Как сделать эвольвенту окружности

Добавил пользователь Евгений Кузнецов
Обновлено: 04.10.2024

Частенько, даже очень частенько, зубчатые передачи изображают примерно так:

Просто зубья-прямоугольники. И вроде понимаешь, что это условный вид, но меня, как инженера, который часто занимается расчетами и чертежами зубчатых колес и шестерней, это сильно коробит.

А ведь ничего не стоит немного поднапрячься и создать действительно настоящий профиль шестерни!

Видите какие зубчики? Никаких прямоугольников, треугольников, трапеций и прочих фигур, которые в зубчатых передачах адекватно передать момент не могут!

Тогда что это?

Хочу сразу отметить - это и не кусок окружности, а нечто гораздо бОльшее. эвольвента !

Когда я учился в университете, по специальности " Технология машиностроения ", то в одном из курсовиков, нужно было вручную начертить эвольвентную зубчатую передачу. Чтобы Вы понимали, чертить руками профиль эвольвентного зуба очень больно. Больно для психики, нервов, рук. Я перечерчивал трижды и мой профиль зуба был как минимум неплох, мне так казалось.

Современные средства разработки позволяют делать это в разы проще, но когда чертишь ее карандашом, то чувствуешь, насколько дорогой она тебе становится.

Эвольвентой окружности является траектория любой точки прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения. По эвольвенте обрабатывают профиль зубьев зубчатых колёс. Эвольвенту окружности можно получить, сматывая натянутую нить с цилиндрической поверхности. Конец этой нити будет описывать эвольвенту.

Параметрические уравнения эвольвенты окружности:

$x=r \cos\phi+r\phi \sin\phi\,\!;$

$y=r \sin\phi-r\phi \cos\phi\,\!,$

где — радиус окружности; — угол поворота радиуса окружности.

Построение эвольвенты окружности по заданному диаметру

Имеется окружность с диаметром , и с центром в точке . Данную окружность делим на двенадцать равных частей. В точках 2, 3, 4, … проводим касательные к окружности, направленные в одну сторону. Точки эвольвенты находим исходя из того, что при развёртывании окружности точка , должна отстоять от точки 2 на расстоянии, равном длине дуги между точками 1 и 2, а точка , должна отстоять от точки 3 на расстоянии, равном длине дуги между точками 1 и 3 (две длины предыдущей дуги), и т. д.

Точное положение точек эвольвенты получим, откладывая по касательным длины соответствующих дуг. Длину дуги между точками 1 и 2 определяем по формуле ,\!" width="" height="" />
, где — диаметр окружности; — число частей, на которое разделена окружность.

Получив ряд точек эвольвенты соединяем их плавной линией.

$d\!$

В данном случае окружность с диаметром является эволютой к этой эвольвенте.

Воспользуемся уравнениями эвольвент кривой заданной параметрически:

где - определяет положение эвольвенты.

Проведем вспомогательные расчеты:

Подставим полученные значения в формулы:

Таким образом, получили уравнения эвольвент окружности в параметрическом виде:

Построим эвольвенту окружности. Построения эвольвенты выполняется в следующей последовательности:

1. Заданную окружность делят на несколько равных частей (к примеру на 12), которые пронумеруем 1, 2. 12;
2. Из конечной точки 12 проводят касательную к окружности и откладывают на ней длину окружности, равную pD;
3. Полученный отрезок (длину окружности) делят также на 12 равных частей;
4. Из точек деления окружности проводят касательные и на них откладывают отрезки 111=pD/12, 221=2pD/12, 331=3pD/12. 12121=pD;
5. Соединив полученные точки 11, 21, 31. 121 плавной кривой получим эвольвенту окружности.

2. Эвольвенты цепной линии.

Пусть цепная линия задана уравнением:

Для определения эвольвенты выразим уравнение в параметрическом виде:

Воспользуемся уравнениями эвольвент кривой заданной параметрически:

где - определяет положение эвольвенты.

Проведем вспомогательные расчеты:

Подставим полученные значения в формулы:

Таким образом, получили уравнения эвольвент цепной линии в параметрическом виде:

При эвольвента проходит через вершину цепной линии (0; а); при уравнение эвольвенты принимает вид

Эвольвенты параболы.

Пусть парабола задана уравнением в параметрическом виде:

Воспользуемся уравнениями эвольвент кривой заданной параметрически:

где - определяет положение эвольвенты.

Проведем вспомогательные расчеты:

Подставим полученное значение в формулы:

Таким образом, получили уравнения эвольвент параболы в параметрическом виде:

Эвольвента представляет собой траекторию произвольной точки прямой, катящейся без скольжения по окружности (рис. 11.2). Прямую в этом случае называют производящей, а окружность — основной.

Выведем уравнение эвольвенты в полярных координатах в параметрической форме. По определению эвольвенты

Но MN= г_ь ? tgа. Отсюда угловая координата и радиус-вектор точки М

Эвольвента имеет две ветви — правую и левую, важнейшее свойство эвольвенты состоит в том, что производящая прямая MN является нормалью к эволенте в точке М, а точка IV касания производящей прямой и основной окружности — центром кривизны. Эвольвента окружности бесконечно большого радиуса есть прямая линия.

Рис. 11.3. Эвольвентное зацепление

Эвольвента зуба Э, (рис. 11.3) получена качением прямой N_P по основной окружности радиуса г_ь , а эвольвента Э₂ — качением прямой N₂P по основной окружности радиуса r_h>. Эйлер в 1760 г. показал, что линия зацепления, т.е. линия, по которой перемещается точка контакта эвольвептнпх профилей, представляет собой прямую — общую касательную к основным окружностям обоих колес. Как видно из рис. 11.3, геометрическое условие зацепления, т.е. условие существования общей нормали у профилей, выполняется только в том случае, если контакт происходит на отрезке общей касательной N_XN₂.

Действительно, в силу свойств эвольвенты отрезок N_xPeсть нормаль к эвольвенте Э,, а отрезок N₂P — нормаль к эвольвенте Э₂. В то же время один отрезок является продолжением другого, т.е. общей нормалью. Вне отрезка N_XN₂ профили пересекаются. Точку Р, в которой общая нормаль пересекается с линией центров, называют полюсом зацепления. Окружности радиусов г_иЛ и r_w2, проходящие через полюс зацепления, называют полоидными или начальными; в процессе зацепления они обкатываются друг по другу без скольжения. Согласно основному закону зацепления передаточное отношение равно i_{= r_w2/r_wV} кроме того г_иЛ + r_w2 = a_w, где a_w — межоссвое расстояние. Отсюда

Угол а_а,, образованный линией зацепления и нормалью к линии центров, называется углом зацепления. Радиусы кривизны соприкасающихся профилей в полюсе зацепления определяются как (см. рис. 11.3)

Передаточное отношение можно также выразить через радиусы основных окружностей

При изменении межцентрового расстояния a_w (рис. 11.4) угол зацепления a_w и радиусы начальных окружностей изменяются, но радиусы основных окружностей, а следовательно, и передаточное отношение остаются неизменными.

Рис. 11.4. Эвольвентное зацепление при изменении межцентрового расстояния

Читайте также: