Какое наименьшее число можно записать с помощью двух цифр 1 как это сделать

Добавил пользователь Alex
Обновлено: 05.10.2024

Пусть выбор k элементов из некоторого множества, состоящего из n элементов, производится с возвращением и с упорядочением их в последовательную цепочку. Различными исходами такого выбора будут всевозможные наборы (вообще говоря, с повторениями) отличающиеся либо составом элементов, либо порядком их следования. Получаемые в результате комбинации называются размещениями с повторениями из n элементов по k элементов.

Поясним это на следующем примере. Пусть имеется три элемента: a, b и c. Тогда из этих трёх элементов можно составить девять размещений с повторениями по два элемента: ab, ac, ba, bc, ca, cb, aa, bb, cc.

Таким образом, размещение с повторениями из n элементов по k элементов (при этом допускается, что m>n) может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно или не содержать его совсем, т. е. каждое размещение с повторениями из n элементов по k элементов может состоять не только из различных элементов, но и k каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.

Число размещений с повторениями можно найти из принципа умножения. Первый элемент размещения можно выбрать n способами. Второй элемент также можно выбрать n способами (ведь элементы могут повторяться) и т. д. По принципу умножения находим

. (10.1)

Пример 10.1. В лифт восьмиэтажного дома вошли 5 пассажиров. Сколькими способами могут выйти пассажиры на каждом этаже, начиная со второго?

Решение. Задача сводится к распределению 5 пассажиров по 7 этажам (т. е. набор упорядоченный), причем возможны повторения (т. е. несколько пассажиров могут выйти на одном этаже). Таким образом, задача сводится к нахождению числа размещений с повторениями:

Пример 10.2. Сколькими способами можно 5 шариков разбросать по 8 лункам, если каждая лунка может вместить все 5 шариков?

Решение. Данная задача есть задача на отыскание числа размещений с повторениями

Пример 10.3. Буквы азбуки Морзе состоят из символов – точка и тире. Сколько букв получим, если потребуем, чтобы каждая буква состояла не более чем из пяти указанных символов?

Решение. Число всех букв, каждая из которых записывается одним символом, равно .

Число всех букв, каждая из которых записывается двумя символами, равно .

Число всех букв, каждая из которых записывается тремя символами, равно .

Число всех букв, каждая из которых записывается четырьмя символами, равно .

Число всех букв, каждая из которых записывается пятью символами, равно .

Число всех указанных букв будет равно 62.

10.1. Сколькими способами девочка Яна может разложить 12 кукол по трём ящикам, если каждый ящик может вместить все куклы?

Ответ: .

10.2. Сколькими способами Пончик может рассовать 6 конфет по 9 карманам, если каждый карман может вместить все конфеты?

Ответ: .

10.3. Сколькими способами можно разместить 8 пассажиров по трем вагонам?

Ответ: .

10.4. Сколькими различных восьмизначных чисел можно написать, пользуясь только тремя цифрами 3, 5, 7 при условии, что цифра 5 в каждом числе встречается ровно два раза?

Ответ: .

10.5. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составлены всевозможные пятизначные числа (повторение цифр разрешается). Сколько среди них чисел, у которых: 1) a=1; 2) a¹2; 3) a=3, b=2; 4) a=3, b=4, c=5?

Ответ: .

10.6. Сколько чисел, меньших миллиона, можно написать с помощью цифр: а) 8 и 9; б) 7, 8, 9; в) 0, 8, 9 (с цифры 0 число начинаться не может)?

Ответ: а) Так как с помощью двух цифр 8 и 9 можно написать 2k k-значных числа, то общее количество искомых чисел равно . б) Для трёх цифр аналогично получаем . в) Учтём, что для первой цифры есть только две возможности выбора. Тогда получим чисел.

10.7. Имеется три курицы, четыре утки и два гуся. Сколькими способами можно выбрать из них несколько птиц так, чтобы среди выбранных оказались и куры, и утки, и гуси?

Ответ: Каждая курица может либо войти, либо не войти в число выбранных. Поэтому имеем 23 способов выбора кур. Так как по условию хотя бы одна курица должна быть выбрана (т. е. не может быть случая, когда ни одной курицы не будет выбрано), то число выбора кур будет на единицу меньше: способов выбора кур. Точно так же есть способов выбора уток и способов выбора гусей. Всего способов.

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Муниципальный координатор по работе с детьми с повышенной учебной мотивацией в области математики.

Решение задач по комбинаторике.

Учитель

Коротковская О.С.

Курск – 2020

Вступление.

Так что же такое комбинаторика? И какими задачами она занимается? Комбинаторика и слово комбинация очень похожи и имеют прямое отношение друг к другу. В комбинаторике изучают различные комбинации элементов множества и отношения на этих множествах. Впервые термин "комбинаторика" ввел Лейбниц, который в 1666 году опубликовал большой труд "Рассуждения о комбинаторном искусстве".

Комбинаторика – раздел математики, который занимается решением комбинаторных задач.

Комбинаторные задачи – это задачи, в которых необходимо составить комбинации каких-либо элементов из заданного набора по определённым условиям и (или) подсчитать количество получившихся комбинаций.

В комбинаторике существует несколько способов решения комбинаторных задач. Сейчас мы их подробно рассмотрим.

Способ 1. Перебор всех возможных вариантов.

Рассмотрим сущность способа 1 на конкретном примере.

Пример 1. Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Антонов, Григорьев, Сергеев и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

Решение. 1. Составим сначала все пары, в которые входит Антонов (для краткости будем писать первые буквы фамилий). Получим три пары: АГ, АС, АФ.

2. Выпишем теперь пары, в которые входит Григорьев, но не входит Антонов. Таких пар две: ГС, ГФ.

3. Составим пары, в которые входит Сергеев, но не входят Антонов и Григорьев. Такая пара только одна: СФ.

4. Делаем вывод, что других вариантов составления пар нет, так как все пары, в которые входит Федоров, уже составлены.

5. Итак, мы получили 6 пар: АГ, АС, АФ, ГС, ГФ, СФ. Значит, всего существует 6 вариантов выбора тренером пары теннисистов из данной группы.

Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов.

Примечание. В данном примере нам не важен порядок выбора пары: Антонов и Григорьев или Григорьев и Антонов,

Рассмотрим пример задачи, где порядок выбора пары важен.

Пример 2. Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько у друзей есть вариантов занять эти два места на стадионе?

Решение. 1. Если на матч пойдут Антон и Борис, то они могут занять места двумя способами: 1-е место – Антон, 2-е – Борис, или наоборот. Аналогично Антон и Виктор, Борис и Виктор.

2. Таким образом, мы получили 6 вариантов: АБ, БА, АВ, ВА, БВ, ВБ.

Рассмотрим пример на применение этого же способа на примере задачи с цифрами.

Пример 3. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3 при условии, что цифры в числе могут повторяться?

Решение. Перебор вариантов можно организовать следующим образом. Выписать все числа, начинающиеся с цифры 1 в порядке их возрастания; затем – начинающиеся с цифры 2; после чего – начинающиеся с цифры 3. Таких комбинаций получим 27. При переборе легко было упустить какую-нибудь из них.

Способ 2. Подсчет вариантов с помощью графов.

Эффективным приемом, организующим подсчет, является построение графов. Так называют геометрические фигуры, состоящие из точек (их называют вершинами) и соединяющих их отрезков (называемых ребрами графа).

Пример 4. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?

Решение. 1. Для того чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4 и, наконец, с цифры 7: 11, 14, 17, 41, 44, 47, 71, 74, 77.

2. Таким образом, из трех данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.

Рассмотрим два вида графов:

Граф-дерево (называют за внешнее сходство с деревом).

С помощью дерева проиллюстрируем проведенный перебор вариантов в примере 1.

Графы, позволяют в наглядной форме представить идею комбинирования и процесс подсчета комбинаторных объектов. Для подведения учащихся к следующим комбинаторным методам целесообразно рассмотреть задачу, в которой количество всевозможных комбинаций из данных элементов велико и процесс их подсчета затруднителен.

На первом месте в двузначном числе может стоять одна из цифр 1, 4 или 7; на втором – (при условии, что цифры могут повторяться) также любая из трех цифр. Таким образом из рисунка видно, что из трех цифр 1, 4, 7 можно составить 9 различных чисел.

Таким образом, с помощью графа-дерева подсчет вариантов гораздо легче производить. Также вычерчивать дерево вариантов полезно, когда требуется записать все существующие комбинации элементов.

Полный граф. Используется для решения задач, в которых все элементы множества взаимосвязаны.

Пример 5. При встрече каждый из друзей пожал другому руку (каждый пожал каждому). Сколько рукопожатий было сделано, если друзей было четверо?

Четырех друзей поместим в вершины графа и проведем все возможные ребра. В данном случае отрезки-ребра обозначают рукопожатия каждой пары друзей.

Из рисунка видно, что граф имеет 6 ребер, значит, и рукопожатий было сделано 6.

Способ 3. Перебор с помощью таблицы вариантов .

Ее можно использовать, когда составляемые комбинации состоят из двух элементов. Рассмотрим сущность способа на конкретной задаче.

Пример 6. Записать всевозможные двузначные числа, используя при этом цифры 0, 1, 2 и 3. Подсчитать их количество N .

Решение. Для подсчета образующих чисел составим таблицу 1:

Таблица 1 Таблица 2

Решением задачи будет таблица 2. всего вариантов чисел будет N =3·4=12

Способ 4. Использование правил суммы и произведения

Сущность способа рассмотрим на примере задачи 7.

Чтобы помочь председателю, нам нужно решить такую комбинаторную задачу (учащимся можно предложить ее сформулировать):

Задача 7. Сколько существует трехзначных номеров, не содержащих цифры 8?

Решение. 1) Сначала найдем количество однозначных номеров, отличных от 8. Ясно, что таких номеров девять: 0,1,2,3,4,5,6,7,9. 2) Найдем все двузначные номера, не содержащие восьмерок. Их можно составить так: взять любой из найденных однозначных номеров и написать после него любую из девяти допустимых цифр. В результате из каждого однозначного номера получится 9 двузначных, т. е. всего получится 9·9 = 9 2 двузначных номеров.

3) Итак, существует 9 2 = 81 двузначный номер без цифры 8. Но к каждому из этих номеров можно приписать справа любую из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,9 и получить трехзначный номер, не содержащий цифру 8. 4) При этом получаются все трехзначные номера с требуемым свойством. В результате мы нашли 9 2 ·9 = 9 3 = 729 трехзначных номеров без восьмерок.

Примечание. Если бы председатель клуба был еще суевернее и отказался и от цифры 0, поскольку она походит на вытянутое колесо, то он смог бы составить лишь 8 3 = 512 трехзначных номеров и их уже не хватило бы на всех членов клуба.

Пример 8. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?

Пример 9. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 7, 4 и 5?

Решение: 1) В данной задаче рассматриваются трехзначные числа, так как цифры в записи этих чисел могут повторяться, то цифру сотен, цифру десятков и цифру единиц можно выбрать тремя способами каждую.

2)Поскольку запись трехзначного числа представляет собой упорядоченный набор из трех элементов, то, согласно правилу произведения, его выбор можно осуществить 27 способами, так как 3∙3∙3=27.

Правило умножения приводит к важному понятию факториала. Давайте на примере разберем это понятие.
Пример 10. Сколько существует комбинаций из шести букв: А, Б, В, Г, Д, Е. Буквы не повторяются.
Решение: На первое место мы можем поставить шесть букв, на второе место - уже пять, так как буквы не повторяются, на третье - соответственно четыре, на четвертое - три, на пятое - две, и на шестое - букву.
Используем правило умножения: 6*5*4*3*2*1=720.
Ответ: 720 способов расстановки букв без повторения.

Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! (n факториал): n!=1 ∗ 2 ∗ … ∗ (n−1) ∗ n, n факториал – состоящий из n множителей.

Заметим важное свойство факториала: n!=(n−1)! ∗ n. Данное свойство значительно упрощает решение задач, где присутствует факториал. Например, для вычисления задач вот такого типа: . Совсем необязательно вычислять все факториалы. Можно все переписать вот в таком виде: . Сократив нашу дробь, получим гораздо более простое выражение: 4 ∗ 9 ∗ 10=360.

Способ 5. Решение комбинаторных задач с использованием формул

Хорошо, когда все на своих местах: кастрюли в шкафу, зубная щетка — в ванной. У цифр при записи чисел тоже есть свое место. В этой статье раскроем тему разрядов и классов.

О чем эта статья:

Числа и цифры

Числа — это единицы счета. С помощью чисел можно сосчитать количество предметов и определить различные величины.

Для записи чисел используются специальные знаки — цифры. Всего их десять: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Натуральные числа — это числа, которые мы используем при счете. Вот они: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …

Единица (1) — самое маленькое число, а самого большого числа не существует.
Ноль (0) означает, что предмета нет. Ноль не является натуральным числом.

От количества цифр в числе зависит его название.

Число, которое состоит из одного знака, называется однозначным. Наименьшее однозначное — 1, наибольшее — 9.

Число, которое состоит из двух знаков цифр, называется двузначным. Наименьшее двузначное — 10, наибольшее — 99.

Числа, которые записаны с помощью двух, трех, четырех и более цифр, называются двузначными, трехзначными, четырехзначными или многозначными. Наименьшее трехзначное — 100, наибольшее — 999.

Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определенное место — позицию.

Классы чисел

Цифры в записи многозначных чисел разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой. Эти группы называют классами. В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы, десятки и сотни этого класса.

Названия классов многозначных чисел справа налево:

первый — класс единиц,
второй — класс тысяч,
третий — класс миллионов,
четвертый — класс миллиардов,
пятый — класс триллионов,
шестой — класс квадриллионов,
седьмой — класс квинтиллионов,
восьмой — класс секстиллионов.

Чтобы читать запись многозначного числа было удобно, между классами оставляют небольшой пробел. Например, чтобы прочитать число 125911723296, удобно сначала выделить в нем классы:

А теперь прочитаем число единиц каждого класса слева направо:

Разряды чисел

От позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Например:

1 123 содержит в себе: 3 единицы, 2 десятка, 1 сотню, 1 тысячу.

Можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен, а 1 служит значением разряда тысяч.

Проясним, что такое разряд в математике. Разряд — это позиция или место расположения цифры в записи натурального числа.

У каждого разряда есть свое название. Слева всегда живут старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.

Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.

Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.

Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.

Разрядные единицы обозначают так:

Единицы — единицами первого разряда (или простыми единицами) и пишут на первом месте справа.
Десятки — единицами второго разряда и записывают в числе на втором месте справа.
Сотни — единицами третьего разряда и записывают на третьем месте справа.
Единицы тысяч — единицами четвертого разряда и записывают на четвертом месте справа.
Десятки тысяч — единицами пятого разряда и записывают на пятом месте справа.
Сотни тысяч — единицами шестого разряда и записывают в числе на шестом месте справа и так далее.

Каждые три разряда, следующие друг за другом, составляют класс. Первые три разряда: единицы десятки и сотни — образуют класс единиц (первый класс). Следующие три разряда: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч — образуют класс тысяч (второй класс). Третий класс будут составлять единицы, десятки и тысячи миллионов и так далее.

Чтобы легче понимать математику — записывайтесь на наши курсы по математике!

Потренируемся

Пример 1. Записать цифрами число, в котором содержится:

55 единиц второго класса и 100 единиц первого класса;
110 единиц второго класса и 5 единиц первого класса;
7 единиц второго класса и 13 единиц первого класса.

Все разрядные единицы, кроме простых единиц, называют составными единицами. Каждые десять единиц любого разряда составляют одну единицу следующего более высокого разряда:

10 единиц равны 1 десятку;
10 десятков равны 1 сотне;
10 сотен равны 1 тысяче;
10 тысяч равны 1 десятку тысяч;
10 десятков тысяч равны 1 сотне тысяч;
10 сотен тысяч равны 1 миллиону.

Чтобы узнать, сколько в числе заключается всех единиц какого-либо разряда, нужно отбросить все цифры, обозначающие единицы низших разрядов и прочитать число, которое выражено оставшимися цифрами.

Пример 2. Сколько сотен содержится в числе 6284?

В числе 6284 на третьем месте в классе единиц стоит цифра 2, значит, в числе есть две сотни.

Следующая цифра слева — 6, означает тысячи. Так как в каждой тысяче содержится 10 сотен то, в 6 тысячах их заключается 60.

Значит, в данном числе содержится 62 сотни.

Цифра 0 в любом разряде означает отсутствие единиц в данном разряде.

Проще говоря, цифра 0 в разряде десятков означает отсутствие десятков, в разряде сотен — отсутствие сотен и т. д. В том разряде, где стоит 0, при чтении числа ничего не произносится:

11 627 — одиннадцать тысяч шестьсот двадцать семь.
31 502 — тридцать одна тысяча пятьсот два.

Чтобы проще освоить эту тему, можно распечатать таблицу классов и разрядов для учащихся 4 класса и обращаться к ней, если возникнут сложности.

Загрузки всякие

Связь

Содержание

Сколько шестизначных чисел можно составить из двух 5 и четырех 7.

Число всех перестановок равно 6! Среди них есть совпадающие - уберем их.

Перестановки, отличающиеся друг от друга лишь расположением элементов 55, совпадают. Таких перестановок будет 2!

Перестановки, отличающиеся друг от друга лишь расположением элементов 7777, совпадают. Таких перестановок будет 4! Итого 6! / (2!4!) = 1*2*3*4*5*6 / (1*2*1*2*3*4) = 15

Сколько разных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 2, 4, 6, 8 без их повторения?

Р5 – Р4 = 5! – 4! = (5-1) * 4! = 96 (разных пятизначных чисел)

Сколько разных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без их повторения?

C_9^5 = 126 (разных пятизначных чисел)

Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?

$A_8^1 A_7^1 A_6^1 = 8 \cdot 7 \cdot 6=336$

Сколькими способами может расположиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры разные и первая цифра отлична от нуля?

$A_^7 - A_^6 = 9*9*8*7*6*5*4 = 544320$

Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге. [Перестановки]

Р3 = 3! = 6 вариантов

В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, иностранный язык, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли подряд?

Во время встречи 16 человек пожали друг другу руки. Сколько всего сделано рукопожатий?

$A_^2 / 2 = 15+14+\ldots+1 = 120$

Группа учащихся из 30 человек решила обменяться фотографиями. Сколько всего фотографий необходимо было для этого?

При окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками. Сколько всего визитных карточек перешло из рук в руки, если во встрече участвовали 6 специалистов?

Сколько существует вариантов рассаживания вокруг стола 6 гостей на 6 стульях?

P6 = 6! = 1·2·3·4·5·6 = 720.

Сколько прямых линий можно провести через 8 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой?

$C_^2 = 8!/2!/6! = 28$ (прямых линий)

Определите число всех диагоналей правильного: 1) пятиугольника; 2) восьмиугольника; 3) двенадцатиугольника; 4) пятнадцатиугольника.

общая формула вычисления диагоналей у n-угольника $C_n^2$

Ответ: 10, 66, 28, 105

Задача 3. В мешке 50 шаров, отличающихся только цветом: 8 красных, 9 синих, 9 желтых, остальные – поровну черные и белые. Какое наименьшее число шаров надо вынуть из мешка, не видя их, чтобы среди них было не менее 7 шаров одного цвета?

Задача 4. 15 футбольных команд (в каждой по 11 человек) летят из Москвы в Санкт-Петербург на соревнования. Какое минимальное количество мест может быть в самолете, чтобы гарантированно нашлась команда, долетевшая в полном составе?

Задача 5. Сколько чисел от 1 до 9999 (включая 1 и 9999) не имеют в своей десятичной записи одинаковых подряд идущих цифр? (к примеру, не подходят 1488, 2259, 3233)

Первой цифрой числа, не имеющего в своей записи подряд идущих цифр, может быть любая цифра, кроме 0, то есть всего 9 вариантов. Второй цифрой этого числа может быть любая цифра, кроме той, которая стоит на первом месте, то есть 9 вариантов, третьей − любая, кроме стоящей на втором месте, то есть опять 9 вариантов, и т.д. Тогда таких четырехзначных чисел всего $9^4$, аналогично, трехзначных − $9^3$, двузначных − $9^2$ и однозначных − 9. Всего получаем $9^4+9^3+9^2+9=7380$ чисел.

Задача 1. Есть 10 различных марок шоколада. Количество способов подарить трём девочкам по шоколадке равно?

Каждая девочка может получить шоколадку любой марки. Поскольку все девочки и все марки различны, то количество способов подарить шоколадки девочкам в точности равно количеству размещений с повторениями $\bar A^3_=10^3$.

Задача 3. Сколькими способами можно вручить призы в 5 различных номинациях (в каждой номинации только один приз), если в соревновании участвуют 10 человек?

Приз в любой из 5 номинаций может достаться любому из 10 участников соревнований, то есть количество способов выдать призы в точности равно количеству размещений с повторениями $\bar A^5_=10^5 = 100000$.

Задача 4. Сколькими способами можно вручить призы в 5 различных номинациях (в каждой номинации только один приз), если в соревновании участвуют 10 человек, при условии, что каждый участник может получить не более одного приза?

Приз в первой номинации может достаться любому из 10 участников соревнований, во второй − любому из 9 участников (получивший первый приз другие призы получать не может), в третьей − любому из 8 участников, и т.д. То есть количество способов выдать призы в точности равно количеству размещений без повтореий $A^5_=10⋅9⋅8⋅7⋅6=30240$.

Задача 8. Группа из 8 студентов пришла в столовую. Сколькими способами они могут занять очередь друг за другом, если Маша и Таня хотят стоять рядом, а Коля не хочет быть последним?

Так как Маша и Таня хотят стоять рядом, то можно считать, что они занимают одно место вдвоём. Соответственно, мест становится 7, но надо учесть, что девочки могут между собой поменяться местами (Маша-Таня и Таня-Маша). Поэтому количество всех очередей надо будет удвоить.

Коля не хочет быть последним, поэтому для него есть 6 возможных мест в очереди. Остальные могут занять места 6⋅5…1=6! способами.

В итоге получаем, что количество способов занять очередь равно 2⋅6⋅6!=8640.

Читайте также: