Как сделать шар из шестиугольников
Добавил пользователь Владимир З. Обновлено: 04.10.2024
Пожалуйста, используйте IE6/7/8 с плагином MathPlayer, Firefox с установленными математическими шрифтами или Opera 9.5 и выше.
Здравствуйте. Столкнулся с конкретной геометрической задачей. Помогите решить.
Необходимо на шар, заданного диаметра, нанести правильные шестиугольники разного размера так, чтобы они состояли из 6 равносторонних треугольников. Я так понимаю, не любое расстояние (длина дуги) будет удовлетворять условиям.
Одним словом, как зная диаметр шара, стоить на нем равносторонние треугольники, образующие шестиугольник и как узнать расстояние, которое позволит равномерно заполнить весь шар шестиугольниками или равносторонними треугольниками на подобии футбольного мяча.
Буду благодарен за помощь.
Редактировалось 1 раз(а). Последний 04.02.2009 19:07.
Суииа углов треугольника площади S на сфере единичного радиуса больше числа пи на величину S.
Сумма всех углов, образованных "сферическими лучами", выходящими из одной точки равна двум пи. Если это углы шести равносторонних треугольников , составляющих шестиугольник, то угол треугольника равен пи/3, т.е. сумма углов треугольника равна пи, т.е. площадь каждого треугольника равна нулю. Вывод: правильный сферический шестиугольник невозможно разрезать на правильные треугольники.
Дополнительно заметим, что правильные шестиугльники, имеющие общую сторону, равны; если два шестиугольника имеют налегающие стороны, то эти стороны совпадают, т.е. это общая сторона (т.к. шестиугольники по условию покрывают всю сферу и не имеют острых углов). Следовательно, если сферу разбить на правильные шестиугольники, то это непременно центральная проекция на сферу некоторого правильного многогранника состоящего из шестиугольных граней. Но среди пяти платоновых тел таких не наблюдается
Здесь как очевидное использованы факты: 1) равенство (сферических) треугольников по трем сторонам; 2) если из данных треугольников сложен многоугольник, то мы предполагаем, что их налегающие стороны являются общими и потому равны; 3) против равных углов в треугольнике лежат равные стороны и наоборот.
Эти факты очевидны не только в евклидовой планиметрии, но и в сферической.
На футбольном мяче можно сложить правильный пятиугольник из пяти правильных треугольников с углами 72 градуса. Площадь такого треугольника равна пи/5, а пятиугольника пи. Треугольники можно расположить только одним способом - центральная проекция на сферу вписанного икосаэдра. Это расположение из 20 треугольников можно представить как объединение двух центрально симметрично расположенных пятиугольников и разделяющего их пояса в виде правильной антипризмы Архимеда (проекция на сферу). Теоретически кажется возможным разбить поверхность сферы на 4 пятиугольника, но это не так, ибо в одной вершине не могут сойтись 6 треугольников.
Если не ошибаюсь, мяч покрывают пятиугольниками и квадратами неразбиваемыми на правильные треугольники. Надо подобрать полуправильный многогранник, который имеет такое сферическое изображение.
Но мяч (точнее - геометрическую сферу) можно склеить из 12 правильных пятиугольников - это проекция на сферу вписанного в нее додекаэдра. Эти пятиугольники можно составить из равнобедренных, но не равносторонних треугольников. Еще сферу можно склеить из 8 (проекция октаэдра) или 4-х (тетраэдр) треугольиков или 6-и квадратов (куб).
Для вычислений следует использовать следующие соображения: угол на сфере (между дугами больших кругов) равен двугранному углу (между этими кругами); площадь треугольника вычисляется через сумму углов (см. выше), и любого многоугольника тоже (теорема Гаусса-Бонне - см. справочник или учебник диф. геометрии), формулы сферической тригонометрии (теорема синусов и косинусов) можно найти в справочнике, если правильные треугольники имеют одинаковую площадь, то они равны (тоже о правильных многоугольниках). Площадь сферы 4пи (мы говорим о единичной сфере. )
Вложения
moooV
Знаток
maiden666
Мастер
а подобная штука вообще возможна с точки зрения топологии - то есть идеальная сфера из идеальных 6-угольников? то, что на фото, может быть фейком
12sunflowers
Возможно, только в определенных местах будут пентагоны. На скринах умелой топологией они спрятаны. Вот я и спрашиваю как такого добиться?
Можно поставить вопрос еще так. Как правильно размапить сферу что бы не растягивались и правильно ложились гексагоны? И как должна выглядеть эта текстура с гексагонами?
diwian diwian
Мастер
В теории возможна(нет пока времени проверить).Но в данном конкретном случае обратите внимание на отмеченное на изображении.
Вложения
maiden666
Мастер
вот я и говорю - фейк, как ни крутил разные геосферы - не придумал как можно сделать такое без 3-.5-. или 4-угольников
12sunflowers
=TARAS_=
Знаток
Геосферу возьми типа icosa. Потом выделяешь все вершины, и применяешь chamfer.
Чисто из одинаковых гексагонов нереально сделать, это видно по сетке.
12sunflowers
=TARAS_=Так кое где вылазят пентагоны. А как сделать развертку для такого, что бы карту снять и не было искажений?
зы Или такое не реально? Просто подобрана точка зрения для иллюзии?
=TARAS_=
Знаток
Без искажений никак, я же говорю это попросту физически невозможно. А вот иллюзию можно. В моем способе вполне можно подобрать ракурс где искажения практически незаметно, особенно если много сегментов.
Сделать развертку шара тоже не из простых, тут недавно разбирали это, можешь глянуть
Селена
Знаток
На рис.3 видно, что они разного размера, хотя и ровные. Наверное в простом случае это
как-то так создается:
Вложения
Селена
Знаток
Вложения
diwian diwian
Мастер
Это тебе Селена не самолёты делать.Сам грешным делом поглядываю "левым глазом"(пока рендеры "идут") похоже тоже штука зацепила .Не могу ни как сообразить в теории 360 делиться на 6 а значит всё должно быть одного размера.Во головоломку придумали.
maiden666
Мастер
хе-хе, вот тебе задачка из занимательной топологии. Из той-же серии, что Задача 5-ти красок, и прочее, лучшие умы человечества ломают голову над этими вещами, в мире человек сто, кто вообще в этом разбирается
Селена
Знаток
Ты прав на все 100%, самолеты проще делать, там хотя бы все расчеты уже сделаны
и работаешь по точным чертежам.
Но задачка действительно "зацепила". Моих знаний математики хватило только на ту
хрень, которая выше. Дальше никак, хотя уже 2 часа над ней размышляю.
maiden666, а что это за "Задача 5-ти красок"?
msoldat
Знаток
Есть фантастический рассказ "Остров пяти красок". Он основан на Проблеме четырех красок. Занимательный, надо сказать, рассказ, всем советую к прочтению
Селена
Знаток
Одинаковыми 6-гр-и значит нельзя, так я понимаю.
Спасибо за ссылку, прямо сейчас и почитаю, пока время есть.
INCUS
Знаток
Селена
Знаток
INCUS, а по существу что сказать можешь?
Я например раньше не сталкивался, как-то мимо она прошла, тема эта.
INCUS
Знаток
TARAS уж всё сказал. я думаю как он.
Просто, мы, видимо учились с примитивов. со сфер, кубиков, . футбольных мячей.
А ты, наверное, сразу нашёл заказчика и стал ему строить морской и воздушный флот.
Обошёл, так сказать, за ненадобностью, этот досадный период бессонных ночей и горьких мучений,
поэтому, теперь тебя и удивляют такие мирские вопросы.
11. Возможно, марсианские сооружения будут состоять из шестиугольных модулей
Да, шестиугольные сетки не только для пчёл.
Этот дом называется Queen B, и создан, чтобы защищать людей от погоды и излучения на Марсе. Вот заявленные авторами характеристики этого дома.
- Полноценная кухня, две ванных, две спальни, садик, лаборатория 3D-печати, комната отдыха, прачечная и совмещённая с раздевалкой декомпрессионная.
- Теплосберегающая конструкция с прочной крышей, защищающей от обломков.
- Панели из обеднённого урана, доводящие радиацию до безопасного уровня.
- Эстетичный вид привлекает прессу, помогает освещать миссию и вербовать добровольцев.
Последний пункт важен для игр: шестиугольные постройки привлекают прессу. :-)
12. Нельзя раскрасить шестиугольную сетку, двумя цветами, чтобы соседние клетки были разных цветов
Это иногда неудобно для игр на двоих.
А тремя и более цветами уже можно. Трёхцветная раскраска используется в гексагональных шахматах. Слон ходит по клеткам одного цвета, как и в обычных шахматах.
13. Сферу нельзя замостить шестиугольниками
Ближайшее, что можно сделать — добавить 12 пятиугольников. Полуправильные сферы наподобие этой основаны на икосаэдре (правильном 20-граннике), см. видео (спасибо @hamishtodd1):
Есть много способов сделать сферу из шестиугольников и пятиугольников, и химики изучают всё это вместе с другими фуллеренами (молекулами углерода в форме сфер, труб и подобного).
Из шестиугольников можно сделать цилиндр, тор и даже ленту Мёбиуса.
Другая схема — свёрнутый шестиугольник (то есть тор), наложенный на полусферу, как в этой демонстрации.
14. Полигекс — плоская фигура, состоящая из нескольких одинаковых шестиугольников, соединённых сторонами
Фигуры в тетрисе называются тетрамино (четыре квадрата, соединённых сторонами). Если квадратов не обязательно четыре — то полиомино. Шестиугольный эквивалент полиомино — полигекс.
Есть много занимательных задач, связанных с полигексами. Наиболее распространённый тип — собрать нужную фигуру из полигексов. Неизвестна формула, сколько существует полигексов n-го порядка.
16. Только три вида шестиугольников могут замостить плоскость
Плоскость можно замостить не только правильными шестиугольниками. Для выпуклых шестиугольников есть три группы:
С этими замощениями можно поиграть в программе (спасибо @mike_geogebra).
А для пятиугольников неизвестны все типы, способные замостить плоскость. Мы знаем 14 типов, и могут быть другие.
17. Шестиугольные координаты можно задавать не векторами, а комплексными числами
Координаты на сетке можно задавать не векторами, а комплексными числами. Координаты на квадратной сетке называются гауссовыми целыми. На шестиугольной сетке — эйзенштейновыми целыми.
У этих целых много общего с действительными целыми. Например, можно делить нацело или с остатком, можно задать простые числа, а значит, выстроить целую теорию чисел.
Такие целые можно применять в некоторых алгоритмах, например, в раскраске сеток. Из этих алгоритмов можно делать более сложные алгоритмы. См. также на StackExchange.
18. Двойственная сетка для шестиугольной — треугольная
19. Если нужно уменьшить количество фрагментов, вместо шестиугольной сетки можно взять треугольную
Есть много игр с модульным полем: фрагменты прикладываются друг к другу, чтобы совпадали стороны, и получаются большие фигуры. Фрагментов в таких играх может быть немало. Один из способов решить эту проблему — разделить шестиугольники на треугольники. Это сильно уменьшит объём коробки. Особенно это полезно для компьютерных игр, где треугольники можно сделать невидимыми для игрока.
20. Из шестиугольной сетки можно сделать псевдотрёхмерные кубы
Изометрическая проекция куба — шестиугольник. Если разделить каждый шестиугольник на три четырёхугольника и подходящим образом покрасить, сетка будет походить на штабель кубов. (А если каждый четырёхугольник считать клеткой, получается ромбическая сетка. Ромбические сетки тоже программируют на основе шестиугольных.)
Этот факт эксплуатируют во многих играх. Первая компьютерная игра, сделавшая это,— Q*bert, в то время (1982) её хвалили за трёхмерную графику.
А если шестиугольники могут перекрываться, можно сделать ещё более интересные трёхмерные эффекты. Это используентся в карточных играх наподобие этих двух.
"Из шестиугольников нельзя собрать поверхность шара.Вообще,никак,никаким способом - даже если их нарисовать на поверхности шара в слегка искривлённом виде.",-отрывок из книги "Математика для гуманитариев. Живые лекции.", Саватеев А.
Но Арсению Акопяну это удалось,выкуси Саватеев!
Хорошая шутка. А в демке просто исказили плоскость, покрытую шестиугольной сеткой.
Хотя вижу это не впервые.
А в чем проблема?
Амаяк Акопян из квадратов шар собрать может. Арсений - брат Амаяка?
Алексей Савватеев - Парадокс дней рождения
Почему не всегда нужно спорить на шоколадки даже при высокой вероятности их выигрыша, рассчитанной математически? Какова вероятность совпадения дней рождения у двух, трёх и более человек? По какой формуле её можно быстро оценить? В какой размером группе эта вероятность становится более 50%?
Рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, научный руководитель Кавказского Математического Центра АГУ, ректор Университета Дмитрия Пожарского, профессор МФТИ, научный руководитель ЦДПО РЭШ, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых.
Читайте также: