Мозаика пенроуза своими руками
Добавил пользователь Дмитрий К. Обновлено: 04.10.2024
О существовании мозаики Пенроуза знает далеко не каждый, а тем более о том, что эта удивительная мозаика иногда находится буквально под ногами.
Когда мы с мужем гостим в семье сына в Финляндии, конечно же, гуляем по уютному и ухоженному городу Хельсинки. В программу нашего пребывания обязательно включается посещение магазина Академической книги Akateeminen Kirjakauppa, расположенного в центре на улице Keskuskatu, что по-русски означает Центральная улица. Посещение этого книжного магазина доставляет нам эстетическое удовольствие и, хотя книги в Финляндии стоят дорого, всегда хочется купить хоть небольшую красиво иллюстрированную книжечку о цветах и растениях.
Однажды сын, математик по специальности, посоветовал нам при прогулке по этой пешеходной улице внимательно рассмотреть мощение поверхности плитками. Он объяснил, что это мозаика Пенроуза.
Все мы, разумеется, видели кафельную плитку. Чаще всего она бывает квадратной формы. Из плиток выкладывают различные красивые узоры.
Иногда используют плитки разных форм и размеров, но общий вид покрытия поверхности всё равно квадратный.
Иногда плитки укладывают со сдвигом, или используют неквадратные плитки
Но все эти узоры всё равно состоят из повторяющихся частей
На улице Keskuskatu в Хельсинки плитки уложены так, что узор не повторяется.
До 1964 г. никто не верил, что можно придумать такой набор плиток, которыми можно замостить плоскость, не повторяя узора.
В 1964 г. математик Robert Berger придумал такой набор. К сожалению, в этом наборе было 20426 плиток разных форм и размеров.
Почти сразу он же придумал, как уменьшить количество разных плиток в наборе до 104 видов.
В 1968 году знаменитый математик Donald Knuth уменьшил количество разных плиток до 92.
В 1971 году Raphael Robinson придумал такой набор всего лишь из шести плиток, которыми можно замостить плоскость без повторений. Но вряд ли вы захотите использовать их в вашей ванной комнате.
В 1973 году английский математик Roger Penrose придумал набор из шести красивых плиток. Если покрыть этими плитками даже очень большой пол, узор не повторится.
Настоящая же известность пришла к Roger Penrose, когда он обнаружил, что достаточно всего двух типов плиток, чтобы создать неповторяющийся узор. Эти плитки представляют собой геометрические фигуры – ромбы, несколько отличающиеся друг от друга.
Это фотография математика Roger Penrose на фоне поверхности, покрытой неповторяющимся узором.
Замощение плоскости неповторяющимся орнаментом из плиток теперь называют мозаикой Пенроуза.
Полученное замощение имеет такой вид, как будто мозаика обладает определённым свойством симметрии, когда некоторую часть геометрического узора можно переносить параллельно, не поворачивая, и части совмещать друг с другом.
На самом же деле при внимательном рассмотрении мозаики Пенроуза можно заметить, что узор не имеет периодичности, в то же время узор не является хаотичным. Симметрия геометрического узора Пенроуза называется вращательной, а строго математически, пятого порядка.
В течение примерно десяти лет математическое изобретение Roger Penrose не имело прикладного значения и было известно в основном математикам. Но израильский профессор Dan Shechtman в 1984 году, изучающий физику твёрдого тела, обнаружил дифракцию того самого пятого порядка на атомной решётке алюминиево-магниевого сплава. При обсуждении этого явления учёные приняли в качестве математической модели уже известную мозаику Пенроуза.
В дальнейшем выяснилось, что покрытие поверхности геометрическими фигурами без промежутков или наложений друг на друга широко применялось в исламском искусстве ещё в средние века. В Азии мозаичными геометрическими орнаментами покрывали мечети. В старинных манускриптах найдены схемы, свидетельствующие о том, что узоры, украшающие стены не являются хаотичными, а состоят из определённых фигур, расположенных в строгом порядке. Поскольку исламское искусство находилось под запретом изображения животных или человека, то древние мастера украшали храмы геометрическими орнаментами.
Вызывает восхищение и удивление большое разнообразие неповторяющихся орнаментов. Причина кроется как раз в том, что использовались специальные виды мозаики, многие из которых обладали той самой вращательной симметрией пятого порядка, и фактически являлись мозаиками Пенроуза. Можно предположить, что роль математики была очень важна в средневековом искусстве Ислама.
Ниже я предлагаю для просмотра фотографии плиточного покрытия мозаикой Пенроуза пешеходной улицы Keskuskatu в Хельсинки. Поверхность покрыта плитками без промежутков или наложений, при этом узор нигде не повторяется.
Представляется необходимым реорганизация и уточнение содержания. Улучшите его , обсудите области , требующие улучшения, или укажите разделы, которые нужно переработать, используя > .
С точки зрения геометрии мозаики Пенроуза представляют собой мозаики плоскости, открытые британским математиком и физиком Роджером Пенроузом в 1970-х годах. В 1984 году они использовались в качестве интересной модели структуры квазикристаллов .
Резюме
Определение
Тайлинги Пенроуза - это непериодические мозаики, характеризуемые локальными правилами : если они исторически не являются первыми, подтвердившими это свойство, то они являются одними из самых простых и, как таковые, широко изучены (первый такой тайлинг, построенный Робертом Бергером в 1966 году, имел 20 426 плитки).
В 17 периодических тайлингах плана были известны в течение длительного времени , когда Роджер Пенроуз заинтересовался непериодическими паркеты. Его намерением было не открытие новой области математики и физики, а только создание математических развлечений. В 1974 году он опубликовал статью, в которой представил мозаику плана с использованием пятиугольников , ромбов , пентаграмм и частей пентаграмм.
Некоторые мозаики Пенроуза обладают симметрией порядка 5 (инвариантность при повороте на угол 2π / 5 радиан, то есть 72 градуса), но ни один из них не является периодическим, то есть его нельзя описать как образец, повторяющийся на регулярной сетке. . Однако все они почти периодичны, то есть любой узор, появляющийся в мозаике, появляется снова регулярно. В более общем смысле, любой конечный участок дорожного покрытия, каким бы большим он ни был, повторяется в дорожном покрытии до бесконечности.
Плитки Пенроуза остались бы лишь приятным математическим развлечением, если бы в 1984 году не были обнаружены материалы, имеющие сильно упорядоченную структуру, подобную кристаллам, но не периодическую: квазикристаллы . Непериодические мозаики, в частности мозаики Пенроуза, затем оказались правдоподобной моделью этих странных материалов.
Есть три типа мозаик Пенроуза, каждый из которых имеет бесконечное количество вариаций:
Брусчатка Пенроуза с золотыми треугольниками (брусчатка типа 0)
Есть много способов определить золотой треугольник . Один из самых простых:
- Стороны острого золотого треугольника имеют длину, пропорциональную [1; φ; φ].
- Стороны тупого золотого треугольника имеют длину, пропорциональную [1; 1; φ].
Мы можем показать, что это единственные равнобедренные треугольники, удовлетворяющие следующему свойству : возможность разрезать на 2 неравных равнобедренных треугольника и, в свою очередь, обладать этим свойством . ( п ) ( п )
Эти два типа золотых треугольников можно получить, вырезав правильный пятиугольник :
Каждый из этих типов имеет угол 36 ° (в радианах), а два других угла (как показано на рисунке выше) либо равны, либо кратны (с коэффициентом 2 или 3). α π 5 > \,> α α
Угол связан с золотым числом φ многими свойствами; действительно : α
Также они обладают следующими свойствами:
- Любой острый золотой треугольник ( A ) размеров [1; φ; φ] можно разложить (4 разными способами, от 2 до 2 симметрично) на 3 треугольника: тупой золотой треугольник [1 / φ; 1 / φ; 1] и два острых золотых треугольника [1 / φ; 1; 1], поэтому эти новые треугольники имеют по отношению к образующему золотому треугольнику размер, деленный на φ;
- Любой тупой золотой треугольник ( О ) размеров [1; 1; φ] можно разложить (двумя разными симметричными способами) на два треугольника: острый золотой треугольник [1 / φ; 1; 1] и тупой золотой треугольник [1 / φ; 1 / φ; 1].
Эти свойства можно использовать для построения мозаики Пенроуза типа 0. Вот как это сделать:
Вырезав первый золотой треугольник (острый или тупой, не имеет значения) и увеличив его в φ, а затем повторяя предыдущую операцию бесконечное количество раз, мы составим полную мозаику плоскости, используя два виды золотых треугольников. Если на шаге n мы назовем количество острых треугольников и количество тупых треугольников, мы соблюдаем формулы рекуррентности: в нет \,> о нет \,>
Учитывая последовательность, определенную формулой ты нет >
заметим, что эта последовательность удовлетворяет рекуррентному соотношению последовательности Фибоначчи
ты нет + 2 знак равно ты нет + 1 + ты нет = и_ + и_ > ,
последовательность, из которой мы знаем, что соотношение двух последовательных членов стремится к золотому числу φ. Таким образом, предельное значение отношения количества тупых треугольников к количеству острых треугольников является иррациональным числом, что означает, что мозаика, полученная таким образом, не может быть периодической.
Мощение воздушными змеями и дротиками (мощение 2-го типа)
Предыдущий тайлинг имеет преимущество простоты, но его конструкция не уникальна: действительно, каждое разрезание треугольника может быть выполнено как минимум двумя разными способами (симметрично). Кроме того, эти вырезы не производят впечатление регулярности и поэтому приводят к довольно непривлекательным мозаикам.
Но мы можем спроектировать другой вид мощения.
Последовательность процесса обеспечивается тем фактом, что созданные таким образом полудротики всегда связываются со своим соседом, чтобы воссоздать полный дротик (что обеспечивает исчезновение пунктирных линий, видимых на предыдущем рисунке).
Цифра, полученная после нескольких итераций, показывает квазисимметрию порядка 5. Легко доказать, что, что касается золотых треугольников, соотношение между количеством воздушных змеев и дротиков стремится к золотому числу φ, которое гарантирует, что Построенная таким образом мощение не является периодическим.
В отличие от первого типа дорожного покрытия, здесь режущая конструкция создает только один тип дорожного покрытия второго типа, поскольку резку воздушных змеев и дротиков можно выполнять только одним способом!
Пример: три поколения 4-х фигурок.
| Фамилия | Поколение 0 | Поколение 1 | Поколение 2 | Поколение 3 |
|---|---|---|---|---|
| Воздушный змей (половина) | ||||
| Стрелка (половина) | ||||
| солнце | ||||
| Звезда |
Брусчатка (брусчатка 3-го типа)
Также можно вымостить плоскость, используя две простые геометрические фигуры, такие как следующие два ромба . Пока вы собираете их, соблюдая цвет и направление векторов. Эти ограничения сборки гарантируют, что получаемое мощение не будет периодическим. Как и раньше, существует бесконечное количество непериодических мозаик плоскости, использующих эти две части.
Соблюдать правила сборки при ручном строительстве большой брусчатки сложно: оказывается, практически все конечные конфигурации, какими бы большими они ни были, не растягиваются до бесконечности. Таким образом, человек, стремящийся вымостить большую площадь, например головоломку, часто попадет в тупик, например, в яму, которую нельзя вымощать согласно правилам, и ему придется частично отменить сборку, чтобы повторить попытку укладки другой плитки.
Кроме того, не существует локального алгоритма роста мозаики, который гарантирует бесконечную расширяемость мозаики. Другими словами, все методы строительства, добавляя плитки одну за другой и не ведущие в тупик, обязательно учитывают все уже размещенные плитки.
Фигура, полученная после нескольких итераций, показывает квазисимметрию порядка 5. Легко доказать, что, что касается золотых треугольников, соотношение между количеством крупных и мелких алмазов стремится к золотому сечению φ. Это гарантирует, что укладка таким образом не будет периодической.
Покрытие декагонами
Немецкий математик Петра Гуммельт доказала в 1996 году, что мозаику Пенроуза можно получить, покрывая плоскость только декагонами, при условии, однако, что допускаются два дискретных типа вторжения. Предлагаемый десятиугольник украшен пятью воздушными змеями, и допустимое вторжение не меняет конфигурации этих цветных частей.
Можно разбить десятиугольник на дротики и воздушные змеи, сведя полученную таблицу к плитке Пенроуза. Брусчатку с бриллиантами можно найти непосредственно, выгравировав большой алмаз в десятиугольнике; оставшиеся пустые части будут заполнены мелкими алмазами. Этот новый подход оказал значительное влияние на представления о формировании квазикристаллов.
Вхождения
Мы можем отнести вхождения к мозаике Пенроуза к трем основным категориям:
Введение
Цель работы: изучить предметную область и разработать презентацию для учащихся средних классов.
Задачи:
- изучить основы картин М.К. Эшера;
- сделать иллюстративный материал для кабинета математики;
- разработать несколько узоров на примере базовых фигур, реализовать их с помощью графического редактора Paint.;
- на основе собственных узоров сделать игру для составления паркетов в редакторе электронных таблиц Microsoft Excel;
- выполнить презентацию в PowerPoint.
Методы исследования включали теоретическую и практическую часть. Теоретическая часть:
- опрос учащихся;
- проведение классного часа;
- фотографирование, работа с графическими редакторами Photoshop, Paint; редактором электронных таблиц Microsoft Excel.
1. Геометрические фигуры в картинах М.К. Эшера
Геометрический паркет – это заполнение поверхности многоугольниками без щелей и наложения фигур. Изображения всех геометрических фигур, используемых в картинах художника, приведены на фото 1 [6].
Это квадрат, прямоугольник, параллелограмм, треугольник, ромб и шестиугольник. Так как с помощью круга нельзя построить паркет, то художник не использовал эту геометрическую фигуру (слайд №6 в презентации).
Свою работу над презентацией я начал с изучения картин Эшера. На рисунках 1-4 приведены фрагменты некоторых картин художника.
Синим цветом я выделил варианты геометрических фигур (квадрат, треугольник, ромб, параллелепипед), которые возможно послужили художнику основой для создания образов животных. Разноцветными стрелками я отметил те участки геометрической фигуры, которые нуждаются в параллельном переносе (слайд № 7 в презентации).
Жил-был Квадрат, любил мечтать,
Но вдруг решил он полетать.
Поможем мы ему слегка.
Изменим у него бока.
Сначала справа уберем,
И сверху малость отщипнем.
Внизу немного изгибаем,
И снова справа отрезаем,
Квадрату - крылья оформляем.
И вот уже птенец готов.
Взмахнул крылом - и был таков!
Муниципальное общеобразовательное учреждение
Замощение плоскости в пространстве .
ученицы 10 класса
учитель математики Овсянкина О.А.
Определение замощения плоскости……………………………………………..4
История появления замощения………………………………………………..5
Непериодическое замощение Х. Фодерберга………………………………. 10
Мозаика Роджера Пенроуза…………………………………………………..12
Свойства мозаики Пенроуза…………………………………………………..13
Фуллерены и квазикристаллы………………………………………………. 24
Актуальность реферата заключается в том, что замощение плоскости активно изучается в физике кристаллов, геометрии, а также встречается в повседневной жизни.
Еще древние художники создавали удивительные геометрические орнаменты. Для создания своих узоров они применяли не простые, случайно придуманные контуры, а фигуры, которые были расположены в определённом порядке. А самое удивительное, что люди снова встретились с ними позже. Древние узоры – не что иное, как то, что спустя столетия назовут решётками Пенроуза и найдут в структуре квазикристаллов!
Самое серьезное внимание проблеме замощения плоскости в пространстве стали уделять в последние пятьдесят лет, после открытий в физике кристаллов - твердых металлических сплавов. В кристаллографии поворотная симметрия 5-го порядка наиболее эффективно представлена в мире растений и в простейших живых организмах, в частности в некоторых разновидностях вирусов, в некоторых обитателях морей.
Определение замощения плоскости
Замощение — это покрытие всей плоскости неперекрывающимися фигурами.
Замощение — разбиение плоскости или пространства на фигуры без общих внутренних точек или покрытие всей плоскости неперекрывающимися фигурами.
Вероятно, впервые интерес к замощению возник в связи с построением мозаик, орнаментов и других узоров. Известно много орнаментов, составленных из повторяющихся мотивов.
Замощение плоскости можно представить в виде набора склеенных по границам фигур. Один из простейших примеров - так называемое гексагональное замощение, когда плоскость, как соты, составлена из шестиугольников, соединенных по сторонам. Замощение называется периодическим, если при сдвиге на некоторый вектор оно переходит в себя. В гексагональном случае это, например, вектор, соединяющий центры соседних шестиугольных ячеек.
История появления замощения
Вероятно, впервые интерес к замощению возник в связи с построением мозаик, орнаментов и других узоров. Известно много орнаментов, составленных из повторяющихся мотивов.
Уже пифагорейцам было известно, что имеется только три вида правильных многоугольников, которыми можно полностью замостить плоскость без пробелов и перекрытий, — треугольник, квадрат и шестиугольник.
Математическая проблема непериодичного замощения плоскости существует уже около полувека. Самое известное решение этой проблемы - мозаика Пенроуза , которая появилась в семидесятых годах прошлого века, и в которой используется всего две различные фигуры.
А первый набор плиток, состоящий из 20 426 фигур, представил в 1966 году математик Роберт Бергер. Через некоторое время он, впрочем, сумел сократить число необходимых плиток до 104.
Автору рассматриваемой работы для решения задачи хватило одной фигуры — правильного шестиугольника. При укладке таких плиток черные линии не должны прерываться, а флажки в вершинах шестиугольников, которые находятся на расстоянии, равном длине одной стороны плитки (на рисунке отмечены стрелками), должны смотреть в одну сторону.
В каждом из замощений, где используются квадрат, правильный треугольник и правильный шестиугольник любые два многоугольника имеют либо общую сторону, либо только общую вершину, либо вовсе не имеют общих точек. Замощения плоскости многоугольниками, удовлетворяющие этому требованию, называют паркетами .
Убедиться в том, что никакой другой правильный многоугольник паркета не образует, совсем просто. И здесь нам понадобится формула суммы углов многоугольника.
Если паркет составлен из n -угольников, то в каждой вершине паркета будет сходиться k = 360°/ a n многоугольников, где n — угол правильного n -угольника. Легко найти, что a 3 = 60°, a 4 = 90°, a 5 = 108°, a 6 = 120° и 120° a n п > 7. Поэтому 360° делится нацело на a n только при п = 3; 4; 6.
Многоугольники, которые могут быть плитками в этих паркетах, называются планигонами . Ясно, что плоскость можно уложить копиями произвольного треугольника, но менее очевидно, что произвольный четырёхугольник — планигон. То же верно и для любого шестиугольника, противоположные стороны которого равны и параллельны.
Все рассмотренные выше паркеты периодичны, т. е. в каждом из них можно выделить (и даже многими способами) составленную из нескольких плиток область, из которой параллельными сдвигами получается весь паркет. Интерес учёных к таким конструкциям объясняется тем, что периодические замощения, особенно замощения пространства, моделируют кристаллические структуры.
Непериодическое замощение Х. Фодерберга
Существуют и непериодические замощения, например, очень красивое спиральное замощение плоскости девятиугольниками, придуманное в 1936 г. немецким математиком X. Фодербергом. Впрочем, объединив эти плитки попарно в центрально-симметричные восьмиугольники, можно замостить ими плоскость и периодически.
Долгое время предполагали, что не существует плиток и даже наборов из нескольких различных плиток, копии которых могли бы устилать плоскость только непериодически. Однако в середине 60-х гг. XX в. эта гипотеза была опровергнута, для чего понадобился набор из более чем 20 000 разных видов плиток. Шаг за шагом число плиток удавалось уменьшить, и, наконец, через десять лет английскому математику Роджеру Пенроузу удалось обойтись всего двумя очень простыми фигурками.
Одно из простейших замощений можно описать так. Плоскость покрыта параллелограммами, причем все параллелограммы одинаковы. Любой параллелограмм этого замощения можно получить из первоначального параллелограмма, сдвигая его на вектор nU ± mV (векторы U и V определяются ребрами выделенного параллелограмма, n и m — целые числа). Следует отметить, что все замощение как целое переходит в себя при сдвиге на вектор U (или V). Это свойство можно взять в качестве определения: именно, периодическим замощением с периодами U и V назовем такое замощение, которое переходит в себя при сдвиге на вектор U и на вектор V.
Мозаика Роджера Пенроуза
Долгое время предполагали, что не существует плиток и даже наборов из нескольких различных плиток, копии которых могли бы устилать плоскость только непериодически. Однако в середине 60-х гг. XX века эта гипотеза была опровергнута, для чего понадобился набор из более чем 20 000 разных видов плиток. Шаг за шагом число плиток удавалось уменьшить, и, наконец, через десять лет английскому математику Роджеру Пенроузу удалось обойтись всего двумя очень простыми фигурками.
Английский математик Роджер Пенроуз придумал в 1973 году такую штуку – особенную мозаику из геометрических фигур. Называться она стала, соответственно, мозаикой Пенроуза. Чего же в ней такого специфического? Мозаика Пенроуза представляет собой узор, собранный из многоугольных плиток двух определённых форм (немного различающихся ромбов). Ими можно замостить бесконечную плоскость без пробелов.
Получающееся изображение выглядит так, будто является неким "ритмическим" орнаментом – картинкой, обладающей трансляционной симметрией. Такой тип симметрии означает, что в узоре можно выбрать определённый кусочек, который можно "копировать" на плоскости, а затем совмещать эти "дубликаты" друг с другом параллельным переносом (проще говоря, без поворота и без увеличения).
Однако, если присмотреться, можно увидеть, что в узоре Пенроуза нет таких повторяющихся структур – он апериодичен. Но дело отнюдь не в оптическом обмане, а в том, что мозаика не хаотична: она обладает вращательной симметрией пятого порядка. Это значит, что изображение можно поворачивать на минимальный угол, равный 360 / n градусам, где n –порядок симметрии, в данном случае n = 5. Следовательно, угол поворота, который ничего не меняет, должен быть кратен 360 / 5 = 72 градусам.
Мозаика Пенроуза обладает свойствами:
1. Отношение числа тонких ромбов к числу толстых оказывается всегда равно так называемому "золотому" числу 1,618.
2.Она не переходит в себя ни при каких сдвигах, т.е. не периодична
3.Обладает вращательной симметрией пятого порядка. Угол поворота кратен 360° / 5 = 72. Получившиеся узоры имеют квазикристалическую форму, которая имеет осевую симметрию 5-го порядка. Структура мозаики связна с последовательностью Фибоначчи .
Примерно десятилетие выдумка Роджера Пенроуза считалась не более чем милой математической абстракцией.
Позже учёные США и Израиля - Д. Шехтман, И. Блех, Д. Гратиас и Дж. Кан - сделали сенсационное открытие, обнаружив непериодическую структуру быстро охлаждённого сплава марганца и алюминия. Ранее считалось, что кристаллы имеют осевую симметрию лишь 1-го, 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядка. Иными словами, кристаллы, имеющие осевую симметрию 5-го порядка, находятся в состоянии плавного перехода между аморфными телами и периодическими кристаллами.
Предыдущие представления, существовавшие в физике твёрдого тела, исключали такую возможность: структура дифракционной картины обладает симметрией пятого порядка.
Её части нельзя совмещать параллельным переносом, а значит, это вовсе никакой не кристалл. Но дифракция характерна как раз для кристаллической решётки!
Как тут быть? Вопрос непростой, поэтому учёные договорились о том, что данный вариант будет назваться квазикристаллами – чем-то вроде особого состояния вещества. Таким образом, математический курьез стал моделью, описывающей внутреннее строение квазикристаллов.
Ну а вся красота открытия, в том, что для него уже давно готова математическая модель. Мозаика Пенроуза - великолепный пример того, как красивое построение, находящееся на стыке различных дисциплин, обязательно находит себе применение. Если узловые точки заменить атомами, мозаика Пенроуза станет хорошим аналогом двухмерного квазикристалла, так как имеет много свойств, характерных для такого
состояния вещества. И вот почему:
Во-первых, построение мозаики реализуется по определенному алгоритму, вследствие чего она оказывается не случайной, а упорядоченной структурой. Любая ее конечная часть встречается во всей мозаике бесчисленное множество раз.
Во-вторых, в мозаике можно выделить много правильных десятиугольников, имеющих совершенно одинаковые ориентации. Они создают дальний ориентационный порядок, названный квазипериодическим. Это означает, что между удаленными структурами мозаики существует взаимодействие, которое согласовывает расположение и относительную ориентацию ромбов вполне определенным, хотя и неоднозначным.
В-третьих, если последовательно закрасить все ромбы со сторонами, параллельными какому-либо выбранному направлению, то они образуют серию ломаных линий.
Вдоль этих ломаных линий можно провести прямые параллельные линии, отстоящие друг от друга приблизительно на одинаковом расстоянии. Благодаря этому свойству можно говорить о некоторой трансляционной симметрии в мозаике Пенроуза.
В-четвертых, последовательно закрашенные ромбы образуют пять семейств подобных параллельных линий, пересекающихся под углами, кратными 72°. Направления этих ломаных линий соответствуют направлениям сторон правильного пятиугольника. Поэтому мозаика Пенроуза имеет в какой-то степени поворотную симметрию 5-го порядка и в этом смысле подобна квазикристаллу.
Похожие документы:
Переход через границу. Катя Рерих Встреча с Лениным. Мой большевизм
. одной плоскости, . научно-исследовательского энергетического . заработка 10 франков), . замощенных . классы общества" - меня интересовали несравнимо больше, чем высшая математика . в пространства и . свою ученицу Ортодокс . читались светские рефераты о Марксе, .
Читайте также: