольше, чем нужно где-н.; замедлить. З. у приятеля. З. с ответом.

ЗАДЕРЖАТЬСЯ и его значениями:

1. застрять (разг.)

/ о человеке: промедлить;

засесть, завязнуть, замешкаться, промешкать, помешкать, закопаться, проканителиться (разг.)

// в гостях или за работой: засидеться (разг.)

// в гостях, загоститься (разг.)

/ о деле: замедлиться, затянуться;

затормозиться, застопориться (разг.)

Итак, алгоритм выполнения задания будет таков:

1. Прочитайте предложение и определите лексическое значение указанного в задании слова.

2. Подберите к этому слову возможные синонимы.

3. Определите, какой из этих синонимов

− не носит оттенка книжности и разговорности;

− обладает минимальной экспрессией ( то есть в нём практически нет эмоций);

− стоит первым в синонимическом ряду, открывая его.

4. Вставьте слово в предложение, при оно должно подходить и по грамматическим признакам, и по значению.

1) Впишите в поле ответ ОДНО выбранное слово (или словосочетание).

2) Проверьте, верна ли форма рода, числа, времени, вида. Помните, что мы заменяем одно слово другим, поэтому нельзя вместо вида несовершенного совершенный, вместо настоящего прошедшее время и т.п. Ставьте слово в ТОЙ ЖЕ форме, что и в предложении.

3) Частицы НЕ, БЫ писать в ответ не нужно.

Остальные — возможные, допустимые или невозможные — написаны в пояснению к заданию. Настоятельно рекомендуем не предлагать новые слова, а придерживаться правила: самое верное слово ПЕРВОЕ в ряду синонимов . И тогда балл за это задание вы непременно получите.

Понятие числового ряда

Cлагаемые – это ЧИСЛА, которые называются членами ряда. Если все они неотрицательны (больше либо равны нулю), то такой ряд называют положительным числовым рядом.

Записать первые три члена ряда

Сначала , тогда:
Затем , тогда:
Потом , тогда:

Процесс можно продолжить до бесконечности, но по условию требовалось написать первые три члена ряда, поэтому записываем ответ:

Обратите внимание на принципиальное отличие от числовой последовательности,
в которой члены не суммируются, а рассматриваются как таковые.

Записать первые три члена ряда

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока

Даже для сложного на первый взгляд ряда не составляет трудности расписать его в развернутом виде:

Записать первые три члена ряда

На самом деле задание выполняется устно: мысленно подставляем в общий член ряда сначала , потом и . В итоге:

Ответ оставляем в таком виде, полученные члены ряда лучше не упрощать, то есть не выполнять действия: , , . Почему? Ответ в виде гораздо проще и удобнее проверять преподавателю.

Иногда встречается обратное задание

Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда

Здесь нет какого-то четкого алгоритма решения, закономерность нужно просто увидеть.
В данном случае:

А вот пример чуть сложнее для самостоятельного решения:

Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда

Выполнить проверку, снова записав ряд в развернутом виде

Сходимость числовых рядов

Одной из ключевых задач темы является исследование ряда на сходимость. При этом возможны два случая:

1) Ряд расходится. Это значит, что бесконечная сумма равна бесконечности: либо суммы вообще не существует, как, например, у ряда
(вот, кстати, и пример ряда с отрицательными членами). Хороший образец расходящегося числового ряда встретился в начале урока: . Здесь совершенно очевидно, что каждый следующий член ряда больше, чем предыдущий, поэтому и, значит, ряд расходится. Ещё более тривиальный пример: .

2) Ряд сходится. Это значит, что бесконечная сумма равна некоторому конечному числу : . Пожалуйста: – этот ряд сходится и его сумма равна нулю. В качестве более содержательного примера можно привести бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, известную нам ещё со школы: . Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии рассчитывается по формуле: , где – первый член прогрессии, а – её основание, которое, как правило, записывают в виде правильной дроби. В данном случае: , . Таким образом: Получено конечное число, значит, ряд сходится, что и требовалось доказать.

Однако в подавляющем большинстве случаев найти сумму ряда не так-то просто, и поэтому на практике для исследования сходимости ряда используют специальные признаки, которые доказаны теоретически.

! Для дальнейшего усвоения урока необходимо хорошо понимать, что такое предел и хорошо уметь раскрывать неопределенность вида . Для повторения или изучения материала обратитесь к статье Пределы. Примеры решений.

Необходимый признак сходимости ряда

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю: .

Обратное в общем случае неверно, т.е., если , то ряд может как сходиться, так и расходиться. И поэтому этот признак используют для обоснования расходимости ряда:

Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится

Или короче: если , то ряд расходится. В частности, возможна ситуация, когда предела не существует вообще, как, например, предела . Вот сразу и обосновали расходимость одного ряда :)

Докажем, что ряд из первого примера расходится.
Общий член ряда:

Вывод: ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Необходимый признак часто применяется в реальных практических заданиях:

Исследовать ряд на сходимость

В числителе и знаменателе у нас находятся многочлены. Тот, кто внимательно прочитал и осмыслил метод раскрытия неопределенности в статье Пределы. Примеры решений, наверняка уловил, что когда старшие степени числителя и знаменателя равны, тогда предел равен конечному числу.

Делим числитель и знаменатель на

Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Исследовать ряд на сходимость

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока

Итак, когда нам дан ЛЮБОЙ числовой ряд, в первую очередь проверяем (мысленно или на черновике): а стремится ли его общий член к нулю? Если не стремится – оформляем решение по образцу примеров № 6, 7 и даём ответ о том, что ряд расходится.

Какие типы очевидно расходящихся рядов мы рассмотрели? Сразу понятно, что расходятся ряды вроде или . Также расходятся ряды из примеров № 6, 7: когда в числителе и знаменателе находятся многочлены, и старшая степень числителя больше либо равна старшей степени знаменателя. Во всех этих случаях при решении и оформлении примеров мы используем необходимый признак сходимости ряда.

Почему признак называется необходимым? Понимайте самым естественным образом: для того, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы его общий член стремился к нулю. И всё бы было отлично, но этого ещё не достаточно. Иными словами, если общий член ряда стремится к нулю, ТО ЭТО ЕЩЕ НЕ ЗНАЧИТ, что ряд сходится – он может, как сходиться, так и расходиться!

Данный ряд называется гармоническим рядом. Пожалуйста, запомните! Среди числовых рядов он является прима-балериной. Точнее, балеруном =)

Легко заметить, что , НО. В теории математического анализа доказано, что гармонический ряд расходится.

Также следует запомнить понятие обобщенного гармонического ряда:

1) Данный ряд расходится при . Например, расходятся ряды , , .
2) Данный ряд сходится при . Например, сходятся ряды , , . Еще раз подчеркиваю, что почти во всех практических заданиях нам совершенно не важно, чему равна сумма, например, ряда , важен сам факт его сходимости.

Это элементарные факты из теории рядов, которые уже доказаны, и при решении какого-нибудь практического примера можно смело ссылаться, например, на расходимость ряда или сходимость ряда .

Вообще, рассматриваемый материал очень похож на исследование несобственных интегралов, и тому, кто изучал эту тему, будет легче. Ну а тому, кто не изучал – легче вдвойне:)

Итак, что делать, если общий член ряда СТРЕМИТСЯ к нулю? В таких случаях для решения примеров нужно использовать другие, достаточные признаки сходимости / расходимости:

Признаки сравнения для положительных числовых рядов

Заостряю ваше внимание, что здесь речь уже идёт только о положительных числовых рядах (с неотрицательными членами).

Существуют два признака сравнения, один из них я буду называть просто признаком сравнения, другой – предельным признаком сравнения.

Сначала рассмотрим признак сравнения, а точнее, первую его часть:

Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если известно, что ряд – сходится, и, начиная с некоторого номера , выполнено неравенство , то ряд тоже сходится.

Иными словами: Из сходимости ряда с бОльшими членами следует сходимость ряда с меньшими членами. На практике неравенство часто выполнено вообще для всех значений :

Исследовать ряд на сходимость

Внимание! Далее такая проверка будет подразумеваться по умолчанию, и далее я на этом не останавливаюсь!

Для всех натуральных номеров справедливо очевидное неравенство:

а бОльшим знаменателям соответствуют мЕньшие дроби:
, значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

Проанализируем признак сравнения и решенный пример с неформальной точки зрения. Все-таки, почему ряд сходится? А вот почему. Если ряд сходится, то он имеет некоторую конечную сумму : . И поскольку все члены ряда меньше соответствующих членов ряда , то ясен пень, что сумма ряда не может быть больше числа , и тем более, не может равняться бесконечности!

Исследовать ряд на сходимость

И в этом примере я предлагаю вам самостоятельно рассмотреть вторую часть признака сравнения:

Если известно, что ряд – расходится, и, начиная с некоторого номера (часто с самого первого), выполнено неравенство , то ряд тоже расходится.

Иными словами: Из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с бОльшими членами.

Что нужно сделать?
Нужно сравнить исследуемый ряд с расходящимся гармоническим рядом . Для лучшего понимания постройте несколько конкретных неравенств и убедитесь в справедливаости неравенства .

Решение и образец оформления в конце урока.

Предельный признак сравнения числовых положительных рядов

Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если предел отношения общих членов этих рядов равен конечному, отличному от нуля числу : , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Разделаемся с рядом, для которого забуксовал предыдущий признак сравнения.

Исследовать ряд на сходимость

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения. Известно, что ряд – сходится. Если нам удастся показать, что равен конечному, отличному от нуля числу, то будет доказано, что ряд – тоже сходится.

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

Примечание: когда мы используем предельный признак сравнения, не имеет значения, в каком порядке составлять отношение общих членов, в рассмотренном примере отношение можно было составить наоборот: – это не изменило бы сути дела.

Предельный признак сравнения применим почти для всех рядов, которые мы рассмотрели в предыдущем пункте:
, , , .
Данные ряды по только что рассмотренной трафаретной схеме нужно предельно сравнить соответственно со сходящимися рядами:
, , , .

Исследовать ряд на сходимость

Это пример для самостоятельного решения.

Исследовать ряд на сходимость

Мы видим, что и в числителе и в знаменателе у нас многочлены, причем, в знаменателе многочлен находится под корнем. Подбираем ряд для сравнения .

1) Сначала нужно найти старшую степень знаменателя. Если бы не было корня, то, понятно, что старшая степень знаменателя равнялась бы четырем. Что делать, когда есть корень? Об этом я уже рассказывал на уроке Методы решения пределов. Повторение – мать учения: мысленно или на черновике отбрасываем все члены, кроме старшего: . Если есть константа, её тоже отбрасываем: . Теперь извлекаем корень: . Таким образом, старшая степень знаменателя равна двум.

2) Выясняем старшую степень числителя. Очевидно, что она равна единице.

3) Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя: 2 – 1 = 1

Таким образом, наш ряд нужно сравнить с рядом , то есть, с расходящимся гармоническим рядом.

По мере накопления опыта решения эти три пункта можно и нужно проводить мысленно.

Само оформление решения должно выглядеть примерно так:

”
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом . Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом .

Исследовать ряд на сходимость

Это пример для самостоятельного решения.

В недалёком будущем вы будете сразу видеть, сходится такой ряд или расходится. Например, рассмотрим ряд . Ага, 3 – 1 = 2, значит, ряд нужно сравнить со сходящимся рядом , и сразу можно сказать, что наш исследуемый ряд тоже сходится. Дело за малым – осталось аккуратно оформить стандартное рутинное решение.

Вот, пожалуй, и все начальные сведения о положительных числовых рядах, которые потребуются вам при решении практических примеров. Следующий урок по теме числовых рядов – Признаки сходимости рядов. Признак Даламбера. Признаки Коши

Решения и ответы:

Пример 2:

Пример 5:

Пример 7: Проверим выполнение необходимого признака сравнения:

Делим числитель и знаменатель на

Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Пример 9: Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом . Для любого номера выполнено неравенство , а меньшим знаменателям соответствуют бОльшие дроби:
, значит, по признаку сравнения исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом.

Примечание: и здесь тоже есть неформальный смысл. Так как гармонический ряд расходится, то сумма его членов: . Мы показали, что члены ряда ещё больше членов ряда , и совершенно понятно, что сумма ряда не может быть меньше бесконечности.

Пример 11: Сравним данный ряд с расходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд расходится вместе с рядом .

Пример 13: Эти три пункта выполняем мысленно или на черновике:
1) Старшая степень знаменателя:4
2) Старшая степень числителя: 1
3) 4 – 1 = 3
Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

Читайте также:

Сделали ряд решений как правильно

Рекомендую следующий порядок изучения темы:

Понятие числового ряда

Сходимость числовых рядов

Необходимый признак сходимости ряда

Признаки сравнения для положительных числовых рядов

Предельный признак сравнения числовых положительных рядов