Метод наименьших квадратов в excel как сделать

Добавил пользователь Евгений Кузнецов
Обновлено: 19.09.2024

Конст— логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы константа b была равна 0. Если Конст имеет значение ИСТИНА или опущено, то b вычисляется обычным образом. Если аргумент Конст имеет значение ЛОЖЬ, то b полагается равным 0 и значения a подбираются так, чтобы выполнялось соотношение y=ax.

Статистика— логическое значение, которое указывает, требуется ли вернуть дополнительную статистику по регрессии. Если аргумент Статистика имеет значение ИСТИНА, то функция ЛИНЕЙН возвращает дополнительную регрессионную статистику. Если аргумент Статистика имеет значение ЛОЖЬ или опущен, то функция ЛИНЕЙН возвращает только коэффициент a и постоянную b.

Необходимо помнить, что результатом функций ЛИНЕЙН()является множество значений – массив.

Для расчета коэффициента корреляции используется функция

КОРРЕЛ(Массив1;Массив2),

возвращающая значения коэффициента корреляции, где Массив1 — массив значений y, Массив2 — массив значений x. Массив1 и Массив2 должны быть одной размерности.

ПРИМЕР 1. Зависимость y(x) представлена в таблице. Построить линию регрессии и вычислить коэффициент корреляции.

y	0.5	1.5	2.5	3.5
x	2.39	2.81	3.25	3.75	4.11	4.45	4.85	5.25

Введем таблицу значений в лист MS Excel и построим точечный график. Рабочий лист примет вид изображенный на рис. 2.

Для того чтобы рассчитать значения коэффициентов регрессии аи bвыделимячейки A7:B7, обратимся к мастеру функций и в категории Статистические выберем функцию ЛИНЕЙН. Заполним появившееся диалоговое окно так, как показано на рис. 3 и нажмем ОK.

В результате вычисленное значение появится только в ячейке A6 (рис.4). Для того чтобы значение появилось и в ячейке B6 необходимо войти в режим редактирования (клавиша F2), а затем нажать комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

Для расчета значения коэффициента корреляции в ячейку С6 была введена следующая формула:

С7=КОРРЕЛ(B3:J3;B2:J2).

Зная коэффициенты регрессии аи b вычислим значения функции y=ax+b для заданных x. Для этого введем формулу

и скопируем ее в диапазон С5:J5(рис. 5).

Изобразим линию регрессии на диаграмме. Выделим экспериментальные точки на графике, щелкнем правой кнопкой мыши и выберем команду Исходные данные. В появившемся диалоговом окне (рис. 5) выберем вкладку Ряд и щелкнем по кнопке Добавить. Заполним поля ввода, так как показано на рис. 6 и нажмем кнопку ОК. К графику экспериментальных данных будет добавлена линия регрессии. По умолчанию ее график будет изображен в виде точек, не соединенных сглаживающими линиями.

Рис. 6

Чтобы изменить вид линии регрессии, выполним следующие действия. Щелкнем правой кнопкой мыши по точкам, изображающим график линии, выберем команду Тип диаграммыи установим вид точечной диаграммы, так как показано на рис. 7.

Тип линии, ее цвет и толщину можно изменить следующим образом. Выделить линию на диаграмме, нажать правую кнопку мыши и в контекстном меню выбрать команду Формат рядов данных… Далее сделать установки, например, так как показано на рис. 8.

В результате всех преобразований получим график экспериментальных данных и линию регрессии в одной графической области (рис. 9).

4.2. Использование линии тренда.

Построение различных аппроксимирующих зависимостей в MS Excel реализовано в виде свойства диаграммы – линия тренда.

ПРИМЕР 2. В результате эксперимента была определена некоторая табличная зависимость.

0.15	0.16	0.17	0.18	0.19	0.20
4.4817	4.4930	5.4739	6.0496	6.6859	7.3891

Выбрать и построить аппроксимирующую зависимость. Построить графики табличной и подобранной аналитической зависимости.

Решение задачи можно разбить на следующие этапы: ввод исходных данных, построение точечного графика и добавление к этому графику линии тренда.

Рассмотрим этот процесс подробно. Введем исходные данные в рабочий лист и построим график экспериментальных данных. Далее выделим экспериментальные точки на графике, щелкнем правой кнопкой мыши и воспользуемся командой Добавитьлинию тренда (рис. 10).

Появившееся диалоговое окно позволяет построить аппроксимирующую зависимость.

На первой вкладке (рис. 11) этого окна указывается вид аппроксимирующей зависимости.

На второй (рис. 12) определяются параметры построения:

· название аппроксимирующей зависимости;

· прогноз вперед (назад) на n единиц (этот параметр определяет, на какое количество единиц вперед (назад) необходимо продлить линию тренда);

· показывать ли точку пересечения кривой с прямой y=const;

· показывать аппроксимирующую функцию на диаграмме или нет (параметр показывать уравнение на диаграмме);

· помещать ли на диаграмму величину среднеквадратичного отклонения или нет (параметр поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации).

Выберем в качестве аппроксимирующей зависимости полином второй степени (рис. 11) и выведем уравнение, описывающее этот полином на график (рис. 12). Полученная диаграмма представлена на рис. 13.

Аналогично с помощью линии тренда можно подобрать параметры таких зависимостей как

· линейная y=a∙x+b,

· логарифмическая y=a∙ln(x)+b,

· экспоненциальная y=a∙e b ,

· степенная y=a∙x b ,

· полиномиальная y=a∙x 2 +b∙x+c, y=a∙x 3 +b∙x 2 +c∙x+d и так далее, до полинома 6-й степени включительно,

4.3. Использование решающего блока

Значительный интерес представляет реализация в MS Excel подбора параметров методом наименьших квадратов с использованием решающего блока. Эта методика позволяет подобрать параметры функции любого вида. Рассмотрим эту возможность на примере следующей задачи.

ПРИМЕР 3. В результате эксперимента получена зависимость z(t) представленная в таблице

0,66	0,9	1,17	1,47	1,7	1,74	2,08	2,63	3,12
38,9	68,8	64,4	66,5	64,95	59,36	82,6	90,63	113,5

Подобрать коэффициенты зависимости Z(t)=At 4 +Bt 3 +Ct 2 +Dt+K методом наименьших квадратов.

Эта задача эквивалентна задаче нахождения минимума функции пяти переменных

Рассмотрим процесс решения задачи оптимизации (рис. 14).

Пусть значения А, В, С, D и К хранятся в ячейках A7:E7. Рассчитаем теоретические значения функции Z(t)=At 4 +Bt 3 +Ct 2 +Dt+K для заданных t(B2:J2). Для этого в ячейку B4 введем значение функции в первой точке (ячейка B2):

Скопируем эту формулу в диапазон С4:J4 и получим ожидаемое значение функции в точках, абсциссы которых хранится в ячейках B2:J2.

В ячейку B5 введем формулу, вычисляющую квадрат разности между экспериментальными и расчетными точками:

и скопируем ее в диапазон С5:J5. В ячейке F7 будем хранить суммарную квадратичную ошибку (10). Для этого введем формулу:

F7 = СУММ(B5:J5).

Воспользуемся командой Сервис®Поиск решения и решим задачу оптимизации без ограничений. Заполним соответствующим образом поля ввода в диалоговом окне, показанном на рис. 14 и нажмем кнопку Выполнить. Если решение будет найдено, то появится окно, изображенное на рис. 15.

Результатом работы решающего блока будет вывод в ячейки A7:E7значений параметров функции Z(t)=At 4 +Bt 3 +Ct 2 +Dt+K. В ячейках B4:J4 получим ожидаемые значение функции в исходных точках. В ячейке F7 будет храниться суммарная квадратичная ошибка.

Изобразить экспериментальные точки и подобранную линию в одной графической области можно, если выделить диапазон B2:J4, вызвать Мастер диаграмм, а затем отформатировать внешний вид полученных графиков.

Рис. 17 отображает рабочий лист MS Excel после проведенных вычислений.

5. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В., Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad12, MATLAB7, Maple9. – НТ Пресс, 2006.–596с. :ил. –(Самоучитель)

2. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В., Е.А. Рудченко, Scilab, решение инженерных и математических задач. –М., БИНОМ, 2008.–260с.

3. Березин И.С., Жидков Н.П., Методы вычислений.–М.:Наука, 1966.–632с.

4. Гарнаев А.Ю., Использование MS EXCEL и VBA в экономике и финансах. – СПб.: БХВ - Петербург, 1999.–332с.

5. Демидович Б.П., Марон И А., Шувалова В.З., Численные методы анализа.–М.:Наука, 1967.–368с.

6. Корн Г., Корн Т., Справочник по математике для научных работников и инженеров.–М., 1970, 720с.

7. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Методические указания к выполнению лабораторных работ в MS EXCEL. Для студентов всех специальностей. Донецк, ДонНТУ, 2004. 112 с.

Технология решения систем линейных уравнений для случая, когда m=n,
(m-количество уравнений, n – количество неизвестных) рассмотрена в другой статье. Для решения подобных уравнений можно применить метод обратной матрицы. Однако, в общем случае m может быть не всегда равно n. Возможны три случая: m n.

Если m>n и система совместна, то матрица системы А имеет по крайней мере m-n линейно независимых строк. В этом случае решение может быть получено отбором n любых линейно независимых уравнений и применением формулы X=A-1 х B , т.е. метод обратной матрицы.

Однако, при решении задачи в электронной таблице удобнее применить более общий подход - метод наименьших квадратов.

Его суть состоит в том, что обе части уравнения нужно умножить на транспонированную матрицу системы Ат : АтАХ=АтВ.

Затем обе части уравнения нужно умножить на (АтА)-1 . Если эта матрица существует, то система определена. С учетом того, что (АтА)-1АтА=Е , получаем решение системы в виде Х=(АтА)-1 АтВ (1).

Рассмотрим технологию решения систем линейных уравнений методом наименьших квадратов на примере.

Как можно увидеть, здесь m > n.
Воспользуемся для решения формулой 1.

1. Введем значения элементов матрицы системы А в диапазон ячеек рабочего листа, например А2:B4 .

2. Введем значения элементов вектора В в диапазон ячеек рабочего листа, например D2:D4 (см рис.).

3. Транспонируем исходную матрицу, для чего выделим диапазон ячеек размерностью 3 х 2, например А6:C7 , введем в него формулу:

= ТРАНСП(А2:В4) и нажмем комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter - в выделенном диапазоне будет вычислен результат транспонирования.

4. Вычислим произведение АтВ , для чего выделим диапазон из двух ячеек ( Е6:Е7 ) и введем в него формулу = МУМНОЖ(А6:C7;D2:D4) .

5. Вычислим произведение А тА , для чего выделим диапазон ( А9:В10 ) и введем в него формулу = МУМНОЖ(A6:C7;А2:В4) .

6. Выделим диапазон ( D9:E10 ), введем в него формулу = МОБР(А9:B10) для вычисления обратной матрицы (А тА)-1

7. Для вычисления итогового результата -решения системы уравнений выделим диапазон ( В12:В13 ) и введем в него формулу для умножения матриц (АтА)-1 АТА: =МУМНОЖ(D9:E10;A9:B10) .

В ячейках В12 и В13 будет получен результат решения системы.

При достаточно хорошем навыке работы с мастером функций MS Excel приведенную задачу можно решить без промежуточных вычислений, как это рассмотрено выше, а введя сразу все выражение для вычисления в строку формул, как это показано на рисунке. .

Рассмотрим эту технологию более подробно на том же примере. Формула, которая дает решение системы Х=(АтА)-1 (АтВ) содержит две группы (заключенные в скобки), которые должны быть перемножены с помощью функции МУМНОЖ(параметр_1;Параметр_2) . Параметр_1 в нашем случае сам является вычисляемым выражением (АтА)-1 , параметр_2 также вычисляется (АтВ) . При вводе формул, представляющих сложные выражения целесообразно придерживаться технологии, которая предлагается далее. Для решения задачи выполним действия:

1. Выделим диапазон, в котором будет вычисляться результат, и, используя мастер функций, введем в него функцию МУМНОЖ ( значок fx слева от строки формул ) , переведем курсор в поле массив2 диалогового окна “ Аргументы функции ” после чего щелкнем на кнопке fx, расположенной в левой части строки формул – окно “ Аргументы функции ” закроется, а в строке формул появится выражение =МУМНОЖ(;) (символ ; разделяет друг от друга аргументы функции).

2. Первый аргумент в нашем случае является обратной матрицей результата произведения матриц. Переведем щелчком курсор в поле первого аргумента и, используя список “ Функции ” (рис. ниже), включим функцию МОБР и закроем окно “ Аргументы функции ” щелкнув на кнопке fx в левой части строки формул. При этом курсор остается в строке формул в поле аргумента функции МОБР .

3. Аргумент функции МОБР в рассматриваемой задаче является произведением матриц. Используя список “ Функции ” включим функцию МУМНОЖ . Переведем курсор в поле массив2 диалогового окна “ Аргументы функции ” и укажем адрес массива, содержащего элементы матрицы А . Затем переведем курсор в поле переведем курсор в поле массив2 диалогового окна и используя список “ Функции ”, включим функцию ТРАНСП и в качестве ее аргумента укажем адрес массива, содержащего элементы матрицы А . Щелкнем на кнопке fx – окно “ Аргументы функции ” закроется.

4. В строке формул установим курсор в область второго аргумента первой функции МУМНОЖ . Используя список “ Функции ” включим функцию МУМНОЖ . В поскольку второй аргумент не нужно вычислять, первую очередь укажем его - в поле массив2 введем адрес диапазона, в котором содержатся элементы вектора В.

5. Переключим курсор в поле массив2 диалогового окна “ Аргументы функции ”, используя список “ Функции ” включим функцию ТРАНСП и в поле массив этой функции укажем адрес диапазона, в котором содержатся значения элементов матрицы А .

Запись формулы для решения системы уравнений методом наименьших квадратов завершена. Она имеет окончательный вид: =МУМНОЖ(МОБР(МУМНОЖ(ТРАНСП(A2:B4);A2:B4));МУМНОЖ(ТРАНСП(A2:B4);D2:D4))

6. Нажмем комбинацию клавиш + + - в ячейках выделенного диапазона будет результат решения системы.

На первый взгляд приведенная процедура может показаться сложной и длительной. Однако, это кажется только на первый взгляд. При достаточном ее освоении значительно сокращается время решения и уменьшается вероятность ошибки.

Метод наименьших квадратов представляет собой математическую процедуру построения линейного уравнения, которое бы наиболее точно соответствовало набору двух рядов чисел. Целью применения данного способа является минимизация общей квадратичной ошибки. В программе Excel имеются инструменты, с помощью которых можно применять данный метод при вычислениях. Давайте разберемся, как это делается.

Содержание

· Использование метода в Экселе

o Условия задачи

Использование метода в Экселе

Метод наименьших квадратов (МНК) является математическим описанием зависимости одной переменной от второй. Его можно использовать при прогнозировании.

Теперь функция Поиск решения в Excel активирована, а её инструменты появились на ленте.

Урок: Поиск решения в Экселе

Условия задачи

Опишем применение МНК на конкретном примере. Имеем два ряда чисел x и y, последовательность которых представлена на изображении ниже.

Наиболее точно данную зависимость может описать функция:

При этом, известно что при x=0 y тоже равно 0. Поэтому данное уравнение можно описать зависимостью y=nx.

Нам предстоит найти минимальную сумму квадратов разности.

Решение

Перейдем к описанию непосредственного применения метода.

1. Слева от первого значения x ставим цифру 1. Это будет приближенная величина первого значения коэффициента n.

2. Справа от столбца y добавляем ещё одну колонку – nx. В первую ячейку данного столбца записываем формулу умножения коэффициента n на ячейку первой переменной x. При этом, ссылку на поле с коэффициентом делаем абсолютной, так как это значение меняться не будет. Кликаем по кнопке Enter.

3. Используя маркер заполнения, копируем данную формулу на весь диапазон таблицы в столбце ниже.

Как видим, применение метода наименьших квадратов довольно сложная математическая процедура. Мы показали её в действии на простейшем примере, а существуют гораздо более сложные случаи. Впрочем, инструментарий Microsoft Excel призван максимально упростить производимые вычисления.

Общие положения

Для упрощения изложения рассмотрим сначала случай линейной функции одного аргумента. Пусть из опыта получены точки:

x₁, y₁,
x₂, y₂, .	(1)
x_n, y_n

(см. рисунок). Требуется найти уравнение прямой

наилучшим образом согласующейся с опытными точками.

Пусть мы нашли такую прямую. Обозначим через расстояние опытной точки от этой прямой (измеренное параллельно оси y).

Из уравнения (2) следует, что

Чем меньше числа по абсолютной величине, тем лучше подобрана прямая (2). В качестве характеристики точности подбора прямой (2) можно принять сумму квадратов

Покажем, как можно подобрать прямую (2) так, чтобы сумма квадратов S была минимальной. Из уравнений (3) и (4) получаем

Условия минимума S будут

Уравнения (6) и (7) можно записать в таком виде:

Из уравнений (8) и (9) легко найти a и b по опытным значениям x_i и y_i. Прямая (2), определяемая уравнениями (8) и (9), называется прямой, полученной по методу наименьших квадратов (этим названием подчеркивается то, что сумма квадратов S имеет минимум). Уравнения (8) и (9), из которых определяется прямая (2), называются нормальными уравнениями.

Можно указать простой и общий способ составления нормальных уравнений. Используя опытные точки (1) и уравнение (2), можно записать систему уравнений для a и b

y₁=ax₁+b,
y₂=ax₂+b, .	(10)
y_n=ax_n+b,

Умножим левую и правую части каждого из этих уравнений на коэффициент при первой неизвестной a (т.е. на x₁, x₂, . x_n) и сложим полученные уравнения, в результате получится первое нормальное уравнение (8).

Умножим левую и правую части каждого из этих уравнений на коэффициент при второй неизвестной b, т.е. на 1, и сложим полученные уравнения, в результате получится второе нормальное уравнение (9).

Этот способ получения нормальных уравнений является общим: он пригоден, например, и для функции

y=a₀+a₁x+a₂x 2 +. +a_nx n .

(11)

Естественно, что здесь получится система из n+1 нормального уравнения для определения величин
a₀, a₁, a₂, . a_n.

Рассмотрим частный случай применения метода наименьших квадратов. Пусть из теории известно, что

есть величина постоянная и ее нужно определить по опытным данным (1).

Систему уравнений для k можно записать:

k=y₁/x₁,
k=y₂/x₂, .	(13)
k=y_n/x_n,

Для получения нормального уравнения умножим каждое из этих уравнений на коэффициент при неизвестной k, т.е. на 1, и сложим полученные уравнения

Следовательно, среднее арифметическое, полученное из опытных отношений y_i/x_i, дает решение поставленной задачи по методу наименьших квадратов. Это важное свойство средней арифметической объясняет ее широкое применение в практике обработки опытных данных.

Пример 1

На опыте получены значения x и y, сведенные в таблицу

x
y	5,2	6,3	7,1	8,5	9,2	10,0

Найти прямую (2) по методу наименьших квадратов.

Решение. Находим:

Записываем уравнения (8) и (9)91a+21b=179,1,

21a+6b=46,3, отсюда находим
a=0,98 b=4,3.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ В EXCEL

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Метод наименьших квадратов (МНК, англ. Ordinary Least Squares, OLS) — один из методов оценки параметров регрессионных моделей. Достоинством метода являются — статистические свойства МНК-оценок (при выполнении предпосылок Гаусса-Маркова — несмещенность и эффективность), простота математических выводов и практической реализации.

— для парной регрессии.

и оценки параметров и должны быть подобраны таким образом, чтобы функция была минимальна:

Для решения задачи (2) (задача на безусловный экстремум) составляются необходимые условия экстремума(First Order Condition):

которые, можно также записать следующим образом:

или в компактной форме:

Система (3) называется системой нормальных уравнений. В (3) столько уравнений, сколько параметров требуется оценить по выборочным данным. Из решения системы нормальных уравнений находятся МНК-оценки параметров:

где и - средние значения по выборке:

Подстановка, полученного для выражения, во второе уравнение системы нормальных уравнений

приводит к следующей оценке параметра b

, — значения переменных центрированные по средним выборочным;

Таким образом, МНК - оценки параметров парной регрессионной модели выражаются через выборочные данные следующим образом:

Реализация регрессионного анализа в программе MS Excel

Для проведения расчетов по линейному методу МНК можно использовать программу Microsoft Excel (входит в программный пакет Microsoft Office).

Наиболее просто реализуются вычисления коэффициентов линейной регрессионной модели (1).

Для этого можно использовать следующие встроенные функций MS Excel:

ОТРЕЗОК (диапозон_Y; диапазон_X)

НАКЛОН (диапазон_Y; диапазон_X)

КОРРЕЛ (диапазон_Y; диапазон_X)

Первая функция вычисляет свободный член уравнения регрессии ( в выражении (1)), вторая – наклон прямой (b в выражении (1)). Третья функция позволяет вычислить коэффициент корреляции.

Каждая из функций принимает два аргумента, разделяемых знаком точка с запятой “;”. Каждый из аргументов определяет диапазон ячеек, в котором находятся значения зависимой (диапазон_Y) и независимой (диапазон_Х) переменных. Диапазоны должны быть одинаковой формы (вектор-строка или вектор-столбец одинаковой длины).

В более общем виде линейный МНК может быть реализован с помощью встроенной функции ЛИНЕЙН, которая производит вычисления коэффициентов линейной регрессии и дополнительно рассчитывает ряд статистических показателей. Вычисленные коэффициенты регрессии и статистики возвращаются в виде массива чисел. Поскольку возвращается массив значений, функция должна задаваться в виде формулы массива.

Функция ЛИНЕЙН может принимать от одного до четырех аргументов. Обязателен только первый аргумент, остальные – необязательные:

ЛИНЕЙН (диапазон Y, [диапазон X], [константа], [статистика])

Диапазон Y — обязательный аргумент. Диапазон ячеек, содержащий множество значений зависимой переменной (y);

Диапазон Х — Диапазон ячеек, содержащий множество значений независимых переменных. Если переменных несколько, то они должны располагаться в смежных ячейках. Каждый диапазон значений независимой переменной должен иметь форму, аналогичную диапазону Y.

Константа. Необязательный аргумент. Логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы константа была равна 0. Если аргумент константа имеет значение ИСТИНА или опущен, то свободный член вычисляется обычным образом.

Если аргумент константа имеет значение ЛОЖЬ, то значение полагается равным 0 и значения коэффициентов регрессии подбираются с этим условием.

Статистика. Необязательный аргумент. Логическое значение, которое указывает, требуется ли возвратить дополнительную регрессионную статистику. Если аргумент статистика имеет значение ИСТИНА, функция ЛИНЕЙН возвращает дополнительную регрессионную статистику. Возвращаемый массив чисел будет иметь следующий вид:

Если аргумент статистика имеет значение ЛОЖЬ или опущен, функция ЛИНЕЙН возвращает только коэффициенты (то есть, вектор-строку). Размер диапазона ячеек, в которые будет записан результат выполнения функции ЛИНЕЙН следующий:

1. Если статистика=ЛОЖЬ, то 1 строка и n столбцов (n-число определяемых параметров)

2. Если статистика=ИСТИНА, то 5 строк и k столбцов (число столбцов равно числу оцениваемых параметров, для парной регрессии — 2).

Описание значений, вычисляемых функцией приведены в таблице ниже.

Величина

Описание

Стандартные значения ошибок для коэффициентов b;a; .

Коэффициент детерминации. Он характеризует тесноту связи между результативным показателем и набором факторных показателей. Принимает только положительные значения в пределах от 0 до 1. Чем ближе значение коэффициента к 1, тем больше теснота связи. И, наоборот, чем ближе к 0, тем зависимость меньше.

Оценка ско возмущения.

F-статистика или F-наблюдаемое значение. F-статистика используется для определения того, является ли случайной наблюдаемая взаимосвязь между зависимой и независимой переменными.

Степени свободы. Степени свободы полезны для нахождения F-критических значений в статистической таблице. Для определения уровня надежности модели необходимо сравнить значения в таблице с F-статистикой, возвращаемой функцией ЛИНЕЙН.

Регрессионная сумма квадратов.

Остаточная сумма квадратов, равна сумме квадратов разностей для каждой точки между прогнозируемым значением y и фактическим значением y.

Пример. По территориям региона приводятся данные за 20ХХ г.

Читайте также: